专题21.4 反比例函数（高效培优讲义）数学新教材沪科版九年级上册

本初中数学讲义聚焦反比例函数核心知识点，构建“概念理解—图象性质—实际应用”的递进式学习支架。从反比例函数的定义（形如y=k/x,k≠0的表达式及三种形式）入手，明确自变量取值范围，再到双曲线图象的特征（分支、象限分布、对称性）、性质（增减性）及k的几何意义，最后延伸至实际问题中的模型建立（如行程、工程、物理量关系）。 资料以“即学即练”即时巩固概念，通过“典例+变式”题型分类（如定义求值、图象性质、k的几何意义、实际应用）培养数学思维（推理能力、运算能力）。融入物理压强、杠杆原理等跨学科实例，强化数学语言表达（模型意识、应用意识），课中助力教师分层教学，课后便于学生针对性查漏补缺，提升知识应用能力。

专题21.4 反比例函数 教学目标 1.理解并掌握反比例函数的概念. 2.能判断两个变量之间的关系是否是函数关系，进而识别其中的反比例函数关系. 3.根据实际问题建立并列出反比例函数关系式. 教学重难点 1.重点 反比例函数的概念的理解，反比例函数的图象及其性质 2.难点 根据实际问题建立并列出反比例函数关系式. 知识点01 反比例函数的定义 1. 反比例函数的定义 一般地，形如（k为常数，）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解： ⑴x是自变量，y是x的反比例函数； ⑵自变量x的取值范围是的一切实数，函数值的取值范围是； ⑶比例系数是反比例函数定义的一个重要组成部分； ⑷反比例函数有三种表达式： ①（）， ②（）， ③（定值）（）； ⑸函数（）与（）是等价的，所以当y是x的反比例函数时，x也是y的反比例函数。 （k为常数，）是反比例函数的一部分，当k=0时，，就不是反比例函数了，由于反比例函数（）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。 2.用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数（）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。 【即学即练】 1.如下列关系式中，表示是的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．若函数为反比例函数，则m的值是（    ） A．1 B．0 C． D． 3.点在反函数的图象上，则 ． 知识点02 反比例函数的图象和性质 1.反比例函数的图象及画法 反比例函数的图象是双曲线，它有_____个分支，这两个分支分别位于__________象限或__________象限，它们关于_____对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量，函数值，所以它的图象与x轴、y轴都__________，即双曲线的两个分支__________坐标轴，但永远达不到坐标轴。 反比例的画法分三个步骤：______________________________。 再作反比例函数的图象时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜__________； ②列表时选取的数值越多，画的图象越__________； ③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用_______________连接，切忌画成折线； ④画图象时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图象与__________相交。 2.反比例函数的性质 关于反比例函数的性质，主要研究它的图象的位置及函数值的增减情况，如下表： 反比例函数 （） 的符号 图象 x、y的范围 象限 增减性 3.反比例函数（）中比例系数k的几何意义 如图所示，过双曲线上任一点P（x，y）分别作x轴、y轴的垂线，E、F分别为垂足， 则 注意： 1.反比例函数（）中，越大，双曲线越_____坐标原点；越小，双曲线越_____坐标原点。 2.双曲线是__________图形，对称中心是__________；双曲线又是__________图形，对称轴是_________________________。 【即学即练】 1.已知y是x的函数，其函数图象经过（1，2），并且当x>0时，y随x的增大而减小.请写出一个满足上述条件的函数表达式：____________. 2.如图，点A是反比例函数y=（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y=﹣的图象于点B，以AB为边作▱ABCD，其中C、D在x轴上，则S□ABCD为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 知识点03 反比例函数的应用 1.反比例函数的模型特征 能够应用反比例函数解决的实际问题，核心满足两个基本特征：一是两个相关联的变量x、y的乘积为定值，即满足的等量关系；二是自变量的取值范围符合实际场景。 2.常见的典型场景 行程问题中路程定值时，速度与时间的关系；工程问题中工作总量定值时，工作效率与工作时间的关系；面积定值的矩形，长与宽的关系；压强、电压、电阻等物理量的定值关系问题。 3.解题的基本步骤 第一步：审清题意，找出题目中不变的定值，确定两个变量，设出符合题意的函数表达式； 第二步：根据已知的定值或一组对应变量值，用待定系数法求出反比例系数k，确定反比例函数解析式； 第三步：结合实际问题的要求，利用反比例函数的增减性性质，求解对应问题（已知自变量求函数值、已知函数值求自变量、确定自变量或函数值的取值范围等）； 第四步：结合实际场景验证结果，舍去不符合实际意义的解，给出最终答案。 【即学即练】 1.矩形的面积为8cm2，这时长ycm与宽xcm之间的函数关系应是（ ）． A． B．（x＞0） C．y=kx D．无函数关系 2.三角形的面积是，它的底边（单位：）与这个底边上的高（单位：）的函数关系式为________． 3.已知当电压U（V）一定时，电阻R（Ω）与电流强度I（A）成反比例.一个汽车前灯灯泡的电阻为40Ω，电流强度为0.3A，这个电路中的电压不变． （1）若灯泡的电阻为R，通过的电流强度为I，求I与R之间的函数关系式； （2）如果把汽车前灯换成电阻为25Ω的灯泡，那么此时电流强度为多少？ 题型01 反比例函数的定义和求值 【典例1】若函数是反比例函数，则的值为 ． 【变式1】双曲线要经过点，则m的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【变式2】在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的值为 ． 【变式3】已知反比例函数的解析式为y＝．则a的取值范围是_____． 题型02 反比例函数的图象和性质 【典例1】若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如果反比例函数 的图象在所在的每个象限内y都是随着x的增大而减小，那么m的取值范围是（　　） A．m＞ B．m＜ C．m≤ D．m≥ 【变式2】若反比例函数的图象在第一、三象限，则m的值是（ ）. A．1 B．-1 C．1或一1 D．不确定 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过的顶点，点在第一象限，点，的坐标分别为，.若点是该反比例函数图象上的一点，且，点的坐标不可能是(        ) A． B． C． D． 题型03 反比例函数中k的几何意义 【典例1】如图，P为反比例函数y=的图像上一点，PA⊥x轴于点A，△PAO的面积为6，则下列各点中也在这个反比例函数图象上的是（　　） A．（2，3） B．（﹣2，6） C．（2，6） D．（﹣2，3） 【变式1】如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【变式2】如图，点是反比例函数的图象上任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作平行四边形，其中，在轴上，则为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 题型04 实际中的反比例关系 【典例1】已知压力F、受力面积S、压强P之间的关系是．则下列说法不正确的是（    ） A．当压强P为定值时，压力F与受力面积S成正比函数关系； B．当压强P为定值时，受力面积S越大，压力F也越大； C．当压力F为定值时，压强P与受力面积S成正比例函数关系； D．当压力F为定值时，压强P与受力面积S成反比例函数关系． 【变式1】某小区要种植一个面积为3 500 m2的矩形草坪,已知草坪的长y(m)随宽x(m)的变化而变化,则y与x的函数关系式为 (　　) A.xy=3 000　　　B.x=3 500y　　C.y=　　　D.y= 【变式2】下列问题中的两个变量是成反比例的是（　　） A．被除数（不为零）一定，除数与商 B．货物的单价一定，货物的总价与货物的数量 C．等腰三角形的周长一定，它的腰长与底边的长 D．汽车所行的速度一定，它所行驶的路程与时间 【变式3】下列两个变量之间的关系，是反比例函数关系的是（ ） A．直角三角形中，30°角所对的直角边y与斜边x之间的关系 B．面积为16的菱形，其中一条对角线y与另一条对角线x之间的关系 C．等腰三角形的顶角与底角之间的关系 D．圆的面积S与它的直径d之间的关系 题型05 反比例函数的实际应用 【典例1】公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂=动力×动力臂.小伟欲用撬根撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）关于动力臂l（单位：）的函数解析式正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】直角三角形两直角边的长分别为 x，y，它的面积为 3，则y与x之间的函数关系式为_________. 【变式2】已知，在对物体做功一定的情况下，力（牛）与此物体在力的方向上移动的距离（米）成反比例函数关系，其图象如图所示，则当力达到牛时，此物体在力的方向上移动的距离是_____米． 【变式3】为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”，已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量与燃烧时间（分钟）成正比例；烧灼后，与成反比例（如图所示）.现测得药物分钟燃烧完，此时教室内每立方米空气含药量为.研究表明当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒作用，那么从消毒开始，至少需要经过______分钟后，学生才能回到教室. 1．已知是反比例函数，求m的值． 2.点P（﹣1，3）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则k的值是（　　） A． B．3 C． D．﹣3 3.根据下表中，反比例函数的自变量x与函数y的对应值，可得p的值为（　　） A．3 B．1 C．－2 D．－6 4.若点、都在反比例函数的图象上，则、的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法判断 5.已知反比例函数，则它的图象位于第________象限. 6.已知点（x，y）为反比例函数y＝图象上的一点，若y≥1，则x的取值范围是_____． 7．厨师将一定质量的面团做成粗细一致的拉面时，面条的总长度 是面条横截面积 的反比例函数，其图象经过点  ，若厨师做出的面条最细时的横截面积能达到  ，则面条总长度最长可达到________ 8.如图，一次函数y1＝x+2的图象与反比例函数y2＝（k≠0）的图象交于A、B两点，且点A的坐标为(1，m)． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）根据图象直接写出当y1＞y2时x的取值范围． 9.如图，正比例函数与反比例函数的图像交于A，B两点，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，△ACO的面积为4． （1）求反比例函数的表达式； （2）点B的坐标为 ； （3）当时，直接写出x的取值范围． 10.反比例函数在第二象限的图象与矩形OABC的边交于D，E，BE＝2CE，点B的坐标是（﹣6，3）． （1）求k的值；（2）求线段DE的解析式． 11.为了做好新冠肺炎疫情期间开学工作，我区某中学用药熏消毒法对教室进行消毒．已知一瓶药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，如图所示．根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）写出倾倒一瓶药物后，从药物释放开始，y与x之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量不低于8毫克时，消毒有效，那么倾倒一瓶药物后，从药物释放开始，有效消毒时间是多少分钟？ 12.已知当电压U（V）一定时，电阻R（Ω）与电流强度I（A）成反比例.一个汽车前灯灯泡的电阻为40Ω，电流强度为0.3A，这个电路中的电压不变． （1）若灯泡的电阻为R，通过的电流强度为I，求I与R之间的函数关系式； （2）如果把汽车前灯换成电阻为25Ω的灯泡，那么此时电流强度为多少？ 13.小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下结论： ①当时，x越小，函数值越小； ②当时，x越大，函数值越小； ③当时，x越小，函数值越大； ④当时，x越大，函数值越大． 其中正确的是 （只填写序号）． 14.如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，，＝，＝． （1）直接写出、、三点的坐标； （2）将矩形向右平移个单位，使点、恰好同时落在反比例函数的图象上，得矩形．求矩形的平移距离和反比例函数的解析式． 15.已知直线与直线y2＝kx+b关于原点O对称，若反比例函数的图象与直线y2＝kx+b交于A、B两点，点A横坐标为1，点B纵坐标为． （1）求k，b的值； （2）结合图象，当时，求自变量x的取值范围． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题21.4 反比例函数 教学目标 1.理解并掌握反比例函数的概念. 2.能判断两个变量之间的关系是否是函数关系，进而识别其中的反比例函数关系. 3.根据实际问题建立并列出反比例函数关系式. 教学重难点 1.重点 反比例函数的概念的理解，反比例函数的图象及其性质 2.难点 根据实际问题建立并列出反比例函数关系式. 知识点01 反比例函数的定义 1. 反比例函数的定义 一般地，形如（k为常数，）的函数称为反比例函数，它可以从以下几个方面来理解： ⑴x是自变量，y是x的反比例函数； ⑵自变量x的取值范围是的一切实数，函数值的取值范围是； ⑶比例系数是反比例函数定义的一个重要组成部分； ⑷反比例函数有三种表达式： ①（）， ②（）， ③（定值）（）； ⑸函数（）与（）是等价的，所以当y是x的反比例函数时，x也是y的反比例函数。 （k为常数，）是反比例函数的一部分，当k=0时，，就不是反比例函数了，由于反比例函数（）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。 2.用待定系数法求反比例函数的解析式 由于反比例函数（）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。 【即学即练】 1.如下列关系式中，表示是的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的定义，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、是正比例函数，故本选项错误； B、，分母中的x的指数是2，所以不是的反比例函数，故本选项错误； C、，y是x的反比例函数，故本选项正确； D、，不是的反比例函数，故本选项错误． 故选：C． 2．若函数为反比例函数，则m的值是（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数的定义进行解答即可． 【详解】解：是反比例函数， 解得． 故选：D． 3.点在反函数的图象上，则 ． 【答案】 【分析】直接将点代入即可求出的值． 【详解】解：∵点在反函数的图像上， ∴． 故答案为：． 知识点02 反比例函数的图象和性质 1.反比例函数的图象及画法 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们关于原点对称，由于反比例函数中自变量函数中自变量，函数值，所以它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。 再作反比例函数的图象时应注意以下几点： ①列表时选取的数值宜对称选取； ②列表时选取的数值越多，画的图象越精确； ③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线； ④画图象时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图象与坐标轴相交。 2.反比例函数的性质 关于反比例函数的性质，主要研究它的图象的位置及函数值的增减情况，如下表： 反比例函数 （） 的符号 k>0 k<0 图象 x、y的范围 x≠0，y≠0 x≠0，y≠0 象限 第一、第三象限 第二、第四象限 增减性 在每个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 3.反比例函数（）中比例系数k的几何意义 如图所示，过双曲线上任一点P（x，y）分别作x轴、y轴的垂线，E、F分别为垂足， 则 注意： 1.反比例函数（）中，越大，双曲线越远离坐标原点；越小，双曲线越靠近坐标原点。 2.双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线y=x和直线y=－x。 【即学即练】 1.已知y是x的函数，其函数图象经过（1，2），并且当x>0时，y随x的增大而减小.请写出一个满足上述条件的函数表达式：____________. 【答案】答案不唯一，如 【分析】根据题意可知这个函数可以是一次函数，也可以是反比例函数，可以假设函数为反比例函数，设函数为，然后利用待定系数法进行求解即可得. 【详解】设函数为， ∵图象经过点（1，2）， ∴k=2， ∴函数表达式为， 故答案为（答案不唯一）． 2.如图，点A是反比例函数y=（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y=﹣的图象于点B，以AB为边作▱ABCD，其中C、D在x轴上，则S□ABCD为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】设A、B的纵坐标，分别表示出横坐标，即可求出平行四边形的底和高，进而求出面积 【详解】设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b． 把y=b代入y=得，b=，则x=，，即A的横坐标是，； 同理可得：B的横坐标是：﹣． 则AB=﹣（﹣）=． 则S□ABCD=×b=5． 故选D． 知识点03 反比例函数的应用 1.反比例函数的模型特征 能够应用反比例函数解决的实际问题，核心满足两个基本特征：一是两个相关联的变量x、y的乘积为定值，即满足的等量关系；二是自变量的取值范围符合实际场景。 2.常见的典型场景 行程问题中路程定值时，速度与时间的关系；工程问题中工作总量定值时，工作效率与工作时间的关系；面积定值的矩形，长与宽的关系；压强、电压、电阻等物理量的定值关系问题。 3.解题的基本步骤 第一步：审清题意，找出题目中不变的定值，确定两个变量，设出符合题意的函数表达式； 第二步：根据已知的定值或一组对应变量值，用待定系数法求出反比例系数k，确定反比例函数解析式； 第三步：结合实际问题的要求，利用反比例函数的增减性性质，求解对应问题（已知自变量求函数值、已知函数值求自变量、确定自变量或函数值的取值范围等）； 第四步：结合实际场景验证结果，舍去不符合实际意义的解，给出最终答案。 【即学即练】 1.矩形的面积为8cm2，这时长ycm与宽xcm之间的函数关系应是（ ）． A． B．（x＞0） C．y=kx D．无函数关系 【答案】B 【分析】根据矩形的面积公式和反比例函数定义即可解答. 【详解】解：由矩形的面积公式得：8=xy，可知它的长y与宽x之间的函数关系式为  （x＞0），是反比例函数，且图像只在第一象限，所以x＞0. 故选B. 2.三角形的面积是，它的底边（单位：）与这个底边上的高（单位：）的函数关系式为________． 【答案】 【分析】根据等量关系“三角形的面积=底边底边上的高” 即可列出a与h的关系式. 【详解】解:由题意得a=220h= 故答案为: 3.已知当电压U（V）一定时，电阻R（Ω）与电流强度I（A）成反比例.一个汽车前灯灯泡的电阻为40Ω，电流强度为0.3A，这个电路中的电压不变． （1）若灯泡的电阻为R，通过的电流强度为I，求I与R之间的函数关系式； （2）如果把汽车前灯换成电阻为25Ω的灯泡，那么此时电流强度为多少？ 【答案】（1）；（2）此时电流强度为0.48A. 【分析】（1）根据电压U（V）一定时，电阻R（Ω）与电流强度I（A）成反比例，结合题中数据求出电压即可； （2）将代入（1）中函数关系式求出电流强度I即可. 【详解】（1）根据题意，得， ∴I与R之间的函数关系式为. （2）当时，. 即此时电流强度为0.48A. 题型01 反比例函数的定义和求值 【典例1】若函数是反比例函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义：，列式计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为： 【变式1】双曲线要经过点，则m的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】直接把点代入函数解析式即可求得的值． 【详解】解：将代入双曲线得， ， 解得：． 故选：D． 【变式2】在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的值为 ． 【答案】 【分析】反比例函数图象上的点的横纵坐标的积为定值，由此可解． 【详解】解：反比例函数的图像经过点和点， ， ， 故答案为：． 【变式3】已知反比例函数的解析式为y＝．则a的取值范围是_____． 【答案】a≠±2 【分析】根据反比例函数解析式中k是常数，且不能等于0解答即可． 【详解】解：由题意可得：|a|﹣2≠0， 解得：a≠±2， 故答案为a≠±2． 题型02 反比例函数的图象和性质 【典例1】若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出，，的值，即可解答． 【详解】解：当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； ， 故选：C． 【变式1】如果反比例函数 的图象在所在的每个象限内y都是随着x的增大而减小，那么m的取值范围是（　　） A．m＞ B．m＜ C．m≤ D．m≥ 【答案】B 【解析】根据反比例函数的性质可得1-2m>0, 再解不等式即可. 【解答】解：有题意得：反比例函数的图象在所在的每个象限内y都是随着x的增大而减小，1-2m>0, 解得:m<, 故选:B. 【变式2】若反比例函数的图象在第一、三象限，则m的值是（ ）. A．1 B．-1 C．1或一1 D．不确定 【答案】A 【解析】根据反比例函数的定义可得m2−2＝−1，根据函数在一，三象限可以得到比例系数2m−1大于0，即可求得m的值． 【解答】解：根据题意得：， 解得：m＝1． 故选A 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过的顶点，点在第一象限，点，的坐标分别为，.若点是该反比例函数图象上的一点，且，点的坐标不可能是(        ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由O、C、B的坐标及平行四边形的性质可得A点坐标，再由双曲线的性质可得P点坐标． 【解答】解：∵ 中，点，的坐标为，， ∴ 点的坐标为. 根据双曲线关于原点成中心对称，关于直线成轴对称， 可得第一象限内点坐标为， 在第三象限内点坐标为或. 故选. 题型03 反比例函数中k的几何意义 【典例1】如图，P为反比例函数y=的图像上一点，PA⊥x轴于点A，△PAO的面积为6，则下列各点中也在这个反比例函数图象上的是（　　） A．（2，3） B．（﹣2，6） C．（2，6） D．（﹣2，3） 【答案】B 【分析】根据反比例函数k的几何意义可以求出k的值，再判断点和图象的位置关系即可 【详解】因为△PAO的面积为6，图象在第二象限，所以k=-12，代入各选项，可得B正确。 【变式1】如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，点C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】C 【分析】根据反比例函数（k≠0）系数k的几何意义得到两个矩形的面积，即可得到ABCD的面积 【详解】延长BA交y轴于点E，则矩形ADOE的面积为4，矩形BCOE的面积为12，则矩形ABCD的面积为8，故选C 【变式2】如图，点是反比例函数的图象上任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作平行四边形，其中，在轴上，则为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】连结OA、OB，AB交y轴于E，由于AB⊥y轴，根据反比例函数（k≠0）系数k的几何意义得到S△OEA与S△OBE，然后根据平行四边形的性质得到S平行四边形ABCD=2S△OAB=5． 【详解】连结OA、OB，AB交y轴于E，如图， ∵AB∥x轴， ∴AB⊥y轴， ∴ ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴ 故选D. 题型04 实际中的反比例关系 【典例1】已知压力F、受力面积S、压强P之间的关系是．则下列说法不正确的是（    ） A．当压强P为定值时，压力F与受力面积S成正比函数关系； B．当压强P为定值时，受力面积S越大，压力F也越大； C．当压力F为定值时，压强P与受力面积S成正比例函数关系； D．当压力F为定值时，压强P与受力面积S成反比例函数关系． 【答案】C 【分析】根据正比例函数关系和反比例函数关系的定义进行判断即可． 【详解】解：A．在中，当压强P为定值时，压力F与受力面积S成正比函数关系，故选项正确，不符合题意； B．在中，当压强P为定值时，受力面积S越大，压力F也越大，故选项正确，不符合题意； C．在中，当压力F为定值时，压强P与受力面积S成反比例函数关系，故选项不正确，符合题意； D．在中，当压力F为定值时，压强P与受力面积S成反比例函数关系，故选项正确，不符合题意． 故选：C． 【变式1】某小区要种植一个面积为3 500 m2的矩形草坪,已知草坪的长y(m)随宽x(m)的变化而变化,则y与x的函数关系式为 (　　) A.xy=3 000　　　B.x=3 500y　　C.y=　　　D.y= 【答案】　C　 【分析】由矩形的面积公式即可得到结论 【详解】由矩形的面积公式可得xy=3 500,∴y=.故选C. 【变式2】下列问题中的两个变量是成反比例的是（　　） A．被除数（不为零）一定，除数与商 B．货物的单价一定，货物的总价与货物的数量 C．等腰三角形的周长一定，它的腰长与底边的长 D．汽车所行的速度一定，它所行驶的路程与时间 【答案】A 【分析】形如（为常数，）的函数称为反比例函数．看两个变量是否具有反比例关系，主要看它们的乘积是否为非零的常数．依据判断方法逐项分析即可． 【详解】解：A．被除数（不为零）一定，除数与商是反比例函数的关系，故此选项符合题意； B．货物的单价一定，货物的总价与货物的数量是正比例函数的关系，故此选项不符合题意； C．等腰三角形的周长一定，它的腰长与底边的长是一次函数的关系，故此选项不符合题意； D．汽车所行的速度一定，它所行驶的路程与时间是正比例函数的关系，故此选项不符合题意． 故选：A． 【变式3】下列两个变量之间的关系，是反比例函数关系的是（ ） A．直角三角形中，30°角所对的直角边y与斜边x之间的关系 B．面积为16的菱形，其中一条对角线y与另一条对角线x之间的关系 C．等腰三角形的顶角与底角之间的关系 D．圆的面积S与它的直径d之间的关系 【答案】B 【分析】此题可先对各选项列出函数关系式，再根据反比例函数的定义进行判断． 【详解】A、在直角三角形中，30°角所对的直角边y与斜边x之间的关系是：y＝x，是正比例函数关系，故本选项错误； B.因为菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半，所以，所以，是反比例函数关系，故本选项正确； C.在等腰三角形中，顶角y与底角x之间的关系是：y＝180−2x，是一次函数关系，故本选项错误； D. 圆的面积S与它的直径d之间的关系是：S＝π×（d）2＝πd2，是二次函数关系，故本选项错误； 故选B. 题型05 反比例函数的实际应用 【典例1】公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂=动力×动力臂.小伟欲用撬根撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）关于动力臂l（单位：）的函数解析式正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据所给公式列式，整理即可得答案. 【详解】∵阻力×阻力臂=动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和， ∴动力(单位：)关于动力臂(单位：)的函数解析式为：， 则， 故选B． 【变式1】直角三角形两直角边的长分别为 x，y，它的面积为 3，则y与x之间的函数关系式为_________. 【答案】 【分析】根据直角三角形的面积公式可得，据此可得. 【详解】解：根据题意知， 则xy=6， . 【变式2】已知，在对物体做功一定的情况下，力（牛）与此物体在力的方向上移动的距离（米）成反比例函数关系，其图象如图所示，则当力达到牛时，此物体在力的方向上移动的距离是_____米． 【答案】36 【分析】由题意及图像易得反比例函数解析式，然后再把代入函数关系式即可求解． 【详解】解：∵力与此物体在力的方向上移动的距离成反比例函数关系， ∴其函数关系式为， ∵点是反比例函数图象上的点， ∴． ∴此函数的解析式为， 把代入函数关系式得，， ∴． ∴此物体在力的方向上移动的距离是． 故答案为：． 【变式3】为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”，已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量与燃烧时间（分钟）成正比例；烧灼后，与成反比例（如图所示）.现测得药物分钟燃烧完，此时教室内每立方米空气含药量为.研究表明当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒作用，那么从消毒开始，至少需要经过______分钟后，学生才能回到教室. 【答案】50 【分析】先求得反比例函数的解析式，然后把代入反比例函数解析式，求出相应的即可； 【详解】解：设药物燃烧后与之间的解析式，把点代入得，解得， 关于的函数式为：； 当时，由；得，所以50分钟后学生才可进入教室； 故答案为50． 1．已知是反比例函数，求m的值． 【答案】 【分析】根据反比例函数的定义．即，只需令，即可． 【详解】解：由题意得：且，； 解得，又； ． 2.点P（﹣1，3）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则k的值是（　　） A． B．3 C． D．﹣3 【答案】D 【分析】把点的坐标代入函数解析式，即可求出k． 【详解】∵点P（﹣1，3）在反比例函数y（k≠0）的图象上，∴3，解得：k=﹣3． 故选D． 3.根据下表中，反比例函数的自变量x与函数y的对应值，可得p的值为（　　） A．3 B．1 C．－2 D．－6 【答案】D 【分析】根据反比例函数的定义知，反比例函数横纵坐标坐标的乘积是定值k． 【详解】由y与x成反比例关系，可得，解得． 故选D． 4.若点、都在反比例函数的图象上，则、的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】根据解析式，将自变量值代入解析式求函数值比较． 【详解】解：由题知，，， ∴． 故选：B． 5.已知反比例函数，则它的图象位于第________象限. 【答案】一、三 【分析】让x的指数为-1，系数不等于0可得m的值，进而根据比例系数的值可得函数图象所在的象限． 【详解】因为函数是反比例函数， 所以，且， 所以，所以， 所以其图象位于第一、三象限. 故答案是：一、三. 6.已知点（x，y）为反比例函数y＝图象上的一点，若y≥1，则x的取值范围是_____． 【答案】0＜x≤4 【分析】根据题意反比例函数图像经过一、三象限，y随x的增加而减小，故若y≥1，即x＞0且，解得0＜x≤4. 【详解】∵反比例函数y＝，k＞0， ∴当x＞0时，y＞0，当x＜0时，y＜0， ∵y≥1， ∴x＞0， ， 解得：x≤4， 综上可知：0＜x≤4， 故答案为0＜x≤4． 7．厨师将一定质量的面团做成粗细一致的拉面时，面条的总长度 是面条横截面积 的反比例函数，其图象经过点  ，若厨师做出的面条最细时的横截面积能达到  ，则面条总长度最长可达到________ 【答案】 【分析】设函数解析式为，将代入求得k，然后求当时y的值即可． 【详解】设反比例函数解析式为， 将点代入可得， ∴函数解析式为， 当时，， ∴若厨师做出的面条最细时的横截面积能达到  ，则面条总长度最长可达到 故答案为：． 8.如图，一次函数y1＝x+2的图象与反比例函数y2＝（k≠0）的图象交于A、B两点，且点A的坐标为(1，m)． （1）求反比例函数的表达式及点B的坐标； （2）根据图象直接写出当y1＞y2时x的取值范围． 【答案】（1）y＝，B(﹣3，﹣1)；（2）﹣3＜x＜0或x＞1 【分析】（1）把A点坐标代入一次函数解析式可求得m的值，可得到A点坐标，再把A点坐标代入反比例函数解析式可求得k的值，解析式联立，解方程即可求得B的坐标； （2）根据图象观察直线在双曲线上方对应的x的范围即可求得． 【详解】解：（1）∵一次函数图象过A点， ∴m＝1+2，解得m＝3， ∴A点坐标为（1，3）， 又∵反比例函数图象过A点， ∴k＝1×3＝3 ∴反比例函数y＝， 解方程组得：或， ∴B（﹣3，﹣1）； （2）当y1＞y2时x的取值范围是﹣3＜x＜0或x＞1． 9.如图，正比例函数与反比例函数的图像交于A，B两点，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，△ACO的面积为4． （1）求反比例函数的表达式； （2）点B的坐标为 ； （3）当时，直接写出x的取值范围． 【答案】解： ； （2）B（-2，-4）； （3）-2<x<0或x>2. 【分析】（1）根据反比例函数图象的性质，反比例函数上任意一点向x轴（或y轴）作垂线，这一点、所交点与原点之间所围成的直角三角形的面积等于 ，图象经过一、三象限k>0； （2）联立正比例函数与反比例函数，解出的x，y分别为交点的横、纵坐标，这里需注意解得的解集有两个，说明交点有两个，需要考虑点所在位于哪一个象限； （3）观察图像可以解决问题，谁的图像在上面，谁对应的函数值大，这里需过两个交点作x轴垂线，两条垂线与y轴将图象分成四部分，分别讨论. 【详解】解：（1）∵△ACO的面积为4，C⊥x轴 ∴, 即, ∵点A是函数的点 ∴， ∵反比例函数的图像在第一、三象限， ∴k>0 ∴k=8,反比例函数表达式为 ； （2）联立 ，可解得 或， ∵B点在第三象限， ∴点B坐标为（-2，-4）. （3）根据（2）易得A点坐标为（2,4）， 所以当-2<x<0或x>2时， 10.反比例函数在第二象限的图象与矩形OABC的边交于D，E，BE＝2CE，点B的坐标是（﹣6，3）． （1）求k的值；（2）求线段DE的解析式． 【答案】（1）k＝﹣6；（2）. 【分析】（1）根据“BE＝2CE，点B的坐标是（﹣6，3）”，得到点E的坐标，代入y＝，即可得到答案， （2）结合（1）的答案得到反比例函数的解析式，把x＝﹣6代入，求得点D的坐标，结合点E的坐标，用待定系数法，即可得到答案． 【详解】解：（1）根据题意得： 点E的横坐标为：﹣6×＝﹣2， 即点E的坐标为：（﹣2，3）， 把点E（﹣2，3）代入y＝得： 3＝， 解得：k＝﹣6， （2）反比例函数的解析式为y＝， 把x＝﹣6代入得： y＝1， 即点D的坐标为：（﹣6，1）， 设线段DE的解析式为：y＝kx+b， 把点D（﹣6，1），点E（﹣2，3）代入得： ， 解得： ， 即线段DE的解析式为：． 11.为了做好新冠肺炎疫情期间开学工作，我区某中学用药熏消毒法对教室进行消毒．已知一瓶药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间x（分钟）成正比例；药物释放完毕后，y与x成反比例，如图所示．根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）写出倾倒一瓶药物后，从药物释放开始，y与x之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量不低于8毫克时，消毒有效，那么倾倒一瓶药物后，从药物释放开始，有效消毒时间是多少分钟？ 【答案】（1）；（2）31.5分钟 【分析】(1)首先根据题意，已知药物释放过程中， y与x的函数关系式为；药物释放完毕后，y与x的函数关系式为 (，k为常数)，将数据代入用待定系数法可得y与x的函数关系式； (2)将y=8分别代入两个函数解析式，求出x的值，进一步求解可得答案． 【详解】（1）当0≤x≤15时，设y=ax（a≠0）； 当x>15时，设y=（k≠0）． 将（15，20）代入y=ax， 20=15a，解得：a=， ∴y=x（0≤x≤15）． 将（15，20）代入y=， 20=，解得：k=300， ∴y=（x>15）， ∴ ； （2）把y=8代入y=x得，x=6； 把y=8代入y=得，x=37.5， 37.5-6=31.5（分钟）． 答：有效消毒时间是31.5分钟． 12.已知当电压U（V）一定时，电阻R（Ω）与电流强度I（A）成反比例.一个汽车前灯灯泡的电阻为40Ω，电流强度为0.3A，这个电路中的电压不变． （1）若灯泡的电阻为R，通过的电流强度为I，求I与R之间的函数关系式； （2）如果把汽车前灯换成电阻为25Ω的灯泡，那么此时电流强度为多少？ 【答案】（1）；（2）此时电流强度为0.48A. 【分析】（1）根据电压U（V）一定时，电阻R（Ω）与电流强度I（A）成反比例，结合题中数据求出电压即可； （2）将代入（1）中函数关系式求出电流强度I即可. 【详解】（1）根据题意，得， ∴I与R之间的函数关系式为. （2）当时，. 即此时电流强度为0.48A. 13.小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下结论： ①当时，x越小，函数值越小； ②当时，x越大，函数值越小； ③当时，x越小，函数值越大； ④当时，x越大，函数值越大． 其中正确的是 （只填写序号）． 【答案】②③④ 【分析】列表，描点、连线，画出图象，根据图象回答即可． 【详解】解：列表， x …… 1 2 …… y …… 3 3 5 …… 描点、连线，图象如下，        根据图象知： ①当时，x越小，函数值越大，错误； ②当时，x越大，函数值越小，正确； ③当时，x越小，函数值越大，正确； ④当时，x越大，函数值越大，正确． 故答案为：②③④． 14.如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，轴，，＝，＝． （1）直接写出、、三点的坐标； （2）将矩形向右平移个单位，使点、恰好同时落在反比例函数的图象上，得矩形．求矩形的平移距离和反比例函数的解析式． 【答案】（1），，；（2）＝， ． 【分析】（1）由四边形是矩形，得到＝＝，＝＝，根据，轴，即可得到，，； （2）根据平移的性质将矩形向右平移个单位，得到，，由点，在反比例函数的图象上，得到方程，即可求得结果． 【详解】（1）∵四边形是矩形， ∴＝＝，＝＝， ∵，轴， ∴，，； （2）∵将矩形向右平移个单位， ∴，， ∵点，在反比例函数的图象上， ∴， 解得：＝， ∴，将代入，得到 ∴， ∴矩形的平移距离＝， 反比例函数的解析式为：． 故答案案为（1），，；（2）＝， ． 15.已知直线与直线y2＝kx+b关于原点O对称，若反比例函数的图象与直线y2＝kx+b交于A、B两点，点A横坐标为1，点B纵坐标为． （1）求k，b的值； （2）结合图象，当时，求自变量x的取值范围． 【答案】(1)k=,b=-;(2) ﹣4＜x＜﹣1或x＞0． 【分析】（1）根据题意求出直线与两坐标轴的交点坐标，再根据直线与直线y2＝kx+b关于原点O对称，运用待定系数法解答即可； （2）把点A的横坐标代入直线上，求出点A的坐标；把B点的纵坐标代入直线上，求出点B的坐标，根据经过点A、B，且图象关于原点成中心对称，判断必经过A、B两点，根据交点坐标判断即可求自变量x的取值范围． 【详解】解：（1）∵， ∴当x＝0，解得， ∴当y＝0，解得x＝﹣5 ∴与两坐标轴的交点为：，（﹣5，0）， ∵与y2＝kx+b关于原点对称， ∴y2＝kx+b经过点：，（5，0）， ∴得到方程组：， 解得：； （2）∵点A、B在直线上 ∴把x＝1代入上式解得y＝﹣2 ∴A（1，﹣2） ∴把代入上式解得x＝4 ∴， ∵经过点A、B，且图象关于原点成中心对称， ∴必经过点（﹣1，2）、, 且（﹣1，2）、两点即为与两个交点， ∴结合图象，当y＜y1时，x的取值范围的取值范围为：﹣4＜x＜﹣1或x＞0． 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $