精品解析：江西省景德镇市乐平市2025-2026学年八年级下学期6月期末数学试题

乐平市2025－2026学年度八年级下学期期末阶段性评价 数学试卷 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，这个图形就是轴对称图形；把一个图形绕着一点旋转，可以与原图形重合，这个图形就是中心对称图形；解决本题的关键是根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义进行判断． 【详解】解：A选项：赵爽弦图不是轴对称图形，是中心对称图形，故A选项不符合题意； B选项：杨辉三角是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不符合题意； C选项：科克曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形，故C选项符合题意； D选项：莱洛三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不符合题意． 2. 下列式子中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的定义；根据分式定义判断选项即可． 【详解】解： ∵符合分式定义，是分式， ∴A符合题意， ∵属于整式，不符合分式定义， ∴B不符合题意， ∵是常数，分母不含有字母，不符合分式定义 ∴C不符合题意， ∵属于整式，不符合分式定义， ∴D不符合题意． 故选：A． 3. 下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解： 选项A中，左边是单项式，不是多项式，不符合因式分解定义，错误； 选项B中，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解定义，正确； 选项C中，右边是差的形式，不是整式乘积，不符合定义，C错误； 选项D中，变形是整式乘法，将乘积化为多项式，与因式分解变形方向相反，不符合定义，D错误. 4. 已知四边形的对角线，相交于点．下列条件：①，；②，；③，；④，；⑤，．其中，能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ①③④ B. ①③⑤ C. ①②③⑤ D. ①③④⑤ 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理逐个分析判断即可求解． 【详解】解：①，，符合“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”的判定定理，故①可判定四边形是平行四边形； ②，，四边形可能为等腰梯形，无法判定是平行四边形，故②不能判定四边形是平行四边形； ③ ，， 符合“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”的判定定理，故③可判定四边形是平行四边形； ④仅，，无法证明对边平行或相等，也无法证明对角线互相平分，故④不能判定四边形是平行四边形； ⑤因为，所以，又因为，，所以 ，得，符合“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定定理，故 ⑤可判定四边形是平行四边形； 综上，可判定的条件是①③⑤． 5. 若关于的不等式组无解，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解第一个一元一次不等式得到的取值范围，再根据不等式组无解的判定规则得到的取值范围，最后对比选项选出符合条件的答案． 【详解】解： 解不等式①，移项得，即， ∴ 原不等式组可化为， ∵不等式组无解，根据一元一次不等式组解集规则“大大小小找不到”，可得， 对比选项，只有，符合条件． 6. 如图，在中，，，点是和中垂线的交点，则的最小值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】如图，连接，过点作交于点，过点作交于点，连接，先根据三角形的边长和面积求出高的值，根据垂直平分线的性质和判定，推出，，再根据勾股定理推出有最小值等价于有最小值，即有最小值，即有最小值，根据，推出当三点共线时，，即有最小值，然后求的最小值，根据，即当重合时，有最小值，最小值为，推出，等量代换得，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】如图，连接，过点作交于点，过点作交于点，连接， ∵，， ∴， ∵点是和中垂线的交点， ∴， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵在中，根据勾股定理可得，， ∴有最小值等价于有最小值，即有最小值，即有最小值， ∵， ∴当三点共线时，，即有最小值， ∵， ∴当重合时，有最小值，最小值为，即有最小值为４，即有最小值， 如图所示， ∴，即， ∴ ∴在中，根据勾股定理可得，， 整理得：，解得：， ∴的最小值是． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据多边形的内角和定理，多边形的内角和等于（n﹣2）•180°，外角和等于360°，然后列方程求解即可． 【详解】解：设边数为n，由题意得， 180（n－2）=3603， 解得n=8． 所以这个多边形的边数是8． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键． 8. 根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：_______． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出独立图形的面积和，组合图形的面积，面积不变得等式，即为所求． 【详解】解：四个独立图形的面积和： 组合图形面积： ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查长方形的面积，因式分解定义，理解因式分解的定义是解题的关键． 9. 在中，，和的平分线分别交于点，若，，求______． 【答案】 【解析】 【分析】先运用平行线的性质推出，，再运用角平分线的性质推出，，运用等量代换结合等角对等边的性质推出，，最后根据，代入数值即可求解． 【详解】∵， ∴，， ∵平分， ∴，即， ∴， ∵平分， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴． 10. 关于，的方程组的解，满足，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】两式相减可得到，然后解不等式即可． 【详解】解：， 得：， ， ， ， 解得． 11. 如图，中，，点O是，垂直平分线的交点，则的度数为______． 【答案】#20度 【解析】 【分析】由点是、垂直平分线的交点得，由可得，在中可得，又得，故． 【详解】解：点O是，垂直平分线的交点， ， ， ， ， ， ， ． 12. 如图，P是等边三角形内一动点，，将绕点A逆时针旋转60°，得到，若是等腰三角形，则的度数可以是______． 【答案】或或 【解析】 【分析】先证明，分3种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：∵等边三角形 ∴， ∵旋转， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 当是等腰三角形时，分三种情况： ①当时，则， ∴， ∴； ②当时，则，， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当时， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴； 综上：的度数可以是或或. 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解不等式组和因式分解 （1）解不等式组： （2）因式分解： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 由①得，，解得：， 由②得，，解得：， ∴不等式组的解集为： 【小问2详解】 解： 14. 先化简，再求值：，其中满足． 【答案】， 【解析】 【分析】先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据平方和算术平方根的非负性求出，，然后代入求解． 【详解】解：原式 ． 因为， 所以，． 所以，． 所以，原式． 15. 如图，点、、、在同一条直线上，，，． （1）求证：； （2）连接、，求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴； （2）证明：如图，连接、， ∵由（1）可得， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）先根据，推出，再通过平行线的性质推出，即可证明； （2）连接、，由（1）可得，运用全等的性质推出，，再根据平行线的判定推出，即可求证四边形是平行四边形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 如图，有等边和并排放置，其中与交于点且．请仅用无刻度直尺，按照下列要求作图： （1）在图中作出以为边的等边； （2）在图中作出DE的垂线． 【答案】（1）如图，等边为所求作， （2）如图，垂线为所求作， 【解析】 【分析】（1）连接，与相交于点，连接，根据等边三角形的性质证明，再结合全等三角形的性质证明，即可求证为等边三角形； （2）延长和交于点，连接，与交于点，连接，与交于点，连接并延长交于点，先通过等边和等边的性质，推出为等边三角形，再利用它的性质证明，推出，，进一步推出，再通过推出是的垂直平分线，然后结合题意推出，即，即可求得，进而推出． 【小问1详解】 如图，连接，与相交于点，连接， ∵等边和， ∴，，， ∴， ∴，， 即 ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴为等边三角形； 【小问2详解】 如图，延长和交于点，连接，与交于点，连接，与交于点，连接并延长交于点， ∵和为等边三角形， ∴，， ∴为等边三角形 ∴，， ∴ ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴是的中点， ∵， ∴，即， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 17. 如图：已知，在中，，的垂直平分线分别交于点，于点，连接． （1）若平分，求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）先根据垂直平分线的性质推出，再根据角平分线的性质推出，最后运用三角形内角和定理即可求证； （2）先运用勾股定理求出的长度，再运用垂直平分线得到，等量代换推出，最后再运用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵中，，，， ∴根据勾股定理，， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴根据勾股定理，，即，解得： 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，且与直线交于点，已知的面积为； （1）求出点的坐标； （2）直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知三角形的面积，求出点坐标，再将点、点坐标代入，求出解析式，即可求解； （2）先求出的解析式，再将（1）求出的解析式结合建立不等式方程，求解即可． 【小问1详解】 解：∵点，， ∴，， ∵，即， ∴，即 ， ∵，在直线上， ∴， 解得：， ∴直线， ∴当时，，即； 【小问2详解】 解：∵，在直线上， ∴， 解得：， ∴直线， ∵， ∴， 解得：． 19. 素材：入夏之际某奶茶店推出两款爆款茶饮“栀子花开”和“茉莉花开”．每杯“茉莉花开”比“栀子花开”多元，购买杯“茉莉花开”和杯“栀子花开”共需元； 素材：月日当天销售“茉莉花开”共获利润元，“栀子花开”共获利润元，其中每杯“茉莉花开”的利润是每杯“栀子花开”的倍，且“栀子花开”比“茉莉花开”多卖杯． （1）“茉莉花开”和“栀子花开”这两款茶饮的单价分别为多少？ （2）“茉莉花开”和“栀子花开”这两款茶饮每杯的利润分别为多少？ 【答案】（1）“茉莉花开”茶饮单价为元，“栀子花开”茶饮单价为元； （2）“茉莉花开”和“栀子花开”这两款茶饮每杯的利润分别为元和元． 【解析】 【分析】（1）设“茉莉花开”和“栀子花开”这两款茶饮的单价分别为元、元，根据每杯“茉莉花开”比“栀子花开”多元和购买杯“茉莉花开”和杯“栀子花开”共需元即可列出二元一次方程组，求解即可； （2）设每杯“栀子花开”利润为元，根据每杯“茉莉花开”的利润是每杯“栀子花开”的倍，可得每杯“茉莉花开”利润为元，再根据题意即可列出分式方程求解即可． 【小问1详解】 设“茉莉花开”和“栀子花开”这两款茶饮的单价分别为元、元， 由素材可得：， 解得：， 答：“茉莉花开”茶饮单价为元，“栀子花开”茶饮单价为元； 【小问2详解】 设每杯“栀子花开”利润为元， ∵每杯“茉莉花开”的利润是每杯“栀子花开”的倍， ∴每杯“茉莉花开”利润为元， 由素材可得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴， 答：“茉莉花开”和“栀子花开”这两款茶饮每杯的利润分别为元和元 20. 如图，在中，点D，E分别是边，的中点，连接．点F为延长线上一点，且，连接，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过三角形中位线定理得到线段平行，进而利用平行线的性质及等腰三角形的判定证明线段相等． （2）先根据三角形中位线定理求出，再结合（1）的结论和角度判断三角形形状，进而求出，最终得到． 【小问1详解】 证明：∵ 点，分别是边，的中点， ∴ 是的中位线， ∴ ，且． ∴ ． 又∵ ， ∴ ， ∴ ． 【小问2详解】 解：∵ 是的中位线，， ∴ ． 由（1）知， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 是等腰直角三角形． 根据勾股定理，且， ∴ ，即． ∵ ，， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∵ 是的中点， ∴ ． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 美美在学习电路图时，通过实验探究，得出了并联电路的总电阻，通过变形可知，而这一变形在研究数学问题时经常遇到；例如，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项，请利用以上方法解决下列问题： （1）______． （2）解方程：； （3）若分式方程有增根，求m的值． 【答案】（1）； （2） （3）或18． 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ； 经检验，是原方程的解； 【小问3详解】 解：， ， ， ， ， ， ∵方程有增根， ∴或或， 当时，； 当时，，； 当时，（不符合题意，舍去） 综上：或18． 22. 因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学的解方程， 函数问题中；也是化简代数式，处理分式运算的核心工具，更是衔接初中与高中数学知识的重要桥梁： 例：已知的三边长a，b，c满足，试确定该三角形的形状； 解： 即： ， ∴该三角形为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形；根据以上材料完成下列问题： （1）多项式分解因式时有一个因式为，求m的值； （2）已知的三边长a，b，c满足，求的值； （3）干支纪年是中国古代的一种纪年法，分别排出十天干与十二地支如下： 天干：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸 地支：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥 把天干和地支按以下方法配对：如第一个甲子，第二个乙丑……第十一个甲戌，第十三个丙子，即第一行10个天干用完后又重新从甲开始，而第二行12个地支用完后又从子开始，循环往复，已知去年（2025）是乙巳年，今年（2026）是丙午年，则从今年算起，年后是什么年？ 提示：． 【答案】（1） （2） （3）是丁未年 【解析】 【分析】（1）设，得到当时，，即可得出结果； （2）将等式左边进行因式分解后，得到，进而得到，即可得出结果； （3）根据提示，得到，求出天干，，求出地支，即可得出结果. 【小问1详解】 解：由题意设， ∴当时，， ∴； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， a，b，c是三角形三边， ∴，， ∴， ，即， ； 【小问3详解】 解：∵， 显然前4项均可被10整除，最后，除以10余1， ∵2026年的天干为丙， 所以年后的天干为丁； 同理：， 显然前4项均可被12整除，最后，除以12余1， ∵2026年的地支为午， 所以年后的地支为未， 即年后是丁未年． 六、解答题（本题12分） 23. 等边三角形是最特殊的三角形，希希同学对等边三角形展开了以下探究： 【问题提出】如图1，已知等边的边长为a； （1）①若，则等边的面积为______， ②已知点O为等边的重心，连接，则______，______； （2）如图2，已知点D、E分别是等边的边上的动点，且满足，连接，两线段交于点F， ①猜想的大小，并证明你的猜想； ②可看作是绕______点旋转______得到； 【深入思考】 （3）如图3，在（2）的条件下，连接，试探究这三条线段间的数量关系； 【答案】（1）①；②， （2）①，证明如下： ∵等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ； ②， （3） 【解析】 【分析】（1）①作，三线合一结合勾股定理求出的长，利用三角形的面积公式进行求解即可；②根据三线合一，得到为的角平分线，，利用三角形的内角和求角度，勾股定理求出边长即可； （2）①证明，即可得出结论；②根据旋转的性质，进行判断即可； （3）连接 ，并在线段上取点，使得，证明，推出是顶角为的等腰三角形，根据线段的和差关系即可得出结论. 【小问1详解】 解：作， ∵等边的边长为a ∴， ∴， ∴等边的面积为， ∵， ∴等边的面积为； ②∵点O为等边的重心， ∴点O为等边的三边中线的交点， ∴为的角平分线，， ∴，， ∵， ∴ ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①略； ②∵旋转中心到对应点的距离相等，即旋转中心在对应点连线的中垂线上， 故旋转中心为的中垂线的交点， 由等边三角形三线合一，可知，点即为的中垂线的交点， ∴旋转中心为点，旋转角为， 由（1）可知，， 故可看作是绕点旋转得到； 【小问3详解】 解：连接 ，并在线段上取点，使得， 由（2）知：，由（1）知：， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 作， 则， ∴， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乐平市2025－2026学年度八年级下学期期末阶段性评价 数学试卷 一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确选项） 1. 下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中，属于分式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知四边形的对角线，相交于点．下列条件：①，；②，；③，；④，；⑤，．其中，能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. ①③④ B. ①③⑤ C. ①②③⑤ D. ①③④⑤ 5. 若关于的不等式组无解，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，点是和中垂线的交点，则的最小值是（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______． 8. 根据下面的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：_______． 9. 在中，，和的平分线分别交于点，若，，求______． 10. 关于，的方程组的解，满足，则的取值范围是______． 11. 如图，中，，点O是，垂直平分线的交点，则的度数为______． 12. 如图，P是等边三角形内一动点，，将绕点A逆时针旋转60°，得到，若是等腰三角形，则的度数可以是______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解不等式组和因式分解 （1）解不等式组： （2）因式分解： 14. 先化简，再求值：，其中满足． 15. 如图，点、、、在同一条直线上，，，． （1）求证：； （2）连接、，求证：四边形是平行四边形． 16. 如图，有等边和并排放置，其中与交于点且．请仅用无刻度直尺，按照下列要求作图： （1）在图中作出以为边的等边； （2）在图中作出DE的垂线． 17. 如图：已知，在中，，的垂直平分线分别交于点，于点，连接． （1）若平分，求证：； （2）若，，求的长． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，且与直线交于点，已知的面积为； （1）求出点的坐标； （2）直接写出关于的不等式的解集． 19. 素材：入夏之际某奶茶店推出两款爆款茶饮“栀子花开”和“茉莉花开”．每杯“茉莉花开”比“栀子花开”多元，购买杯“茉莉花开”和杯“栀子花开”共需元； 素材：月日当天销售“茉莉花开”共获利润元，“栀子花开”共获利润元，其中每杯“茉莉花开”的利润是每杯“栀子花开”的倍，且“栀子花开”比“茉莉花开”多卖杯． （1）“茉莉花开”和“栀子花开”这两款茶饮的单价分别为多少？ （2）“茉莉花开”和“栀子花开”这两款茶饮每杯的利润分别为多少？ 20. 如图，在中，点D，E分别是边，的中点，连接．点F为延长线上一点，且，连接，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 美美在学习电路图时，通过实验探究，得出了并联电路的总电阻，通过变形可知，而这一变形在研究数学问题时经常遇到；例如，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项，请利用以上方法解决下列问题： （1）______． （2）解方程：； （3）若分式方程有增根，求m的值． 22. 因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学的解方程， 函数问题中；也是化简代数式，处理分式运算的核心工具，更是衔接初中与高中数学知识的重要桥梁： 例：已知的三边长a，b，c满足，试确定该三角形的形状； 解： 即： ， ∴该三角形为等腰三角形或直角三角形或等腰直角三角形；根据以上材料完成下列问题： （1）多项式分解因式时有一个因式为，求m的值； （2）已知的三边长a，b，c满足，求的值； （3）干支纪年是中国古代的一种纪年法，分别排出十天干与十二地支如下： 天干：甲乙丙丁戊己庚辛壬癸 地支：子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥 把天干和地支按以下方法配对：如第一个甲子，第二个乙丑……第十一个甲戌，第十三个丙子，即第一行10个天干用完后又重新从甲开始，而第二行12个地支用完后又从子开始，循环往复，已知去年（2025）是乙巳年，今年（2026）是丙午年，则从今年算起，年后是什么年？ 提示：． 六、解答题（本题12分） 23. 等边三角形是最特殊的三角形，希希同学对等边三角形展开了以下探究： 【问题提出】如图1，已知等边的边长为a； （1）①若，则等边的面积为______， ②已知点O为等边的重心，连接，则______，______； （2）如图2，已知点D、E分别是等边的边上的动点，且满足，连接，两线段交于点F， ①猜想的大小，并证明你的猜想； ②可看作是绕______点旋转______得到； 【深入思考】 （3）如图3，在（2）的条件下，连接，试探究这三条线段间的数量关系； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $