2.2 有理数的加减运算（第3课时） 课件 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

该初中数学课件聚焦有理数减法运算，通过北京温差情景导入，以有理数加法法则为学习支架，引导学生从加法逆运算视角探究减法法则，构建“化减为加”的知识脉络。 其亮点在于结合情景探究与小组合作，通过温度计观察、珠峰与吐鲁番盆地海拔差等实例，培养学生数学眼光（发现数量关系）、推理意识（法则推导验证）和模型意识（符号表达a-b=a+(-b)）。采用“两变一不变”口诀总结，助力学生理解转化思想，教师可借助真题与分层练习提升教学效率。

第二章有理数及其运算 第三课时 2.2有理数的加减运算 1.7.2013 同学们好，欢迎来到今天的数学课堂。今天我们将继续探索第二章“有理数及其运算”中的新知识。具体来说，我们要学习的是2.2节“有理数的加减运算”的第三课时。准备好了吗？让我们一起开始今天的数学之旅吧！ ‹#› 学习目标 1 2 3 亲手探索：与同伴协作探究，揭开有理数减法法则的奥秘，深入理解法则的推导逻辑与本质含义。 熟练计算：掌握有理数减法的运算步骤与技巧，能够快速且准确地完成各类有理数的减法运算。 领悟思想：体会“转化”的数学思想，将减法问题转化为加法解决；同时感受有理数减法在实际生活中的广泛应用。 1.7.2013 在开始新知识的学习之前，我们先来明确一下本节课的学习目标。首先，我们会一起动手探索，弄清楚有理数减法法则到底是怎么来的。其次，通过练习，大家要能够熟练地进行有理数减法计算。最后，也是最重要的一点，我们要学会一种重要的数学思想——转化，把减法问题变成加法问题来解决。希望通过这节课，大家都能满载而归！ ‹#› 知识回顾 01 有理数加法法则 第一步：先确定和的符号 符号：取同号/大数 依据：看两数的符号关系 第二步：再计算和的绝对值 同号相加，异号相减 02 加法运算律 结合律 交换律 简便计算 🤔 思考：有理数减法和小学减法法则完全一样吗？会不会有新变化？ 口诀：先定符号后定值，运算律来帮大忙！ 1.7.2013 在学习新知识之前，我们先来快速回顾一下上节课的内容。大家还记得有理数的加法法则吗？对，先定符号，再算绝对值。我们还学了加法交换律和结合律来让计算更简便。那么，新问题来了，我们今天要学的有理数减法，和我们小学学的减法一样吗？还是会有什么不同呢？大家可以先猜一猜。 ‹#› 导入新课 情景导入：北京的温差是多少？ 2023年元旦北京的最高气温为5℃，最低气温是零下7℃（即-7℃）。温差指最高与最低气温的差值，这一天的温差该如何计算？快和同桌分享你的思路吧！ 你有什么计算想法？ 1.7.2013 好了，让我们来看一个生活中的例子。这张图显示了去年元旦北京的天气情况。最高气温是5℃，最低气温是零下7℃。那么，这一天的温差是多少呢？温差就是最高温度和最低温度之间的差距。大家想一想，这个温差应该怎么计算呢？和你的同桌讨论一下，看看你们能不能找到方法。 ‹#› 新知探究 探究点1 认识有理数的减法 观察温度计示意图，北京某天最高气温为5℃，最低气温为-7℃。根据“温差=最高气温-最低气温”，该如何列式表示这天的温差？ 议一议 观察发现：借助数轴观察，从-7到5共跨越12个单位长度，直观得出这一天的温差为12℃！ －7℃ 5℃ 温差 = 最高气温 － 最低气温 即：5 - (-7) = 12（℃） 1.7.2013 我们来看这个温度计的示意图。最高温度5℃，最低温度-7℃。根据定义，温差等于最高气温减去最低气温。所以，我们可以列出一个算式：5减去负7。那这个算式等于多少呢？我们可以从数轴上看，从-7到5，一共走了12个格子，所以温差就是12℃。 ‹#› 新知探究 探究点1 认识有理数的减法 我们已知 5 - (-7) = 12，现在换个角度思考：减法是加法的逆运算，那从逆运算的视角，这个算式背后藏着怎样的加法关系呢？ 议一议 思考：加法的逆运算是什么？如果从逆运算看，哪个数加上 -7 能得到 5 呢？ 解答：加法的逆运算是减法！验证一下：12 + (-7) 正好等于 5，这就是关键的等量关系！ 12 + (-7) = 5 5 - (-7) = 12 因为 所以 1.7.2013 我们已经知道5 - (-7) = 12。现在，我们从加法的逆运算——减法的角度来思考。既然减法是加法的逆运算，那么“5减去-7等于12”这句话，反过来想就是“什么数加上-7等于5呢？”。大家算一算，是不是12？因为12 + (-7) = 5。所以，我们就得到了这个重要的等式：因为12 + (-7) = 5，所以5 - (-7) = 12。 ‹#› 新知探究 探究点 1 发现减法的秘密 议一议 观察对比两个算式，你发现了什么规律？ 算式一：5 - (-7) = 12 这是我们需要探究的减法算式 算式二：5 + 7 = 12 这是我们熟悉的加法算式，结果相同！ 🔑 变化一：运算符号改变—— 减号“-” 变成了 加号“+” 🔑 变化二：减数发生变身—— 减数“-7” 变成了它的“相反数” 7 💡 核心结论：减去一个数，等于加上这个数的相反数！ 1.7.2013 现在，请大家仔细观察这两个算式：5 - (-7) = 12 和 5 + 7 = 12。它们的结果是一样的！那它们之间有什么联系呢？我们发现，减号变成了加号，原来的减数-7，变成了它的相反数7。哇，这是不是一个有趣的发现？减去一个数，好像等于加上它的相反数！ ‹#› 新知探究 探究一 规律的普遍性验证 做一做 刚才的规律是巧合吗？换个数试试结果是否一致？ 小组合作 ① 举不同例子 正数/负数/零 替换 计算：8-5，-3-(-2)，0-4 ② 对比结果 减法变加法 转化 观察差与和是否相等 ③ 归纳结论 总结规律 提炼 用数学语言描述发现 小妙招：想加算减 利用加法逆运算验算：若 a + b = c，则 c - b = a，以此验证减法法则是否成立。 结论：减去一个数，等于加上这个数的相反数！ 1.7.2013 刚才的发现会不会只是一个巧合呢？为了验证它，我们需要更多的例子。现在，请各小组合作，自己编一些有理数减法的题目，比如 8 - 5，或者 -3 - (-2)，看看是不是都符合“减去一个数等于加上它的相反数”这个规律。通过验证，我们会发现，这个规律是普遍成立的！这就是我们今天要学习的有理数减法法则。 ‹#› 新知探究 探究点2 有理数减法法则 做一做 计算下列各组式子，比较结果，你发现了什么规律？ ①15 - 6 = ________ 15 + (-6) = ______ ②3 - 19 = ________ 3 + (-19) = ______ ③(-12) - 0 = ______ (-12) + 0 = ______ ④(-8) - (-3) = ____ (-8) + 3 = ________ 继续探索：换几组正数、负数或零再试一次，与同伴交流，看看能得出什么普遍结论？ 1.7.2013 我们再来通过几组具体的计算来感受一下这个法则。请大家计算屏幕上的这四组式子，比较一下每一组的两个算式结果是否相等。算完之后，你可以再自己举一些例子，比如被减数或减数是0的情况，看看是不是都符合我们刚才发现的规律。 ‹#› 新知探究 探究点2 有理数减法法则 做一做 一起来完成填空，看看结果是否和猜想一致？ 0 – (–3) =， 0 + (+3) = 1 – (–3) =， 1 + (+3) = –5 – (–3) =， –5 + (+3) = 9 – 8 =， 9 + (–8) = 15 – 7 =， 15 + (–7) = 3 –2 4 –2 4 1 1 8 8 3 结论： 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 1.7.2013 我们一起来核对一下这些填空的答案。大家会发现，每一组的两个算式结果都是完全相同的。这再次证明了我们的结论是正确的。无论是正数、负数还是零参与运算，“减去一个数，等于加上这个数的相反数”这个法则都是成立的。 ‹#› 新知探究 探究点2 有理数减法法则 法则总览 法则核心定义 减去一个数，等于加上这个数的相反数 a–b=a+ ( –b) 一变：减号变加号 二变：减数变相反数 一不变：被减数不变 字母表示： 核心思想：将减法运算统一转化为加法运算，实现“化减为加”的运算简化！ 1.7.2013 经过这么多探索和验证，现在，我们可以正式地给出有理数减法法则的定义了。大家跟我一起念：减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示就是 a - b = a + (-b)。为了方便记忆，我们可以总结为“两变一不变”：减号变加号，减数变相反数，被减数不变。掌握了这个法则，所有的减法问题就都能变成我们熟悉的加法问题来解决了！ ‹#› 典例分析 探究点2 有理数减法法则 例1. 计算： (1) 9 - (-5) (2) (-3) - 1 (3) 0 - 8 (4) (-5) - 0 解：(1) 原式 = 9 + 5 = 14 法则：减去负数，等于加其相反数（正数） (2) 原式 = (-3) + (-1) = -4 法则：减去正数，等于加其相反数（负数） (3) 原式 = 0 + (-8) = -8 结论：0减一个数，得这个数的相反数 (4) 原式 = (-5) + 0 = -5 结论：数减0，仍得原数 1.7.2013 理论学完了，我们来看几个具体的例子。例1有四个小题，我们一个一个来分析。第一题，9减-5，根据法则，减号变加号，-5变成它的相反数5，所以就是9加5，等于14。第二题，-3减1，减号变加号，1变成-1，就是-3加-1，等于-4。第三题，0减8，等于0加-8，结果是-8。第四题，-5减0，等于-5加0，结果还是-5。大家看，是不是很简单？ ‹#› 观察•思考 探究点2 减法的奥秘 一个数减去正数结果如何？减去负数又会怎样？ 想一想 当 b > 0 时： 设两有理数为 a, b 法则：a - b = a + (-b) 则 -b < 0 (负数) a + (负数) < a 结论：减去正数，结果变小 当 b < 0 时： 则 -b > 0 (正数) a + (正数) > a 结论：减去负数，结果变大 1.7.2013 我们来思考一个有趣的问题：一个数减去一个正数，结果会变大还是变小？减去一个负数呢？我们来分析一下。如果减去一个正数b，根据法则，就等于加上一个负数-b，结果自然比原来的数a要小。反过来，如果减去一个负数b，就等于加上一个正数-b，结果自然比原来的数a要大。所以记住这个小秘密：减正得减，减负得加。 ‹#› （1）有理数加法中，和一定比加数大？ （2）两数相减，被减数一定大于减数？ （3）两数的差一定小于被减数吗？ （4）0减去任何数，结果都是负数？ （5）大数减小数，差一定是正数？ √ × × × × 反例：负数相加和更小！ 如：-2 + (-3) = -5，和比两个加数都小。 被减数可更小或相等！ 如：-4 - 10（被减数小），6 - 6（相等）。 减负数时差反而更大！ 如：-4 - (-10) = 6，差6大于被减数-4。 0减负数结果为正数！ 如：0 - (-2) = 2，结果是正数而非负数。 观察•思考 探究点2 有理数运算辨析 辨一辨 火眼金睛判对错 1.7.2013 现在考验大家眼力的时候到了！下面这几句话，哪些是对的，哪些是错的？请大家快速判断并说明理由。第一句，和一定比加数大吗？不对，比如负数相加。第二句，被减数一定比减数大吗？当然不是。第三句，差一定小于被减数吗？不对，减去负数时差会变大。第四句，0减任何数都是负数吗？也不对，0减负就会得正。最后一句，大数减小数差一定是正数，这个是对的！大家都判断对了吗？ ‹#› 典例分析 探究点2 有理数减法应用 例2.世界最高峰珠穆朗玛峰海拔约8848.86米，我国吐鲁番盆地最低处海拔约-154.31米。请问这两处的海拔高度相差多少米？ 分析：求高度差用减法，即高海拔 - 低海拔。 解答：8848.86 - (-154.31) = 8848.86 + 154.31 （减去负数等于加其相反数） = 9003.17 (米) 答：两处海拔相差9003.17米。 课后思考：若一层居民楼大约高3米，那么9003.17米的高度大约相当于多少层这样的楼房？ 约3001层楼高！ (9003.17 ÷ 3 ≈ 3001) 1.7.2013 我们再来看一个结合地理知识的应用题。世界最高峰珠穆朗玛峰海拔约8848.86米，我国陆地最低点吐鲁番盆地海拔约-154.31米。求两者相差多少米，我们用减法。列式为8848.86减去-154.31。根据法则，等于8848.86加上154.31，结果是9003.17米。大家可以想象一下，这个高度差不多相当于3000层楼那么高，是不是非常惊人？ ‹#› 01. 3 - 5 = ? 02. 3 - (-5) = ? 03. (-3) - 5 = ? 04. (-3) - (-5) = ? 05. (-6) - (-6) = ? 06. (-7) - 0 = ? 07. 0 - (-7) = ? 08. (-6) - 6 = ? 09. 9 - (-11) = ? 巩固练习 课堂挑战｜ 口算速答 -2 8 -8 2 0 -7 7 -12 20 01.大显身手 1.7.2013 理论和例子都看完了，现在轮到大家大显身手了！这里有9道口算题，请大家快速心算，看看谁能最快得出正确答案。准备好了吗？开始！... 时间到！我们来对一下答案，分别是-2, 8, -8, 2, 0, -7, 7, -12, 20。你都算对了吗？ ‹#› 真题感知 1．（2025·四川成都）如果某天中午的气温是5℃，傍晚比中午下降了7℃，那么傍晚的气温是（　　） A．2℃　　B．-2℃　　C．-5℃　　D．-7℃ B 解：5 - 7 = -2（℃），即傍晚气温为零下2摄氏度。 2．（2025·安徽）计算：|-5| - (-1) = ________。 6 解：原式 = 5 + 1 = 6（先去绝对值，再将减法变加法） 1.7.2013 学习了新知识，我们来看看它在真实考试中是怎么考的。这两道题都是来自中考的真题。第一题是应用题，求傍晚的气温，用中午的气温5℃减去下降的7℃，得到-2℃，选B。第二题综合了绝对值和减法，先算绝对值|-5|等于5，再算5减-1，等于5加1，结果是6。大家看，只要掌握了法则，这些题目就迎刃而解了。 ‹#› 真题感知 3.（2024上·山东滨州·七年级统考题）随着手机普及与微信兴起，“微商”成为潮流。大学毕业生爱国将家乡冬枣放到网上销售，原计划每天卖1000斤，实际销量与计划有出入。下表是他某周的销售情况（超额记为正，不足记为负，单位：斤）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划差值 +40 -20 -50 +100 -80 +250 -60 (1)根据记录，爱国前四天共卖出冬枣多少斤？ (2)销量最多的一天比最少的一天多销售多少斤？ (3)若每斤售价8元、运费1元、成本6.5元，本周总利润是多少？ 解析(1)： 前四天计划：4×1000=4000斤，实际差：40-20-50+100=70斤，合计：4000+70=4070斤。 解析(2)： 最多(周六+250) - 最少(周五-80) = 250 - (-80) = 330斤。 解析(3)： 总销量：7000+(40-20-50+100-80+250-60)=7180斤，每斤利润0.5元，总利润=7180×0.5=3590元。 1.7.2013 我们再来看一道更复杂的应用题，这是一道七年级的统考题。题目是关于一位大学生做微商卖冬枣的故事。表格里记录了他一周每天的销量与计划量的差异。请大家仔细阅读题目和表格，思考下面三个问题。我们下一页来详细解答。 ‹#› 真题感知 为助力乡村特产推广，爱国将家乡冬枣通过电商平台包邮销售，原计划每天售出1000斤。受物流、订单波动等因素影响，实际每日销量与计划量存在出入（超额记为正，不足记为负）。下表是他某一周的冬枣销售偏差记录，据此回答以下问题： 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量差值(斤) +40 -30 -50 +100 -80 +190 -20 (1)结合表格数据，计算爱国前四天总共卖出冬枣多少斤？ (2)本周内销量最高的一天比销量最低的一天多售出多少斤冬枣？ (3)冬枣每斤售价8元，每斤成本6.5元且单斤运费1元，求本周销售总利润？ 解题： 前四天总销量：4000+60=4060斤；周总量7150斤，单斤利润0.5元，总利润=7150×0.5 = 3575 答：爱国本周的冬枣销售总利润为3575元。 1.7.2013 我们来一步步解决这道题。第一问，前四天总销量，就是计划的4000斤加上出入量的总和60斤，等于4060斤。第二问，找销量最多的周六（+190）和最少的周五（-80），求差就是190 - (-80)，等于270斤。第三问，先算本周实际总销量是7150斤，再算每斤利润是0.5元，最后总利润就是7150乘以0.5，等于3575元。这道题综合了正负数的加减法，大家都明白了吗？ ‹#› 有 理 数 的 减 法 2.实质：减法运算的本质，是将其转化为加法运算。 3.方法： ①依据减法法则，把减法转化为加法运算； ②按照加法法则与运算律，计算得出最终结果。 课堂小结 1.法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 a - b = a + (-b) 4.口诀：“两变一不变” —— 两变：减号变加号，减数变相反数；一不变：被减数保持不变。 1.7.2013 好了，一节课很快就结束了。让我们一起回顾一下今天学到的核心内容。首先，我们掌握了有理数减法的核心法则：减去一个数等于加上它的相反数。其次，我们理解了减法的实质就是转化为加法。计算时，我们遵循“两变一不变”的口诀。希望大家课后能多加练习，熟练掌握今天所学的知识。 ‹#› 课后作业 习题2.2 课本P44 （1）解：(-1) + (-4) = -5（答案不唯一） （2）解：(-5) + 0 = -5 （3）解：(+6) + (-11) = -5（答案不唯一） 请分别列出一个满足下列条件的算式： （1）所有的加数是负整数，且它们的和为 -5； （2）其中一个加数是 0，且算式的和为 -5； （3）算式中至少有一个加数是正整数，且它们的和为 -5。 1.7.2013 这是今天的课后作业，请大家完成习题2.2的第6题。这道题要求我们根据不同的条件列出算式，主要考察大家对有理数加法的理解。注意，有些题的答案可能不是唯一的，只要符合条件就行。 ‹#› 课后作业 习题2.2 课本P44 9.计算： 💡 提示：利用加法交换律和结合律，将正数、负数分别结合相加，可简化运算步骤。 (1) (-72) - (-37) - (-22) - 17 (2) (-16) - (-12) - 24 - (-18) 解题三步走 🚀 1.化减为加：减去一个数等于加上它的相反数 2.重新组合：正正相聚，负负相拥 3.分别求和：两组计算后，最终合并结果 （1）详细解答： 原式 = (-72) + (+37) + (+22) + (-17) = [(-72) + (-17)] + [(+37) + (+22)]← 分组结合 = (-89) + 59 = -30 （2）详细解答： 原式 = (-16) + (+12) + (-24) + (+18) = [(-16) + (-24)] + [(+12) + (+18)]← 分组结合 = (-40) + 30 = -10 1.7.2013 接下来是第9题的计算题。这两道题都是连减运算，首先我们要根据减法法则，把所有的减法都转化为加法。然后，为了计算简便，大家可以运用加法交换律和结合律，把所有正数结合在一起，所有负数结合在一起，再进行计算。我们来看前两题的解答过程。 ‹#› 课后作业 习题2.2 课本P44 9.计算： 利用有理数减法法则，将减法统一转化为加法运算后，再利用加法交换律和结合律简化计算。 (3) 23 - (-76) - 36 - (-105) (4) (-32) - (-27) - (-72) - 87 解：（3）原式 = 23 + (+76) + (-36) + (+105) = (23 + 76 + 105) + (-36) = 204 - 36 = 168 解：（4）原式 = (-32) + (+27) + (+72) + (-87) = [(-32) + (-87)] + [(+27) + 72] = (-119) + 99 = -20 1.7.2013 我们继续看第9题的后两小题。同样的方法，先把减法都变成加法。第三题，转化后是23加76减36加105，我们可以把正数23、76、105先加起来，再减去36。第四题，转化后是-32加27加72减87，我们把负数-32和-87结合，正数27和72结合，再相加。大家看，这样计算是不是清晰多了？ ‹#› 课后作业 习题2.2 课本P46 15.2020年11月10日，我国自主研发的载人潜水器“奋斗者”号，在西太平洋马里亚纳海沟成功坐底，坐底深度10909 m。马里亚纳海沟最深处深约11000 m。“奋斗者”号此次坐底深度与马里亚纳海沟最深处大约相差多少米？ 解：用最深处深度减去坐底深度：(-11000) - (-10909) = -11000 + 10909 = -91 (m)，距离取绝对值为91米。 答：“奋斗者”号此次坐底深度与马里亚纳海沟最深处大约相差91米。 1.7.2013 最后一题是关于我国“奋斗者”号潜水器的应用题。题目要求计算坐底深度10909米与海沟最深处11000米的差值。因为深度我们可以用负数表示，所以列式为(-11000) - (-10909)。根据法则，等于-11000 + 10909，结果是-91米。距离是正数，所以相差91米。这道题体现了数学在科学探索中的应用。 ‹#› 感谢聆听！ 同学们，下课！ 1.7.2013 今天的课程到这里就全部结束了。感谢同学们的认真聆听和积极参与！希望大家课后能好好复习，完成作业。同学们，下课！ ‹#› $