精品解析：甘肃省兰州西北中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试卷

2024-2025学年度第二学期期末考试高一数学 一.单选题，本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知圆锥的底面半径是1，高为，则圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 3. 已知事件与事件相互独立，且，则（ ） A 0.1 B. 0.12 C. 0.58 D. 0.7 4. 设是虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，事件：，事件，事件，则下列正确的是（ ） A. B. C. 互斥 D. 相互独立 8. 在三棱锥中，，平面平面，，，，则（ ）. A. B. C. D. 二.多选题，本题共3小题，每小题6分，共18分，选对但不全得部分分，有错选得0分. 9. 有两组样本数据：和，则这两组样本数据（ ） A. 样本平均数不相同 B. 样本中位数相同 C. 样本标准差不相同 D. 样本极差相同 10. 已知向量，其中均为正数，且，下列说法正确的是（ ） A. 与的夹角为钝角 B. 向量在方向上的投影为 C. D. 的最大值为2 11. 已知，，是不同的平面，，，是不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则，，两两平行 C 若，，，则 D. 若，，，则 三.填空，每小题5分；共15分 12. ______. 13. 如图，作用于同一点的三个力，，处于平衡状态，已知，．与的夹角为，则的大小为_______. 14. 函数，，则此函数的值域是______. 15. 某工厂的A、B、C三个不同车间生产同一产品的数量（单位：件）如下表所示．质检人员用分层抽样的方法从这些产品中共抽取6件样品进行检测： 车间 A B C 数量 50 150 100 （1）求这6件样品中来自A、B、C各车间产品的数量； （2）若在这6件样品中随机抽取2件进行进一步检测，求这2件产品来自相同车间的概率． 四.解答题，写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共77分 16. 如图,在四棱锥P－ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点．求证: （1）平面AEC; （2）平面AEC⊥平面PBD． 17. Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展，某中学举行了Matlab科普讲座后进行了问答比赛，已知甲乙两个同学互不影响地参加比赛，甲、乙答对每一道题的概率分别为与，乙连续2次答错的概率为． （1）求乙答对题的概率； （2）若甲、乙两人各回答2次，求两人共答对3次的概率． 18. 如图，四棱锥中，，四边形PACQ直角梯形，，，且，. （1）求证：直线平面PAB； （2）若直线CA与平面PAB所成线面角为，求三棱锥的体积. 19. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题． 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知______． （1）求角C值； （2）若的面积，试判断的形状． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期期末考试高一数学 一.单选题，本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接对已知式子化简即可 【详解】， 故选：A． 2. 已知圆锥的底面半径是1，高为，则圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式可求得答案. 【详解】因为圆锥的底面半径是1，高为， 所以圆锥的母线长为， 所以圆锥的侧面积为. 故选：D 3. 已知事件与事件相互独立，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.12 C. 0.58 D. 0.7 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的概率及概率的基本性质计算得解. 【详解】由事件与事件相互独立，，得， 所以. 故选：C 4. 设是虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的模长公式以及复数的除法运算化简，即可由共轭复数的定义求解坐标. 【详解】由可得，所以对应的点为，位于第四象限， 故选：D 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据切化弦以及两角和差公式解出，代入两角差的余弦公式即可. 【详解】由题意可得， 即，， 故. 故选：A. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二倍角公式求出，再利用同角公式计算得解. 【详解】由，得，解得， 两边平方得，所以. 故选：D 7. 一个质地均匀的正八面体的八个面上分别标有数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，事件：，事件，事件，则下列正确的是（ ） A. B. C. 互斥 D. 相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】利用互斥事件和对立事件的定义判断可得出结果. 【详解】对于A:事件发生时，事件不一定发生，所以A错； 对于B: 时，事件发生同时不发生，所以B错； 对于C: 时，A,B同时发生，所以C错； 对于D: ，则相互独立，所以D正确. 故选：D 8. 在三棱锥中，，平面平面，，，，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用勾股定理与特殊角求得，再由面面垂直的性质定理推得，从而得解. 【详解】依题意，作出图形如图， 因为，，所以， 因为，，所以， 因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以． 故选：C. 二.多选题，本题共3小题，每小题6分，共18分，选对但不全得部分分，有错选得0分. 9. 有两组样本数据：和，则这两组样本数据的（ ） A. 样本平均数不相同 B. 样本中位数相同 C 样本标准差不相同 D. 样本极差相同 【答案】AD 【解析】 【分析】利用平均数、中位数、标准差、极差的意义逐项分析判断即可. 【详解】对于A，两组数据的平均数分别为，，故A正确； 对于B，数据的中位数是2，数据的中位数是4，故B错误； 对于C，两组数据的标准差都为，故C错误； 对于D，两组数据的极差分别为，故D正确. 故选：AD 10. 已知向量，其中均为正数，且，下列说法正确的是（ ） A. 与的夹角为钝角 B. 向量在方向上的投影为 C. D. 的最大值为2 【答案】CD 【解析】 【分析】通过求出，向量在方向上的投影，利用平行关系结合基本不等式，即可得出结论. 【详解】由题意，均为正数， ， A项， ∵， ∴与的夹角不为钝角，A错误； B项， ∵， ∴向量在方向上的投影为，B错误； C项， ∵，， ∴，即，C正确； D项， ∵，即，当且仅当时等号成立， ∴的最大值为2，D正确； 故选：CD. 11. 已知，，是不同的平面，，，是不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，则，，两两平行 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】CD 【解析】 【分析】根据空间中点、线、面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，若，，则或相交或异面，所以A不正确； 对于B中，若，，，则，，两两平行或相交于一点，所以B不正确； 对于C中，如图所示，设,, 在平面取一点，过点分别作， 因为，，且，所以，同理可证， 又因为，即，所以， 因且平面，所以，所以C正确； 对于D中，由，，，根据面面平行的性质，可得，所以D正确. 故选：CD. 三.填空，每小题5分；共15分 12. ______. 【答案】 【解析】 【分析】根据两角和的正弦公式即可求值． 【详解】由正弦的两角和公式逆运算可得 ， 故答案为：． 13. 如图，作用于同一点的三个力，，处于平衡状态，已知，．与的夹角为，则的大小为_______. 【答案】1 【解析】 【分析】利用共点力的平衡条件，得到，移项，解出即可． 【详解】，，三个力处于平衡状态，，即， 则 故答案为：1 14. 函数，，则此函数的值域是______. 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简，然后由正弦函数性质求解可得. 【详解】， 因为，所以， 所以，所以， 即此函数的值域为. 故答案为： 15. 某工厂的A、B、C三个不同车间生产同一产品的数量（单位：件）如下表所示．质检人员用分层抽样的方法从这些产品中共抽取6件样品进行检测： 车间 A B C 数量 50 150 100 （1）求这6件样品中来自A、B、C各车间产品的数量； （2）若在这6件样品中随机抽取2件进行进一步检测，求这2件产品来自相同车间的概率． 【答案】（1）这6件样品中来自A、B、C各车间产品的数量分别为1，3，2 （2） 【解析】 【分析】（1）求出A、B、C三个不同车间生产同一产品的数量之比，从而求出这6件样品中来自A、B、C各车间产品的数量； （2）利用列举法求出古典概型的概率. 【小问1详解】 因为A、B、C三个不同车间生产同一产品的数量之比为， 故这6件样品中来自A车间的产品数量为，来自B车间产品的数量为， 来自C车间产品的数量为， 故这6件样品中来自A、B、C各车间产品的数量分别为1，3，2. 【小问2详解】 来自A车间产品设为，来自B车间的产品设为，来自C车间产品设为， 在这6件样品中随机抽取2件进行进一步检测，有以下情况： ，共15种情况， 其中这2件产品来自相同车间的情况有，共4种情况， 故这2件产品来自相同车间的概率为. 四.解答题，写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共77分 16. 如图,在四棱锥P－ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点．求证: （1）平面AEC; （2）平面AEC⊥平面PBD． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】(1) 设,连接,根据中位线可得,再根据线面平行的判定定理即可证明; (2)根据可得,根据四边形为菱形,可得,再根据线面垂直的判断定理可得平面,再根据面面垂直的判定定理即可得出结果. 【小问1详解】 设,连接,如图所示: 因为O,E分别为,的中点,所以, 又因为平面,平面, 所以平面． 【小问2详解】 连接,如图所示: 因为,为的中点,所以, 又因为四边形为菱形,所以, 因为平面,平面,且, 所以平面,又因为平面, 所以平面平面． 17. Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展，某中学举行了Matlab科普讲座后进行了问答比赛，已知甲乙两个同学互不影响地参加比赛，甲、乙答对每一道题的概率分别为与，乙连续2次答错的概率为． （1）求乙答对题概率； （2）若甲、乙两人各回答2次，求两人共答对3次的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出关于的方程解得即可. （2）两人共答对3次，只可能为甲答对2次乙答对1次或甲答对1次乙答对2次，列式解得即可. 【小问1详解】 设“甲答对每题的概率”为事件，“乙答对每题的概率”为事件， 由已知， 则乙连续2次答错的概率， 由题意得，解得或（舍去）， 乙答对题的概率为． 【小问2详解】 事件甲、乙两人各回答2次，两人共答对3次，可表示为事件：甲答对一次、乙2次全部答对， 与事件：乙只答对一次、甲2次全部答对的和事件． 甲答对一次、乙2次全部答对的概率为， 乙只答对一次、甲2次全部答对的概率为， 故两人共答对3次的概率为． 所以甲、乙两人各回答2次，两人共答对3次的概率为． 18. 如图，四棱锥中，，四边形PACQ为直角梯形，，，且，. （1）求证：直线平面PAB； （2）若直线CA与平面PAB所成线面角为，求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理逆定理得到，再由可证明线面垂直；（2）在第一问的基础上找到，用等体积法求解三棱锥的体积. 【小问1详解】 证明：，， 即， ∴，又∵， ∴平面ABC， ∵平面ABC， ∴ ∵， ∴平面. 【小问2详解】 过点B作，垂足为H，连接PC， ∵平面ABC，BH平面ABC， ∴， ∵， ∴平面PACQ， ∵由（1）得：直线平面PAB ∴直线CA与平面PAB所成线面角为∠CAB， ∴， ∴， 其中， ∴ 19. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题． 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知______． （1）求角C的值； （2）若的面积，试判断的形状． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1） （2）钝角三角形 【解析】 【分析】(1) 方案一：选条选①，根据正弦定理和两角和的正弦公式得到，再利用诱导公式和三角形内角和定理即可求解； 方案二：选条选②，先利用正弦定理、诱导公式和三角形内角和定理得到，再利用两角和的正弦公式即可求解； 方案三：选条件③，利用正弦定理、诱导公式和两角和的正弦公式得出，然后利用同角三角函数的基本关系即可求解； (2)结合（1）的结论利用余弦定理和三角形面积可得，然后代入即可求解. 【小问1详解】 方案一：选条选①． 由，得， 得，即． ∵，∴，∴， 又，∴． 方案二：选条件②． 由，得， 即， 于是， 因此，∵，∴，∴， 即， ∵，∴，∴，故． 方案三：选条件③． 由正弦定理，得， 即，∴， 又，∴，∴，即，∴． 【小问2详解】 在中，，由余弦定理得， 又，∴， 整理得，得，此时， ∴，∴B为钝角，故是钝角三角形． 【点睛】方法点睛：判断三角形形状的方法：（1）角化边，通过正、余弦定理化角为边，通过因式分解、配方等方法得出边与边之间的关系，进行判断；（2）边化角，通过正、余弦定理化边为角，利用三角恒等变换、三角形内角和定理及诱导公式等推出角与角之间的关系，进行判断．无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项、提取公因式，否则会有遗漏一种情况的可能．注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $