专题07相似多边形及三角形相似的条件暑假预习讲义(知识梳理+常考题型精析+强化巩固)2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题07相似多边形及三角形相似的条件暑假预习讲义 · 概念区分：牢记相似多边形、相似三角形定义，掌握相似图形两大核心特征：对应角相等、对应边成比例；对比全等图形，理清全等是相似比为 1 的特殊相似。 · 规范表达：掌握相似符号书写规则，书写相似多边形、相似三角形时严格对应顶点顺序，准确识别对应边、对应角；理解相似比概念，分清原图与放大缩小图形的相似比。 · 多边形性质应用：熟练掌握相似多边形周长比 = 相似比、面积比 = 相似比的平方，能结合相似比完成边长、周长、面积相关计算；会依据定义判断两个多边形是否相似，清楚正方形、矩形、菱形等特殊四边形相似的限定条件。 · 熟记相似判定定理：掌握三角形相似三大判定方法：两角分别相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似，清晰区分各定理适用场景。 · 识图建模能力：能从几何图形中快速找出相等角、成比例线段，识别 A 字型、8 字型、平行线截三角形等基础相似模型，快速提取证相似所需条件。 · 推理与计算：规范几何证明步骤，先利用判定定理证三角形相似，再借助相似性质求解线段长度、线段比值；明确易错误区：两边成比例且一组对角相等，无法判定三角形相似。 · 知识综合梳理：建立全等、相似知识对比体系，自主梳理面积比、相似判定、图形识图中的疑问难点，带着问题听课，提升几何识图与逻辑证明能力。 预习必备 知识梳理 1.相似多边形定义 2.相似比 3.相似多边形核心性质 4.常见特殊多边形相似判断 5.相似三角形的定义 6.相似三角形判定定理 7.常见模型及应用 8.相似三角形的性质 常考题型 精讲精练 1.成比例线段 2.相似多边形 3.相似多边形的性质 4.两角对应相等判定相似 5.两边成比例且夹角相等证相似 6.三边对应成比例判定相似 7.补充条件使两个三角形相似 8.相似三角形的判定综合 9.黄金分割 强化题型 解答题9题 知识点01：相似多边形定义 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。 1.两个条件必须同时满足，缺一不可： 1 对应角全部相等； 2 对应边长度的比值相等（对应边成比例）。 2.书写规范 用符号 “” 表示相似，书写时对应顶点按相同顺序排列，方便快速找出对应边、对应角。 例：四边形ABCD 四边形A'B'C'D'，则∠ A对应 ∠A'，AB对应A'B'。 知识点02：相似比 相似多边形对应边的比叫做相似比（相似系数）。 1.顺序有区别：若四边形ABCD与四边形\A'B'C'D'相似，相似比k=；反过来A'B'C'D'与ABCD的相似比为。 2.特殊情况：相似比k=1时，对应边相等、对应角相等，两个多边形全等，全等是相似的特殊情况。 知识点03：相似多边形核心性质 1.对应角相等 ∠A=∠A'，∠B =∠B',∠C =∠C',∠D =∠D' 2.对应边成比例 = = = = k 3.周长之比等于相似比 4.面积之比等于相似比的平方 知识点04：常见特殊多边形相似判断（高频考点） 1.正方形：任意两个正方形一定相似。 理由：四个角都是 90°（对应角相等），边长比值恒定（对应边成比例）。 2.矩形：两个矩形不一定相似。 反例：长 2 宽 1、长 3 宽 1 的矩形，角都相等，但边长比不相等。 3.菱形：两个菱形不一定相似。 理由：四边一定成比例，但内角不一定全部对应相等。 4.正n边形：所有边数相同的正多边形一定相似。 知识点05:相似三角形的定义 定义：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 符号：△ABC∽△A′B′C′（注意顶点顺序要一一对应） 相似比：对应边的比值，记作 k。若 △ABC∽△A′B′C′， 则 k 知识点06:相似三角形的判定定理 1.两角对应相等（AA） 两角分别相等的两个三角形相似。 几何语言：若 ∠A=∠A′，∠B=∠B′，则 △ABC∽△A′B′C′。 2.三边对应成比例（SSS） 三边成比例的两个三角形相似。 几何语言：若​，则 △ABC∽△A′B′C′。 3.两边成比例且夹角相等（SAS） 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 几何语言：若 ​，且 ∠A=∠A′，则 △ABC∽△A′B′C′。 知识点07:常见模型与应用 A 字型：DE∥BC⟹△ADE∽△ABC 8 字型（X 型）：AB∥CD⟹△AOB∽△DOC 母子型（射影定理）：Rt△ABC 中，CD⊥AB，则 △ACD∽△ABC∽△CBD，且 AC2=ADAB，BC2=BDAB，CD2=ADBD。 知识点08. 相似三角形性质 设 △ABC∽△A′B′C′，相似比为 k： (1)对应角相等：∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′ (2)对应边成比例：k (3)对应线段比等于相似比：对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比 k。 (4)周长比等于相似比： (5)面积比等于相似比的平方： 知识点09：黄金分割 点 C 在线段 AB 上，且满足 ， 即AC2=ABBC 此时称点 C 为线段 AB 的黄金分割点，黄金比为≈0.618 题型1.成比例线段 【典例】现有四条线段，长度按从长到短的顺序分别为4，3，2，a，若这四条线段是成比例线段，则a的值为_______ 【答案】 【分析】根据成比例线段的定义，按顺序对应成比例，据此列比例式求解即可． 【详解】解： 四条线段长度按从长到短的顺序分别为 ，且这四条线段是成比例线段， ， 根据比例的基本性质，得 ， 解得． 【跟踪专练1】下列长度的各组线段中，属于成比例线段的一组是（   ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 【答案】B 【分析】本题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等，同时注意单位要统一．如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段，对选项一一分析，排除错误答案． 【详解】解：A、，不是成比例线段，故本选项不符合题意； B、，是成比例线段，故本选项符合题意； C、，不是成比例线段，故本选项不符合题意； D、，不是成比例线段，故本选项不符合题意． 故选：B． 【跟踪专练2】数学家定义：若点C把线段分成两部分，满足，则点C为线段的白银分割点．已知点C是线段的白银分割点，且，则________． 【答案】 【分析】根据白银分割点的定义得到，由即可求出的长． 【详解】解：点C是线段的白银分割点， ， ， ， 故答案为： ． 【跟踪专练3】如图，在中，，分别是，上的点，且．若，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是掌握定理的内容并能灵活运用，特别注意定理中线段的对应．设，则，再根据求解即可． 【详解】解：，， ． 设． ， ． ， ， 解得，即． 故选：B． 题型2.相似多边形 【典例】如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是________．    【答案】 【分析】相似图形的相似比等于对应边之比；再由五边形 五边形 可得相似比为，进而求解即可． 【详解】解：设横向相邻的两点距离为1，则，， ∴五边形 五边形 可得相似比为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似图形的相似比，掌握相似比的定义是解题的关键． 【跟踪专练1】下列图形中，相似多边形是（   ）    A．甲与乙 B．乙与丙 C．丙与丁 D．乙与丁 【答案】C 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，根据相似多边形的判定方法可得答案. 【详解】解： ∵甲、乙、丙、丁的邻边之比分别为：；，，，且四个图形的每一个内角都是直角； ∴丙、丁两个图形的对应边成比例，对应角相等. ∴相似的是丙与丁， 故选C 【跟踪专练2】如图，是矩形内的任意一点，链接，，，，得到，，，，设它们的面积分别是，，，，给出如下结论： ①； ②； ③若，则； ④若，则点在矩形的对角线上． 其中正确的结论的序号是__________．（把所有正确结论的序号都填在横线上） 【答案】②④ 【分析】根据三角形面积求法以及矩形性质得出，以及，，即可得出P点一定在上． 【详解】如图，作，作， ∵以AD为底边，以BC为底边， ∴此时两三角形的高的和为AB，即可得到， 同理可得， ∴，故②正确，则①错误， ③若，只能得出与高度之比，不一定等于，故此选项错误； ④若，， ∴与高度之比为：， ∵， ∴四边形是矩形， ∴此时矩形与矩形相似， ∴， ∴P点在矩形的对角线上， 故答案为：②和④． 【点睛】此题考查了矩形的性质以及三角形面积求法，根据已知得出是解题关键． 【跟踪专练3】在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下： 甲：将边长为5、12、13的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为5和12的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（   ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都对 D．两人都不对 【答案】A 【分析】本题考查相似图形的定义，相似三角形的判定，根据图形的变换方式，以及相似图形的定义，相似三角形的判定，分析甲、乙两同学的观点，即可解题． 【详解】解：如图： 由题知，，延长， 则，， ， 同理可得，， ， 即新三角形与原三角形相似，甲是对的； 如图： 由题知，， ， 新矩形与原矩形不相似，乙不对． 故选：A． 题型3.相似多边形的性质 【典例】如图是两个形状相同的红绿灯图案，则根据图中给出的部分数值，得到x的值为______． 【答案】16 【分析】根据相似的性质进行解答即可． 【详解】解：∵如图是两个形状相同的红绿灯图案， ∴两个红绿灯图案相似， ∴， ∴， 经检验，是该方程的解． 即x的值为． 【跟踪专练1】如图，已知，若，，则的长为（   ）． A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】C 【分析】相似多边形的性质，对应边成比例，则． 【详解】解：∵ ∴， ∴． 故选：C． 【跟踪专练2】在长，宽的矩形中，截去一个矩形，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积是_____． 【答案】27 【分析】先确定原矩形的边长，根据相似多边形对应边成比例求出留下矩形的未知边长，再计算面积，舍去不符合题意的解。 【详解】解：由题意得，原矩形长为，宽为，截去一个矩形后，留下矩形的一条边长为原矩形的宽，设另一条边长为，且， 因为留下的矩形与原矩形相似， 根据相似多边形的对应边成比例，分两种情况讨论： 情况1： 解得，符合题意； 情况2： 解得，此时留下矩形与原矩形全等，不符合截去一个矩形的要求，舍去； 若留下矩形的一条边长为，设另一边长为（其中）， 根据题意得：， 解得，与的条件矛盾，舍去； 因此留下矩形的面积为 【跟踪专练3】如图，四边形四边形，相似比为，点，，，四点共线，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似多边形的性质，根据相似多边形对应角相等，对应边成比例，逐项判断即可． 【详解】解：四边形四边形，相似比为， ，，， 选项A，D说法正确，不合题意； ， ， 选项B说法正确，不合题意； 现有条件不能得出， 选项C说法不一定正确，符合题意； 故选：C． 题型4.两角对应相等判定相似 【典例】如图，在四边形中，，对角线交于点，则图中相似的三角形是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，故D选项正确，符合题意； 根据题意无法得到，，，故A，B，C选项不正确，不符合题意； 故选：D 【跟踪专练1】如图，在中，F是延长线上一点，连接交于点E，请写出图中的一对相似三角形：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据平行四边形的性质，可得，从而可根据平行的性质，得到，从而可判断，，，据此作答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练2】如图，在中，，分别是，边上一点，连接．请你添加一个条件，使，则你添加的这一个条件可以是_________________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似. 利用有两组角对应相等的两个三角形相似添加条件即可. 【详解】解：， 当时，. 故答案为：（答案不唯一） ． 【跟踪专练3】如图，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键． 根据相似三角形的性质得到，， 根据四边形的内角和等于计算即可． 【详解】解：，，， ，， ， 故选：D． 题型5.两边成比例且夹角相等证相似 【典例】在与中，，，，，，，可证，其判定依据为______． 【答案】两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．①两角分别相等的两个三角形相似；②两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似；③三边成比例的两个三角形相似． 由题意可知， ，，即可根据“两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似”进行判定． 【详解】∵，，，， ∴， 即， ∵， ∴（两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似）． 故答案为：两边成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 【跟踪专练1】如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（的两个角是对应角，是公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等（的两个角是对应角，是公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、根据已知条件无法证明两个三角形相似，故本选项符合题意； D、这两个三角形两边成比例且夹角相等（比值均为，夹角为公共角），故两三角形相似，故本选项不符合题意． 【跟踪专练2】如图，和相似需具备的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，题中隐含条件，根据有两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，得出添加的条件只能是，根据比例的性质即可推出答案． 【详解】解：∵在和中，， ∴根据有两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，得出添加的条件是：， ∴， 故选：C． 【跟踪专练3】如图，点在的边上，连接，下列无法判定的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定定理逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：由图可知是公共角， 当添加时，由两角对应相等能判定，该选项符合题意； 当添加时，公共角，不是对应边成比例，无法判断，该选项符合题意； 当添加时，由两角对应相等能判定，该选项不合题意； 当添加时，公共角，由对应两边成比例且夹角相等，能判定，该选项不合题意； 故选：B． 题型6.三边对应成比例判定相似 【典例】如图，选项中的阴影三角形与相似的为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查相似三角形的判定定理及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键；先得出的三条边长，然后根据“三边对应成比例的两个三角形相似”依次进行排除选项即可． 【详解】解：设小正方形的边长为1，则有：， A选项中，三边长依次为，所以，所以不相似； B选项中，三边长依次为，所以，所以这两个三角形相似； C选项中，三边长依次为，所以，所以不相似； D选项中，三边长依次为，所以，所以不相似； 故选B． 【跟踪专练1】如图，在的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上．将点分别与点，连接，得到和，这四个三角形中与相似的是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，分别计算出每个三角形的边长，依据三边对应成比例进行判断即可得出结论． 【详解】解：的三边长分别为：，，； 的三边长分别为：，，， ∵， ∴与不相似； 的三边长分别为：，，； ∴， ∴； 的三边长分别为：，，， ∴， ∴与不相似； 的三边长分别为：，，, ∴， ∴与不相似； 故答案为：． 【跟踪专练2】观察下列每组三角形，不一定相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．利用相似三角形的判定对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由题意知：A中，能判定相似，选项正确，故不符合题意； B中，即夹角相等，能判定相似，选项正确，故不符合题意； C中只有一组角相等，不能判定相似，故符合题意， D 中有一组角相等，且对顶角相等，故有两组角相等的三角形相似，选项正确，故不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练3】如图所示的6个三角形中，相似三角形是（    ）． A．①与③ B．④与⑥ C．②与⑤ D．②与⑥ 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握好相似三角形的判定定理是关键． 计算出每个三角形的三边比，根据三边对应成比例判定相似． 【详解】解：三角形①的三边比为，三角形②的三边比为，三角形③的三边比为，三角形④的三边比为，三角形⑤的三边比为，三角形⑥的三边比为， ∵， ∴三角形④与三角形⑥相似． 故选：B． 题型7.补充条件使两个三角形相似 【典例】如图，点，分别在的边，上，要使，则可以添加的条件是___________．（只需添加一个条件即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，在已经有公共角的前提下，再添一组角对应相等或者角的两边对应成比例即可． 【详解】解：添加条件，． ∵，， ∴． 故答案为：．（答案不唯一） 【跟踪专练1】如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据题意，可知两三角形有一组角对应相等，依据添加的条件，逐个判断即可． 【详解】解：， ，即， A、添加，根据两边对应成比例及夹角相等，则； B、添加，根据两角对应相等，则； C、添加，虽然两边对应成比例，但和不是它们的夹角，则和不一定相似； D、添加，根据两角对应相等，则； 故选：C． 【跟踪专练2】如图，，添加一个条件：_____，使．（写一个即可） 【答案】（或或） 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理（两角分别相等、两边成比例且夹角相等）是解题的关键． 先由推出，再分别添加一组对应角相等或对应边成比例，利用相似三角形的判定定理证明． 【详解】解：情况：添加条件， ∵， ∴， 即． ∵，， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 情况：添加条件， ∵， ∴， 即． ∵，， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 情况：添加条件， ∵， ∴， 即． ∵，， ∴（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）． 故答案为：（或或）． 【跟踪专练3】如图，已知，下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形相似的判定方法，判定两个三角形相似的一般方法有：两对角对应相等；一对角对应相等，角的两边对应成比例；三对边对应成比例． 根据相似三角形的不同判定方法，逐一判断即得． 【详解】如图，已知，添加下列条件 A、，能判定； B、，能判定； C、，不能判定； D、，能判定． 故选：C． 题型8.相似三角形的判定综合 【典例】如图，在中，，于点，则图中与相似的三角形是___________． 【答案】和 【分析】根据两组对应角相等的两个三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：和． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 【跟踪专练1】如图，在中，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C．D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键，根据相似三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、根据阴影三角形有一个角为，与相等，结合是公共角，相等，可以得到阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； B、根据阴影三角形有一个角为，与相等，是公共角，相等，能得到阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； C、，，可以得到阴影三角形与原三角形相似，不符合题意； D、只有，不能得到阴影三角形与原三角形相似，符合题意； 故选D． 【跟踪专练2】如图，已知于点，于点，，，，为直线上一点，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，则这样的点有______个． 【答案】6 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 分3种情况求解即可：①当点P在线段上运动时，②当点P在B的左侧运动时，③当点P在点C的右侧运动时． 【详解】解：∵， ∴，设， ①当点P在线段上运动时， 当时，， ∴ ， ∴，； 当时，， ∴， 解得：； ②当点P在B的左侧运动时， 当时，， ∴ ， ∴，（舍去）； 当时，， ∴， 解得：； ③当点P在点C的右侧运动时， 当时，， ∴ ， ∴，（舍去）； 当时，， ∴， 解得：（舍去）； 综上可知，符合题意的x的值有6个，即这样的点有6个． 故答案为：6． 【跟踪专练3】能判定的条件是（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定，需熟练掌握相似三角形的判定定理：三边对应成比例的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；两角分别相等的两个三角形相似等是解题的关键．据此逐一分析选项即可求解． 【详解】解：A、三边对应成比例但对应边匹配错误，应为才能判定相似，故A错误． B、与、与不是对应角，不满足两角分别相等的判定条件，故B错误． C、，但与不是这两组边的夹角，不满足两边对应成比例且夹角相等的条件，故C错误． D、，且（是与的夹角，是与的夹角）， 满足两边对应成比例且夹角相等的相似判定定理，则，故D正确． 故选：D． 题型9.黄金分割 【典例】点C是线段的黄金分割点，若，则较长线段的长是___________（结果保留根号） 【答案】 【详解】解：∵点是线段的黄金分割点，为较长线段， ∴， ∵， ∴． 【点睛】黄金分割中较短线段与较长线段的长度之比等于较长线段的长度与整条线段的比等于． 【跟踪专练1】大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为的黄金分割点，若，则长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割中的比例关系是解题的关键． 根据黄金分割点的定义，列出比例式，进行求解即可． 【详解】解：由题意可知，， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【跟踪专练2】点P是线段的黄金分割点， 且 ，那么 _______． 【答案】/ 【分析】根据黄金分割的定义求出的长度，再利用线段的和差关系计算即可． 【详解】解： 点是线段的黄金分割点， ， ， ， ， ． 【跟踪专练3】河南非遗叶雕，以刀为笔，以叶为纸，让自然与匠心碰撞出千年中原的别样风华．实际上，很多叶片都蕴含着黄金分割的比例．如图，点P大致是的黄金分割点（），如果的长为，则的长约为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割，黄金分割的定义是：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大部分的比值，则这个比值即为黄金分割，其比值是． 根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵点P大致是的黄金分割点（），， ∴， ∴． 故选：A． 解答题 1．已知线段． (1)若线段满足，求线段的长度； (2)若线段是线段的比例中项，求线段的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了成比例线段． （1）将已知数据代入比例式，即可求解； （2）根据比例中项的定义列式，计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ 解得： （2）解：依题意， ∴ 2．如图，矩形在矩形的内部，，，且，，设与，与，与，与之间的距离分别为，，，，，矩形和矩形相似吗？为什么？ 【答案】不相似；见解析． 【分析】本题主要考查了相似图形的判断，欲判断矩形和矩形是否相似，需判断的值和的值是否相等，据此求解即可． 【详解】解：不相似．理由如下： ，，，，， ，． ，． ∴ 矩形和矩形不相似． 3．如图，已知四边形与四边形相似，点的对应点分别为． (1)求的度数； (2)求边的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似四边形的性质，四边形的内角和，掌握相似四边形的性质是解题的关键． （）根据相似四边形的性质得到，再根据四边形的内角和即可求解； （）根据相似四边形的性质求解即可． 【小问1】 解：四边形与四边形相似， ， ． 【小问2】 解：∵四边形与四边形相似， ， ， 解得． 4．如图，在和中，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解； (2)6 【分析】（1）先根据角的和差可得，再根据相似三角形的判定定理即可得证； （2）根据相似三角形的性质即可得． 【详解】（1）证明：， ，即， 又， ； （2）解：由（1）已证：， ， ，， ， 解得或（不符题意，舍去）， 则的长为6． 5．如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上．请判断与是否相似？并证明你的结论． 【答案】，证明见详解 【分析】在网格中，利用勾股定理求出和的各条边长，计算，看比值是否相等即可判断与是否相似，利用两个三角形对应三边成比例判定即可证明结论． 【详解】相似，证明如下： 在中，； 在中，； ， 即， ． 【点睛】结合相似判定定理，在求两个三角形边的比值时，一定要根据图中两个三角形的边长，保证大边比大边、小边比小边计算． 6．如图，在中，点，分别在边，上，连接DE．有以下四个条件： ；；； (1)请你从中任选一个条件，使得，并说明理由． (2)在（）的前提下，若点为中点，，求线段的长． 【答案】(1)选择，理由见解析； (2)的长为． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． （）根据相似三角形的判定定理逐项分析即可得证； （）由题意可得，由相似三角形的性质可得，再代入计算即可得解． 【详解】（1）解：选：， 理由：∵，， ∴； 选：， 理由：∵，， ∴， ∵， ∴； 选： 理由：∵， ∴， ∵， ∴； 选：：， 因为夹角不一定相等， 所以与不一定相似； （2）解：∵， ∴， ∵点为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段的长为． 7．如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角和摆成如图所示的样子，为公共顶点，，请在图中找出相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明． 【答案】∽∽∽；证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定、等腰直角三角形的性质，关键是找到合适的判定方法； 根据有两组角对应相等的两个三角形相似可得∽∽∽． 【详解】解：图中相似三角形有∽∽∽ 证明∽的过程为： ∵和都为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴∽． 同理可得； 证明的过程为： ∵， ， ， ∴， ∴． 8．如图，在中，，． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质． （1）根据相似三角形的判定定理即可得到结论； （2）由，得到，推出，把已知数据代入计算即可． 【详解】（1）证明：，， ， ， ； （2）解：， ， ， ，， ， 解得（负值已舍去）， 则的长为． 9．某研究小组由黄金分割点联想到“黄金分割线”，并给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为．若，则直线l为该图形的“黄金分割线”． (1)如图①，在中，若D是AB的黄金分割点，直线CD是否是的“黄金分割线”？请说明理由． (2)在图①的基础上，过点C作直线CE交AB于点E，过点D作，交AC于点F，连接EF，得到图②，则直线EF是否也是的“黄金分割线”？请说明理由． 【答案】(1)直线CD是的“黄金分割线”．理由见解析 (2)直线EF是的“黄金分割线”．理由见解析 【分析】本题是相似形的综合题，考查了黄金分割，黄金分割线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题型． （1）根据点是的黄金分割点，得到，根据题意即可得到结论； （2）根据，得到，于是得到，，根据黄金分割线的定义即可得到结论． 【详解】（1）解：直线CD是的“黄金分割线”，理由如下： 设的AB边上的高为h， 则． 是AB的黄金分割点， ∴， ， ∴直线CD是的“黄金分割线”． （2）解：直线EF是的“黄金分割线”．理由如下： ， ， ． 由（1）可得， ，即， ∴直线EF是的“黄金分割线”． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07相似多边形及三角形相似的条件暑假预习讲义 · 概念区分：牢记相似多边形、相似三角形定义，掌握相似图形两大核心特征：对应角相等、对应边成比例；对比全等图形，理清全等是相似比为 1 的特殊相似。 · 规范表达：掌握相似符号书写规则，书写相似多边形、相似三角形时严格对应顶点顺序，准确识别对应边、对应角；理解相似比概念，分清原图与放大缩小图形的相似比。 · 多边形性质应用：熟练掌握相似多边形周长比 = 相似比、面积比 = 相似比的平方，能结合相似比完成边长、周长、面积相关计算；会依据定义判断两个多边形是否相似，清楚正方形、矩形、菱形等特殊四边形相似的限定条件。 · 熟记相似判定定理：掌握三角形相似三大判定方法：两角分别相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边对应成比例的两个三角形相似，清晰区分各定理适用场景。 · 识图建模能力：能从几何图形中快速找出相等角、成比例线段，识别 A 字型、8 字型、平行线截三角形等基础相似模型，快速提取证相似所需条件。 · 推理与计算：规范几何证明步骤，先利用判定定理证三角形相似，再借助相似性质求解线段长度、线段比值；明确易错误区：两边成比例且一组对角相等，无法判定三角形相似。 · 知识综合梳理：建立全等、相似知识对比体系，自主梳理面积比、相似判定、图形识图中的疑问难点，带着问题听课，提升几何识图与逻辑证明能力。 预习必备 知识梳理 1.相似多边形定义 2.相似比 3.相似多边形核心性质 4.常见特殊多边形相似判断 5.相似三角形的定义 6.相似三角形判定定理 7.常见模型及应用 8.相似三角形的性质 常考题型 精讲精练 1.成比例线段 2.相似多边形 3.相似多边形的性质 4.两角对应相等判定相似 5.两边成比例且夹角相等证相似 6.三边对应成比例判定相似 7.补充条件使两个三角形相似 8.相似三角形的判定综合 9.黄金分割 强化题型 解答题9题 知识点01：相似多边形定义 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。 1.两个条件必须同时满足，缺一不可： 1 对应角全部相等； 2 对应边长度的比值相等（对应边成比例）。 2.书写规范 用符号 “” 表示相似，书写时对应顶点按相同顺序排列，方便快速找出对应边、对应角。 例：四边形ABCD 四边形A'B'C'D'，则∠ A对应 ∠A'，AB对应A'B'。 知识点02：相似比 相似多边形对应边的比叫做相似比（相似系数）。 1.顺序有区别：若四边形ABCD与四边形\A'B'C'D'相似，相似比k=；反过来A'B'C'D'与ABCD的相似比为。 2.特殊情况：相似比k=1时，对应边相等、对应角相等，两个多边形全等，全等是相似的特殊情况。 知识点03：相似多边形核心性质 1.对应角相等 ∠A=∠A'，∠B =∠B',∠C =∠C',∠D =∠D' 2.对应边成比例 = = = = k 3.周长之比等于相似比 4.面积之比等于相似比的平方 知识点04：常见特殊多边形相似判断（高频考点） 1.正方形：任意两个正方形一定相似。 理由：四个角都是 90°（对应角相等），边长比值恒定（对应边成比例）。 2.矩形：两个矩形不一定相似。 反例：长 2 宽 1、长 3 宽 1 的矩形，角都相等，但边长比不相等。 3.菱形：两个菱形不一定相似。 理由：四边一定成比例，但内角不一定全部对应相等。 4.正n边形：所有边数相同的正多边形一定相似。 知识点05:相似三角形的定义 定义：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 符号：△ABC∽△A′B′C′（注意顶点顺序要一一对应） 相似比：对应边的比值，记作 k。若 △ABC∽△A′B′C′， 则 k 知识点06:相似三角形的判定定理 1.两角对应相等（AA） 两角分别相等的两个三角形相似。 几何语言：若 ∠A=∠A′，∠B=∠B′，则 △ABC∽△A′B′C′。 2.三边对应成比例（SSS） 三边成比例的两个三角形相似。 几何语言：若​，则 △ABC∽△A′B′C′。 3.两边成比例且夹角相等（SAS） 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 几何语言：若 ​，且 ∠A=∠A′，则 △ABC∽△A′B′C′。 知识点07:常见模型与应用 A 字型：DE∥BC⟹△ADE∽△ABC 8 字型（X 型）：AB∥CD⟹△AOB∽△DOC 母子型（射影定理）：Rt△ABC 中，CD⊥AB，则 △ACD∽△ABC∽△CBD，且 AC2=ADAB，BC2=BDAB，CD2=ADBD。 知识点08. 相似三角形性质 设 △ABC∽△A′B′C′，相似比为 k： (1)对应角相等：∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′ (2)对应边成比例：k (3)对应线段比等于相似比：对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比 k。 (4)周长比等于相似比： (5)面积比等于相似比的平方： 知识点09：黄金分割 点 C 在线段 AB 上，且满足 ， 即AC2=ABBC 此时称点 C 为线段 AB 的黄金分割点，黄金比为≈0.618 题型1.成比例线段 【典例】现有四条线段，长度按从长到短的顺序分别为4，3，2，a，若这四条线段是成比例线段，则a的值为_______ 【跟踪专练1】下列长度的各组线段中，属于成比例线段的一组是（   ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 【跟踪专练2】数学家定义：若点C把线段分成两部分，满足，则点C为线段的白银分割点．已知点C是线段的白银分割点，且，则________． 【跟踪专练3】如图，在中，，分别是，上的点，且．若，，，则（　　） A． B． C． D． 题型2.相似多边形 【典例】如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是________．    【跟踪专练1】下列图形中，相似多边形是（   ）    A．甲与乙 B．乙与丙 C．丙与丁 D．乙与丁 【跟踪专练2】如图，是矩形内的任意一点，链接，，，，得到，，，，设它们的面积分别是，，，，给出如下结论： ①； ②； ③若，则； ④若，则点在矩形的对角线上． 其中正确的结论的序号是__________．（把所有正确结论的序号都填在横线上） 【跟踪专练3】在研究相似问题时，甲、乙两同学的观点如下： 甲：将边长为5、12、13的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似． 乙：将邻边为5和12的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 对于两人的观点，下列说法正确的是（   ） A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对 C．两人都对 D．两人都不对 题型3.相似多边形的性质 【典例】如图是两个形状相同的红绿灯图案，则根据图中给出的部分数值，得到x的值为______． 【跟踪专练1】如图，已知，若，，则的长为（   ）． A．12 B．13 C．14 D．15 【跟踪专练2】在长，宽的矩形中，截去一个矩形，使留下的矩形与原矩形相似，那么留下的矩形面积是_____． 【跟踪专练3】如图，四边形四边形，相似比为，点，，，四点共线，则下列说法不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 题型4.两角对应相等判定相似 【典例】如图，在四边形中，，对角线交于点，则图中相似的三角形是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，F是延长线上一点，连接交于点E，请写出图中的一对相似三角形：________． 【跟踪专练2】如图，在中，，分别是，边上一点，连接．请你添加一个条件，使，则你添加的这一个条件可以是_________________． 【跟踪专练3】如图，，若，，则（    ） A． B． C． D． 题型5.两边成比例且夹角相等证相似 【典例】在与中，，，，，，，可证，其判定依据为______． 【跟踪专练1】如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，和相似需具备的条件是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，点在的边上，连接，下列无法判定的条件是（   ） A． B． C． D． 题型6.三边对应成比例判定相似 【典例】如图，选项中的阴影三角形与相似的为（     ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在的正方形网格中，图中的点都在网格线的交点上．将点分别与点，连接，得到和，这四个三角形中与相似的是_____． 【跟踪专练2】观察下列每组三角形，不一定相似的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图所示的6个三角形中，相似三角形是（    ）． A．①与③ B．④与⑥ C．②与⑤ D．②与⑥ 题型7.补充条件使两个三角形相似 【典例】如图，点，分别在的边，上，要使，则可以添加的条件是___________．（只需添加一个条件即可）． 【跟踪专练1】如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，，添加一个条件：_____，使．（写一个即可） 【跟踪专练3】如图，已知，下列条件不能判定的是（    ） A． B． C． D． 题型8.相似三角形的判定综合 【典例】如图，在中，，于点，则图中与相似的三角形是___________． 【跟踪专练1】如图，在中，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（    ） A． B． C．D． 【跟踪专练2】如图，已知于点，于点，，，，为直线上一点，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，则这样的点有______个． 【跟踪专练3】能判定的条件是（    ） A． B．， C．， D．， 题型9.黄金分割 【典例】点C是线段的黄金分割点，若，则较长线段的长是___________（结果保留根号） 【跟踪专练1】大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金比．如图，点B为的黄金分割点，若，则长为（    ）． A． B． C． D． 【跟踪专练2】点P是线段的黄金分割点， 且 ，那么 _______． 【跟踪专练3】河南非遗叶雕，以刀为笔，以叶为纸，让自然与匠心碰撞出千年中原的别样风华．实际上，很多叶片都蕴含着黄金分割的比例．如图，点P大致是的黄金分割点（），如果的长为，则的长约为（    ） A． B． C． D． 解答题 1．已知线段． (1)若线段满足，求线段的长度； (2)若线段是线段的比例中项，求线段的长度． 2．如图，矩形在矩形的内部，，，且，，设与，与，与，与之间的距离分别为，，，，，矩形和矩形相似吗？为什么？ 3．如图，已知四边形与四边形相似，点的对应点分别为． (1)求的度数； (2)求边的长度． 4．如图，在和中，． (1)求证：； (2)若，求的长． 5．如图所示，在的正方形方格中，和的顶点都在边长为的小正方形的顶点上．请判断与是否相似？并证明你的结论． 6．如图，在中，点，分别在边，上，连接DE．有以下四个条件： ；；； (1)请你从中任选一个条件，使得，并说明理由． (2)在（）的前提下，若点为中点，，求线段的长． 7．如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角和摆成如图所示的样子，为公共顶点，，请在图中找出相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明． 8．如图，在中，，． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 9．某研究小组由黄金分割点联想到“黄金分割线”，并给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为．若，则直线l为该图形的“黄金分割线”． (1)如图①，在中，若D是AB的黄金分割点，直线CD是否是的“黄金分割线”？请说明理由． (2)在图①的基础上，过点C作直线CE交AB于点E，过点D作，交AC于点F，连接EF，得到图②，则直线EF是否也是的“黄金分割线”？请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $