精品解析：河南省南阳市镇平县2025-2026学年第二学期七年级期末考试数学试卷

2026年春期期末七年级学业质量监测 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分．每小题4个选项中，只有一个是正确的） 1. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解： 移项得， 合并同类项得． 2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．解决本题的关键是根据中心对称图形和轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D选项符合题意． 3. 在物理学中，匀速直线运动的物体的运动速度、时间、路程之间有以下关系：将该式去分母得，那么其变形的依据是（ ） A. 等式的性质1 B. 等式的性质2 C. 分数的基本性质 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵对去分母时，对等式两边同时乘得到，该变形符合等式性质2的内容． ∴变形的依据是等式的性质2． 4. 如图所示，是工人师傅用边长均为的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点进行的铺设．若一块边长为的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】正多边形的组合进行平面镶嵌，位于同一顶点处的几个角之和为，从而可得的度数，计算正多边形的外角，由此可得边数． 【详解】解：正三角形和正方形的内角分别为与， ， 这块正多边形地砖的边数为， 故选：A． 5. 如图是年月日河南南阳的天气预报，图中展示了当日室外气温．已知室内气温比室外气温高，下列说法错误的是（ ） A. 可能是 B. C. 这一天的温差是 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、根据图象可知，这一天的最低气温为，最高气温为，即，因此k可能是，故该选项正确； B、由题意可得，，故该选项正确； C、这一天的温差为，故该选项错误； D、由，得，即，故该选项正确． 6. 如图，将沿方向向右平移得到，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：，， ， 由平移可得，， 故选：B． 7. 《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲乃发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发日，甲乙相逢，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，将总路程设为单位1，得到甲乙的速度，理清两人行走时间，根据相遇时路程和等于总路程即可列方程． 【详解】解：设长安到齐国的总路程为单位， ∵甲走完全程需日，乙走完全程需日， ∴甲的速度为，乙的速度为， ∵设乙出发日后甲乙相逢， ∴乙行走时间为日，甲行走时间为日， 相遇时两人路程和等于总路程， 故可列方程：． 8. 从边形的一个顶点可引出9条对角线，则这个边形的内角和比外角和大（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】从边形的一个顶点可引条对角线，据此求出边数，再利用多边形内角和公式与外角和为360度计算差值，得到结果． 【详解】解：∵从边形的一个顶点可引条对角线， ， 解得， 边形内角和公式为， 该十二边形的内角和为， 又∵任意多边形的外角和恒为 该十二边形的内角和比外角和大． 9. 已知不等式组的解集如图所示，则的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 42 D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先解不等式组，用含a的代数式表示出不等式组的解集，然后结合数轴上表示的解集确定a的值即可． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∵由图可得该不等式组的解集为， ∴， ∴． 10. 如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并伸长，此时，减小了，则的外角的变化情况为（ ） A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 减小 【答案】D 【解析】 【分析】计算出起吊物体前后的度数，可知减少了，已知减少了，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和可知减少了. 【详解】解：起吊物体前： ，为的平分线， ， ， 物体被吊起后： ，， ， 减少了， 又减小了， 减少了． 二、填空题（每小题3分，共15分．） 11. 如图，太阳能热水器的斜杆，竖直杆与地面构成了一个三角形，这种设计应用了一个重要的数学原理：___________________________________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】 【详解】解：这种设计应用了一个重要的数学原理是三角形具有稳定性． 12. 已知，a，b，c是的三边长，a，b满足，且c为奇数，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查绝对值的性质，有理数的乘方，三角形的三边关系；根据非负数的性质求出a和b的值，再根据三角形三边关系求出c的取值范围，结合c为奇数确定c的值. 【详解】解：∵，且，， ∴，， ∴，． ∴，即， 又∵为奇数， ∴． 故答案为：3. 13. 如图，中，点在边上，点在线段上，点在的延长线上，且．若的面积为，的面积为，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质可得，，则，由，可得，最后根据，即可求解． 【详解】解：，， ，，即为的中点， ， ， ， ． 14. 若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“奇异方程”．如：的解为，则方程是“奇异方程”．若关于的一元一次方程是“奇异方程”，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据“奇异方程”的定义得到方程的解，再将解代入原方程得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：关于的一元一次方程是“奇异方程”， 根据定义可得方程的解， 将代入原方程得： ， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 15. 如图，是的角平分线，是的高，，，点为边上一点，当为直角三角形时，的度数为__________________． 【答案】或 【解析】 【分析】分和两种情况，分别根据角平分线、三角形高线、以及三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：是的角平分线，， ， 当时，， ； 当时，， ，， ， 综上，的度数为或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程 （1）解方程：； （2）解方程组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 得 ， 将代入①得 ， 方程组的解为． 17. 如图，在边长为的小正方形组成的网格中，三角形的顶点都在格点上． （1）请画出三角形关于直线成轴对称的三角形； （2）在直线上找到并画出点，使最小； （3）是绕着格点旋转得到的，请写出旋转方向和旋转角度（写出一种即可）． 【答案】（1）如图，三角形即为所求； （2）如图，点即为所求； （3）顺时针旋转 【解析】 【分析】（1）分别作、、、关于直线的对称点、、，再依次连接即可； （2）连接，交于点，则点即为所求； （3）观察图形即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由对称可得， 则， 当、、共线时，最小； 【小问3详解】 由图可知，旋转角为， 绕着格点顺时针旋转得到． 18. 我们知道可用求差法比较两个数的大小．例如，比较-5和-6的大小： ，． （1）请用不等式的性质说明下列结论的正确性：如果，那么． （2）已知，请用求差法比较与的大小． 【答案】（1）解：∵， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据不等式的性质说明即可； （2）根据题意用求差法比较即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∵， ∴， ∴． 19. 已知，如图，在中，是边上的中线． （1）作于点（要求：用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，若，的面积为，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以为圆心，任意长度为半径画弧交于两点，再分别以这两个点为圆心，大于这两点距离的一半为半径画弧交于一点，连接点与这个点，交于点，即可求解； （2）根据三角形的面积公式求出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，的面积为，， ，即， ， 是边上的中线， ． 20. 为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知箱甲种苹果和箱乙种苹果的售价之和为元；箱甲种苹果和箱乙种苹果的售价之和为元． （1）求甲、乙两种苹果每箱的售价． （2）某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元． 【答案】（1）甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元 （2）该公司最少需花费元 【解析】 【分析】（1）设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购买甲种苹果箱，则购买乙种苹果箱，根据“乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数”列不等式，求出的取值范围，设该公司需花费元，得到关于的一次函数，求出最小值即可． 【小问1详解】 解：设甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元， 由题意得， 解得， 答：甲、乙两种苹果每箱的售价分别为元、元； 【小问2详解】 设购买甲种苹果箱，则购买乙种苹果箱， 则， 解得， 设该公司需花费元， 则， 一个加数不变，当另一个加数最小时，和最小，， 时，最小，此时有最小值为， 答：该公司最少需花费元． 21. 一张直角三角形纸片，，其中，点，分别在边，上．将沿折叠，点的对应点为点．记为，记为，我们来探究和的数量关系． 先从特殊情况探究： （1）如图1，若，则_______，_______，由此可得：_______； 再探究一般情况： （2）如图2，若点落在直角三角形纸片内，请你猜想与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若点落在直角三角形纸片外，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1），， （2），理由如下： 如图，延长交于点F， ∵，， 由折叠知， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）由折叠得，结合，利用同旁内角互补求得，．对顶角相等得，在中，故，最终． （2）延长交于点，由三角形外角性质得，且．由折叠知，代入得，故． （3）由折叠得，，．根据平角定义得，，结合，得．将两式相加整理得． 【小问1详解】 解：如图， 由题意可得，，， 由折叠可得，， ， ， ，， ， ， ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图， 由折叠的性质可得，，， 由题意知， ①， ②， , ， ， ①+②整理得，， ． 22. 如图，在中，，，，分别是，，的对边，点是上一个动点（点与、不重合），连接，若、满足，且是不等式组的最大整数解． （1）求，，的长； （2）若平分的周长，试判断的形状，并说明理由． 【答案】（1），， （2）等腰直角三角形，理由如下： 由题意，得， 解得， ∵，， ∴为等腰直角三角形． 【解析】 【分析】（1）解关于、的方程组求出、的值，再解不等式组得到解集，取解集中的最大整数即为的值； （2）根据平分的周长可得即，结合联立方程组求解得到的长，由且，判定为等腰直角三角形． 【小问1详解】 解：解方程组，得 ； 解不等式组，得 ， ∵是不等式组的最大整数解， ∴； 【小问2详解】 略 23. 如图1，将一副直角三角板按如图1方式摆放，其中，，三点在同一条直线上，，． （1）观察猜想 将图1中的三角尺沿的方向平移至图2的位置，使得点在上．则__________． （2）操作探究 将图1中的三角尺绕点按顺时针方向旋转，使边落在的内部，如图3，且恰好平分，与相交于点，求的度数； （3）深化拓展 将图1中的三角尺绕点沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边旋转的度数为__________时，直线（直接写出结果）． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由题意得，故，同旁内角互补得．由，，，代入计算得． （2）由平分得，又，内错角相等得．根据两直线平行同旁内角互补得，代入得． （3）分两种情况讨论：第一次垂直时，延长交于，由得，而，故；第二次垂直时，延长交于，由四边形内角和得，故． 【小问1详解】 解：由题意，，，三点在同一条直线上，三角尺沿的方向平移，使得点在上， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：平分，， ， 又， ， ， ． 【小问3详解】 解：根据旋转的特征，图形中每一点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度， 边旋转的度数和边旋转的度数相同， 如图，当第一次与垂直时，延长交于点， ，， ， ，且， ， 当边旋转的度数为时，直线； 如图，当第二次与垂直时，延长交于点， ，，， ， ， 当边旋转的度数为时，直线； 综上，当边旋转的度数为或时，直线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春期期末七年级学业质量监测 数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分．每小题4个选项中，只有一个是正确的） 1. 方程的解为（ ） A. B. C. D. 2. 中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 在物理学中，匀速直线运动的物体的运动速度、时间、路程之间有以下关系：将该式去分母得，那么其变形的依据是（ ） A. 等式的性质1 B. 等式的性质2 C. 分数的基本性质 D. 以上都不对 4. 如图所示，是工人师傅用边长均为的两块正方形和一块正三角形地砖绕着点进行的铺设．若一块边长为的正多边形地砖恰好能无空隙、不重叠地拼在处，则这块正多边形地砖的边数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是年月日河南南阳的天气预报，图中展示了当日室外气温．已知室内气温比室外气温高，下列说法错误的是（ ） A. 可能是 B. C. 这一天的温差是 D. 6. 如图，将沿方向向右平移得到，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》中记载了这样一个数学问题：今有甲发长安，五日至齐；乙发齐，七日至长安．今乙发已先二日，甲乃发长安．问几何日相逢？译文：甲从长安出发，5日到齐国；乙从齐国出发，7日到长安．现乙先出发2日，甲才从长安出发．问多久后甲乙相逢？设乙出发日，甲乙相逢，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 从边形的一个顶点可引出9条对角线，则这个边形的内角和比外角和大（ ） A. B. C. D. 9. 已知不等式组的解集如图所示，则的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 42 D. 10. 如图，起重机在工作时，起吊物体前机械臂与操作台的夹角，支撑臂为的平分线．物体被吊起后，机械臂的位置不变，支撑臂绕点旋转一定的角度并伸长，此时，减小了，则的外角的变化情况为（ ） A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 减小 二、填空题（每小题3分，共15分．） 11. 如图，太阳能热水器的斜杆，竖直杆与地面构成了一个三角形，这种设计应用了一个重要的数学原理：___________________________________． 12. 已知，a，b，c是的三边长，a，b满足，且c为奇数，则______． 13. 如图，中，点在边上，点在线段上，点在的延长线上，且．若的面积为，的面积为，则的面积为________． 14. 若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“奇异方程”．如：的解为，则方程是“奇异方程”．若关于的一元一次方程是“奇异方程”，则的值为__________． 15. 如图，是的角平分线，是的高，，，点为边上一点，当为直角三角形时，的度数为__________________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解方程 （1）解方程：； （2）解方程组：． 17. 如图，在边长为的小正方形组成的网格中，三角形的顶点都在格点上． （1）请画出三角形关于直线成轴对称的三角形； （2）在直线上找到并画出点，使最小； （3）是绕着格点旋转得到的，请写出旋转方向和旋转角度（写出一种即可）． 18. 我们知道可用求差法比较两个数的大小．例如，比较-5和-6的大小： ，． （1）请用不等式的性质说明下列结论的正确性：如果，那么． （2）已知，请用求差法比较与的大小． 19. 已知，如图，在中，是边上的中线． （1）作于点（要求：用无刻度的直尺和圆规作图，保留作图痕迹，不写作法）． （2）在（1）的条件下，若，的面积为，求的长． 20. 为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售我省西部山区出产的甲、乙两种苹果．已知箱甲种苹果和箱乙种苹果的售价之和为元；箱甲种苹果和箱乙种苹果的售价之和为元． （1）求甲、乙两种苹果每箱的售价． （2）某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元． 21. 一张直角三角形纸片，，其中，点，分别在边，上．将沿折叠，点的对应点为点．记为，记为，我们来探究和的数量关系． 先从特殊情况探究： （1）如图1，若，则_______，_______，由此可得：_______； 再探究一般情况： （2）如图2，若点落在直角三角形纸片内，请你猜想与的数量关系，并说明理由； （3）如图3，若点落在直角三角形纸片外，请直接写出与的数量关系． 22. 如图，在中，，，，分别是，，的对边，点是上一个动点（点与、不重合），连接，若、满足，且是不等式组的最大整数解． （1）求，，的长； （2）若平分的周长，试判断的形状，并说明理由． 23. 如图1，将一副直角三角板按如图1方式摆放，其中，，三点在同一条直线上，，． （1）观察猜想 将图1中的三角尺沿的方向平移至图2的位置，使得点在上．则__________． （2）操作探究 将图1中的三角尺绕点按顺时针方向旋转，使边落在的内部，如图3，且恰好平分，与相交于点，求的度数； （3）深化拓展 将图1中的三角尺绕点沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当边旋转的度数为__________时，直线（直接写出结果）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $