21.3 二次函数与一元二次方程 教案 2026--2027学年沪科版九年级数学上册

该教案聚焦二次函数与一元二次方程的关系及用图象求近似解，通过小唐画抛物线顶点在x轴的情境导入，连接二次函数顶点坐标与方程根的关系，搭建前后知识学习支架。 以问题驱动合作探究，通过判断交点个数、确定字母取值等实例培养推理能力，用图象法求近似解渗透数形结合，体现几何直观与模型意识，帮助学生理解联系，教师可直接使用分层例题提升教学效率。

21.3 二次函数与一元二次方程 第1课时 二次函数与一元二次方程的关系 【教学目标】 1.通过探索，理解二次函数与一元二次方程之间的联系，会用二次函数图象求一元二次方程的解；(重点) 2.通过研究二次函数与一元二次方程的联系体会数形结合思想的应用.(难点) 【教学过程】 一、情境导入 小唐画y＝x2－6x＋c的图象时，发现其顶点在x轴上，请你帮小唐确定字母c的值是多少？ 二、合作探究 探究点一：判断二次函数图象与x轴交点个数 【类型一】 二次函数图象与x轴交点情况判断 下列函数的图象与x轴只有一个交点的是( ) A.y＝x2＋2x－3 B.y＝x2＋2x＋3 C.y＝x2－2x＋3 D.y＝x2－2x＋1 解析：选项A中b2－4ac＝22－4×1×(－3)＝16＞0，选项B中b2－4ac＝22－4×1×3＝－8＜0，选项C中b2－4ac＝(－2)2－4×1×3＝－8＜0，选项D中b2－4ac＝(－2)2－4×1×1＝0，所以选项D的函数图象与x轴只有一个交点.故选D. 【类型二】 利用二次函数图象与x轴交点坐标确定抛物线的对称轴 如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为________. 解析：∵点(1，0)与(3，0)是一对对称点，∴其对称中心是(2，0)，∴对称轴的方程是x＝2. 方法总结：解答二次函数问题，若能利用抛物线的对称性，则可以简化计算过程. 【类型三】 利用抛物线与x轴交点情况确定字母取值(范围) 若函数y＝mx2＋(m＋2)x＋m＋1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为( ) A.0 B.0或2 C.2或－2 D.0，2或－2 解析：若m≠0，根据二次函数与x轴只有一个交点，利用一元二次方程根的判别式为零来求解；若m＝0，原函数是一次函数，图象与x轴有一个交点.当m≠0时，Δ＝(m＋2)2－4m(m＋1)＝0，解得m＝2或－2；当m＝0时，原函数是一次函数，图象与x轴只有一个交点，所以当m＝0，2或－2时，图象与x轴只有一个交点.故选D. 方法总结：二次函数y＝ax2＋bx＋c，当b2－4ac＞0时，图象与x轴有两个交点，当b2－4ac＝0时，图象与x轴有一个交点，当b2－4ac＜0时，图象与x轴没有交点. 探究点二：二次函数图象与x轴的交点坐标与一元二次方程根的关系 已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解为________. 解析：因为抛物线经过点(3，0)，所以x＝3，y＝0是该函数的一组对应值.将x＝3，y＝0代入函数表达式，得0＝－32＋2×3＋m，解得m＝3.所以一元二次方程为－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3. 方法总结：本题先求出m的值，从而写出一元二次方程，然后解这个一元二次方程得出其解.也可以由图象得抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线与x轴的一个交点为(3，0).根据抛物线的对称性知抛物线与x轴的另一个交点为(－1，0)，则(3，0)和(－1，0)两点的横坐标就是所求方程的根，即x1＝－1，x2＝3. 【板书设计】 第2课时 利用图象求一元二次方程的近似解 【知识与技能】 掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系,会用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 【过程与方法】 经历探究二次函数与一元二次方程关系的过程，体会函数、方程之间的联系. 【情感、态度与价值观】 进一步培养学生的综合解题能力,掌握解决问题的方法,培养探究精神. 【教学重点】用函数图象求一元二次方程的近似解. 【教学难点】用数形结合的思想解方程. 【教学过程】 一、创设情境,导入新知 师:任意一次函数的图象与x轴有几个交点? 生甲:一个. 生乙:不对,当直线与x轴平行时,没有交点. 生丙:还有一种情况,当直线与x轴重合时,有无数个交点. 师:同学们考虑得很周到!当一次函数的图象与x轴有1个交点时,你能求出它与x轴交点的坐标吗?比如一次函数y=2x-3,它的图象与x轴交点的坐标是多少? 学生计算后回答. 二、共同探究,获取新知 师:你猜想一下,二次函数的图象与x轴可能会有几个交点?我们可以借助什么来研究? 学生思考. 生:借助二次函数的图象. 师:对. 教师多媒体课件出示: 二次函数y=x2+3x+2的图象如图所示,根据图象回答问题: 1.它与x轴有公共点吗?如果有,公共点的横坐标是多少? 2.当x取公共点的横坐标时,函数的值是多少? 3.由此你能求出方程x2+3x+2=0的根吗? 4.方程x2+3x+2=0的解与交点的横坐标有什么关系? 师:请同学们先画出函数图象,然后思考下面几个问题. 学生作图,教师巡视指导. 教师出示图象: 学生观察图象后回答. 生:这个函数的图象与x轴有公共点,公共点的横坐标分别是-2和-1.这时函数值都为0,所以方程x2+3x+2=0的根为-2和-1.方程x2+3x+2=0的解与交点的横坐标是一样的. 师:同学们回答得很好!你能归纳出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其他情况吗?交点的个数与方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系呢? 学生思考,交流讨论. 生:函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数与方程ax2+bx+c=0根的个数一样,所以也有三种情况:令Δ=b2-4ac,当Δ>0时,函数图象与x轴有两个交点,方程有两个根;当Δ=0时,函数图象与x轴有一个交点,方程有两个相等的根;当Δ<0时,函数图象与x轴没有交点,方程无解. 师:同学们回答得很好!所以我们有了求一元二次方程根的另一种方法,画出二次函数的图象,然后怎么确定方程的解呢? 生:二次函数的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的解. 三、例题讲解 【例】 用图象法求一元二次方程x2+2x-1=0的近似解(精确到0.1). 解:画出函数y=x2+2x-1的图象,如图. 由图象可知,方程有两个实数根,一个在-3和-2之间,另一个在0和1之间. 先求位于-3和-2之间的根.由图象可估计这个根是-2.5或-2.4,利用计算器进行探索,见下表: x … -2.5 -2.4 … y … 0.25 -0.04 … 观察上表可以发现,当x分别取-2.5和-2.4时,对应的y由正变负,可见在-2.5与-2.4之间肯定有一个x使y=0,即有方程x2+2x-1=0的一个根.题目只要求精确到0.1,这时取x=-2.5或x=-2.4作为根都符合要求.但当x=-2.4时,y=-0.04比y=0.25(x=-2.5)更接近0,故选x=-2.4. 同理,可求出方程x2+2x-1=0在0和1之间精确到0.1的另一个根. 方程x2+2x-1=0的近似解还可以这样求:分别画出函数y=x2和y=-2x+1的图象,如图,它们的交点A、B的横坐标就是方程x2+2x-1=0的根. 如有条件,可以在计算机上用《几何画板》处理. 四、练习新知 师:我这有几个习题,现在让我们一起来解决它们. 1.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点坐标分别为(1,0)、(-5,0),那么关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根分别是 .  【答案】x1=1,x2=-5 2.判断下列二次函数的图象与x轴有无交点.若有,求出交点的坐标;若没有,请说明理由. (1)y=2x2-5x+3; (2)y=x2+3x+5; (3)y=3x2-7x+8; (4)y=x2+x-12. 【答案】(1)有交点,交点坐标为(1,0)、(,0); (2)无交点,Δ=b2-4ac=32-4×1×5=-11<0; (3)无交点,Δ=b2-4ac=(-7)2-4×3×8=-47<0; (4)有交点,交点坐标为(4,0)、(-6,0). 3.已知二次函数y=kx2-3x-2的图象与x轴有两个交点,求k的取值范围. 【答案】根据题意,得 解得k>-且k≠0. 五、继续探究,层层推进 师:我们前面学习了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系,上面讨论了二次函数与一元二次方程的关系,下面我们讨论二次函数与一元二次不等式的关系.请同学们看课本第30页的图21~20. 学生看图. 师:我们可以清楚地看到二次函数y=x2+3x+2的图象被x轴分成三部分:一部分与x轴相交,一部分在x轴上方,一部分在x轴下方.在x轴上方或下方的意义是什么? 生1:在x轴上方时,y>0,也就是x2+3x+2>0,所以图象在x轴上方的x的取值范围就是不等式x2+3x+2>0的解集. 生2:在x轴下方时,y<0,也就是x2+3x+2<0,所以图象在x轴下方的x的取值范围就是不等式x2+3x+2<0的解集. 师:同学们很聪明!你现在就根据这个来完成课本第33页练习的1、2. 学生做题,教师巡视指导,完成后集体订正. 六、课堂小结 师:本节课你学习了什么内容?有什么收获? 学生回答. 师:你还有什么不明白的地方吗? 学生提问,教师解答. 1 学科网（北京）股份有限公司 $