2.3有理数的乘除运算（第1课时）（教学课件） 2026--2027学年北师大版七年级数学上册

这是一份初中数学开学课件，聚焦“有理数的乘除运算”，以知识回顾（加法、减法法则）为起点，通过生活情境（水库水位、蜗牛爬行）导入，逐步探究乘法法则（同号得正等）、除法法则（化除为乘）及混合运算，辅以典例分析和分层练习，构建完整学习支架。 资料特色突出，注重核心素养培养，通过水位变化等现实情境引导学生用数学眼光观察世界，借助规律推导（如负负得正的列举法）发展推理思维，以符号法则、运算律规范数学表达。创新采用“情境-探究-应用”模式，典例涵盖基础到提升（如分配律简算、含0运算），帮助学生理解算理、提升运算能力，也为教师提供系统教学资源。七年级学生刚从小学过渡，需适应抽象运算，此资料能助力培养符号意识和严谨运算习惯。

第二章有理数及其运算 第一课时 2.3有理数的乘除运算 1.7.2013 同学们好！欢迎来到今天的数学课堂。今天，我们将一起探索有理数世界里更有趣的运算——乘法和除法。这节课，我们将从生活中的例子出发，一步步揭开有理数乘除运算的神秘面纱，让我们一起开启这段奇妙的数学之旅吧！ ‹#› 知识回顾 我们已经学会了有理数的什么运算？ 回顾：有理数的加法与减法 加法：核心法则记心中 同号相加取同号，绝对值相加 异号相加取大号，大值减小值 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数，即 a - b = a + (-b) 减法：变减为加，改相反数 新知预告：挑战更有趣的运算！ 今天，我们将探索有理数的乘法与除法！ 你准备好了吗？让我们开始吧！ 温故知新，开启新挑战！ 1.7.2013 在学习新知识之前，我们先来快速回顾一下老朋友——有理数。大家还记得什么是有理数吗？没错，整数和分数的统称。那我们已经学会了有理数的哪些运算呢？对，加法和减法！还记得它们的法则吗？非常好！今天，我们将在加减法的基础上，挑战更有趣的运算——乘法和除法！大家准备好了吗？ ‹#› 导入新课 生活中的数学：水库水位3小时内每小时升或降2厘米，3小时后总变化量是多少？ 情境一：水位上升 第1小时：+2cm 情境二：水位下降 第2小时：+2cm 第3小时：+2cm 计算：2×3=6cm 第1小时：-2cm 情境一结论：3小时后水位上升6厘米；情境二思考：负数乘正数结果是多少？ 规定：水位上升记为正，水位下降记为负，时间向后为正 第2小时：-2cm 第3小时：-2cm 思考：(-2)×3=？ 1.7.2013 我们来看一个生活中的场景。一个水库，如果水位每小时上升2厘米，3小时后，水位会怎么样？大家都会算，2乘以3等于6，水位上升了6厘米。那如果情况反过来，水位每小时下降2厘米呢？“下降”我们可以用负数表示，也就是-2厘米。那么3小时后水位变化是多少呢？这个问题就变成了(-2) × 3等于多少？带着这个问题，我们一起走进今天的新知识！ ‹#› 探究点1：正数 × 负数 01 水位变化模型：累加的简便运算 情境：若水位每天下降2厘米（规定上升为正，下降为负），那么经过3天后，水位的总变化量是多少？ 计算：(-2) × 3 = (-2) + (-2) + (-2) = -6 结论：水位总共下降了6厘米，变化量为 -6 厘米。 02 蜗牛爬行模型：方向与路程 情境：规定向东为正方向，一只蜗牛每分钟向西爬行5厘米，那么3分钟后蜗牛在起点的哪个位置？ 计算：(-5) × 3 = (-5) + (-5) + (-5) = -15 结论：蜗牛在起点西边15厘米处，位置表示为 -15 厘米。 💡 规律初探：负数 × 正数 = 负数，结果的绝对值等于两数绝对值的乘积。即：(负) × (正) = 负。 1.7.2013 好，我们来解决刚才的问题：(-2) × 3等于多少？我们可以把乘法想象成加法的简便运算，也就是3个-2相加。-2加-2再加-2，等于-6。所以水位下降了6厘米。我们再看一个例子，一只蜗牛向西爬，速度是-5厘米每分钟，3分钟后它在哪？同样，就是3个-5相加，等于-15。所以它在起点西边15厘米处。 ‹#› 探究点2：负数 × 负数 情境思考：时间倒流的水位变化 水位每小时下降2厘米（记为 -2 厘米/时），如果问3小时前（记为 -3 小时）的水位相对于现在是怎样的？这就需要计算： (-2) × (-3) = ? 寻找规律：积的变化密码 当第一个因数不变，第二个因数每次减少1时，积会发生什么变化？让我们通过列举法来揭开谜底！ ① 已知规律：(-2)×3 = -6 → (-2)×2 = -4 → (-2)×1 = -2 → (-2)×0 = 0 💡 发现：第二个因数每减 1，积就加 2 ② 继续推导：(-2)×(-1) = 0 + 2 = 2 → (-2)×(-2) = 2 + 2 = 4 →(-2)×(-3) = 4 + 2 = 6 🔑 结论：负数 × 负数 = 正数（负负得正） 🎉 所以，水位在3小时前比现在高了 6 厘米！ 1.7.2013 我们已经会算负数乘正数了，那负数乘负数呢？比如(-2) × (-3)等于多少？我们来看一个有趣的规律。当-2分别乘以3, 2, 1, 0时，积分别是-6, -4, -2, 0。大家发现了吗？当第二个因数每次减少1，积就增加2。那么按照这个规律，-2乘以-1应该是多少？对，是2！那-2乘以-2呢？是4！-2乘以-3呢？就是6！所以，(-2) × (-3) = 6。 ‹#› 新知探究 探究点1 乘法法则 法则精要 有理数乘法法则 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 2. 任何数与 0 相乘，积仍为 0。 课堂讨论： （1）若 a < 0，b > 0，则 ab ______ 0 ； （2）若 a < 0，b < 0，则 ab ______ 0 ； （3）若 ab > 0，则 a、b 的符号需满足什么条件？ （4）若 ab < 0，则 a、b 的符号需满足什么条件？ < > a、b 同号 a、b 异号 1.7.2013 综合我们刚才的探索，我们可以总结出有理数乘法的终极法则了！大家跟我一起念：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。为了方便记忆，我们还有一个口诀：两数相乘，同号正，异号负。绝对值，乘起来。遇到零，直接得零不用猜！大家记住了吗？ ‹#› 典例分析 探究点1 乘法法则 例1 . 计算下列各式： (1) (-3) × 9 (2) 8 × (-1) (3) (-1/2) × (-2) 💡 解题口诀：先定符号（看正负），再算绝对值（数值相乘）。 解： 异号两数相乘得负，再算绝对值：3 × 9 = 27，故结果为-27 异号两数相乘得负，再算绝对值：8 × 1 = 8，故结果为-8 同号两数相乘得正，再算绝对值：(1/2) × 2 = 1，故结果为1 核心法则回顾： ① 两数相乘，同号得正，异号得负； ② 任何数与0相乘，积仍为0； ③ 乘积的绝对值等于各乘数绝对值的乘积。 1.7.2013 光说不练假把式，我们来看几个例子。第一题，(-3) × 9。一个负数一个正数，异号得负，然后绝对值相乘，3乘9等于27，所以结果是-27。第二题，8 × (-1)，同样异号得负，结果是-8。第三题，(-1/2) × (-2)，两个负数，同号得正，绝对值相乘，1/2乘2等于1，所以结果是1。大家都做对了吗？ ‹#› 典例分析 探究点2 特殊法则 例2 .计算： (-7) × 0 = ? 💡 核心法则提示： 任何数与 0 相乘，结果为 0 解: (-7) × 0 = 0 根据有理数乘法的特殊规定，0 作为乘数时，无论另一个数是正数、负数还是 0，乘积始终为 0。 注：此法则是数学运算中的基础公理，无需复杂推导。 随堂小练：快速口算 ① 0 × 100 = 0 ② (-2026) × 0 = 0 ③ 0 × 0 = 0 总结结论： 在乘法算式中，只要有一个因数是 0，最终的计算结果就一定是 0。这是快速判断计算结果的“秒杀”技巧！ 1.7.2013 来看一个更简单的例子：(-7) × 0。还记得我们的法则吗？任何数同0相乘，都得0。所以结果就是0。不管这个数有多大，是正数还是负数，只要乘以0，结果都是0。比如0乘以100，-2026乘以0，结果都是0。记住这个结论，可以帮我们快速解题。 ‹#› 思考•交流 从两个数相乘到多个数相乘，符号如何确定？ 挑战升级 多有理数相乘 议一议 观察下列算式，积的符号与负因数个数有何关系？ 计算并思考：负因数的个数如何影响结果的符号？ ① (-1)×(-2)×(-3) = -6 （3个负因数，结果为负） ② (-1)×(-2)×(-3)×(-4) = 24 （4个负因数，结果为正） ③ (-1)×(-2)×...×(-5) = -120 （5个负因数，结果为负） 01.定符号：由负因数的个数决定 ➢负因数个数为偶数 → 积为正数 ➢负因数个数为奇数 → 积为负数 特别注意：只要有一个因数为 0，积就直接为0 1.7.2013 我们已经会两个数相乘了，如果是三个、四个甚至更多的数相乘呢？我们来看几个例子。3个负数相乘，结果是负数。4个负数相乘，结果是正数。5个负数相乘，结果又是负数。大家发现规律了吗？对！几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。负因数个数是偶数，积就是正数；负因数个数是奇数，积就是负数。当然，如果有一个因数是0，结果就直接是0了。 ‹#› 典例分析 例 3 乘法特例 计算：(-1) × (-2) × (-3) × (-4) × 0 × (-5) 💡 思路分析 观察算式中的因数，发现存在特殊数字0。根据有理数乘法法则：几个数相乘，只要其中有一个因数为 0，积就为 0。 因此，无需逐一计算或判断负因数的个数，可直接得出结论。 最终结果：(-1)×(-2)×(-3)×(-4)×0×(-5) = 0 ★ 解题锦囊 在进行多个有理数连乘运算时，养成“先找0”的习惯： 1. 快速扫描所有因数，若发现有 0，直接得积为 0； 2. 若无 0，再去判断负因数的个数，确定积的符号，最后计算绝对值的积。 技巧总结：见0得0，秒出答案！这是提高解题速度的关键捷径，尤其在面对长串数字连乘时非常有效。 1.7.2013 来看一个例子，计算这一长串数字的乘积。里面有好几个负数，是不是要数负因数的个数？先别急！大家仔细看看，这串数字里有没有一个特殊的数？对啦，有一个0！根据我们刚学的规律，只要有一个因数是0，积就为0。所以这道题的结果直接就是0！是不是很简单？以后遇到这种题，先看看有没有0，可以节省很多时间。 ‹#› 老朋友新用法：乘法运算律 1 2 3 乘法交换律 定义：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。 字母表示：a × b = b × a 乘法结合律 定义：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 字母表示：(a × b) × c = a × (b × c) 乘法分配律 定义：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。 字母表示：a × (b + c) = a × b + a × c 1.7.2013 在小学，我们学过乘法有三个非常重要的运算律，它们在有理数范围内还适用吗？我们来回忆一下。乘法交换律，a乘b等于b乘a；乘法结合律，(a乘b)乘c等于a乘(b乘c)；还有乘法分配律，a乘以(b+c)等于a乘b加上a乘c。这些老朋友在有理数世界里依然成立吗？我们来验证一下。 ‹#› 尝试•思考 探究点1 运算律的魔力 议一议 小学学过的乘法交换律、结合律、分配律，在有理数的乘法中还适用吗？ 让我们通过具体的计算来验证一下吧！ 核心目标 通过代入具体的有理数进行计算，对比结果是否一致，从而验证运算律。 01 验证乘法交换律 (-2) × 3 = -6 3 × (-2) = -6 结论：a×b = b×a，成立！ 02 验证乘法结合律 [(-2)×3]×(-4) = (-6)×(-4) = 24 (-2)×[3×(-4)] = (-2)×(-12) = 24 结论：(a×b)×c = a×(b×c)，成立！ 03 验证乘法分配律 (-2)×[3+(-4)] = (-2)×(-1) = 2 (-2)×3 + (-2)×(-4) = -6 + 8 = 2 结论：a×(b+c)=a×b+a×c，成立！ 最终结论：小学学过的乘法交换律、结合律和分配律，在有理数范围内仍然成立！利用这些运算律可以简化有理数的乘法运算，让计算更高效。 1.7.2013 我们来动手验证一下。首先是交换律，(-2) × 3等于-6，3 × (-2)也等于-6，相等！交换律成立。接着是结合律，我们分组计算，结果都是24，也相等！结合律成立。最后是分配律，我们分开计算，结果都是2，还是相等！所以，乘法的交换律、结合律、分配律在有理数范围内同样适用！它们可以帮助我们简化计算！ ‹#› 典例分析 例 4 简便计算 计算：(-10) × (-1/3) × (-0.1) × 6 01 凑整结合 (交换律+结合律) 将容易计算的数配对结合： [(-10) × (-0.1)] × [(-1/3) × 6] 02 分别计算每组结果 (-10) × (-0.1) = 1 (-1/3) × 6 = -2 03 最终相乘得出答案 将两组结果相乘：1 × (-2) = -2 ➡ 最终结果：-2 💡 核心思路：凑整简化 如果从左到右硬算，会涉及大量的分数和小数运算，计算量大且容易出错。利用乘法交换律和结合律，将互为“凑整”的数优先计算，能极大降低运算难度。 🌟 技巧锦囊 观察数字特征是关键： 1. 寻找乘积为整数的数对； 2. 注意负号的个数，确定结果的符号； 3. 小数与分数灵活互化。 1.7.2013 来看一个简便计算的例子。这道题如果硬算会很麻烦。我们观察一下数字，-10和-0.1相乘是不是很容易？-1/3和6相乘是不是也很容易？我们可以运用乘法交换律和结合律，把它们两两结合。-10乘以-0.1等于1，-1/3乘以6等于-2。最后再把1和-2相乘，得到结果-2。是不是简单多了？这就是运算律的魔力！ ‹#› 典例分析 例 5 分配律 计算：(-48) × (1/3 - 1/4 + 1/12) 🔍 解题过程：巧用分配律 常规方法需通分，计算繁琐。利用乘法分配律将 -48 分别乘入括号内： 原式 = (-48)×(1/3) + (-48)×(-1/4) + (-48)×(1/12) = -16 + 12 - 4 = -8 💡 结论：最终结果为 -8，运算效率大幅提升！ 📚 方法点睛 当一个数乘以几个数的和（或差）时，如果这个数与括号内的分数可以约分，优先使用乘法分配律，避免复杂的通分计算，减少出错概率。 ⚠️ 避坑指南（重点） 1.切勿漏乘：分配律要覆盖括号内的每一项，不要只乘第一项漏掉后面的。 2.符号陷阱：注意负因数与括号内各项相乘时的符号变化（负负得正）。 3.先定号后算值：先确定每一步的符号，再计算绝对值的加减。 1.7.2013 再来看一个分配律的应用。这道题如果先算括号里的，需要通分，很麻烦。我们可以使用乘法分配律，把-48分别乘以括号里的每一项。-48乘以1/3等于-16，-48乘以-1/4等于+12，-48乘以1/12等于-4。最后把结果相加，-16加12减4，等于-8。大家注意，分配律一定要分配给括号里的每一项，符号千万不要搞错！ ‹#› 新知探究 新的挑战：有理数的除法——从乘法逆运算出发 回顾：除法是乘法的逆运算 例：12 ÷ 3 = 4 ⇔ 4×3=12 核心：已知积与因数，求另一因数 运算本质 思考：(-12) ÷ 3 = ? 逆向：？×3=-12 ∵ (-4)×3=-12 ∴ 结果是 -4 探究一：负数除以正数，结果是？ 探究二：负数除以负数，结果是？ 再思：(-12)÷(-3)=? 逆向：？×(-3)=-12 ∵4×(-3)=-12 ∴结果是 4 观察结果，有何规律？ 发现：符号规律初现！ 1.7.2013 好了，乘法我们已经完全掌握了！现在，我们来攻克它的“兄弟”——除法。大家还记得吗？除法是乘法的逆运算。比如12除以3，就是想哪个数乘以3等于12。这个关系在有理数世界里还成立吗？我们来试试。(-12) ÷ 3等于多少？我们想，哪个数乘以3等于-12？对，是-4。那(-12) ÷ (-3)呢？就是想哪个数乘以-3等于-12？是4。我们好像发现了除法法则的影子！ ‹#› 新知探究 探究点1 倒数 议一议 思考：2 × 1/2 等于多少？-3 × (-1/3) 等于多少？ 观察：乘积为1的两个数之间有什么关系？ 核心：乘积为1，互为倒数 定义：乘积是 1 的两个数互为倒数。比如 2 和 1/2 互为倒数，-3 和 -1/3 互为倒数。 概念解析 (1) 特殊情况：0 没有倒数（因为任何数×0=0≠1）。 (2) 求法技巧：分数直接颠倒分子分母；整数看成分母为1的分数；小数先化分数再颠倒。 (3) 符号规律：正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，符号始终保持一致。 重点： 1.7.2013 在学习除法法则之前，我们先来认识一位新朋友——倒数。什么是倒数呢？很简单，乘积是1的两个数就互为倒数。比如2的倒数是1/2，-3的倒数是-1/3。那大家思考一下，0有倒数吗？任何数乘以0都得0，不可能等于1，所以0没有倒数。求一个数的倒数也很简单，分数就颠倒分子分母，整数就把它看成分母是1的分数再颠倒，小数就先化成分数再颠倒。 ‹#› 新知探究 探究点1 除法法则 法则解析 有理数除法法则（一） 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。 字母表示：a ÷ b = a × (1/b) (b ≠ 0) 举例验证： ① 12 ÷ 3 = 12 × (1/3) = 4 ② (-12) ÷ 3 = (-12) × (1/3) = -4 ③ (-12) ÷ (-3) = (-12) × (-1/3) = 4 ★ 核心价值：把陌生的除法转化为熟悉的乘法！ 化未知为已知 运算更简单！ 1.7.2013 认识了倒数之后，我们就可以学习有理数除法的核心法则了！大家一定要记住：除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数。这个法则太重要了！它把我们不熟悉的除法，变成了我们刚刚熟练掌握的乘法！比如12除以3，就等于12乘以1/3，等于4。同样，(-12)除以3，就等于(-12)乘以1/3，等于-4。是不是很简单？ ‹#› 新知探究 探究点1 除法法则 法则悟 有理数除法法则（二） 1. 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 2. 0除以任何一个不等于0的数，都得0；注意：0不能作除数！ 课堂讨论： （1）若 a＜0，b＞0，则 a ÷ b ____ 0； （2）若 a＜0，b＜0，则 a ÷ b ____ 0； （3）若 a ÷ b ＞ 0，则 a、b 应满足什么条件？ （4）若 a ÷ b ＜ 0，则 a、b 应满足什么条件？ ＜ ＞ a、b 同号 a、b 异号 1.7.2013 既然除法可以转化为乘法，那么乘法的符号法则同样适用于除法。我们可以直接得到除法的法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。同时要记住，0除以任何一个不等于0的数，都得0。但是，0绝对不能作除数！我们也有一个口诀：两数相除，同号正，异号负。绝对值，相除啦。零除以数还是零，零当除数可不行！ ‹#› 典例分析 例 6 除法法则 例6 计算下列各式： (1) (-18) ÷ 6 (2) (-63) ÷ (-7) (3) 0 ÷ (-100) 解： 异号两数相除得负，绝对值相除：18 ÷ 6 = 3，故结果为-3。 同号两数相除得正，绝对值相除：63 ÷ 7 = 9，故结果为9。 根据法则，0除以任何不为0的数结果都为0，故结果为0。 核心法则总结： 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何不等于0的数都得0。 1.7.2013 我们来看几个除法的例子。第一题，(-18) ÷ 6。一个负数一个正数，异号得负，绝对值相除18除以6等于3，所以结果是-3。第二题，(-63) ÷ (-7)。两个负数，同号得正，绝对值相除63除以7等于9，所以结果是9。第三题，0 ÷ (-100)。根据法则，0除以任何不为0的数都得0，所以结果是0。 ‹#› 典例分析 例 7 计算 计算：(-12/25) ÷ (-3/5) 01. 变除为乘（核心转化） 除以一个数 = 乘它的倒数：(-12/25) × (-5/3) 02. 确定符号（法则应用） 两数相除，同号得正：结果符号为“+” 03. 约分计算（化简求值） 约去公因数：(12÷3)/(25÷5) × (5÷5)/(3÷3) = 4/5 × 1 = 4/5 ∴ 最终结果：4/5 ⚡ 核心法则 除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。即 a ÷ b = a × (1/b) (b≠0) 📐 符号判定 两数相除，同号得正，异号得负。先定符号，再计算绝对值，可避免符号错误。 💡 避坑指南 1. 切勿忘记：除数不能为0； 2. 注意：带分数需先化为假分数，小数需先化为分数，再进行倒数转化与约分。 1.7.2013 来看一个分数除法的例子。(-12/25) ÷ (-3/5)。第一步，变除为乘，乘以除数的倒数，也就是乘以-5/3。第二步，定符号，两个负数相乘，同号得正。第三步，绝对值相乘，12/25乘以5/3。我们可以先约分，12和3约掉3，25和5约掉5，最后得到4/5。所以结果就是4/5。 ‹#› 知识回顾 0的“特权”与“禁忌” 0的特权：运算中的特殊礼遇 1. 乘法：任何数 × 0 = 0 2. 除法：0 ÷ 非0数 = 0 —— 规则简单，适用广泛 为什么数学界禁止“0作除数”？ ⚠️ 绝对禁忌：0 不能做除数！ 推导：若 5 ÷ 0 = x，则 x × 0 = 5 矛盾：任何数×0=0，无法等于5 结论：无意义！ 牢记：运算红线不可碰！ 1.7.2013 在有理数的乘除运算中，0是一个非常特殊的数字。它有两个特权：任何数乘以0都得0，0除以任何不为0的数也得0。但它也有一个绝对的禁忌：0绝对不能作为除数！为什么呢？因为除法是乘法的逆运算，如果5除以0，就是要找一个数乘以0等于5，这是不可能的。所以，0作除数没有意义！ ‹#› 乘除混合运算的规则 1 2 3 规则一：从左到右运算 在没有括号的乘除混合算式中，遵循“从左到右”的基本顺序依次计算，这是运算的基础准则，确保计算步骤的规范性。 规则二：统一化除为乘 将算式中的除法全部转化为乘法（即乘以除数的倒数），把混合运算转化为纯乘法算式，为运用运算律创造条件。 核心技巧：凑整简便计算 推荐优先使用“化除为乘”法，利用乘法交换律和结合律调整数字顺序，将能凑成整数、整十整百的数先计算，简化运算过程。 1.7.2013 当一个算式里既有乘法又有除法时，我们应该先算什么呢？有两种方法。第一种是从左到右依次运算。第二种是把所有的除法都转化为乘法，然后利用乘法运算律来简便计算。我更推荐第二种方法，因为它可以让我们自由调整计算顺序，方便凑整，使计算更简单。 ‹#› 典例分析 例 8 乘除混合 计算：(-24) ÷ (-2) × (-5) 01 方法一：从左到右（同级运算） ① 先算除法：(-24) ÷ (-2) = 12 ② 再算乘法：12 × (-5) = -60 ➡️ 最终结果：-60 💡 运算核心：乘除属于同级运算，必须严格遵循“从左到右”的顺序依次计算，不可随意结合后两项先算。 02 方法二：化除为乘（倒数法） ① 变形：(-24) × (-1/2) × (-5) ② 定号：3个负因数（奇负）→ 结果为负 ③ 求值：24 × 1/2 × 5 = 60 ➡️ 最终结果：-60 ⚠️ 避坑指南：化除为乘时，务必确认除数不为0；多个数相乘除时，先根据负因数个数定符号（奇负偶正），再计算绝对值的乘积，可减少错误。 1.7.2013 来看一个乘除混合运算的例子。我们用两种方法来解。方法一，从左到右算，-24除以-2等于12，12再乘以-5等于-60。方法二，化除为乘，把除以-2变成乘以-1/2。式子变成(-24) × (-1/2) × (-5)。然后我们看符号，三个负数相乘，结果为负。再算绝对值，24乘以1/2乘以5等于60。最后结合符号，结果是-60。两种方法都可以。 ‹#› 典例分析 探究点9 乘除 例9：计算 (-2/3) × (-8/5) ÷ (-0.25) 01. 统一形式：将小数化为分数，-0.25 = -1/4， 原式转化为：(-2/3) × (-8/5) ÷ (-1/4) 02. 化除为乘：除以一个数等于乘它的倒数， 式子变为：(-2/3) × (-8/5) × (-4) 03. 判定符号：三个负数相乘，负因数个数为奇数， 根据“奇负偶正”，结果符号为负号。 04. 计算结果：绝对值相乘：2/3 × 8/5 × 4 = 64/15， 结合符号，最终结果为：-64/15。 🔑 运算核心口诀 “小数化分，除变乘倒；先定符号，再算数值；奇负偶正，结果自明。” ⚠ 易错点警示 1. 切勿直接忽略负号进行计算； 2. 注意小数与分数的正确转换； 3. 化除为乘时，务必乘以“除数”的倒数。 💡 方法总结：有理数乘除混合运算，本质是转化为乘法运算。第一步永远是“定符号”，这是得分的关键；第二步再进行绝对值的乘除运算，能约分的先约分，简化计算。 1.7.2013 再来看一个更复杂的例子，里面有小数和分数。我们首先要做的就是统一形式，把小数-0.25化成分数-1/4。然后，化除为乘，除以-1/4就是乘以-4。式子变成三个负数相乘。我们先定符号，三个负数，结果为负。再算绝对值，2/3乘以8/5乘以4，等于64/15。最后结合符号，结果就是-64/15。 ‹#› 课堂小结 核心 法则 01 有理数乘法：同号得正，异号得负，绝对值相乘；多个数相乘时，负因数个数定符号，有0则积为0。乘法交换律、结合律、分配律均适用。 02 有理数除法：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数；符号法则与乘法一致。注意：0没有倒数，也不能作为除数。 03 乘除混合运算：先将除法转化为乘法，再根据负因数的个数确定积的符号，最后计算绝对值的乘积；无括号时按“从左到右”的顺序依次计算。 1.7.2013 好了，一节课下来，我们来总结一下今天都学到了什么。我们学习了有理数的乘法法则和多个数相乘的规律，还知道了乘法的三个运算律依然适用。接着，我们认识了倒数，并学习了有理数的除法法则，知道了除法可以转化为乘法。最后，我们还学习了乘除混合运算的顺序。大家都掌握了吗？ ‹#› 巩固练习 1.计算： 1. (-5) × (-7) 2. (-4) × 8 3. 0 × (-10) 4. (-36) ÷ 9 5. (-12) ÷ (-4) 6. 0 ÷ (-1/2) 解：原式 = 35 解：原式 = -32 解：原式 = 0 7. (-3/4) × (-8/9) 8. (2/3) ÷ (-4/5) 解：原式 = -4 解：原式 = 3 解：原式 = 0 解：7. 原式=2/3 8. 原式=-5/6 课后练习（一）基础巩固 1.7.2013 接下来是课后练习时间，我们先来做一些基础巩固题。这些题目都是对我们今天所学法则的直接应用，请大家认真计算，注意符号。做完之后可以和同桌互相检查一下。 ‹#› 课后练习（二） 能力提升 · 计算 1. (-1)×(-2)×(-3)×(-4) 2. (-5)×(-3)×4×(-2) 3. -100×(3/10 - 1/2 + 1/5) 4. (-2.4)÷(3/5)×(-1/4) 5. (-81)÷(9/4)×(4/9)÷(-16) 解：原式= 24（负因数偶数个，结果为正） 解：原式= -120（负因数奇数个，结果为负） 解：原式= -10（乘法分配律简便运算） 解：原式= 1 化除为乘：(-2.4)×(5/3)×(-1/4) = (24/10×5/3)×1/4 = 4×1/4 = 1 解：原式= 1 连除变连乘约分：81×(4/9)×(4/9)×(1/16) = (81×16/81)×(1/16) = 1 有理数混合运算专项 1.7.2013 基础题大家都掌握了，我们来挑战一些能力提升题。这些题目需要大家灵活运用我们今天学的运算律和混合运算规则，特别是简便计算的技巧。大家仔细观察数字特点，看看能不能找到更巧妙的方法。 ‹#› 课后练习（三） 1. 若 a、b 互为倒数，c、d 互为相反数，求 2c + 2d - 3ab 的值。 解：∵ a、b互为倒数，∴ ab = 1； ∵ c、d互为相反数，∴ c + d = 0。 代入得：2(c+d) - 3ab = 2×0 - 3×1 = -3。 答：该代数式的值为 -3。 2. 已知 |x| = 4，|y| = 1/2，且 xy < 0，求 x ÷ y 的值。 思路分析：根据绝对值的定义，x 可取 4 或 -4，y 可取 1/2 或 -1/2； 由 xy < 0 可知 x 与 y 异号（一正一负），因此需分两种情况讨论计算，最终结果一致。 解：① 当 x=4，y=-1/2 时，x÷y = 4 ÷ (-1/2) = -8； ② 当 x=-4，y=1/2 时，x÷y = -4 ÷ (1/2) = -8。 综上，x ÷ y 的值为 -8。 1.7.2013 最后，我们来看两道思维拓展题。这两道题不仅考察计算能力，更考察大家对倒数、相反数、绝对值这些概念的理解。大家要仔细审题，把题目中的文字信息转化为数学条件，然后再进行计算。 ‹#› 练习参考答案 有理数运算 参考答案 三、解答题 01 解析：∵a、b互为倒数，∴ab=1；∵c、d互为相反数，∴c+d=0。 代入式子：2c+2d-3ab = 2(c+d) - 3ab = 2×0 - 3×1 = -3。 01基础计算 三、解答题 02 解析：∵|x|=4，∴x=±4；∵|y|=1/2，∴y=±1/2。 又∵xy<0（异号），故x÷y = -8。 1. 35 2. -32 3. 0 4. -4 5. 3 6. 0 7. 2/3 8. -5/6 二、混合运算结果：1. 24 2. -120 3. -10 4. 1 5. 1 1.7.2013 大家都做完了吗？现在我们来公布答案。请大家对照一下自己的答案，看看哪里出错了。对于做错的题目，一定要仔细分析错误原因，是法则记错了，还是计算粗心了。特别是最后两道解答题，要理解解题的思路。 ‹#› 感谢聆听！ 数学的世界充满了规律和乐趣，今天我们一起探索了有理数乘除运算的奥秘。希望同学们课后多多练习，在不断的实践中熟练掌握运算技巧，发现更多数学之美！ 1.7.2013 今天的课就到这里！数学的世界充满了规律和乐趣，今天我们学习的有理数乘除运算只是其中的一小部分。希望同学们课后多多练习，熟练掌握今天所学的知识。下课！ ‹#› $