2026年长治市高一数学期末考试模拟练习（二）

**基本信息** 2026年长治市高一数学期末模拟卷以向量几何、概率统计等情境为载体，融合抽象能力与运算推理，实现基础巩固（如集合运算）与创新应用（如偏序关系）的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|8|向量运算、集合关系、概率定义|第1题以三角形重心考查向量分解，体现几何直观| |多选题|3|函数最值、命题否定、新定义|第11题“偏序关系”考查数学抽象与逻辑推理| |填空题|3|分层抽样、频率估计、古典概型|第12题结合4S店调研考查统计应用| |解答题|5|函数图像、三角形面积、向量夹角|第16题通过降价方案比较，培养数学语言表达现实问题的能力|

2026年长治市高一数学期末考试模拟练习（二） 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 注意事项： 1.在答题卡指定区域用‌0.5毫米黑色字迹签字笔‌清晰填写姓名、准考证号、考场号等，严禁超出边框或字迹潦草 。 ‌2.将本人条形码平整粘贴在答题卡“贴条形码区”，不得折叠、破损或覆盖定位点，若条形码损坏需立即举手更换 。 3.快速翻阅试卷，确认无‌缺页、漏印、重影或字迹模糊‌等问题，如有异常须在开考前举手报告监考员，开考后通常不予延时。 一、选择题 1．如图,在中,点M,N分别是边,的中点,与相交于点G,设,,则( ) A. B. C. D. 2．在中,已知,,,P为线段上的一点,且,则的最小值为( ) A. B. C. D. 3．某战士在打靶时,连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的对立事件是( ) A.两次都不中靶 B.两次都中靶 C.至多有一次中靶 D.只有一次中靶 4．若，则“”是“”的(      ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5．已知集合，，则 (      ) A. B. C. D. 6．命题“，，使得”的否定形式是(      ) A.，，使得 B.，，使得 C.，，使得 D.，，使得 7．设全集，集合，， (      ) A. B. C. D. 8．已知命题，；命题，，则(      ) A.p和q都是真命题 B.和q都是真命题 C.p和都是真命题 D.和都是真命题 二、多项选择题 9．下列能够取得最小值为4的函数有(      ) A.函数 B.函数 C.函数 D.函数 10．下列叙述正确的是(      ) A.， B.命题“，”的否定是“，或” C.设，则“且”是“”的必要不充分条件 D.命题“，”的否定是真命题 11．对于一个非空集合B，如果满足以下四个条件： ①； ②，； ③，若且，则； ④，若且，则. 就称集合B为集合A的一个“偏序关系”，以下说法正确的是(      ) A.设，则满足是集合A的一个“偏序关系”的集合B共有3个 B.设，则集合是集合A的一个“偏序关系” C.设，则含有四个元素且是集合A的“偏序关系”的集合B共有6个 D.是实数集R的一个“偏序关系” 三、填空题 12．某汽车4S店欲通过分层随机抽样了解A、B、C三个小区居民对新能源汽车的购买意愿.已知这三个小区的人口分别为1200人、800人、500人,若总样本量为100人,则应从C小区抽取_______________人. 13．在一个不透明的纸盒中装有2个白球和若干个红球,这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出1个球,记下颜色后再放回袋中,通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近,则袋子中红球约有_____________个. 14．若,则为整数的概率为__________. 四、解答题 15．已知集合，. (1)若，求，； (2)“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围. 16．某网店的最新商品计划分两次降价促销，有三种方案：A：第一次降价百分率为m，第二次降价百分率为n；B：第一次降价百分率为n，第二次降价百分率为m；C：第一次降价百分率为，第二次降价百分率为. 其中. （1）经过两次降价后，请把三种方案降价后的价格从大到小排列； （2）证明你的结论. 17．给定函数. (1)在同一直角坐标系中画出函数的图像； (2)表示中的较大者,记为.结合图像写出函数的解析式,并求的最小值. 18．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，且. (1)求B的大小； (2)求面积的最大值. 19．已知向量，，且与的夹角为. (1)求； (2)若与的夹角为锐角，求实数λ的取值范围. 参考答案 1．答案：D 解析：由题意可得G为三角形重心, 所以 . 故选:D. 2．答案：D 解析：中设,,, 因为,, 所以, 即, 所以, 因为,所以, 所以,又,所以, 又因为,所以, 又,所以, 在中,,,, 根据,所以,, , 以所在的直线为x轴,以所在的直线为y轴建立直角坐标系, 可得,,,所以,, P为线段上的一点, 则存在实数λ使得, 设,,则,, 所以,则, 所以,,则, 所以, 当且仅当,即,时,等号成立, 此时, 所以的最小值为. 3．答案：A 解析：打靶连续射击两次的所有样本点有(中靶,中靶),(中靶,脱靶),(脱靶,中靶),(脱靶,脱靶),“至少有一次中靶”包含(中靶,中靶),(中靶,脱靶),(脱靶,中靶),其对立事件是(脱靶,脱靶),即两次都不中靶.故选A. 4．答案：C 解析：解法一：因为，且，所以，即，即，所以.所以“”是“”的充要条件. 解法二：充分性：因为，且，所以，所以，所以充分性成立； 必要性：因为，且，所以，即，即，所以，所以必要性成立.所以“”是“”的充要条件. 解法三：充分性：因为，且，所以，所以充分性成立；必要性：因为，且，所以，所以，所以，所以，所以必要性成立.所以“”是“”的充要条件.故选C. 5．答案：D 解析：因为，，所以，则，.故选D. 6．答案：D 解析：由全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题得命题“，，使得”的否定形式是“，，使得”.故选D. 7．答案：A 解析：因为整数集，，所以.故选A. 8．答案：B 解析：对于p而言，取，则有，故p是假命题，是真命题，对于q而言，取，则有，故q是真命题，是假命题，综上，和q都是真命题.故选B. 9．答案：BCD 解析：对A：， 当且仅当，即时等号成立，故A错误； 对B：，当且仅当，即时等号成立，故B正确； 对C：， 当且仅当，即时等号成立，故C正确； 对D：， 当且仅当，即时等号成立，故D正确. 10．答案：ABD 解析：对于A：当时，，所以，为真命题，故A正确； 对于B：命题“，”的否定是“，或”，故B正确； 对于C：由且，可以推出，故“且”是“”的充分条件，故C错误； 对于D：命题“，”的否定为，，显然，则命题，为真命题，故D正确.故选ABD. 11．答案：ACD 解析：A选项，，则，通过分析②可知，，分析③可知，和只能二选一或两者均不能在集合B中，取，或，或，故满足是集合A的一个“偏序关系”的集合B共有3个，A正确；B选项，集合，且，但，故②不成立，故B错误；C选项，，通过分析②可知，，结合③和④，可再添加一个元素，即从，，，，，中任选一个，即取，或，或，或，或，或，共6个，C正确； D选项，，满足①②，，若，则且，所以，满足③，，若且，则，，所以，则，满足④，故是实数集R的一个“偏序关系”，D正确.故选ACD. 12．答案：20 解析：4S店欲通过分层随机抽样了解A、B、C三个小区居民对新能源汽车的购买意愿. 这三个小区的人口分别为1200人、800人、500人, 若总样本量为100人,则应从C小区抽取人. 故答案为:20. 13．答案：8 解析：设袋中红球个数约为x,摸到红球的频率稳定在0.8附近,,解得. 14．答案： 解析：因为,所以a有4种选法,b也有4种选法,总的选法有种. 而为整数的有:当时,或4,此时或2,有2种; 当时,或9,此时或2,有2种; 当时,,此时,有1种; 当时,,此时,有1种,所以满足为整数的有6种结果, 所以为整数的概率为. 15．答案：(1)，或； (2). 解析：(1)当时，， 所以或， 又，解不等式得， 所以， 所以，或； (2)因为“”是“”的充分不必要条件，所以B是A的真子集， 又，， 所以或，解得或， 故实数a的取值范围是. 16．答案：（1） （2）证明见解析 解析：（1）不妨令，，可计算得到，， 故两次降价后，三种方案降价后的价格从大到小排列为. （2）证明：设原先的价格为a，则方案A经过两次降价后，价格变为； 方案B经过两次降价后，价格变为； 方案C经过两次降价后，价格变为， 显然方案A，B降价后的价格相同. 因为 . 因为，所以，可得， 即，所以. 17．答案：(1)图象见解析 (2), 解析：(1)对于,过作一条直线即可得到的图象, 对于是对称轴为,开口向上的抛物线,过作平滑曲线可得的图象,图象如图所示, (2)由,得或, 结合图象,可得的解析式为, 结合图象可知,当时,. 18．答案：(1) (2). 解析：(1)∵在中，，且， ∴， 由正弦定理得. ∵，，∴. ∵， ∴. ∵，，， ∴，∴，∴. (2)由(1)知，且， ∴由余弦定理得，整理得. 又∵，当且仅当时，等号成立， ∴，即，当且仅当时，等号成立. ∴， ∴面积的最大值为. 19．答案：(1)； (2). 解析：(1)由向量，，得，，且， 由与的夹角为，得，解得，则， 于是，所以. (2)由(1)知向量， 则，， 由与的夹角为锐角，得且与不共线， 由，解得且， 所以实数λ的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $