暑假专项提升--平行线重点题型归纳 2026年人教版数学七升八暑假专项提升

**基本信息** 聚焦平行线核心知识，融合独库公路、潜望镜等生活与跨学科情境，通过基础辨析、动态探究、综合应用梯度设计，适配七年级暑假专项提升需求。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|9|对顶角性质、平行线判定、平移概念|概念辨析结合易错点（如“同一平面内”前提）| |填空题|7|平行线性质、折叠角度计算、命题真假判断|生活情境（影子、安全出口标志）与跨学科（光折射）| |解答题|10|角平分线与平行综合、动态平移、潜望镜模型|分层设计（如23题分初步感知/探究/延伸），强调逻辑推理与辅助线运用|

暑假专项提升--平行线重点题型归纳 2025-2026学年初中数学人教版（2024）七年级下学期 一、单选题 1．下列说法中正确的有（   ）个． ①对顶角相等；②一个锐角的补角比这个角的余角大；③两条直线的位置关系有相交和平行两种；④同角的补角相等；⑤过一点有且只有一条直线与已知直线平行． A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，下列条件中，不能判断直线的是（    ） A． B． C． D． 3．在同一平面内，有三条不重合的直线a，b，c，（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．如图，直线，点在上，连接，，且，，则（     ） A． B． C． D． 5．国家要实施“体重管理年”计划，呼吁大家积极参与运动．下列各组运动图标中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，将一块三角尺沿一条直角边所在的直线向右平移若干个单位长度到的位置．若四边形的周长为a，的周长为b，则向右平移的单位长度为（    ） A． B． C． D． 7．为构建和谐校园，营造良好的教育氛围，某学校拟在如图所示的长方形草坪上修建道路，道路的宽忽略不计，若草坪的长是，宽是，则道路的总长为（　　） A． B． C． D． 8．如图，长方形纸片沿线折叠，，两点分别与，对应，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．如图，，，则，，之间关系是（    ）． A． B． C． D． 二、填空题 10．被誉为“中国最美公路”之一的新疆的独库公路，在5月31号恢复通车．独库公路是北起克拉玛依市独山子区，南至阿克苏地区库车市，全长561公里，它纵跨天山一半路段，海拔都在两千米以上，在独库公路上行驶一天就能够穿越四季，图1是蜿蜒曲折的弯路，局部公路抽象成图2．当，，那么的理由是______． 11．如图将一副三角板按如图所示方式摆放在一组平行线内，，则的度数________． 12．在中，，点D，E分别是边两个动点．将沿折叠得到，点A的对应点为点F，的平分线交直线于点G．若边与的一条边平行，，则的度数为______． 13．光在不同介质中的传播速度不同，因此当光从水中射向空气时，会发生折射，且在水中平行的光线射向空气中后也互相平行．如图，容器水平放置，平行光线，从水中射向空气时发生折射，已知，，则________． 14．某一时刻在阳光照射下，广场上的护栏及其影子如图1所示，将护栏拐角处在地面上的部分影子抽象成图2，已知，，则的大小为______． 15．下列6个命题中， （1）相等的角是对顶角 （2）垂直于同一条直线的两条直线互相平行 （3）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 （4）有一条公共边且互补的两个角互为邻补角 （5）两条直线被第三条直线所截，同位角相等 （6）如果两条直线不垂直，那么这两条直线平行．为真命题的是_____．（写序号） 16．如图，小明在走廊上看到一个“安全出口”标志，他从中抽象出这样一个数学图形，其中，，，，，则_________． 三、解答题 17．如下图，已知AC平分，BD平分，，，试说明：，． 18．如图，直线，被直线所截，为与的交点，，垂足为． (1)若恰好平分，则的度数为________． (2)若，求证：． 19．如下图，平分，平分，，点在射线上，直线，垂足为．设． (1)请用含的式子表示的大小； (2)试说明：． 20．看图填空，并在括号内注明说理依据． 如图，已知，，，，则与平行吗？与平行吗？ 解：∵，（已知）， ∴． ∴____________________（____________________）． ∵（已知）， ∴（__________）． ∴__________． 同理可得，__________． ∴． ∴____________________（同位角相等，两直线平行）． 21．如图，点在的延长线上，，交于点，且，． (1)求证：； (2)若，点、在线段上，且，射线平分，求的度数． 22．如图，，，，求证：； 请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内或横线上注明条件或理由． 证明：（已知）， （① ）， （② ）， ③ （④ ）， （两直线平行，同位角相等）， （已知）， ， （内错角相等，两直线平行），     ⑤ （⑥ ）， （已知）； ， （⑦ ）， （⑧ ）． 23．直线分别交直线，于点点在直线与直线之间． 【初步感知】 (1)如图①，若，则直线，的位置关系是_______； 【问题探究】 (2)如图②，，交于点，点在射线上，点在射线上，且，若，，求的度数； 【拓展延伸】 (3)如图③，，，点在射线上，与的平分线交于点，探究与之间存在的数量关系． 24．如图，三角形的三个顶点坐标分别是，，，将三角形先向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到三角形（点A，B，C的对应点分别为，，）． (1)在图中画出三角形； (2)若点P在y轴上运动，当线段长度最小时，点P的坐标是______； (3)在平移过程中，求线段扫过的图形的面积． 25．直线，一副三角尺，中，，，， (1)若如图1摆放，当平分时，求证：平分； (2)如图2，的边在直线上，的顶点D恰好落在直线上，且边与边在同一直线上． ①求的度数； ②将固定，沿着方向平移，使边与直线相交于点G，作和的平分线，，两线相交于点H（图3），直接写出的度数． 26．【跨学科】潜望镜模型由入射镜筒、直管、反射镜筒以及两块平面镜构成，入射镜筒与反射镜筒互相平行，且都与直管垂直，，代表两块平面镜摆放的位置，镜筒上下壁和直管左右壁可看作分别相互平行的直线，是进入潜望镜的光线，它与入射镜筒壁平行，与直管壁垂直，是离开潜望镜的光线，光线经过镜子的反射时，满足，．设，． (1)如图1，若光线与直管壁平行，求的度数；小昆的同学的解答过程如下，请你帮她补充完整；（括号里填理由） 解：∵_____（已知），∴（平角的定义）， ∵（已知），∴_________（_________）， ∵（已知），∴； (2)如图2，当光线经过B处镜面反射后照射到直管壁处时，若在处放置一块平面镜，使光线经过平面镜上的点O处反射到平面镜上点C处，并调整平面镜的位置，最终使，则此时与满足怎样的数量关系？说明理由． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B B C B B D B A C 1．B 本题考查了对顶角性质、余角补角性质、直线位置关系、平行线性质，逐个判断各说法的正误，统计正确的个数即可． 解：①对顶角相等，是对顶角的基本性质，说法正确； ②设锐角为，则，则其补角为，余角为， ， ， 即一个锐角的补角比这个角的余角大，说法正确； ③该说法缺少前提“在同一平面内”，空间中还存在异面直线，说法错误； ④同角的补角相等，是补角的基本性质，说法正确； ⑤该说法缺少前提“过直线外一点”，若点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，说法错误； 综上，正确的说法共3个． 2．B 解：A．，根据“内错角相等，两直线平行”可判断； B．，无法判断； C．，根据“同位角相等，两直线平行”可判断； D．，根据“同旁内角互补，两直线平行”可判断． 3．C 利用平行线与垂直的性质逐一判断选项即可. 解：A、若，，则，原说法错误； B、若，，则，原说法错误； C、若，，则，原说法正确； D、若，，则，原说法错误. 4．B 根据平行线的性质，由得出，进而求出的度数，再由利用同旁内角互补即可求出的度数． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．B 解：A：图形的大小发生了改变，不合题意； B：图形的形状和大小没有改变，可以通过平移得到，符合题意； C：图形的方向发生了改变，不合题意； D：图形大小不同，不能通过平移得到，不合题意． 6．D 根据题意得出，，然后结合平移的性质确定，作差即可求解． 解：四边形的周长为a， ∴． ∵的周长为b， ∴． 由平移的性质，得， ， ，即向右平移的单位长度为． 7．B 由平移的性质可得，所有横向道路线段平移后总长度等于长方形的长，所有纵向道路线段平移后总长度等于长方形的宽，据此可得答案． 解：由题意得，道路的总长为． 8．A 根据长方形对边平行，得，故；由折叠的性质得，再结合以及平角的定义，列方程求解得出，进而求得的度数． 解： 四边形是长方形， ， ． 由折叠的性质可知，， ． ，且， ， 即， ， ， ， ∴ ∴． 9．C 分别过作的平行线和，根据两直线平行内错角相等以及角的和差关系得到，根据垂直的定义得到． 解：如图，分别过作的平行线和， ∵， ∴， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 10．平行于同一条直线的两条直线互相平行 本题考查了平行线的性质和判定的应用，根据平行线性质得出，，推出，根据平行线的判定推出即可． 解：理由是：平行于同一条直线的两条直线互相平行 延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（平行于同一条直线的两条直线互相平行）． 故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 11．/33度 解：如图， ∵ ∴ ∴． 12．或或 根据题目与的一条边平行，先确定线段的位置，再利用平行线和角平分线的性质求得对应角的度数求出答案． 解：∵平分， ∴， ∵在中，，， ∴， 当时，①如图1所示： ， ∵， ∴， ∴； ②如图2所示： ， ∵， ∴， ∴； 当，如图3所示： ， ∵， ∴， 在中，， ∴． 13． 根据平行线的性质即可求解． 解：∵光线在空气中也平行，.， ∴, ∵液面和底面平行，， ∴, ∴． 14．/49度 本题考查平行线性质的应用，根据某一时刻在阳光照射下的光线互相平行，可得，，再代入计算即可．解题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等． 解：∵某一时刻在阳光照射下，， 又∵，， ∴，， ∴， ∴的大小为． 故答案为：． 15．（3） 根据对顶角、平行公理、邻补角、平行线的性质等相关初中数学知识点，逐一判断每个命题的真假即可． 解：（1）相等的角不一定是对顶角，因此（1）是假命题； （2）该命题未限定“在同一平面内”，因此（2）是假命题； （3）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，符合平行公理，因此（3）是真命题； （4）邻补角需要满足两个角有公共边，且另一边互为反向延长线，仅满足有一条公共边且互补的两个角不一定是邻补角，因此（4）是假命题； （5）只有两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等，因此（5）是假命题； （6）同一平面内，两条直线不垂直，也可能相交不平行，因此（6）是假命题． 16． 过点作，得出，由平行线的性质得出，，，根据角的和差关系即可得答案．能正确作出辅助线是解题关键． 解：如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 17．见解析 此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 由，根据同位角相等，两直线平行可得到；由平分，平分，得到，根据同位角相等，两直线平行可得到，由此可得解． 解：∵，， ∴， ∴． ∵平分，平分， ∴，． 又∵， ∴， ∴． 18．(1) (2)见解析 （1）根据角平分线的定义即可求解． （2）证明即可. （1）解：∵， ∴， ∵恰好平分， ∴. （2）证明：， ， ， ， ， ， ． 19．(1) (2)见解析 本题考查了角平分线的定义和平行线的判定，掌握角平分线的性质和同旁内角互补，两直线平行的判定方法是解题的关键． （1）根据角平分线定义表示出，再用减去，即可得到的表达式； （2）通过角平分线和角度和差推出，结合得到，利用同旁内角互补，两直线平行证明． （1）解：∵平分，， ∴． ∵， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵平分，， ∴． ∵，， ∴． ∵平分， ∴． 由（1）可知，， ∴， ∴， ． 20．；；同位角相等，两直线平行；垂直的定义；；；； 根据已知得，然后根据“同位角相等，两直线平行”得，再推出，最后根据“同位角相等，两直线平行”可得证． 解：∵，（已知）， ∴． ∴（同位角相等，两直线平行）． ∵（已知）， ∴（垂直的定义）． ∴． 同理可得，． ∴． ∴（同位角相等，两直线平行）． 21．(1)证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (2) （1）内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等； （2）设，结合平行线的性质可得，则，由角平分线的定义可得，即可得出结果． （1）略 （2）解：设， ∵， ∴， ∴， ∵射线平分， ∴， ∴． 22．①对顶角相等；②等量代换；③；④同位角相等，两直线平行；⑤；⑥两直线平行，内错角相等；⑦同旁内角互补，两直线平行；⑧平行于同一条直线的两直线互相平行 先根据已知和对顶角得到，推出，得到，进而得到，推出，得到，推出，然后根据等量代换即可得证． 证明：（已知）， （对顶角相等）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （已知）， ， （内错角相等，两直线平行），     （两直线平行，内错角相等）， （已知）； ， （同旁内角互补，两直线平行）， （平行于同一条直线的两直线互相平行）． 23．(1) (2) (3)与之间存在的数量关系是或或 （1）过点I作，根据平行线的判定和性质即可证明； （2）根据题意得出，．过点F作，利用平行线的判定和性质得出，过点I作，结合图形即可求解； （3）设，，得出，．确定，，，然后分三种情况分析：①当点I，Q在直线的两侧时，②当点I，Q在直线的左侧时，③当点I，Q在直线的右侧时，作出相应图形，求解即可． （1）解：过点I作，如图所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2），， ，． 如图②，过点F作． ， ，， ，      ， , ， 过点I作， ， ，，      ， ． （3），， ，， 与的平分线交于点Q， 设，， ，． ，，，      ①当点I，Q在直线的两侧时，如图③-1，过点I作． ， ，， ， 过点Q作， ， ，， ， ．      ②当点I，Q在直线的左侧时，如图③-2． 同①，得， ． ．      ③当点I，Q在直线的右侧时，如图③-3． 同①，得，． ． 综上所述，与之间存在的数量关系是或或． 24．(1)见解析 (2) (3)18 （1）根据平移的规律先确定，，，进而作出即可； （2）根据垂线段最短求解即可； （3）利用割补法求解即可． （1）解：如图，即为所求； （2）解：根据点到直线的距离中，垂线段最短，可得当轴时，线段长度最小， ∴点P的坐标是； （3）解：在平移过程中，线段扫过的图形的面积为． 25．(1)见解析 (2)①；② （1）运用角平分线定义及平行线性质即可证得结论； （2）②如图，过E作，运用平行线判定与性质即可得出答案；②如图，分别过点F、H作，，运用平行线判定与性质和角平分线定义即可得出答案． （1）证明：在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：①如图，过E作， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②如图，分别过点F，H作，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，， ∵和的角平分线，，两线相交于点H， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴． 26．(1)90，，两直线平行，内错角相等； (2)解：，理由如下： ∵与入射镜筒壁平行， ∴， ∵，， ∴， ∴， 如图，过点O作， ∴， ∵与直管壁垂直，， ∴与直管壁垂直， 即， 由题干的反射定律可知， ∴， ∵镜筒上下壁可看作分别相互平行的直线，，，， ∴， ∴， 由题干的反射定律可知， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴． （1）根据垂线的定义及平行线的性质作答即可； （2）根据平行线的性质得到，进而求出，过点O作，根据平行线的性质得到与直管壁垂直，即，进而得到，证明，得到，由题干的反射定律可知，进而得到，根据平行线的性质作答即可． （1）解：∵（已知）， ∴（平角的定义）， ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴； （2）略． 学科网（北京）股份有限公司 $