第16讲 有理数的加减乘除乘方混合运算 小升初衔接 2026--2027学年人教版七年级数学上册

2.3.1有理数的加减乘除乘方混合运算 导学案 【学生版】 一、学习目标 目标1掌握四层运算顺序 能准确说出并运用：先乘方·再乘除→最后加减，同级运算从左到右，有括号先算括号里的： 理解运算顺序背后的层级逻辑。 目标2熟练进行含分数、负号、括号的多步混合运算 能对36步的混合算式进行分步计算，每一步保持符号正确、分数规范、书写清楚，得数正确率 ≥90%。 目标3灵活使用运算律优化复杂算式 能识别可用加法交换律·结合律或乘法分配律·结合律简化的场景，做到「先审题、再决 策、后动笔、末检验」。 二、 重难点 重 ①四层运算顺序（乘方→乘除→加减：同级从左到右；括号最先算）；②每一步 点 保持符号、分数规范：③综合运用五种运算（加减乘除乘方）解决混合算式。 难 ①分数、负号、括号交织时的分步策略：②灵活运用分配律（尤其含负号项）与结 点 合律优化：③长算式的书写规范一一 分步不跳步，每一步只做一件事。 ①括号最先漏做 一一遇到12：(22-1)时，未先算括号内的22-1=3，直接12：22-1 =3-1=2(错)。 易 ②-22与(-2)2在长式中失守 在多步算式中，学生看到-2会自动补括号，得 错 (-2)2=4（错)，正确=-4。 一例如子÷（昌未化为子×（号. 3 9 点 ③除号未化乘号就跳步 直接猜答案。 ④分配律漏项·符号错一一写-3×(a-b)=-3a-3b(错)，正确=-3a+ 3b。 ⑤分数底数漏写括号 混合运算中 应写为= 一旦漏括号，就不合规 范，并且极易算错。 ⑥分步跳步、符号丢失 一次做两步、把负号「吞」进去，导致最终答案正负号翻 转。 三、复习回顾与情境导入 【回顾一】五则运算法则速览表 请回忆学过的五种运算，把「法则关键词+一个代表算式」填入下表： 运算 法则要点 代表算式 加法 减法 乘法 除法 乘方 【回顾二】小明的周末账本一一5种运算齐上阵 小明周末做了这些事，请帮他算算周日晚上手里还剩多少钱：（假设周六早上有0元） 时间 事件 变动金额（元) 周六上午 卖废纸 +8 周六下午 请5位同学喝奶茶，每杯3元 (-3)×5 周日上午 帮妈妈跑腿 +12 周日下午 连买3支同款笔，恰好抵扣掉2 23 时间 事件 变动金额（元） 元 列式：8+(-3)×5+12-23=？ 【情境导入】你能一眼看出运算顺序吗？ -32+(-2)×(←2)-12÷2-1)=9 请一起数一数：这道题里有几种运算？ ·加(+)、减(-)、乘(×)、除(÷)、乘方，五种运算全在里面！ ·再看看有几个括号？-一3个：(2、（和2-1. 讨论：如果不讲究「运算顺序」，从左往右算，会得到什么？ 四、新知探究 探究一★四层运算顺序总则 回想5年级学过的整数四则运算：先乘除、后加减，有括号先算括号里的。现在多了一种运算 一一 乘方，它应该排在什么位置？ 小组讨论：为什么乘方要放在乘除之前？ ★四层运算顺序 层级 运算 说明 第 括号内 有括号先算括号里，从小括号→中括号→大括号；括号内如果又有乘 级 的算式 方、乘除、加减，仍按4层顺序。 第 2 乘方 an 类运算，包括《a、(?；一定要看清楚底数是谁（括号内是底 级 数)。 层级 运算 说明 第 3 乘、除 同级运算从左到右；除法通常化为乘倒数再算，能约分先约分。 级 第 加、减 同级运算从左到右；减法通常化为加相反数，便于运用运算律。 级 金字塔口诀（可齐读）： 括号最先一乘方居次一乘除同层一加减殿后一同级左到右 探究二括号处理演示（小一中→大） 下面用一个含三层括号的例子，演示「从最内层剥开」的过程： 24-{[3+(-2)2]×(-2)+16}=? 步骤 此时算式 刚做了什么 ① 剥小括号内的乘 24-{[3+ ]×(-2)+16} 方 ②算小括号内的加 24-{ ×(-2)+16} ③算中括号内的乘 24-{ +16} ④算大括号内的加 24- ⑤最后加减 =? 探究三分数、整数、括号交织时的分步策略 请分步计算： 子-分÷2+（←2）2×号=？ 解： 探究四★巧用运算律一让复杂算式变简单 回忆2.1.2、2.2.2学过的运算律，我们有三大法宝： 运算律 字母表达 典型使用场景 加法交换律 a +b =b a 把相反数、同号数、凑整数的挪到一起 加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c) 把互为相反数的两项先加，直接凑0 乘法交换律 a×b=b×a 把倒数、凑整数的两个因数挪到一起 乘法结合律 (a×b)×c=aX(b×c) 三个因数中先算两个方便的 乘法分配律★ a×(b+c)=a×b+aXc ①提公因数（逆用）；②拆分乘积 演示1用分配律「提公因数」′（★逆用） 请计第：为×品+25×碧 演示2用分配律「拆开括号」（★顺用，注意负号） 请计算：12×兮-子+合 五、例题精讲 例1基础三级顺序（无括号·熟练手速） 直接计算下列各式（每题限时60秒）： (1)-2-3×(-4)+5 解： (2)24÷(-4)×(-3)2 解： (3) (-1)226-(-3)2×(-2)+1 解： (④-4×22+20÷(-5) 解： 例2含括号+分数（女章末巅峰题在此登场） (1) 日-为×12-2 解： ②)★-32+(-2)×（←）-12÷②-) 解： 8)【3-(←221÷←10+ 解： 例3 巧用运算律（女简算·优雅胜过硬算） 2 (1) ×47+() ×47 解： 31. (2) 解： g)(8)×←125)×←字 解： 六、当堂检测(12分钟) Part1填空题（每题2分，共8分） 1.含乘方的四则混合运算，运算顺序是（按由先到后）： 一→一→一；同级运算；有括号 2.计算：-24=；(-2)4=。 3.简算25X(身》：25×（号》应先用的运算律是 ；结果= 4.计算12÷(22-1)时，最先算 ,得12÷ Part2计算题（每题4分，共16分） 1.-3+2×(-2)2-6 解： 2.18÷(-2)2×(-3)-4 解： 3.-+(-2×-(3) 解： 4.(-2)3÷(1-3)2×-31 解： Pat3简算题（每题4分，共8分·请写出用到的运算律） 1.(-99)×27+(-99)(-26)+(-99)×(-1) 解： 2.( ×专-吉+品)×2 解 Part4应用题(8分) 小张的饮料摊：周末摆摊3天，每天营业额记录如下（正数为盈利、负数为亏损）： ·周五：卖出20杯，每杯净赚2元；下班时进货花(-5)2元。 ·周六：连亏3单，每单赔4元：奶茶爆卖净赚(-2)4×3元。 ·周日：净利25元；缴纳摊位费(-1)3×8元。 请列式并求出3天的总盈亏。 解： 七、本节思维导图 有理数混合运算 丨运算顺序 |分步策略 丨运算律优化 T 括号乘方& 加减 每步只做 分配结合交换 最先乘除 殿后 一件事 律★律 律 其它抄下 提公 凑整挪位 因数 ★运算顺序口诀：括号最先→乘方居次一乘除同层一加减殿后一同级左到右 ★简算三大信号：公因数（分配律）·相反数（凑0）·倒数（凑1） 「一句话总结」 先审题（找结构）一再决策（用不用运算律）一最后动笔（每步一件事）一检验（正负号+关键 步) 八、分层作业(A→B→G) A基础层（人人过关） 题型1判断对错（每题1分，共6分） 1.在-22+3中，应先算-22=-4，得-1。() 2.计算8-2×32时，应先算8-2=6，再算6×32=54。() 3.分配律-3×(a-b)展开为-3a-3b。() 4.12÷(22-1)=12÷3=4。() 5.(-1)2026-(-1)2025=1-(-1)=2。() 6计算25×居-专时，用分配律史简单。（） 题型2计算题（每题3分，共18分） 1.-8+12÷(-2)2 解： 2.-32×2-（-6) 解： 3.(4)×3-(-2)3÷4 解： 4(-0+(2:×8 解： 5.20-32×(-2)+5 解： 6.-2×(3-5)2+6 解： ®进阶层（挑战自我） 题型1含分数、括号的多步计算（每题4分，共16分） 1G+号-克》×(2w 解： 23×分)+（←0÷（分 解： 3.24÷[（-2）+（-2)2]-32，-32是独立项 解： 4【(2创+(321×(2-3)）-（←）题。 解： 题型2简算大比拼（每题5分，共15分·请注明所用运算律） 1.(3)×34+()×(-24+(←3)×(-10) 解： 2.0+2+←3)+（分）+2 解： 3) ×8×(-125)×(-4) 解： ©挑战层（学有余力） (1)★两种方法求解并比校优劣： 24×导-3+合+(24÷1-4到 方法1： 方法2： 哪种方法更省力？为什么？ (2)★定义新运算：a★b=a2-2ab+b2,求(-2)★3和()★(-1)。（提示：这 个式子有什么规律？) ①(-2)★3= ② ★(-1) 你发现a★b有什么规律吗？ (3)★★★章末终极战 一一五种运算+括号+绝对值+分数全用上： 1(-3)2-21÷(←)+（←2）4×（存-日）-（←1026=？ 解： 答： 九、学习反思 认真回顾本节课的收获，把「掌握程度+具体感受」写在表格里： 反思条目 掌握程度 具体感受/待改 进 我能准确说出四层运算顺序（括号→乘方→乘除→加 ☆☆☆☆ 减)。 ☆ 我能识别-an与(-a)n的区别，并正确在长算式中使用。 ☆☆☆☆ 反思条目 掌握程度 具体感受/待改 进 ☆ 我掌握了「每步只做一件事」的分步书写规范。 ☆☆☆☆ ☆ 我能识别公因数、相反数、倒数这三大简算信号。 ☆☆☆☆ ☆ 我能熟练运用分配律（顺用·逆用），并注意负号处理。 ☆☆☆☆ ☆ 遇到复杂算式时，我会先审题、再决策、后动笔。 ☆☆水☆ ☆ 2.3.1 有理数的加减乘除乘方混合运算 —— 导 学 案 —— 【 教师版 】 一、学习目标 目标 1　掌握四层运算顺序 能准确说出并运用：先乘方 → 再乘除 → 最后加减，同级运算从左到右，有括号先算括号里的；理解运算顺序背后的层级逻辑。 目标 2　熟练进行含分数、负号、括号的多步混合运算 能对 3~6 步的混合算式进行分步计算，每一步保持符号正确、分数规范、书写清楚，得数正确率 ≥ 90%。 目标 3　灵活使用运算律优化复杂算式 能识别可用加法交换律 · 结合律 或 乘法分配律 · 结合律 简化的场景，做到「先审题、再决策、后动笔、末检验」。 二、重难点 重点 ① 四层运算顺序（乘方 → 乘除 → 加减；同级从左到右；括号最先算）；　② 每一步保持符号、分数规范；　③ 综合运用五种运算（加减乘除乘方）解决混合算式。 难点 ① 分数、负号、括号交织时的分步策略；　② 灵活运用 分配律（尤其含负号项）与结合律优化；　③ 长算式的书写规范 —— 分步不跳步，每一步只做一件事。 易错点 ① 括号最先漏做 —— 遇到 12÷(2²-1) 时，未先算括号内的 2²-1=3，直接 12÷2²-1 = 3-1 = 2（错）。 ② -2² 与 (-2)² 在长式中失守 —— 在多步算式中，学生看到 -2² 会自动补括号，得 (-2)² = 4（错），正确 = -4。 ③ 除号未化乘号就跳步 —— 例如 - ÷ (-) 未化为 - × (-)，直接猜答案。 ④ 分配律漏项 · 符号错 —— 写 -3×(a - b) = -3a - 3b（错），正确 = -3a + 3b。 ⑤ 分数底数漏写括号 —— 混合运算中 ² 应写为 ()² = ；一旦漏括号，就不合规范，并且极易算错。 ⑥ 分步跳步、符号丢失 —— 一次做两步、把负号「吞」进去，导致最终答案正负号翻转。 三、复习回顾与情境导入 【回顾一】五则运算法则速览表 请回忆学过的五种运算，把「法则关键词 + 一个代表算式」填入下表： 运算 法则要点 代表算式 加法 同号：取同号，绝对值相加；异号：取绝对值大的符号，用大绝减小绝；与 0 相加不变。 (-3) + (-5) = -8；(-8) + 5 = -3 减法 减去一个数，等于加上这个数的相反数（a - b = a + (-b)）。 5 - (-2) = 5 + 2 = 7 乘法 同号得正、异号得负；绝对值相乘；任何数乘 0 得 0。 (-4) × 3 = -12；(-4) × (-3) = 12 除法 除以一个不为 0 的数，等于乘它的倒数（a ÷ b = a × (1/b), b ≠ 0）。 (-6) ÷ (-2) = (-6) × (-½) = 3 乘方 n 个相同因数相乘；正数幂正，负偶正、负奇负，0 的正整数次幂 = 0。 (-2)³ = -8；(-2)⁴ = 16；-2⁴ = -16 教学提示　这张表是本章前几节的「一句话总结」，务必带着学生齐读一遍。让学生自己填 → 再一起校对，比直接给答案效果好 3 倍。 【回顾二】小明的周末账本 —— 5 种运算齐上阵 小明周末做了这些事，请帮他算算周日晚上手里还剩多少钱：（假设周六早上有 0 元） 时间 事件 变动金额（元） 周六上午 卖废纸 + 8 周六下午 请 5 位同学喝奶茶，每杯 3 元 (-3) × 5 周日上午 帮妈妈跑腿 + 12 周日下午 连买 3 支同款笔，恰好抵扣掉 2³ 元 - 2³ 列式：8 + (-3) × 5 + 12 - 2³ = ? 解答（分步）： 原式 = 8 + (-3)×5 + 12 - 2³ 　　 = 8 + (-15) + 12 - 8　　（先乘方 2³ = 8、先乘 (-3)×5 = -15） 　　 = 8 - 15 + 12 - 8 　　 = - 3 （元） 小明周日晚上还欠账 3 元（假设周六初始为 0）。 小结：这道题里同时出现了 加、减、乘、乘方 —— 我们必须先算乘方 → 再算乘除 → 最后加减，否则得数会全错。这就是本节要建立的运算顺序意识。 【情境导入】你能一眼看出运算顺序吗？ -3² + (-2)³ × (-) - 12 ÷ (2² - 1) = ? 请一起数一数：这道题里有几种运算？ 1. 加（+）、减（-）、乘（×）、除（÷）、乘方，五种运算全在里面！ 1. 再看看有几个 括号？—— 3 个：(-2)、(-) 和 (2²-1)。 讨论：如果不讲究「运算顺序」，从左往右算，会得到什么？ 学生常见错答（教师引导对比）： 1. 错答 1（先算减法）：-3² + (-2)³ × (-) - 12 ÷ (2² - 1) 1. 　→ 看成 (-3² + (-2)³) × 剩余 = ... —— 答案千奇百怪。 1. 错答 2（忘了 -3² ≠ (-3)²）：-3² = 9（错），应为 -9。 1. 错答 3（漏做括号）：把 2²-1 直接当成 2 或 4，导致 12÷ 后面全错。 正确答案： -9（本节课我们会一步步算出来 ）。 教学策略：不要在这里算出答案，先激发探究欲 —— 让学生尝试、卡壳、争论，然后引出运算顺序的四层规则。 四、新知探究 探究一　★ 四层运算顺序总则 回想 5 年级学过的整数四则运算：先乘除、后加减，有括号先算括号里的。现在多了一种运算 —— 乘方，它应该排在什么位置？ 小组讨论：为什么乘方要放在乘除之前？ 引导：乘方本质是「多个相同因数相乘」（比乘法更凝结），所以要先把乘方展开成乘法，再和其他乘除混算。可以用「压缩程度」来记： 1. 最压缩：乘方（4 层因数压成 1 个符号） 1. 中压缩：乘除（2 层） 1. 原始：加减（0 层） 先算压缩程度高的，就像拆礼盒 —— 从最里层开始。 ★ 四层运算顺序 层级 运算 说明 第 1 级 括号内的算式 有括号先算括号里，从小括号 → 中括号 → 大括号；括号内如果又有乘方、乘除、加减，仍按 4 层顺序。 第 2 级 乘方 aⁿ 类运算，包括 (-a)ⁿ、()ⁿ；一定要看清楚底数是谁（括号内是底数）。 第 3 级 乘、除 同级运算从左到右；除法通常化为乘倒数再算，能约分先约分。 第 4 级 加、减 同级运算从左到右；减法通常化为加相反数，便于运用运算律。 金字塔口诀（可齐读）： 括号最先 → 乘方居次 → 乘除同层 → 加减殿后 → 同级左到右 探究二　括号处理演示 下面用一个含三层括号的例子，演示「从最内层剥开」的过程： 24 - { [ 3 + (-2)² ] × (-2) + 16 } = ? 步骤 此时算式 刚做了什么 ① 剥小括号内的乘方 24 - { [ 3 + 4 ] × (-2) + 16 } (-2)² = 4（第 2 级） ② 算小括号内的加 24 - { 7 × (-2) + 16 } 3 + 4 = 7（第 4 级，但在括号里最先算） ③ 算中括号内的乘 24 - { -14 + 16 } 7 × (-2) = -14（第 3 级，在中括号里） ④ 算大括号内的加 24 - 2 -14 + 16 = 2 ⑤ 最后加减 = 22 24 - 2 = 22 讲课要诀　每一步只做一件事，其它内容原样抄下来；这是本节最重要的书写规范，能救回 60% 的马虎错误。 探究三　分数、整数、括号交织时的分步策略 请分步计算： - ÷ 2² + (-2)² × = ? 分步解答： ① 先算乘方（第 2 级）：2² = 4；(-2)² = 4 　原式 = - ÷ 4 + 4 × ② 再算乘除（第 3 级，从左到右）： 　　 ÷ 4 = × = 　　4 × = 　原式 = - + ③ 最后加减（通分：24 = LCM(4, 8, 3)）： 　　 = ；　 = ；　 = 　原式 = - + = = 答案： 三步策略：① 圈出所有乘方 → ② 圈出所有乘除 → ③ 剩下加减最后通分。每一步只做一件事，其它原样抄。 探究四　★ 巧用运算律 —— 让复杂算式变简单 回忆 2.1.2、2.2.2 学过的运算律，我们有三大法宝： 运算律 字母表达 典型使用场景 加法交换律 a + b = b + a 把相反数、同号数、凑整数的挪到一起 加法结合律 (a + b) + c = a + (b + c) 把互为相反数的两项先加，直接凑 0 乘法交换律 a × b = b × a 把倒数、凑整数的两个因数挪到一起 乘法结合律 (a × b) × c = a × (b × c) 三个因数中先算两个方便的 乘法分配律 ★ a × (b + c) = a × b + a × c ① 提公因数（逆用）；② 拆分乘积 演示 1　用分配律「提公因数」（★ 逆用） 请计算：25 × (-) + 25 × (-) = ? 原式 = 25 × [ (-) + (-) ]　　← 逆用分配律 　　 = 25 × [ - ]　　← 同分母加减 　　 = 25 × (-1) 　　 = -25 窍门：看到公因数 25时立刻反应「逆用分配律」，比硬算 25× 和 25× 再相加快 5 倍。 演示 2　用分配律「拆开括号」（★ 顺用，注意负号） 请计算：-12 × ( - + ) = ? 原式 = (-12) × + (-12) × (-) + (-12) × 　　← 每一项都要乘 -12 　　 = -4 + 3 + (-2) 　　 = -3 易错点提醒：(-12) × (- ) = +3，不是 -3。负 × 负 = 正 —— 分配律最容易在这里翻车。 何时用运算律？　看到以下 3 个信号立刻考虑： 1. 信号 1：多个乘法项有公因数（能提出去凑简单数） 1. 信号 2：加数里出现相反数（可凑 0） 1. 信号 3：因数里出现互为倒数的两个数（可凑 1） 原则：先审题（10 秒），再决策（用不用运算律？），最后动笔。硬算 = 慢 + 错率高；巧算 = 快 + 优雅。 五、例题精讲 例1　基础三级顺序（无括号 · 熟练手速） 直接计算下列各式（每题限时 60 秒）： (1)　-2³ - 3 × (-4) + 5 解： = -8 - (-12) + 5　　（先乘方 2³=8，取负；再乘 3×(-4)=-12） = -8 + 12 + 5 = 答：9 (2)　24 ÷ (-4) × (-3)² 解： = 24 ÷ (-4) × 9　　（先乘方 (-3)²=9） = -6 × 9　　（乘除从左到右，先做 ÷） = 答：-54 (3)　(-1)²⁰²⁶ - (-3)² × (-2) + 1 解： = 1 - 9 × (-2) + 1　　（乘方：(-1)²⁰²⁶=1、(-3)²=9） = 1 - (-18) + 1 = 1 + 18 + 1 = 答：20 (4)　-4 × 2² + 20 ÷ (-5) 解： = -4 × 4 + 20 ÷ (-5)　　（乘方 2²=4） = -16 + (-4) = 答：-20 例2　含括号 + 分数（★ 章末巅峰题在此登场） (1)　( - ) × 12 - (-2)³ = ? 解： 原式 = (-) × 12 - (-8)　　（括号内 - = -；乘方 (-2)³ = -8） 　　 = -3 - (-8) 　　 = -3 + 8 　　 = 5 (2)　★ -3² + (-2)³ × (-) - 12 ÷ (2² - 1) = ?　（2.2.5🅲(3) 章节预告题） 解（分步 · 五种运算全过一遍）： ① 先算括号内：2² - 1 = 4 - 1 = 3 ② 再算乘方：-3² = -9；(-2)³ = -8　　（提醒：-3² 底数是 3、结果为 -9） 　原式 = -9 + (-8) × (-) - 12 ÷ 3 ③ 乘除（从左到右）：(-8) × (-) = 4；　12 ÷ 3 = 4 　原式 = -9 + 4 - 4 ④ 加减：= -9 ★ 五种运算的完整闭环：加、减、乘、除、乘方 —— 全在这一道题里，而且四层顺序全部用到。这就是本节的巅峰! (3)　[ 3 - (-2)² ] ÷ (-1)³ + ()² = ? 解： ① 括号内乘方：(-2)² = 4 　方括号 = 3 - 4 = -1 ② 其它乘方：(-1)³ = -1；()² = 　原式 = (-1) ÷ (-1) + ③ 乘除：(-1) ÷ (-1) = 1 　原式 = 1 + = 例3　巧用运算律（★ 简算 · 优雅胜过硬算） (1)　(-) × 47 + (-) × 47 = ?　（★ 提公因数） 原式 = 47 × [ (-) + (-) ]　　← 逆用分配律，提公因数 47 　　 = 47 × (-1) 　　 = -47 (2)　-24 × ( - + ) = ?　（★ 分配律 · 每项都要乘） 原式 = (-24) × + (-24) × (-) + (-24) × 　　← 每一项都要乘 -24 　　 = -18 + 4 + (-15) 　　 = -18 + 4 - 15 　　 = -29 陷阱：中间项 (-24) × (- ) = +4（负 × 负 = 正），不是 -4；这一步是本题的命门。 (3)　(-8) × (-125) × (-) = ?　（★ 乘法结合律 · 凑整） 原式 = [ (-8) × (-125) ] × (-)　　← 结合律 · 先算 8×125=1000 　　 = 1000 × (-) 　　 = -250 窍门：三个因数里先看谁能凑整；符号统一在最后判断（3 个负号 → 结果为负）。 六、当堂检测（≈ 12 分钟） Part 1　填空题（每题 2 分，共 8 分） 1. 含乘方的四则混合运算，运算顺序是（按由先到后）： ________ → ________ → ________ ；同级运算 ________；有括号 ________。 答：括号最先 → 乘方 → 乘除 → 加减；从左到右；先算括号里的 2. 计算：-2⁴ = ________ ；(-2)⁴ = ________ 。 答：-16；16 3. 简算 25 × (-) + 25 × (-) 应先用的运算律是 ________；结果 = ________。 答：分配律（逆用）；-25 4. 计算 12 ÷ (2² - 1) 时，最先算 ________ ，得 12 ÷ ________ = ________。 答：括号内的 2² - 1；3；4 Part 2　计算题（每题 4 分，共 16 分） 1. -3 + 2 × (-2)² - 6 解： = -3 + 2 × 4 - 6 = -3 + 8 - 6 = -1 答：-1 2. 18 ÷ (-2)² × (-3) - 4 解： = 18 ÷ 4 × (-3) - 4 = 4.5 × (-3) - 4 = -13.5 - 4 = -17.5 = -35/2 答：-17.5 = -35/2 3. -1³ + (-2)² × (-) - (-3) 解： = -1 + 4 × (-) - (-3) = -1 + (-2) + 3 = 0 答：0 4. (-2)³ ÷ (1 - 3)² × |-3| 解： = -8 ÷ (-2)² × 3 = -8 ÷ 4 × 3 = -2 × 3 = -6 答：-6 Part 3　简算题（每题 4 分，共 8 分 · 请写出用到的运算律） 1.　(-99) × 27 + (-99) × (-26) + (-99) × (-1) 原式 = (-99) × [27 + (-26) + (-1)]　　← 逆用分配律，提公因数 -99 　　 = (-99) × 0 　　 = 0 窍门：三项相加恰好凑成 0，把最难算的 (-99) 直接消掉！ 2.　(-1) × ( - + ) × 12 原式 = (-) × 12 × ( - + )　　← 乘法交换律，先算 - × 12 = -15 　　 = -15 × ( - + ) 　　 = -15 × + (-15) × (-) + (-15) × 　　← 分配律 　　 = -5 + 3 + (-2) 　　 = -4 Part 4　应用题（8 分） 小张的饮料摊：周末摆摊 3 天，每天营业额记录如下（正数为盈利、负数为亏损）： 1. 周五：卖出 20 杯，每杯净赚 2 元；下班时进货花 (-5)² 元。 1. 周六：连亏 3 单，每单赔 4 元；奶茶爆卖净赚 (-2)⁴ × 3 元。 1. 周日：净利 25 元；缴纳摊位费 (-1)³ × 8 元。 请列式并求出 3 天的总盈亏。 解： 列式： 　周五 = 20 × 2 - (-5)² = 40 - 25 = 15（元） 　周六 = -4 × 3 + (-2)⁴ × 3 = -12 + 48 = 36（元） 　周日 = 25 + (-1)³ × 8 = 25 - 8 = 17（元） 总盈亏 = 15 + 36 + 17 = 68 元（盈利） 小结：生活中的账目问题，往往需要五种运算综合使用 —— 特别是「本金 - 支出 + 收入」型题目，非常自然地嵌入乘方（比如 (-5)² 表示同样金额的多次支出）。 七、本节思维导图 ╔════════════════════════╗ ║ 有理数混合运算 ║ ╚════════════╤═══════════╝ ┌─────────────────────┼─────────────────────┐ │ │ │ ┌────┴─────┐ ┌─────┴──────┐ ┌─────┴──────┐ │ 运算顺序 │ │ 分步策略 │ │ 运算律优化 │ └────┬─────┘ └─────┬──────┘ └─────┬──────┘ │ │ │ ┌────────┼────────┐ │ ┌───────┼───────┐ │ │ │ │ │ │ │ 括号 乘方& 加减 每步只做 分配 结合 交换 最先 乘除 殿后 一件事 律 ★ 律 律 其它抄下 提公 凑整 挪位 因数 ★ 运算顺序口诀：括号最先 → 乘方居次 → 乘除同层 → 加减殿后 → 同级左到右 ★ 简算三大信号：公因数（分配律）· 相反数（凑 0）· 倒数（凑 1） 「一句话总结」 先审题（找结构）→ 再决策（用不用运算律）→ 最后动笔（每步一件事）→ 检验（正负号+关键步） 八、分层作业（🅰 → 🅱 → 🅲） 🅰　基础层（人人过关） 题型 1　判断对错（每题 1 分，共 6 分） 1. 1. 在 -2² + 3 中，应先算 -2² = -4，得 -1。　【√】 　　解析：-2² = -(2²) = -4；-4+3 = -1。 1. 2. 计算 8 - 2 × 3² 时，应先算 8 - 2 = 6，再算 6 × 3² = 54。　【×】 　　解析：顺序错。应先算 3² = 9，再乘 2×9=18，最后 8-18 = -10。 1. 3. 分配律 -3 × (a - b) 展开为 -3a - 3b。　【×】 　　解析：符号错。应为 -3a + 3b（负 × 负 = 正）。 1. 4. 12 ÷ (2² - 1) = 12 ÷ 3 = 4。　【√】 　　解析：括号内先算 2²=4，再算 4-1=3；然后 12÷3=4。 1. 5. (-1)²⁰²⁶ - (-1)²⁰²⁵ = 1 - (-1) = 2。　【√】 　　解析：偶次幂为 1、奇次幂为 -1；1-(-1) = 2。 1. 6. 计算 25 × ( - ) 时，用分配律更简单。　【√】 　　解析：25×= ；25× = 5；直接得 - 5 = 。 题型 2　计算题（每题 3 分，共 18 分） 1. -8 + 12 ÷ (-2)² 解： = -8 + 12 ÷ 4 = -8 + 3 = -5 答：-5 2. -3² × 2 - (-6) 解： = -9 × 2 - (-6) = -18 + 6 = -12 答：-12 3. (-4) × 3 - (-2)³ ÷ 4 解： = -12 - (-8) ÷ 4 = -12 - (-2) = -12 + 2 = -10 答：-10 4. (-1)⁵ + (-)² × 8 解： = -1 + × 8 = -1 + 2 = 1 答：1 5. 20 - 3² × (-2) + 5 解： = 20 - 9 × (-2) + 5 = 20 - (-18) + 5 = 20 + 18 + 5 = 43 答：43 6. -2 × (3 - 5)² + 6 解： = -2 × (-2)² + 6 = -2 × 4 + 6 = -8 + 6 = -2 答：-2 🅱　进阶层（挑战自我） 题型 1　含分数、括号的多步计算（每题 4 分，共 16 分） 1.( + - ) × (-24) 解： 原式 = ×(-24) + ×(-24) + (- )×(-24)　（分配律） = -6 + (-8) + 12 = -2 答：2 注：请注意分配律每项都要乘。答案：-2。 2. -3² × (-) + (-1)⁵ ÷ (-) 解： = -9 × (-) + (-1) × (-8) = + 8 = + = 答：10.25 = 3. 24 ÷ [ (-2) + (-2)² ] - 3², -3² 是独立项 解： = 24 ÷ [ -2 + 4 ] - 9 = 24 ÷ 2 - 9 = 12 - 9 = 3 答：3 4. [ (-2)³ + (-3)² ] × ( - ) - (-1)²⁰²⁶ 解： = [ -8 + 9 ] × - 1 = 1 × - 1 = - 1 = - 答：-⅚ 题型 2　简算大比拼（每题 5 分，共 15 分 · 请注明所用运算律） 1.　(-) × 34 + (-) × (-24) + (-) × (-10) 原式 = (-) × [ 34 + (-24) + (-10) ]　　← 逆用分配律 　　 = (-) × 0 　　 = 0 2.　(-1) + (-) + (-) + (-) + 2 原式 = -1 + [(-) + (-) + (-)] + 2　　← 加法结合律 　　 = -1 + (-1) + 2　　（ + + = = 1） 　　 = 0 3.　(-) × 8 × (-125) × (-4)　（★ 乘法交换/结合律 · 凑整） 原式 = [ (-) × (-4) ] × [ 8 × (-125) ]　　← 交换 + 结合，先凑倒数、再凑千 　　 = 1 × (-1000) 　　 = -1000 窍门：四个因数中，(-¼) × (-4) = 1（凑倒数）；8×(-125) = -1000（凑千）。符号：4 个负号中偶数 4 个 → 正；但凑出 -1000，其结果为负。 🅲　挑战层（学有余力） (1)　★ 两种方法求解并比较优劣：　24 × ( - + ) + (-2)⁴ ÷ |-4| 方法 1（按顺序：先通分算括号）： 　括号内 = - + = 　原式 = 24 × + 16 ÷ 4 = 2 + 4 = 6 方法 2（分配律 · 更省力 ★）： 　原式 = 24 × - 24 × + 24 × + 4 　　　 = 6 - 8 + 4 + 4 　　　 = 6 对比：方法 2避免了通分（找最小公倍数），直接把每个分数配上 24（分母的倍数），速度快 3 倍、错误率低 5 倍 —— 这就是分配律的价值。 (2)　★ 定义新运算： a ★ b = a² - 2ab + b²，求 (-2) ★ 3 和 (½) ★ (-1)。　（提示：这个式子有什么规律？） 解： ① (-2) ★ 3 = (-2)² - 2 × (-2) × 3 + 3² 　　　　　 = 4 - (-12) + 9 　　　　　 = 4 + 12 + 9 　　　　　 = 25 ② () ★ (-1) = ()² - 2 × × (-1) + (-1)² 　　　　　　　 = - (-1) + 1 　　　　　　　 = + 2 = 规律发现：★ 观察 a★b = a² - 2ab + b² = (a - b)²。所以： 1. (-2) ★ 3 = (-2 - 3)² = (-5)² = 25 ✓ 1. () ★ (-1) = ² = ()² = ✓ 这就是 8 年级要学的「完全平方公式」的雏形！ 恭喜你提前 1 年触到了它。 (3)　★★★ 章末终极战 —— 五种运算 + 括号 + 绝对值 + 分数全用上： |(-3)² - 2³| ÷ (-) + (-2)⁴ × ( - ) - (-1)²⁰²⁶ = ? 解（本节所有知识点大集合）： ① 先算括号内的乘方与运算： 　　|(-3)² - 2³| = |9 - 8| = |1| = 1 　　( - ) = ( - ) = ② 括号外的乘方：(-2)⁴ = 16；(-1)²⁰²⁶ = 1 　原式 = 1 ÷ (-) + 16 × - 1 ③ 乘除（从左到右）： 　　1 ÷ (-) = 1 × (-2) = -2 　　16 × = 2 　原式 = -2 + 2 - 1 ④ 加减：= -1 ★ 这道题综合了本节全部知识： 1. 四层运算顺序（括号 → 乘方 → 乘除 → 加减） 1. 绝对值 · 乘方 · 分数 · 括号处理 1. (-3)² vs -3²、(-2)⁴ vs -2⁴、(-1) 的偶次幂 1. 同级从左到右、每步只做一件事 答案：-1。 能一次做对的同学，你已经掌握了第 2 章有理数运算的全部核心！ 九、学习反思 认真回顾本节课的收获，把「掌握程度 + 具体感受」写在表格里： 反思条目 掌握程度 具体感受 / 待改进 我能准确说出四层运算顺序（括号 → 乘方 → 乘除 → 加减）。 ☆☆☆☆☆ 　 我能识别 -aⁿ 与 (-a)ⁿ 的区别，并正确在长算式中使用。 ☆☆☆☆☆ 　 我掌握了「每步只做一件事」的分步书写规范。 ☆☆☆☆☆ 　 我能识别公因数、相反数、倒数这三大简算信号。 ☆☆☆☆☆ 　 我能熟练运用分配律（顺用 · 逆用），并注意负号处理。 ☆☆☆☆☆ 　 遇到复杂算式时，我会先审题、再决策、后动笔。 ☆☆☆☆☆ 　 学科网（北京）股份有限公司 $