第七章 相交线与平行线 暑假专题突破 2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 以相交线与平行线核心概念为纲，通过分级题型构建"概念辨析-定理应用-综合迁移"的解题方法体系，强化逻辑推理与几何直观。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |相交线与垂线|选择1-6、填空16-19|对顶角/邻补角性质、垂线段最短、点到直线距离定义|从相交线基本概念（对顶角、邻补角）到垂线性质，构建空间位置关系认知基础| |平行线判定与性质|选择7-14、填空20-23|同位角/内错角/同旁内角识别、平行判定与性质互推、命题真假判断|以三线八角为纽带，实现从角的关系到线平行的转化，培养推理意识| |平移与综合应用|选择15、填空24-25、解答26-30|平移性质、辅助线添加（作平行线）、角平分线与平行结合|整合平移变换与几何计算，通过多步推理解决复杂图形问题，发展空间观念与创新意识|

人教版七年级下学期《第七章 相交线与平行线》专题突破 一．选择题（共15小题） 1．若三条不重合的直线在平面内交点的个数为a，则a的最大取值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2025•翁源县校级竞赛）两相交直线所成的各角中（　　） A．必有两个锐角 B．必有一个不是钝角 C．必有一个是钝角 D．必有一个是锐角或钝角 3．（2025秋•朝阳区校级期末）下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 4．（2026•沈丘县模拟）如图，直线AB与CD相交于点O，射线OE在∠AOD内部，且OE⊥OD．若∠AOC＝55°，则∠BOE的度数为（　　） A．155° B．145° C．135° D．125° 5．（2026春•渭源县期中）为了充分利用水资源，促进农业发展，某村计划从农田的点A处挖一条水渠将不远处的河水引到农田，以便对农作物进行灌溉，现设计的三条路段AB，AC，AD如图所示，村委会选择AB路段到的河边，这样做的道理是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间，直线最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 6．（2026春•顺德区月考）如图，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别为C，D．下列说法正确的个数是（　　） ①点C到线段AB的距离为线段CD的长度； ②∠ACD+∠B＝90°； ③∠A＝∠BCD． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 7．（2025秋•公主岭市期末）如图，∠1与∠C的位置关系是（　　） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 8．（2025秋•梁溪区校级月考）下列说法：①相等的角是对顶角；②若一个棱锥有8条棱，则这个棱锥是四棱锥；③在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④两条直线被第三条直线所截，总有同旁内角互补；⑤正多边形的各个角都相等，各条边都相等．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（2025秋•长春期末）如图，下列条件不能判定AB∥CD的是（　　） A．∠1+∠4＝180° B．∠4＝∠3 C．∠3+∠5＝180° D．∠2＝∠4 10．（2025秋•赛罕区校级期末）如图，AB∥CD，直线AB与射线DE相交于点O．若∠D＝50°，则∠BOE的度数为（　　） A．40° B．50° C．130° D．140° 11．（2025秋•金水区校级期末）如图，AB∥CD，，，则∠DEB：∠DFB为（　　） A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3 12．（2025秋•于洪区期末）下列命题中，真命题是（　　） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．相等的角是对顶角 C．等角的补角相等 D．平行于同一条直线的两条直线垂直 13．下列问题用到推理的是（　　） A．根据x＝1，y＝1，得到x＝y B．观察得到四边形有四个内角 C．老师告诉我们关于金字塔的许多奥秘 D．经过两点有且只有一条直线 14．（2025春•西湖区校级单元）下列现象中是平移的是（　　） A．将一张纸对折 B．观光电梯的上下移动 C．飞碟的快速转动 D．翻开书中的每一页纸张 15．（2025秋•乐清市校级期中）如图，点C，D在线段AQ上，射线DP⊥CQ，连结PC，PQ，将△PCQ沿着QC边向左平移得△BAC，记AB的长为m，CB的长为n．若AC＝4，AD＝5，则在点P的运动过程中，下列代数式的值不变的是（　　） A．mn B．m﹣n C．m2+n2 D．m2﹣n2 二．填空题（共10小题） 16．两条直线相交，最多有　 　 个交点； 三条直线相交，最多有　 　 个交点； n条直线相交，最多有　 　 个交点． 17．（2025秋•建邺区期末）如图，直线AB、CD交于点O，OE平分∠AOD，若∠1＝36°，则∠COE＝　 　 ． 18．（2025秋•长春期末）如图，A、O、B三点依次在同一直线上，且OC平分∠BOD，OE平分∠AOD．给出下面四个结论： ①OE⊥OC； ②∠BOE与∠EOD互补； ③∠AOD+∠BOE﹣∠DOE＝90°； ④∠AOC﹣∠BOC＝2∠DOE． 上述结论中，正确结论的序号有　 　 ． 19．（2025•夹江县模拟）如图，AB⊥l1于点B，AC⊥l2于点A，已知BC＝5，AC＝13，则点A到直线l1的距离是　 　 ． 20．（2026春•同步）（1）如图，∠1和∠B是直线　 　 和　 　 被直线　 　 所截得的　 　 角； （2）∠2和∠A是直线　 　 和　 　 被直线　 　 所截得的　 　 角； （3）∠B和∠ACB是直线　 　 和　 　 被直线　 　 所截得的　 　 角． 21．（2025秋•辽中区期末）现有直线AB和直线外一点C，如图是小明同学利用“过直线外一点作已知直线的平行线”的作图痕迹，请问该同学这样作平行线依据的判定定理是：　 　 ． 22．（2025秋•长春期末）如图，AB∥CD，点E在CD上，BC平分∠ABE．若∠BED＝70°，则∠ABC的大小为　 　 度． 23．（2025秋•长春期末）如图，直线l1∥l2∥l3，点A在直线l1上，点B、点C在直线l3上，AB交直线l2于点E，ED平分∠AEF交l1于点D，CD交直线l2于点F．给出下列结论：①∠ABC+∠BAD＝180°；②∠DFE＝2∠BCE；③∠ABC＝2∠ADE；④若DE⊥EC，则EC平分∠FEB．其中正确的是　 　 ． 24．（2025秋•宝安区校级月考）说明命题“a2是正数”是假命题，你的反例是　 　 ． 25．（2025秋•高新区校级期中）某密码锁的密码是一个三位数，小致说：“它是694．”小萌说：“它是524．”小莉说：“它是573．”最后由小颖揭秘说：“你们每人都只猜对了不同数位的一个数字．”则这个密码锁的密码是　 　 ． 三．解答题（共5小题） 26．（2025秋•南京月考）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC＝70°． （1）∠EOB的度数为　 　 °； （2）若∠EOF＝90°，则OF是否平分∠COB？并说明理由． 27．（2025秋•长春期末）如图，直线AB、CD交于点O，OF平分∠BOD，OE⊥CD，∠AOE＝40°，求∠BOF的度数． 阅读下面的解答过程并填空（理由或数学式）． 解：∵OE⊥CD（　 　 ）， ∴∠EOC＝　 　 °． ∵∠AOE+∠AOC＝∠　 　 ，∠AOE＝40°， ∴∠AOC＝∠EOC﹣∠　 　 ＝90°﹣40° ＝50°． ∵直线AB、CD交于点O（已知）， ∴∠BOD＝∠AOC＝50°（　 　 ）． ∵OF平分∠BOD（已知）， ∴∠　 　 （角平分线定义）． 即　 　 °． 28．（2025秋•四川校级期中）如图，在港口A的正东方向3海里处有一艘搜救艇B，正南方向4海里处有一艘搜救艇D，东偏南方向有一艘轮船C． （1）若搜救艇B与轮船C之间的距离为12海里，搜救艇D与轮船C之间的距离为13海里，求搜救艇D到直线BC的距离； （2）当轮船C航行到搜救艇D的正东方向时，恰好在搜救艇B的东南方向．此时，轮船由于机械故障无法前行，只好请求救援．若两艘搜救艇的速度一样，则救援指挥部应派遣哪艘搜救艇前往救援才能更快到达轮船出事点？ 29．（2025秋•新民市期末）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点（不与端点重合），CD与EF相交于点G，连接DE．若∠CGE＝∠B+∠BCD，∠B＝∠DEF．求证：DE∥BC． 30．（2025秋•长春期末）已知AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点M在AB、CD之间，连接ME、MF，∠EMF＝α． （1）如图①，若α＝80°，求∠BEM+∠DFM的度数； （2）如图②，N是AB上方一点，连接NE、NF，NF与ME交于点G，∠MEB∠MEN，∠MFN∠DFN，∠DFM＝40°，求∠ENF的度数（结果用含α的代数式表示）； （3）如图③，N是CD下方一点，连接NE、NF，EN平分∠AEM，延长MF交EN于点G，若∠CFG∠CFN，2∠ENF+∠EMF＝110°，直接写出∠DFM的度数． 参考答案与试题解析 一．选择题（共15小题） 1．若三条不重合的直线在平面内交点的个数为a，则a的最大取值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【分析】交点最多就是三条直线不交于同一点的情况． 【解答】解： a的最大取值为3， 故选：A． 【点评】本题考查了直线与直线的交点问题，n条直线最多的交点个数是． 2．（2025•翁源县校级竞赛）两相交直线所成的各角中（　　） A．必有两个锐角 B．必有一个不是钝角 C．必有一个是钝角 D．必有一个是锐角或钝角 【分析】本题涉及相交线知识考点，要注意垂直是相交的一种特殊情形． 【解答】解：当两条直线互相垂直时所成的角都是直角，所以A、C、D都不对． 因为两条直线所成的四个角的和是360°，如果都是钝角，那么四个角的和就会大于360°， 故选：B． 【点评】本题的关键是注意垂直相交，可以用排除法解决． 3．（2025秋•朝阳区校级期末）下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据对顶角的概念解答即可． 【解答】解：A、∠1与∠2不是对顶角，不符合题意； B、∠1与∠2不是对顶角，不符合题意； C、∠1与∠2不是对顶角，不符合题意； D、∠1与∠2是对顶角，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了对顶角、邻补角，掌握对顶角、邻补角的概念是关键． 4．（2026•沈丘县模拟）如图，直线AB与CD相交于点O，射线OE在∠AOD内部，且OE⊥OD．若∠AOC＝55°，则∠BOE的度数为（　　） A．155° B．145° C．135° D．125° 【分析】由对顶角性质得∠BOD＝∠AOC＝55°，再由OE⊥OD得∠EOD＝90°，然后根据“∠BOE＝∠EOD+∠BOD”即可得出∠BOE的度数． 【解答】解：∵直线AB与CD相交于点O，∠AOC＝55°， ∴∠BOD＝∠AOC＝55°， ∵射线OE在∠AOD内部，且OE⊥OD， ∴∠EOD＝90°， ∴∠BOE＝∠EOD+∠BOD＝90°+55°＝145°， ∴∠BOE的度数为145°． 故选：B． 【点评】此题主要考查了对顶角的性质，垂线的定义，角的计算，理解垂线的定义，熟练掌握对顶角的性质，角的计算是解决问题的关键． 5．（2026春•渭源县期中）为了充分利用水资源，促进农业发展，某村计划从农田的点A处挖一条水渠将不远处的河水引到农田，以便对农作物进行灌溉，现设计的三条路段AB，AC，AD如图所示，村委会选择AB路段到的河边，这样做的道理是（　　） A．垂线段最短 B．两点之间，直线最短 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 【分析】根据垂线段最短即可求解． 【解答】解：这样做的道理是垂线段最短． 故选：A． 【点评】本题考查了垂线段最短，关键是熟悉垂线段最短的知识点． 6．（2026春•顺德区月考）如图，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分别为C，D．下列说法正确的个数是（　　） ①点C到线段AB的距离为线段CD的长度； ②∠ACD+∠B＝90°； ③∠A＝∠BCD． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】①根据点到直线的距离的定义，结合已知条件进行判断即可；②③均根据已知条件，直角三角形的性质和余角的性质进行解答即可． 【解答】解：①∵点到直线的距离就是这个点到这条直线的垂线段的长度，CD⊥AB， ∴点C到线段AB的距离为线段CD的长度， 故①说法正确，符合题意； ②由条件可知∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°， ∴∠BCD+∠B＝90°， ∴∠ACD＝∠B，∠ACD+∠B≠90°， 故②说法错误，不符合题意； ③∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝90°， 由条件可知∠ADC＝90°， ∴∠ACD+∠A＝90°， ∴∠A＝∠BCD， 故③说法正确，符合题意； 综上可知，说法正确的是①③，共2个， 故选：C． 【点评】本题主要考查了点到直线的距离，余角的性质．熟练掌握以上知识点是关键． 7．（2025秋•公主岭市期末）如图，∠1与∠C的位置关系是（　　） A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义进行判断即可． 【解答】解：∠1与∠C是直线AC、直线AD被直线BC所截的同位角， 故选：A． 【点评】本题考查同位角、内错角、同旁内角，掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是正确解答的关键． 8．（2025秋•梁溪区校级月考）下列说法：①相等的角是对顶角；②若一个棱锥有8条棱，则这个棱锥是四棱锥；③在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④两条直线被第三条直线所截，总有同旁内角互补；⑤正多边形的各个角都相等，各条边都相等．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据平行线的性质，棱锥的特征及正多边形的定义，对所给说法依次进行判断即可． 【解答】解：由题知， 因为相等的角不一定是对顶角， 所以①错误； 因为n棱锥有2n条棱， 则一个棱锥有8条棱时，这个棱锥是四棱锥， 所以②正确； 因为在同一平面内过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， 所以③错误； 因为两条平行线被第三条直线所截时，同旁内角互补， 所以④错误； 因为正多边形的各个角都相等，各条边都相等， 所以⑤正确， 故选：B． 【点评】本题主要考查了平行线公理及推理、认识立体图形、对顶角、邻补角及同位角、内错角、同旁内角，熟知平行线的性质，棱锥的特征及正多边形的定义是解题的关键． 9．（2025秋•长春期末）如图，下列条件不能判定AB∥CD的是（　　） A．∠1+∠4＝180° B．∠4＝∠3 C．∠3+∠5＝180° D．∠2＝∠4 【分析】根据平行线的判定定理逐项判定即可求解． 【解答】解：A、∵∠4+∠5＝180°，∠1+∠4＝180°， ∴∠1＝∠5，由同位角相等，两直线平行，能判定AB∥CD，不合题意； B、∠4＝∠3，由内错角相等，两直线平行，能判定AB∥CD，不合题意； C、∠3+∠5＝180°，由同旁内角互补，两直线平行，能判定AB∥CD，不合题意； D、∠2＝∠4，由对顶角相等，不能判定AB∥CD，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了平行线的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 10．（2025秋•赛罕区校级期末）如图，AB∥CD，直线AB与射线DE相交于点O．若∠D＝50°，则∠BOE的度数为（　　） A．40° B．50° C．130° D．140° 【分析】根据平行线性质求得∠BOD，再结合邻补角性质求解，即可解题． 【解答】解：∵AB∥CD，∠D＝50°， ∴∠BOD＝∠D＝50°（两直线平行，内错角相等）， ∴∠BOE＝180°﹣∠BOD＝130°（平角的定义）； 故选：C． 【点评】本题考查了平行线性质，掌握邻补角的性质是解题的关键． 11．（2025秋•金水区校级期末）如图，AB∥CD，，，则∠DEB：∠DFB为（　　） A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：3 【分析】过点F作FG∥CD，得∠DFB＝∠1+∠2，同理∠DEB＝∠CDE+∠ABE，再求出比值即可． 【解答】解：过点F作FG∥CD， ∵AB∥CD， ∴FG∥CD∥AB（平行于同一直线的两直线相互平行）， ∴∠DFG＝∠1，∠BFG＝∠2， ∴∠DFB＝∠DFG+∠BFG＝∠1+∠2， 同理可得：∠DEB＝∠CDE+∠ABE， ∵，， ∴∠1+∠2＝∠DFG+∠BFG， ∴． 则∠DEB：∠DFB为3：1， 故选：B． 【点评】本题考查平行线的判定和性质，关键是相关性质的熟练掌握． 12．（2025秋•于洪区期末）下列命题中，真命题是（　　） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．相等的角是对顶角 C．等角的补角相等 D．平行于同一条直线的两条直线垂直 【分析】根据平行线的性质、对顶角的概念、补角的定义、平行公理的推论判断． 【解答】解：A、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项命题是假命题，不符合题意； B、相等的角不一定是对顶角，故本选项命题是假命题，不符合题意； C、等角的补角相等，是真命题，符合题意； D、平行于同一条直线的两条直线平行，故本选项命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 13．下列问题用到推理的是（　　） A．根据x＝1，y＝1，得到x＝y B．观察得到四边形有四个内角 C．老师告诉我们关于金字塔的许多奥秘 D．经过两点有且只有一条直线 【分析】看个选项哪个为推理，另外三个选项为其他什么命题． 【解答】解：A、是推理，符合题意； B、观察直接得到，不是推理； C、老师告诉的，不是推理； D、过两点有且只有一条直线，是公理，不是推理， 故选：A． 【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解推理的知识，属于基础题，难度较小． 14．（2025春•西湖区校级单元）下列现象中是平移的是（　　） A．将一张纸对折 B．观光电梯的上下移动 C．飞碟的快速转动 D．翻开书中的每一页纸张 【分析】要根据平移的性质，判断是否是平移现象，平移变换不改变图形的形状、大小和方向（平移前后的两个图形是全等形）． 【解答】解：A．将一张纸对折，是轴对称，不是平移，不符合题意； B．观光电梯的上下移动，是平移，符合题意； C．飞碟的快速转动，不是沿某一直线方向移动，不属于平移，不符合题意； D．翻开书中的每一页纸张，不是沿某一直线方向移动，不属于平移，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查生活中的平移现象，关键是熟练掌握平移的概念． 15．（2025秋•乐清市校级期中）如图，点C，D在线段AQ上，射线DP⊥CQ，连结PC，PQ，将△PCQ沿着QC边向左平移得△BAC，记AB的长为m，CB的长为n．若AC＝4，AD＝5，则在点P的运动过程中，下列代数式的值不变的是（　　） A．mn B．m﹣n C．m2+n2 D．m2﹣n2 【分析】根据平移的性质进行判断即可． 【解答】解：过点B作AC的垂线，垂足为M， 由平移可知， PC＝AB＝m，AC＝CQ，BM＝PD，AM＝CD． 因为AC＝4，AD＝5， 所以CD＝5﹣4＝1． 在Rt△PCD中， PD2＝PC2﹣CD2＝m2﹣1． 因为CM＝4﹣1＝3， 则在Rt△BCM中， BM2＝BC2﹣CM2＝n2﹣9， 所以m2﹣1＝n2﹣9， 则m2﹣n2＝﹣8， 即m2﹣n2的值不变． 故选：D． 【点评】本题主要考查了平移的性质，熟知平移的性质是解题的关键． 二．填空题（共10小题） 16．两条直线相交，最多有　一　 个交点； 三条直线相交，最多有　三　 个交点； n条直线相交，最多有　　 个交点． 【分析】根据相交线的概念和一条直线与其它直线相交且不交于同一点，可得（n﹣1）个点，n条直线，可得n（n﹣1）个点，每个点算了两次，可得答案． 【解答】解：两条直线相交，最多有一个交点； 故答案为：一； 三条直线相交，最多有三个交点； 故答案为：三； n条直线相交最多有个交点， 故答案为：． 【点评】本题考查了直线、射线、线段，n条直线的交点数（n﹣1）乘以n再除以2． 17．（2025秋•建邺区期末）如图，直线AB、CD交于点O，OE平分∠AOD，若∠1＝36°，则∠COE＝　108°　 ． 【分析】根据“对顶角相等”的性质得到∠COA＝∠1，进而得到∠AOD＝180°﹣∠1，根据角平分线的性质得到，利用∠COE＝∠COA+∠AOE，进行计算求解即可． 【解答】解：根据题意可知，∠COA＝∠1＝36°， 又∵∠AOD+∠1＝180°， ∴∠AOD＝180°﹣∠1＝180°﹣36°＝144°， ∵OE平分∠AOD， ∴， ∴∠COE＝∠COA+∠AOE＝36°+72°＝108°． 故答案为：108°． 【点评】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，掌握相应的定义是关键． 18．（2025秋•长春期末）如图，A、O、B三点依次在同一直线上，且OC平分∠BOD，OE平分∠AOD．给出下面四个结论： ①OE⊥OC； ②∠BOE与∠EOD互补； ③∠AOD+∠BOE﹣∠DOE＝90°； ④∠AOC﹣∠BOC＝2∠DOE． 上述结论中，正确结论的序号有　①②④　 ． 【分析】根据角平分线的定义和平角的定义，求出∠EOC，从而判断①的正误； 根据角平分线的定义求出∠AOE＝∠EOD，再根据平角定义判断②的正误即可； 观察图形可知：∠AOD＝∠AOE+∠DOE，∠BOE＝∠BOD+∠DOE，∠AOD+∠BOD＝180°，从而求出∠AOD+∠BOE﹣∠DOE的度数，从而判断③的正误； 根据角平分线的定义证明∠AOD＝2∠DOE，∠BOC＝∠COD，然后求出∠AOC﹣∠BOC，从而判断④的正误即可． 【解答】解：∵A、O、B三点依次在同一直线上， ∴∠BOD+∠AOD＝180°， ∵OC平分∠BOD，OE平分∠AOD， ， ∴∠EOC＝∠DOE+∠COD ＝90°， ∴OE⊥OC， 故①的结论正确； ∵OE平分∠AOD， ∴∠AOE＝∠EOD， ∵∠BOE+∠AOE＝180°， ∴∠BOE+∠EOD＝180°， ∴∠BOE与∠EOD互补， 故②的结论正确； ∵∠AOD＝∠AOE+∠DOE，∠BOE＝∠BOD+∠DOE，∠AOD+∠BOD＝180°， ∴∠AOD+∠BOE﹣∠DOE ＝∠AOE+∠DOE+∠BOD+∠DOE﹣∠DOE ＝∠AOD+∠BOD ＝180°， 故③的结论错误； ∵OE平分∠AOD，OC平分∠BOD， ∴∠AOD＝2∠DOE，∠BOC＝∠COD， ∵∠AOC＝∠AOD+∠COD， ∴∠AOC＝2∠DOE+∠COD， ∴∠AOC﹣∠BOC＝2∠DOE+∠COD﹣∠COD＝2∠DOE， 故④的结论正确， 综上可知：正确结论的序号有①②④， 故答案为：①②④． 【点评】本题主要考查了角的计算，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的和差倍分关系． 19．（2025•夹江县模拟）如图，AB⊥l1于点B，AC⊥l2于点A，已知BC＝5，AC＝13，则点A到直线l1的距离是　12　 ． 【分析】根据勾股定理求出AB，根据点到直线的距离的定义解答即可． 【解答】解：根据勾股定理可得： ， ∴点A到直线l1的距离是12， 故答案为：12． 【点评】本题考查了点到直线的距离和勾股定理，熟记点到直线的距离的定义是解题的关键． 20．（2026春•同步）（1）如图，∠1和∠B是直线CE 和BA 被直线BD 所截得的　同位　 角； （2）∠2和∠A是直线CE 和BA 被直线AC 所截得的　内错　 角； （3）∠B和∠ACB是直线CA 和BA 被直线BD 所截得的　同旁内　 角． 【分析】（1）根据同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． （3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，结合图形进行分析即可进行分析即可． 【解答】解：（1）如图，∠1和∠B是直线CE和BA被直线BD所截得的同位角； 故答案为：CE，BA，BD，同位； （2）∠2和∠A是直线CE和BA被直线AC所截得的内错角； 故答案为：CE，BA，AC，内错； （3）∠B和∠ACB是直线CA和BA被直线BD所截得的同旁内角； 故答案为：CA，BA，BD，同旁内． 【点评】此题主要考查了三线八角，关键是掌握同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形． 21．（2025秋•辽中区期末）现有直线AB和直线外一点C，如图是小明同学利用“过直线外一点作已知直线的平行线”的作图痕迹，请问该同学这样作平行线依据的判定定理是：　同位角相等，两直线平行　 ． 【分析】根据所给作图痕迹，得出图中的同位角相等，据此可解决问题． 【解答】解：由所给图形可知， 该同学这样作平行线依据的判定定理是：同位角相等，两直线平行． 故答案为：同位角相等，两直线平行． 【点评】本题主要考查了平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解题的关键． 22．（2025秋•长春期末）如图，AB∥CD，点E在CD上，BC平分∠ABE．若∠BED＝70°，则∠ABC的大小为　35　 度． 【分析】根据平行线的性质进行计算即可． 【解答】解：由题知， ∵AB∥CD，∠BED＝70°， ∴∠ABE＝∠BED＝70°． ∵BC平分∠ABE， ∴∠ABC∠ABE＝35°． 故答案为：35． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 23．（2025秋•长春期末）如图，直线l1∥l2∥l3，点A在直线l1上，点B、点C在直线l3上，AB交直线l2于点E，ED平分∠AEF交l1于点D，CD交直线l2于点F．给出下列结论：①∠ABC+∠BAD＝180°；②∠DFE＝2∠BCE；③∠ABC＝2∠ADE；④若DE⊥EC，则EC平分∠FEB．其中正确的是　①③④　 ． 【分析】根据平行线的判定与性质，对所给结论依次进行判断即可． 【解答】解：因为l1∥l3， 所以∠ABC+∠BAD＝180°， 故①正确； 因为l2∥l3， 所以∠DFE＝∠BCD． 若∠DFE＝2∠BCE， 则∠BCD＝2∠BCD， 显然此等式不一定成立， 故②错误； 因为l2∥l3， 所以∠AEF＝∠ABC． 因为ED平分∠AEF， 所以∠AEF＝2∠DEF， 所以∠ABC＝2∠DEF． 又因为l1∥l2， 所以∠ADE＝∠DEF， 所以∠ABC＝2∠ADE， 故③正确； 当DE⊥EC时， ∠AED+∠BEC＝∠DEF+∠CEF＝90°， 因为∠AED＝∠DEF， 所以∠BEC＝∠CEF， 所以EC平分∠FEB， 故④正确． 故答案为：①③④． 【点评】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟知平行线的判定与性质是解题的关键． 24．（2025秋•宝安区校级月考）说明命题“a2是正数”是假命题，你的反例是　当a＝0时，a2＝0　 ． 【分析】根据a＝0时，a2＝0解答即可． 【解答】解：说明命题“a2是正数”是假命题， 当a＝0时，a2＝0， 此时a的平方不是正数， ∴命题“a2是正数”是假命题； 故答案为：当a＝0时，a2＝0． 【点评】本题考查了判定命题真假的方法，掌握举反例是说明命题为假命题的方法是解题的关键． 25．（2025秋•高新区校级期中）某密码锁的密码是一个三位数，小致说：“它是694．”小萌说：“它是524．”小莉说：“它是573．”最后由小颖揭秘说：“你们每人都只猜对了不同数位的一个数字．”则这个密码锁的密码是　623　 ． 【分析】使用排除法缩小范围进而推断出每个数位上的数字即可求解． 【解答】解：∵每人都只猜对了不同数位的一个数字，若个位是4，则小致和小萌猜对的数位相同，与题意不符， ∴个位数为3， ∵由上述可知小莉猜对的是个位数，故她猜的百位数5是错误的， ∴百位数字为6， ∴小萌猜对十位数字，即十位数字为2， ∴这个密码锁的密码是623． 故答案为：623． 【点评】本题考查了推理与论证的有关知识，考查了逻辑推理能力． 三．解答题（共5小题） 26．（2025秋•南京月考）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC＝70°． （1）∠EOB的度数为　35　 °； （2）若∠EOF＝90°，则OF是否平分∠COB？并说明理由． 【分析】（1）根据对顶角相等求出∠BOD的度数，再根据角平分线的定义即可求出∠EOB的度数； （2）根据邻补角互补求出∠BOC的度数，再根据已知条件求出∠BOF的度数，即可求出∠COF的度数，再根据角平分线的定义判断即可． 【解答】解：（1）∵∠AOC和∠BOD是对顶角，∠AOC＝70°， ∴∠BOD＝∠AOC＝70°， ∵OE平分∠BOD， ∴∠EOB35°， 故答案为：35； （2）OF是否平分∠COB，理由： ∵∠AOC＝70°， ∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝110°， ∵∠EOF＝90°， 又由（1）知∠EOB＝35°， ∴∠BOF＝∠EOF﹣∠EOB＝90°﹣35°＝55°， ∴∠COF＝∠BOC﹣∠BOF＝55°＝∠BOF， 即OF是否平分∠COB． 【点评】本题考查了对顶角、邻补角，角平分线的定义，根据图形得出角之间的关系是解题的关键． 27．（2025秋•长春期末）如图，直线AB、CD交于点O，OF平分∠BOD，OE⊥CD，∠AOE＝40°，求∠BOF的度数． 阅读下面的解答过程并填空（理由或数学式）． 解：∵OE⊥CD（　已知　 ）， ∴∠EOC＝　90　 °． ∵∠AOE+∠AOC＝∠EOC ，∠AOE＝40°， ∴∠AOC＝∠EOC﹣∠AOE ＝90°﹣40° ＝50°． ∵直线AB、CD交于点O（已知）， ∴∠BOD＝∠AOC＝50°（　对顶角相等　 ）． ∵OF平分∠BOD（已知）， ∴∠BOD （角平分线定义）． 即　25　 °． 【分析】根据垂直定义可得：∠EOC＝90°，从而可得∠AOC＝50°，然后利用对顶角相等可得∠BOD＝∠AOC＝50°，从而利用角平分线的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：∵OE⊥CD（已知）， ∴∠EOC＝90°． ∵∠AOE+∠AOC＝∠EOC，∠AOE＝40°， ∴∠AOC＝∠EOC﹣∠AOE ＝90°﹣40° ＝50°． ∵直线AB、CD交于点O（已知）， ∴∠BOD＝∠AOC＝50°（对顶角相等）． ∵OF平分∠BOD（已知）， ∴∠BOD（角平分线定义）． 即25°， 故答案为：已知；90；EOC；AOE；对顶角相等；BOD；25． 【点评】本题考查了垂线，角平分线的定义，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 28．（2025秋•四川校级期中）如图，在港口A的正东方向3海里处有一艘搜救艇B，正南方向4海里处有一艘搜救艇D，东偏南方向有一艘轮船C． （1）若搜救艇B与轮船C之间的距离为12海里，搜救艇D与轮船C之间的距离为13海里，求搜救艇D到直线BC的距离； （2）当轮船C航行到搜救艇D的正东方向时，恰好在搜救艇B的东南方向．此时，轮船由于机械故障无法前行，只好请求救援．若两艘搜救艇的速度一样，则救援指挥部应派遣哪艘搜救艇前往救援才能更快到达轮船出事点？ 【分析】（1）连接BD，依题意得AB＝3海里，AD＝4海里，BC＝12海里，DC＝13海里，∠BAD＝90°，在Rt△ABD中，由勾股定理得DB＝5海里，利用勾股定理逆定理得证明△BCD四直角三角形得∠DBC＝90°，然后再根据点到直线距离的定义即可得出答案； （2）过点C作CE⊥直线AB于点E，依题意得∠CDA＝90°，∠CBE＝45°，进而得四边形ADCE是矩形，△ACE是等腰直角三角形，根据矩形进而等腰直角三角形性质得CE＝AD＝AE＝4海里，则CD＝AE＝7海里，再由勾股定理求出BC海里，然后比较CD和BC的大小即可得出答案． 【解答】解：（1）连接BD，如图1所示： 依题意得：AB＝3海里，AD＝4海里，BC＝12海里，DC＝13海里，∠BAD＝90°， 在Rt△ABD中，由勾股定理得：DB5（海里）， 在Rt△BCD中，DB2+BC2＝52+122＝169，DC2＝132＝169， ∴DB2+BC2＝DC2， ∴△BCD是直角三角形，即∠DBC＝90°， ∴DB⊥BC， ∴搜救艇D到直线BC的距离5海里； （2）过点C作CE⊥直线AB于点E，如图2所示： ∴∠CEA＝90°， ∵点C在点D的正东方向，又恰好在搜救艇B的东南方向， ∴∠CDA＝90°，∠CBE＝45°， ∴∠CEA＝∠CDA＝∠BAD＝90°， ∴四边形ADCE是矩形， ∴CE＝AD＝4海里，CD＝AE， 在△BCE中，∠CEA＝90°，∠CBE＝45°， ∴△ACE是等腰直角三角形， ∴BE＝CE＝4海里， ∴AE＝AB+BE＝7（海里）， ∴CD＝AE＝7海里， 由勾股定理得：BC（海里）， ∵， ∴CD＞BC， 又∵两艘搜救艇的速度一样， ∴搜救艇B到轮船C所用的更短， ∴救援指挥部应派遣搜救艇B前往救援． 【点评】此题主要考查了点到直线的距离，方向角，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理，理解点到直线的距离的定义，方向角定义，熟练掌握矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，灵活利用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 29．（2025秋•新民市期末）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点（不与端点重合），CD与EF相交于点G，连接DE．若∠CGE＝∠B+∠BCD，∠B＝∠DEF．求证：DE∥BC． 【分析】根据∠CGE＝∠B+∠BCD，推出BD∥EF，得到∠EFC＝∠DEF，由此可得结论． 【解答】解：∵∠ADC是△BCD的一个外角， ∴∠ADC＝∠B+∠BCD． ∵∠CGE＝∠B+∠BCD， ∴∠ADC＝∠CGE， ∴AB∥EF， ∴∠B＝∠EFC， ∵∠B＝∠DEF， ∴∠EFC＝∠DEF， ∴DE∥BC． 【点评】此题考查了平行线的判定及性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 30．（2025秋•长春期末）已知AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点M在AB、CD之间，连接ME、MF，∠EMF＝α． （1）如图①，若α＝80°，求∠BEM+∠DFM的度数； （2）如图②，N是AB上方一点，连接NE、NF，NF与ME交于点G，∠MEB∠MEN，∠MFN∠DFN，∠DFM＝40°，求∠ENF的度数（结果用含α的代数式表示）； （3）如图③，N是CD下方一点，连接NE、NF，EN平分∠AEM，延长MF交EN于点G，若∠CFG∠CFN，2∠ENF+∠EMF＝110°，直接写出∠DFM的度数． 【分析】（1）过点M作MN∥AB，可得AB∥CD∥MN，再根据平行线的性质解答即可求解； （2）过点N作NH∥AB，可得AB∥CD∥NH，即得∠HNF＝∠DFN，∠HNE＝∠NEB，由（1）得∠BEM＝α﹣40°，再根据已知得∠NEB＝∠MEN﹣∠MEB＝2∠MEB＝2（α﹣40°），即得到∠HNF＝∠DFN＝60°，∠HNE＝∠NEB＝2（α﹣40°），再根据角的和差关系即可求解； （3）过点N作NK∥CD，可得AB∥CD∥NK，即得∠ENK＝∠AEN，∠FNK＝∠CFN，又根据角平分线的定义得，根据已知得，即得，进而得到，解之即可求解． 【解答】解：（1）如图，过点M作MN∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥MN， ∴∠DFM＝∠NMF，∠BEM＝∠NME， ∴∠BEM+∠DFM＝∠NME+∠NMF＝∠EMF＝α， ∵α＝80°， ∴∠BEM+∠DFM＝80°； （2）如图，过点N作NH∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥NH， ∴∠HNE＝∠NEB，∠HNF＝∠DFN， 由（1）知，∠BEM+∠DFM＝α， ∵∠DFM＝40°， ∴∠BEM＝α﹣40°， ∵，， ∴，∠NEB＝∠MEN﹣∠MEB＝2∠MEB＝2（α﹣40°）， ∴， ∴∠HNE＝∠NEB＝2（α﹣40°），∠HNF＝∠DFN＝60°， ∴∠ENF＝∠HNF﹣∠HNE＝60°﹣2（α﹣40°）＝140°﹣2α； （3）如图，过点N作NK∥CD， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥NK， ∴∠FNK＝∠CFN，∠ENK＝∠AEN， ∵EN平分∠AEM， ∴， ∵∠DFM＝∠CFG，， ∴， ∵∠ENF＝∠ENK﹣∠FNK， ∴， ∵2∠ENF+∠EMF＝110°，∠EMF＝∠BEM+∠DFM， ∴， ∴∠DFM＝35°． 【点评】本题考查了平行公理的推理，平行线的性质，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/7/7 11:15:29；用户：刘山山；邮箱：yq1093@xyh.com；学号：38393713 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $