3.3探索与表达规律-课件-2026-2027学年北师大版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦“探索与表达规律”核心知识点，通过日历情境导入，引导学生观察横、竖、对角线数字关系，从具体问题到猜想规律再用整式表示，构建从具体到抽象的学习支架，衔接整式加减知识。 其亮点在于情境化探究与规律验证结合，以日历、图形规律为例，培养学生抽象能力和推理意识，练习题分层覆盖数字、图形等规律，帮助学生形成模型观念。学生能提升观察归纳能力，教师可高效开展课堂检测与巩固。

北师大版数学七年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月7日 3.3探索与表达规律 第三章 整式及其加减 北师大版七年级上册数学3.3探索与表达规律练习题 本套练习题围绕探索与表达规律核心知识点设计，重点考查数字数列规律、奇偶规律、等差规律、图形排列规律、数形结合规律、用整式表示通用规律、规律验证等重难点。聚焦学生找规律无从下手、规律表达式写错、不会验证规律等高频问题，题型循序渐进、贴合课本考点，覆盖基础数字规律、图形规律、实际周期规律，适合课堂检测与课后巩固，帮助学生掌握观察、猜想、归纳、验证的解题思路。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 数列：1，3，5，7，9，…，第n个数是（ ） A. $$2n-1$$ B. $$2n+1$$ C. $$n+2$$ D. $$2n$$ 2. 数列：2，4，6，8，10，…，第10个数是（ ） A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 3. 观察点阵规律，第1个图4个点，第2个图7个点，第3个图10个点，则第n个图点数为（ ） A. $$3n+1$$ B. $$3n-1$$ C. $$4n$$ D. $$3n$$ 4. 数列：1，4，9，16，25，…，第n个数是（ ） A. $$n$$ B. $$2n$$ C. $$n^2$$ D. $$n^2+1$$ 5. 下列关于规律探索的说法正确的是（ ） A. 找到前2项规律即可直接写式子 B. 规律表达式无需验证 C. 找到规律后需代入多项验证 D. 所有数列都能用一次整式表示 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 数列：2，5，8，11，14，…，相邻两个数的差为定值________，第n个数为________。 2. 数列：1，2，4，8，16，…，第6个数是________。 3. 一组式子：$$a,2a^2,3a^3,4a^4\cdots$$，第n个式子是________。 4. 连续偶数：0，2，4，6，…，第n个数为________。 5. 观察规律：$$1\times2,2\times3,3\times4,4\times5\cdots$$，第n个式子为________。 三、解答题（共60分） 1.（20分）探究数字数列规律，写出第n项整式表达式： （1）4，7，10，13，16，… （2）1，5，9，13，17，… 2.（20分）图形规律探究： 用火柴棒摆三角形，第1个图形用3根火柴，第2个相连三角形用5根，第3个相连三角形用7根…… （1）写出第4、5个图形所需火柴棒数量；（2）求第n个图形需要的火柴棒根数（用含n的整式表示）。 3.（20分）算式规律探究与验证： 观察下列等式：$$1\times3+1=4$$，$$2\times4+1=9$$，$$3\times5+1=16$$，$$4\times6+1=25$$…… （1）写出第5个等式；（2）猜想第n个等式（用含n的整式表示）并简单验证。 参考答案及解析 一、选择题 1.A 解析：连续奇数，首项1，公差2，通项$$2n-1$$。 2.B 解析：连续偶数，第n个数为$$2n$$，第10个数为20。 3.A 解析：相邻点数差3，首项4，通项$$3n+1$$。 4.C 解析：数列依次为1²、2²、3²……，第n项为$$n^2$$。 5.C 解析：探索规律需多观察、归纳后代入验证，避免片面出错。 二、填空题 1. 3；$$3n-1$$ 2. 32 3. $$na^n$$ 4. $$2n-2$$ 5. $$n(n+1)$$ 三、解答题 1. （1）规律：后项比前项大3，第n项：$$3n+1$$； （2）规律：后项比前项大4，第n项：$$4n-3$$。 2. 解：（1）第4个：9根，第5个：11根； （2）规律：每增加一个三角形增加2根火柴，第n个图形需要$$2n+1$$根火柴棒。 3. 解：（1）第5个等式：$$5\times7+1=36$$； （2）第n个等式：$$n(n+2)+1=(n+1)^2$$； 验证：左边$$=n^2+2n+1$$，右边$$=n^2+2n+1$$，左右相等，规律成立。 情境引入 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 你说我猜： 提示：(1) 请找出同一横线上三个相邻数之间的关系； (2) 请同学们找一找竖列三个相邻数的关系； 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 探究点一：日历规律 (3) 请同学们找一找左上右下对角线上三个相邻数的关系； (4) 请同学们找一找左下右上对角线上三个相邻数的关系. 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 探究点一：日历规律 问题2：日历图的套色方框中的 9 个数之和与该方框正中间的数有什么关系？ 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 套色方框 9 个数之和是 90，是正中间的数 10 的 9 倍。 探究点一：日历规律 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 问题3：这个关系对其他这样的方框成立吗？ 成立。如：套色方框 9 个数之和是 126， 是正中间的数 14 的 9 倍。 探究点一：日历规律 问题4：这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？ 成立 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 绿色方框中九个数之和 = 9×正中间的数 猜想： 探究点一：日历规律 a a-7 a+8 a-8 a+6 a-6 a+7 a-1 a+1 (a-8)+(a-7)+(a-6)+(a-1)+a+(a+1)+(a+6)+(a+7) +(a+8) = ______ 9a 结论：绿色方框中九个数之和 = 9×正中间的数 用代数式表示： 探究点一：日历规律 【尝试思考】 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (1) 如图所示的日历图中，能否使框中 9 个数的和为144? 180 呢? 为什么? 9a = 144 9a = 180 a = 20 a = 16 可以为 144。 和不能为 180。 探究点一：日历规律 (2) 在某个月的日历中，恰好有五个星期日位于同一列且日期数的和为 80，这个月的第一个星期日是几号? 星期日 x x+7 x+14 x+21 x+28 x + x + 7 + x + 14 + x + 21 + x + 28 = 80 5x + 70 = 80 x = 2 这个月的第一个星期日是 2 号。 探究点一：日历规律 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 十字形中的数字有何规律？你是如何验证的？ 规律：十字形中五数之和 = 5×中间数 探究点一：日历规律 【思考交流】 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 规律: “H”形中七数之和 = 7×中间数 “H”形中的数字有何规律？你是如何验证的？ 探究点一：日历规律 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 你还能设计其他形状的包含数字规律的数框吗？ “X”形 探究点一：日历规律 探索规律的一般步骤： 猜 想 规 律 表 示 规 律 验 证 规 律 具 体 问 题 观察、比较 成立 得出结论 不成立 探 索 重 新 回 头 探究点一：日历规律 【归纳总结】 探究点二：图形规律 讨论：观察下列图形： (1) 依照此规律，第 20 个图形共有几个五角星？ 解：(1) 由图形可得，第1个图中，五角星有3个(3×1)； 第 2 个图中，五角星有 6 个 (3×2)； 第 3 个图中，五角星有 9 个 (3×3)； 第 4 个图中，五角星有 12 个 (3×4)； 所以第 n 个图中有五角星 3n 个. 所以第 20 个图中五角星有 3×20 = 60(个). (2) 摆成第 n 个图形需要几个五角星？ (3) 摆成第 2015 个图形需要几个五角星? (2) 摆成第 n 个图形需要 3n 个五角星. (3) 摆成第 2015 个图形需要 6045 个五角星. 方法总结：此题首先要结合图形具体数出几个值，注意由特殊到一般的分析方法. 探究点二：图形规律 例1 用棋子摆成的 “T” 字形如图所示，按照图①，图②，图③的规律摆下去，摆成第 n 个 “T” 字形需要的棋子个数为( ) 探究点二：图形规律 A A. 3n + 2 B. 4n + 1 C. 3n + 5 D. 3n + 1 图① 图② 图③ ··· 如图所示是一个按规律排列的数表，用含 n 的代数式( n 为正整数)表示数表中第 n 行第 n 列的数为 . (n－1)n＋1 探究点三：数阵规律 方法总结：在认真观察、分析的基础上，将数或式中的有关数字进行分解、组合变形，从中探索变化规律是解决此类问题的关键. 【变式训练】 有一列数：1，2，3，4，5，6，···，当按顺序从第二个数数到第 n 个数时，共数了 个数； 当按顺序从第 m 个数数到第 n 个数(n＞m) 时，共数了 个数. (n－1) (n－m＋1) 探究点三：数阵规律 知识点1 与月历表有关的规律 1. 如图，这 是某月的月历，用十字形框随意框出 五个数，所框的五个数的和一定 ( ) D A. 能被2整除 B. 能被3整除 C. 能被4整除 D. 能被5整除 中考考法 20 2. 如图是某月的月历，“横3”和“竖3”两个阴影图形分别覆盖 其中3个数字（两个阴影图形可以重叠覆盖，也可以上下左 右移动）.设“横3”覆盖的数字之和为 ，“竖3”覆盖的数字之 和为，若，则 的最小值为____. 51 中考考法 21 【点拨】设“横3”覆盖的中间的数 字为 ，“竖3”覆盖的中间的数字 为 ， 由题意得 ， ， 所以 , 中考考法 22 所以，则 ， 所以， 为同一横行上相邻的两 个数字, . 所以当最小时， 最小. 根据题图可知， 的最小值为8， 所以 的最小值为 . 中考考法 知识点2 与数式、数阵有关的规律 3. 按一定规律排列的单项式：2，，,,， ，则 第 个单项式是( ) B A. B. C. D. 中考考法 24 4. 如图，将全体正偶数排成一个三角 数阵，从上向下数有无数多行，其中第 1行有1个数为2；第2行有2个数为4， 6；…；第行有 个数….探究其中规律， 你认为第 行从左至右第3个数不可能是 ( ) C A. 36 B. 96 C. 226 D. 426 中考考法 25 知识点3 与图形有关的规律 5. 下 列图形都是由同样大小的小圆 D A. 64 B. 77 C. 80 D. 85 圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆 圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有 19个小圆圈， .按此规律排列，则第⑦个图形中小圆圈的 个数为( ) 中考考法 26 6. 如图是利用白灰两种颜色的五边形组成的图案，根据图案 组成的规律回答下列问题： （1）图案④中灰色五边形有___个，白色五边形有____个. （2）图案 中灰色五边形有___个，白色五边形有________ __个.（用含 的式子表示） 4 13 中考考法 27 （3）图案 中的白色五边形可能为2 026个吗？若可能，请 求出 的值；若不可能，请说明理由. 【解】可能.由题意，得，解得 . 故图案 中的白色五边形可能为2 026个. 中考考法 28 7. 如图，在边长 为1的正方形网格纸中连接相邻格点构造 “回形线”，“回形线”交射线于点 ， ，， ，.从点到点 的“回形 线” 记为第1圈， D A. 99 B. 144 C. 480 D. 799 其长度为7;从点到点 的“回形线”记为第2圈，其长度为 15;….依次类推，则“回形线”第 圈的长度有可能是( ) 中考考法 29 【点拨】第1圈的长度为 ，第2圈的长度为 ，第3圈的长度为 ， ,则第 圈的 长度为 .因为 为正整数，所以 易知“回形线”第 圈的长度有可能是799. 中考考法 30 8. 在迎新联欢会上，数学老师和同学们 做了一个游戏.她在，， 三个盘子里分别放了一些小球， 小球数依次为，，，记为 .游戏规则如 下：三个盘子中的小球数 ，从小球最多的一个 盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个，记为一次操 作；次操作后的小球数记为 .若 ，则________， ________. 中考考法 31 【点拨】因为，所以 ， ，， ， ，， ， ，， ，所以从 开始每3次为 一个周期循环.因为 ，所以 中考考法 32 9. 观察下列图形与等式的关系，解决下列问题：#1 第1个图： ;#1.1 第2个图： ;#1.2 第3个图： ;#1.3 中考考法 33 第4个图： ；#1.4 …#1.5 （1）第5个图中空白部分小正方形的个数是____， 第6个图中空白部分小正方形的个数满足的等式为_________ ___________； 11 中考考法 34 （2）用含的等式表示第 个图中空白部分小正方形的个数 满足的规律：______________________________________； 【解】 中考考法 35 （3）运用上述规律计算： . 由（2）的规律可得， . 中考考法 36 10. 下列图形是由边长为1的小正方形 按照一定规律组成的.观察图形,解答下列各题： 中考考法 37 （1）按上述规律排列，第⑤个图形的周长为____； 26 【点拨】因为第①个图形的周长为 ，第②个图 形的周长为 ，第③个图形的周长为 ，第④个图形的周长为 ，所以 第⑤个图形的周长为 . 中考考法 38 （2）按上述规律排列，第 个图形的周长为_______； 中考考法 39 （3）按上述规律排列，是否存在第 个图形的周长为60， 请说明理由. 中考考法 40 【解】不存在.理由如下： 若第 个图形的周长为60，则 , 解得 . 因为为正整数，所以 不符合题意. 所以不存在第 个图形的周长为60. 中考考法 41 11. 已知有序整式串：， ，对其进行如下操作： 第1次操作：用第一个整式减去第二个整式得到一个整式， 将得到的整式作为新整式串的第一项，即得到新整式串： ，， ； 第2次操作：用第一个整式减去第二个整式得到一个整式， 将得到的整式作为新整式串的第一项，即得到新整式串： ，，， ； 中考考法 42 依次进行操作.下列说法： ①第3次操作后得到的新整式串为，， ， ， ； ②第11次操作后得到的新整式串各项之和与第22次操作后得 到的新整式串各项之和相等； ③第2 031次操作后得到的新整式串各项之和为 . 其中正确的个数是( ) B A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 中考考法 43 【点拨】由题意可得，第1次操作后得到新整式串： ， ，，各项之和为 ；第2次操作后得到新整式 串：，，，，各项之和为 ；第3次操作 后得到新整式串：，，，， ，故说法 ①正确，各项之和为；第4次操作后得到新整式串： ， ，，，， ，各项之和为0；第5次操作 后得到新整式串：，，，，，， ， 中考考法 44 各项之和为；第6次操作后得到新整式串：，， ， ，，，，，各项之和为 ；第7 次操作后得到新整式串：，，，， ， ，，，，各项之和为 ；….所以，各项 之和以及各项的首项都以6次操作为一个周期依次循环.因为 ，所以第2 031次操作后得到的新整式 串各项之和与第3次操作后得到的新整式串各项之和相同， 中考考法 为，故说法③错误.因为 ,所以第11次操作 后得到的新整式串各项之和与第5次操作后得到的新整式串 各项之和相等，都是.因为 ,所以第22次操 作后得到的新整式串各项之和与第4次操作后得到的新整式 串各项之和相等，都是0，故第11次操作后得到的新整式串 各项之和与第22次操作后得到的新整式串各项之和不相等， 故说法②错误.故选B. 中考考法 数式变化中的规律 图形拼接中的规律 探索与表达规律 探索 猜想 验证 特殊 一般 课堂小结 $