3.3 探索与表达规律（课件）-2026-2027学年北师大版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦“探索与表达规律”，以日历情境导入，引导学生观察横、竖、对角线数字关系，通过具体问题观察、猜想规律、符号表示、验证规律的步骤，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接整式加减知识。 其亮点在于结合日历、图形、数阵等现实情境，培养数学眼光中的抽象能力与创新意识，通过代数式推导验证规律发展数学思维中的推理能力，用符号语言表达规律体现数学语言的应用。如日历3×3方框规律探究，从观察到猜想再到代数式证明，学生能提升探究能力，教师可借助分层练习和清晰步骤提高教学效率。

北师大版数学7年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月18日 3.3探索与表达规律 第三章 整式及其加减 北师大版数学七年级上册3.3探索与表达规律练习题 班级：________ 姓名：________ 得分：________ 时间：40分钟 一、基础题（每题10分，共30分） 1. 观察日历中的数字规律（如图，方框为3×3套色方框），回答下列问题： （1）若方框正中间的数为a，用含a的代数式表示方框中左上角的数是________； （2）若方框中9个数的和为108，求正中间的数a的值（写出解题过程）； （3）试说明：任意一个3×3套色方框中，9个数的和一定是中间数的9倍（结合代数式证明）。 2. 观察下列单项式：x，-2x²，3x³，-4x⁴，5x⁵，…，按此规律，第n个单项式是________（用含n的代数式表示）。 3. 用火柴棒按如图方式搭三角形，第1个图形用3根火柴棒，第2个图形用5根火柴棒，第3个图形用7根火柴棒，…，则搭第n个图形需要________根火柴棒，搭第10个图形需要________根火柴棒。 二、中档题（每题15分，共30分） 1. 观察一列数：1，1993，1992，1，1991，1990，1，…，从第三个数起，每个数都是它前面两个数中大数减小数的差。 （1）这列数的排列规律是________； （2）求前10个数的和。 2. 某展览馆用黑白两种颜色的大理石地砖按规律铺设地面，第1个图案用1块黑砖、4块白砖，第2个图案用3块黑砖、8块白砖，第3个图案用5块黑砖、12块白砖，…，按此规律： （1）第n个图案中，黑砖有________块，白砖有________块； （2）求第8个图案中黑砖和白砖的总块数。 三、拓展题（每题20分，共40分） 1. 做一个数字游戏：第一步，取一个自然数n₁=6，计算n₁²+1得a₁；第二步，算出a₁的各位数字之和得n₂，计算n₂²+1得a₂；第三步，算出a₂的各位数字之和得n₃，计算n₃²+1得a₃；…，以此类推，求a₅的值。 2. 观察数表规律： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 … （1）第n行有________个数，第n行的最后一个数是________； （2）求第6行的第一个数和最后一个数，以及第6行所有数的和。 参考答案提示： 一、1.（1）a-8；（2）a=12；（3）证明略；2. (-1)ⁿ⁺¹nxⁿ；3. 2n+1，21 二、1.（1）三个数为一组，每组的第一个数是1，后两个数依次递减1；（2）11959；2.（1）2n-1，4n；（2）72块 三、1. a₅=26；2.（1）2n-1，n²；（2）第一个数26，最后一个数36，和为187 经历探索数量关系、运用符号表示规律、通过计算验证规律的过程，体会探索规律的一般方法。 （重、难点） 在活动中发展观察、合作、交流等能力，认识探索规律的必要性，体会数学学习的乐趣。 情境引入 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 你说我猜： 提示：(1) 请找出同一横线上三个相邻数之间的关系； (2) 请同学们找一找竖列三个相邻数的关系； 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 探究点一：日历规律 (3) 请同学们找一找左上右下对角线上三个相邻数的关系； (4) 请同学们找一找左下右上对角线上三个相邻数的关系. 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 探究点一：日历规律 问题2：日历图的套色方框中的 9 个数之和与该方框正中间的数有什么关系？ 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 套色方框 9 个数之和是 90，是正中间的数 10 的 9 倍。 探究点一：日历规律 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 问题3：这个关系对其他这样的方框成立吗？ 成立。如：套色方框 9 个数之和是 126， 是正中间的数 14 的 9 倍。 探究点一：日历规律 问题4：这个关系对任何一个月的日历都成立吗？为什么？ 成立 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 绿色方框中九个数之和 = 9×正中间的数 猜想： 探究点一：日历规律 a a-7 a+8 a-8 a+6 a-6 a+7 a-1 a+1 (a-8)+(a-7)+(a-6)+(a-1)+a+(a+1)+(a+6)+(a+7) +(a+8) = ______ 9a 结论：绿色方框中九个数之和 = 9×正中间的数 用代数式表示： 探究点一：日历规律 【尝试思考】 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 (1) 如图所示的日历图中，能否使框中 9 个数的和为144? 180 呢? 为什么? 9a = 144 9a = 180 a = 20 a = 16 可以为 144。 和不能为 180。 探究点一：日历规律 (2) 在某个月的日历中，恰好有五个星期日位于同一列且日期数的和为 80，这个月的第一个星期日是几号? 星期日 x x+7 x+14 x+21 x+28 x + x + 7 + x + 14 + x + 21 + x + 28 = 80 5x + 70 = 80 x = 2 这个月的第一个星期日是 2 号。 探究点一：日历规律 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 十字形中的数字有何规律？你是如何验证的？ 规律：十字形中五数之和 = 5×中间数 探究点一：日历规律 【思考交流】 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 规律: “H”形中七数之和 = 7×中间数 “H”形中的数字有何规律？你是如何验证的？ 探究点一：日历规律 星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 你还能设计其他形状的包含数字规律的数框吗？ “X”形 探究点一：日历规律 探索规律的一般步骤： 猜 想 规 律 表 示 规 律 验 证 规 律 具 体 问 题 观察、比较 成立 得出结论 不成立 探 索 重 新 回 头 探究点一：日历规律 【归纳总结】 探究点二：图形规律 讨论：观察下列图形： (1) 依照此规律，第 20 个图形共有几个五角星？ 解：(1) 由图形可得，第1个图中，五角星有3个(3×1)； 第 2 个图中，五角星有 6 个 (3×2)； 第 3 个图中，五角星有 9 个 (3×3)； 第 4 个图中，五角星有 12 个 (3×4)； 所以第 n 个图中有五角星 3n 个. 所以第 20 个图中五角星有 3×20 = 60(个). (2) 摆成第 n 个图形需要几个五角星？ (3) 摆成第 2015 个图形需要几个五角星? (2) 摆成第 n 个图形需要 3n 个五角星. (3) 摆成第 2015 个图形需要 6045 个五角星. 方法总结：此题首先要结合图形具体数出几个值，注意由特殊到一般的分析方法. 探究点二：图形规律 例1 用棋子摆成的 “T” 字形如图所示，按照图①，图②，图③的规律摆下去，摆成第 n 个 “T” 字形需要的棋子个数为( ) 探究点二：图形规律 A A. 3n + 2 B. 4n + 1 C. 3n + 5 D. 3n + 1 图① 图② 图③ ··· 如图所示是一个按规律排列的数表，用含 n 的代数式( n 为正整数)表示数表中第 n 行第 n 列的数为 . (n－1)n＋1 探究点三：数阵规律 方法总结：在认真观察、分析的基础上，将数或式中的有关数字进行分解、组合变形，从中探索变化规律是解决此类问题的关键. 【变式训练】 有一列数：1，2，3，4，5，6，···，当按顺序从第二个数数到第 n 个数时，共数了 个数； 当按顺序从第 m 个数数到第 n 个数(n＞m) 时，共数了 个数. (n－1) (n－m＋1) 探究点三：数阵规律 随堂训练 1.观察一组数：1，-2，3，-4，5，-6,7，-8，…，则第2024个数是( ) A.2024 B.-2024 C.2025 D.-2025 B 2.观察按一定规律排列的单项式：-a，2a2，-3a3，4a4，-5a5，6a6，…，则第100个单项式是( ) A. -99a99 B.100a100 C.-100a100 D.99a99 B 随堂练习 3.把黑色棋子按如图所示的规律摆图案,其中第①个图案中有1枚棋子，第②个图案中有3枚棋子，第③个图案中有6枚棋子……按此规律摆下去，则第6个图案中棋子的枚数为( ) A.19 B. 21 C.23 D.25 B 随堂练习 4. 如图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第3个图案由10个基础图形组成…… 则第n个图案中基础图形的个数为________。 3n+1 随堂练习 5.小慧和小华玩猜数游戏，小慧对小华说：“你心里想好一个数，把这个数乘6，然后加3，再把所得的和除以3，最后减你想的数。把你的结果告诉我，我就知道你心里想的数是几。”小华很好奇，就想了一个数，并按小慧说的方法计算出结果，告诉小慧说：“我计算的结果是-2。”则小慧可以猜出小华想的数是________。 -3 随堂练习 6.观察下列各式：1×3=3=22-1，2×4=8=32-1，3×5=15=42-1，4×6=24=52-1，5×7=35=62-1，…，这些等式反映出自然数间的某种运算规律。 请你根据规律写出第6个等式：_____________; 试根据上述规律把第n(n为正整数)个等式表示出来：______________________。 6×8=48=72-1 n (n+2) =(n+1) 2-1 随堂练习 7.如图是某月的日历图，在此日历图上用一个长方形框圈出3个数。 (1) 图中圈出的3个数的平均数是多少? 解：(1) 13+14+15=42 42÷3=14 。 所以中圈出的3个数的平均数是14 。 随堂练习 7.如图是某月的日历图，在此日历图上用一个长方形框圈出3个数。 (2) 若用长方形框圈出此日历图中的任意3个数，位于中间的数是m，则这3个数的和是多少?这3个数的平均数是多少? (2) 因为中间的数是m，则另外两个数分别为m-1，m+1， m-1+m+m+1=3m。 3m÷3=m。 随堂练习 7.如图是某月的日历图，在此日历图上用一个长方形框圈出3个数。 (3) 任意圈出的3个数的平均数与中间的数是什么关系?请直接写出结论。 任意圈出的3个数的平均数与中间的数相等。 随堂练习 知识点 借助归纳策略解决问题 1.［教材P100“问题”变式］“低多边形风格”是一种数字艺术设计风格。 观察发现下列低多边形中长方形内部点的个数增加，三角形的个数也随 之增加。根据你的发现，当长方形内部有36个点时，分得的三角形 （不计被分割的三角形）共有( ) A A.74个 B.70个 C.68个 D.102个 返回 中考考法 29 2.观察：，，，， ， 则 的个位数字是( ) B A.0 B.2 C.6 D.8 返回 中考考法 30 3.用正三角形、正方形和正六边形按如图所示的规律拼图案，即从第二 个图案开始，每个图案中正三角形的个数都比上一个图案中正三角形的 个数多4个。则第 个图案中正三角形的个数为( ) C A. B. C. D. 返回 中考考法 31 4.如图，观察点阵图和相应的等式，探究其中的规律： （1）根据前三个等式所反映的规律，补全④中的等式： ____； （2）根据上面算式的规律， ____。 返回 中考考法 32 5.（12分）［教材P102“回顾反思”第2题变式］如图，将一根绳子弯折， 然后按如图所示的方式剪开。剪1刀，绳子变为5段；剪2刀，绳子变为9 段。如此剪下去…… （1）剪11刀，绳子变为____段； （2）剪 刀，绳子变为 _________段； 45 中考考法 33 （3）有可能正好剪得2 025段吗？请说明理由。 解：有可能正好剪得2 025段。 因为 ， ， 所以剪506刀，正好剪得2 025段。 返回 中考考法 34 6.（8分）观察下面的变形规律： ， ， 解答下面的问题： 中考考法 35 （1）根据上述变化规律写出下面等号后面的式子： ______； ____________。 若为正整数，猜想 ________； 中考考法 （2）求值： 。 解： 。 返回 中考考法 37 7. ［2025西安碑林区期中］如图是分子的结构模型， 它由半径相同的空心小圆和实心小圆按如图所示的方式排列。第①个图 形有4个小圆，第②个图形有6个小圆，第③个图形有8个小圆……依此 规律，第100个图形中空心小圆的个数是( ) B A.103 B.102 C.101 D.99 返回 中考考法 38 8.平面上1个圆能把平面分成2个部分；平面上2个圆最多能把平面分成4 个部分；平面上3个圆最多能把平面分成 ___个部分。以此类推，一般 地， 个圆最多能把平面分成_____________个部分。 8 返回 中考考法 39 数式变化中的规律 图形拼接中的规律 探索与表达规律 探索 猜想 验证 特殊 一般 课堂小结 $