期末综合限时小卷（10）-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册

**基本信息** 2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册期末综合限时小卷，40分钟67分，涵盖复数、概率、解三角形、向量、立体几何等核心知识，通过选择、多选、填空、解答题梯度设计，考查数学眼光（空间观念）、思维（推理运算）与语言（模型应用），适配期末复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|4/20|复数几何意义、古典概型、正弦定理、向量夹角|基础概念辨析，如复数象限判断、向量垂直条件转化| |多选题|2/12|四面体截面性质、解三角形综合|空间观念与推理结合，如正方形截面推证线面垂直与平行| |填空题|2/10|复数模的几何意义、向量数量积|数学语言应用，如复数模表示圆面积计算| |解答题|2/25|立体几何线面角、异面直线角、解三角形|综合能力考查，如矩形中线面角求解及正弦定理应用|

期末综合限时小卷（10）-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册 (考试时间40分钟 分值67分) 一、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1.已知复数z＝(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为(　　) A． B． C． D．1 3.在△ABC中，若sinA＝sinC，B＝30°，b＝2，则△ABC的面积为(　　) A．1 B． C．2 D．4 4.已知非零向量a，b满足|b|＝|a|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为(　　) A．45° B．135° C．60° D．120° 二、多选题：本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 5. 如图，在四面体ABCD中，P，Q，M，N分别是棱AB，BC，CD，AD的中点，截面PQMN是正方形，则下列结论正确的是(　　) A．AC⊥BD B．AC∥截面PQMN C．AC＝CD D．异面直线PM与BD所成的角为45° 6.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，b＝4，且acosC＋ccosA＝2bcosB，则下列结论正确的是(　　) A．B＝ B．△ABC外接圆的面积为16π C．△ABC面积的最大值为4 D．a＋c的最大值是8 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分. 7.若复数z满足|z－i|≤2(i为虚数单位)，则z在复平面内所对应的图形的面积为________． 8. 若向量a＝(1，1)，b＝(2，5)，c＝(3，x)，且满足(8a－b)·c＝30，则x＝________． 四、解答题：本题共2小题，共25分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9.(12分) 如图，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PD＝DC＝2，BC＝2. (1)求PB与平面ADC所成的角的大小； (2)求异面直线PC与BD所成角的正弦值． 10.（13分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，. (1)若，求边c的值； (2)若. （ⅰ）求的值；（ⅱ）求的面积. 期末综合限时小卷（10）-2025-2026学年高一下学期数学湘教版必修第二册答案 一、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. CCBB 二、多选题：本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分. 5.ABD 6.AD 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分. 7. 8π 8. 四、解答题：本题共2小题，共25分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 9. (1)因为PD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以PD⊥BD， 所以∠PBD即为PB与平面ADC所成的角． 因为四边形ABCD是矩形，所以BC⊥DC， 所以BD＝2，tan∠PBD＝＝， 又0°≤∠PBD≤90°，所以∠PBD＝30°， 即PB与平面ADC所成的角的大小为30°. (2)取PA的中点G，连接OG，DG，如图． 显然OG∥PC，所以∠DOG(或其补角)即为异面直线PC与BD所成的角． 因为OG＝PC＝，OD＝BD＝，DG＝PA＝，所以△OGD是等腰三角形，作底边的高，易求出sin∠DOG＝，所以异面直线PC与BD所成角的正弦值为. 10. 【详解】（1）， 由正弦定理，， 得. （2）（ⅰ）由正弦定理及， 得， 即， 又， 所以， 所以，即. （ⅱ）由余弦定理，， 把，，代入， 得， 即，解得， 所以， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $