专题10 相似三角形的性质（3个知识点+6种题型）（暑假预习讲义）新九年级数学新教材北师大版

专题10 相似三角形的性质 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 证明相似三角形的对应线段成比例 题型2 利用相似三角形的性质求解 题型3 相似三角形的判定与性质综合 题型4 利用相似求坐标 题型5 相似三角形的实际应用 题型6 动态几何中的相似三角形问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 相似三角形的性质 相似三角形的判定与性质综合 动态几何中的相似三角形问题 1. 相似三角形的性质 熟记相似三角形边角、对应线段、周长、面积的比例规律，能利用相似比完成线段、周长、面积相关计算。 2. 相似三角形的判定与性质综合 能结合四类相似判定定理证明三角形相似，再借助相似性质列式求解线段、证明等积式，掌握几何大题完整解题逻辑。 3. 动态几何中的相似三角形问题 能用参数表示动线段长度，分情况讨论三角形对应顶点，结合相似判定列方程求解动点参数，并根据线段范围检验、取舍答案。 学习重点：牢记对应角相等、对应边、对应高/中线/角平分线、周长比等于相似比；面积比为相似比平方。 学习难点： 区分对应线段与非对应线段，易混用相似比 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 相似三角形的性质 一、核心必考性质（全部对应，牢记平方关系） 1.边角性质：相似三角形对应角相等，对应边成比例，比值为相似比 2.线段性质：对应高线、对应中线、对应角平分线的比，都等于相似比 3.周长性质：相似三角形周长之比 = 相似比 4.面积性质：相似三角形面积之比 = 相似比的平方（考试最高频易错） 二、拓展推论 1. 相似比为1：两三角形全等（全等是特殊的相似）； 2. 多个相似三角形，相似比具有传递性； 3. 等高三角形面积比 = 底边之比；等底三角形面积比 = 高之比。 三、解题技巧 1.做题第一步：找准对应边角，顶点按顺序书写，防止相似比颠倒； 2.求值口诀：边长、高线、中线、周长直接用相似比；面积、多层图形面积一定平方； 3.已知面积比求边长：先开平方得到相似比，再计算线段长度； 4.网格题型：先证三角形相似，再套用性质求周长、面积、线段高。 即时即练如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交于点，则的面积与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 【易错提醒】 1. 直接用面积比等于相似比，忘记平方； 2. 非对应高线、中线之比误用相似比； 3. 两个三角形相似比和面积比正反换算出错。 知识点02 相似三角形的判定与性质综合 一、核心解题逻辑 先判定相似 → 再用性质求值/证结论 判定优先级：AA两角相等＞两边成比例夹角相等＞三边成比例＞直角三角形HL相似 二、大题固定解题步骤 1.挖掘题干条件：找平行线、公共角、对顶角、余补角，证三角形相似； 2.规范书写相似证明，对齐对应顶点； 3.利用相似得对应边成比例，列方程求线段长； 4.利用相似比，求解周长、面积、高线、角度问题； 5.证明等积式：证相似→写比例式→交叉相乘得等积式。 三、分类解题技巧 1. 线段计算类 剥离图形多余线条，锁定一组相似三角形，设未知数，列比例分式方程求解。 2. 证明比例/等积式类 横找竖找定三角形：线段在两个三角形内，直接证三角形相似；线段共线，替换相等线段再证相似。 3. 周长面积综合类 先求相似比，边长类直接代比，面积类平方比，组合图形拆分基础相似模型计算。 即时即练如图，在中，点D在边上，点F、E在边上，且 ，． (1)求证：； (2)如果，，求的值． 【易错提醒】 1. 直接用面积比等于相似比，忘记平方； 2. 非对应高线、中线之比误用相似比； 3. 两个三角形相似比和面积比正反换算出错。 知识点03 动态几何中的相似三角形问题 一、题型分类 1.动点型：点在线段、折线、抛物线上匀速运动； 2.动线型：直线平移、旋转，改变图形结构； 3.动图形：三角形、矩形整体平移旋转。 二、通用解题步骤 1.设时间为t，用含t代数式表示动点线段长度； 2.分类讨论：三角形顶点对应不确定，分多组情况讨论相似； 3.结合AA/SAS判定，列比例方程求解参数； 4.结合线段取值范围，舍去不合题意的解。 三、高分解题技巧 1.分类讨论核心：动态题无指明对应顶点，必须分两类：①角1对应角2 ②角1对应角3，避免漏解； 2.固定找角方法：动态过程中，公共角、直角、固定角度始终不变，优先用AA证相似，计算量最小； 3.取值范围技巧：动点在线段上，边长必须大于0，据此取舍t的值； 4.模型速用法：动态图形大多变形为A字、8字、一线三等角模型，直接套用模型结论，不用重新推导角度； 5.直角动态相似：优先利用直角固定，一组锐角相等直接相似。 即时即练如图，在矩形中，，点为边上一点，，连接．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为． (1)用含的代数式表示： ， ； (2)连接，若存在某一时刻，使得以为顶点的三角形与相似，请求出此时的值． 【易错提醒】 1.不分类讨论，只写一种相似情况，直接丢一半分数； 2.忽略动点运动范围，算出负数、超出线段长度的解，没有舍去； 3.含t代数式列错边长，比例方程列式错误； 4.图形旋转平移后，找错对应边角，相似判定出错。 题型1 证明相似三角形的对应线段成比例 【例1】如图，在中，．点D在上，点E在上，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【例2】如图1，中，为内部一点，． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)如图2，延长交于点D，求证：． 【技巧归纳】 1.先证两组三角形相似，得到对应边比例； 2.结合对应高、中线、角平分线所在小三角形再次证相似； 3.统一相似比，等量代换推导出线段比例关系； 4.认准“对应”，非对应线段不能直接套用比例。 【变式1-1】如图，在正方形中，为边上一点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长； 【变式1-2】如图，是斜边上的中线，点位于边上，且． (1)求证：． (2)若，， 求． 题型2 利用相似三角形的性质求解 【例3】如图，在 中，点 、 、分别是、 、 的中点，连接、、．若，则（     ） A． B． C． D． 【例4】如图所示，已知，，且，，若图中两直角三角形相似，则________________． 【技巧归纳】 1.边长、高线、中线、周长直接用相似比计算； 2.面积相关计算，相似比必须平方；已知面积比求线段先开平方； 3.书写三角形时对齐对应顶点，防止相似比颠倒； 4.多个嵌套相似图形，分层依次计算相似比。 【变式2-1】如图，在中，，分别是边，的中点，若的周长为8，则的周长为（     ） A．14 B．15 C．16 D．17 【变式2-2】两个相似三角形一组对应高的长分别是2cm和5cm，若在这两个三角形的一组对应中线中，较短的中线是3cm，那么较长的中线是______cm． 题型3相似三角形的判定与性质综合 【例5】如图，在中，，点D为中点，于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【例6】如图，在四边形中，连接对角线，过点A作交于点 E，将线段绕点A顺时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)记与交于点G，若，求的值． 【技巧归纳】 1.解题固定流程：先找等角/边长条件判定相似，再用性质列比例； 2.判定优先选AA，无等角再用SAS、SSS；直角三角形优先锐角相等； 3.证明等积式思路：证相似→写出对应边比例→交叉相乘； 4.复杂图形剥离多余线条，识别A字、8字、一线三等角简化证明。 【变式3-1】已知，中，，，是的中点，交的延长线于点．若． (1)求证：； (2)求的值． 【变式3-2】如图，在矩形中，点E是的中点，连接．过点D作，交的延长线于点F．连接，交于点G． (1)求证：； (2)若，．求的长； 题型4 利用相似求坐标 【例7】如图，是小芳在制作“简易视力表”时的两个成相似的“E”字，若把这两个“E”字放在图中的平面直角坐标系内，会发现它们的对应点B，G和对应点C，H的连线刚好经过原点O，其中点C，H均在x轴上．若，点G的坐标是，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例8】如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【技巧归纳】 1.借助坐标轴垂直关系得到直角，用AA证明三角形相似； 2.设点坐标，用横、纵坐标表示线段长度； 3.根据相似比列等式，解方程求出未知坐标； 4.分象限、分点的左右上下位置分类讨论，避免漏解。 【变式4-1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式4-2】如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则线段CD的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 题型5 相似三角形的实际应用 【例9】综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师要求九年级（2）班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下： (1)利用镜子测量：如图1，小康站在操场上点E处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶端A，．小组中的同学测得小康的眼睛距地面的高度米，小康到镜面的距离米，镜面到旗杆的距离米．求旗杆的高度． (2)利用标杆测量：如图2，小英站在操场上的点E处，她的眼睛D，标杆的顶端C和旗杆的顶端A在一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度米，标杆高米，米，米，，，均垂直于地面，与水平面平行．求旗杆的高度． 【例10】渭华起义纪念馆是融合红色旅游、思政教育与红色文化的研学阵地，获评国保单位、全国爱国主义教育及中小学生研学实践教育基地．某次研学旅行中，小王和小李两人准备用所学知识测量该纪念馆中渭华起义纪念塔的高度，如图，小王在点E处放置一面平面镜（平面镜的大小忽略不计），后退到点C处时，眼睛位于点D处，此时恰好在平面镜中看到了塔顶A的像，小王拿来一根标杆立于点C处，小李发现地面上的点G、标杆顶端F和塔的顶端A恰好在一条直线上，已知点B、E、C、G在一条水平直线上，点C、D、F在一条直线上，，，经测量，米，米，小王的眼睛到地面的距离米，标杆米，请你根据上述测量结果，帮助小王和小李计算渭华起义纪念塔的高度． 【技巧归纳】 1.常见场景：影子、楼高、标杆、测距，先抽象出两组直角三角形； 2.平行光线得两组等角，直接判定相似； 3.统一单位后再列比例式，设未知量构建方程； 4.读懂题意找准对应边，区分实物长度与影长。 【变式5-1】【学科融合】 如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律． 【解决问题】 阿房宫遗址被联合国确定为世界上最大的宫殿基址，属于世界奇迹．上天台是阿房宫殿祭祀天神的建筑物，重现的上天台，是根据有关史料营造． 如图2，小江和小海两位同学想利用学过的知识来测量上天台的高度．一天，他们带着测量工具来到上天台前，但由于整体规划的原因，无法到达上天台底部．于是小江在地面上的点处放置了一个平面镜，小海从处出发沿着方向移动，当移动到点处时，恰好在平面镜内看到上天台的顶端的像，此时，测得，小海眼睛到地面的距离为；然后，小江沿方向移动到点，用测角仪测得上天台顶端的仰角为，此时，测得，测角仪的高度也为．已知点，，，在同一水平直线上，且、、均垂直于． (1)填空：__________°，________； (2)求该上天台的高度． 【变式5-2】综合与实践：探究汽车盲区与安全行驶的问题 【问题提出】很多交通事故和汽车盲区有关，汽车肓区是指驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到（含通过后视镜观察）的那部分区域（如图1）． 【基本原理】因为光线沿直线传播，所以当驾驶员坐在驾驶位置上时，由于视角的限制以及车体的遮挡必然会有很大区域的物体反射的光线无法传播到驾驶员的眼中．受到车辆本身结构的影响，车头、车尾、车底等区域会形成视野盲区． 【问题情境】预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．康居数启星河社团的同学们在学习了交通安全知识后，对汽车盲区的问题产生了浓厚的兴趣．如图2是他们研究的一个汽车盲区的左视图．若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，车顶到地面的距离为，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离 ，点在上， 【问题解决】 任务一： (1)求车头盲区的长度； 任务二：在实际驾车中，驾驶员可以通过调整座椅的高度从而改变盲区的范围． (2)在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？若能观察到物体，请说明理由；若不能观察到物体，请问如何调整座椅的高度才能使得驾驶员观察到物体；（精确到） (3)若、、保持不变，减小，则 （填 “减小”、“不变” 或“增大”）． 任务三：交通安全规定：一般情况下，小轿车车头地面盲区长度才算安全驾驶． (4)若固定，，时，求驾驶员安全驾驶时视野高度的取值范围． 题型6 动态几何中的相似三角形问题 【例11】如图，在中，，，．点P从点A出发沿边向点B以的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，两点同时出发．问运动几秒后，与相似？ 【例12】如图，已知四边形中，，，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，于点．设运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似？ (2)是否存在某一时刻，使将四边形分成面积相等的两部分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【技巧归纳】 1.设运动时间t，用含t代数式表示动线段长度； 2.未指定对应顶点时必须分类讨论所有相似对应情况； 3.动态过程中公共角、直角固定不变，优先用AA证相似； 4.求出参数后结合线段取值范围，舍去超出范围、负数等不合理解。 【变式6-1】如图，，，，动点，分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点从点出发，沿边一直移到点为止，点从点出发沿边一直运动到点为止（点到达点后，点继续运动） (1)请直接用含的代数式表示的长和的长，并写出的取值范围： (2)当是直角三角形时，求的值； (3)当与相似时，直接写出的值． 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，已知，，点P从O点开始沿边向点A以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（单位：秒）表示移动的时间，那么： (1)当时，求的面积； (2)在运动过程中，的长度能否为？试说明理由； (3)当t为何值时，与相似？ 1．如图，在中，，已知，则的长为（    ） A． B． C．12 D．20 2．在阳光下，一名同学测得一根长为0.9米的垂直于地面的竹竿的影长为0.6米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为3.84米，则树高为（     ） A．6.36米 B．8米 C．11.8米 D．12米 3．如图，为的重心，点在延长线上，且，连接并延长交于点，则（     ） A． B． C． D． 4．如图，正方形网格中每个小正方形边长为2，点A、B、C都在格点上，、分别与网格线交于点D、E，则的长为______． 5．如果两个相似三角形的面积之比为，较小的三角形的周长是，那么另一个三角形的周长为____． 6．如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为______．    7．如图，在中，点D是边上一点，连接，，，求证：． 8．学校“数学建模小分队”为了测量校园里水平地面上一棵树的高度，做了如下的探索：根据《物理》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：①把一面很小的镜子放在离树底B距离米的点E处；②沿着直线后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A；③用皮尺量得米；④观察者目高米，则树（）的高度约为多少米（精确到米）． 9．如图，点为内一点，点，，分别在线段，，上，且满足． (1)求证：． (2)若的面积是，求的面积． 10．如图，在菱形中，E为边上一点．现要添加一个条件，使． (1)若添加的条件为，求证：； (2)若添加下列条件，也可以使，则这个条件是_______（填序号）； ①；②；③． (3)在（1）的条件下，若，，求菱形的边长． 11．如图，在矩形中，点在边上，连结，过点作于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 12．如图，已知、两点的坐标分别为和，动点从点开始在线段上以每秒2个长度单位的速度向原点运动、动直线从轴开始以每秒1个单位的速度向上平行移动（即轴），并且分别与轴、线段交于点、，连接、，设动点与动直线同时出发，运动时间为秒． (1)求时，的面积； (2)直线、点在运动过程中，是否存在这样的，使得的面积等于160（平方单位）．若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由； (3)当为何值时，与相似． 13．如图，在中，，，，动点M从点B出发，在边上以2的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在边上以的速度向点B匀速运动，设运动时间为（），连接． 发现： ， ；（用含t的式子来表示） （1）猜想： ①若，求t值； ②若的面积与四边形的面积比值为，求出t的值． （2）探究：是否存在符合条件的t，使与相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 14．某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： (1)问题发现：如图1，在等边中，点是边上任意一点，连接，以为边作等边，连接．求证：． (2)变式探究：如图2，在等腰中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，连接．求证：； (3)解决问题：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形是正方形的中心，连接．若正方形的边长为，请直接写出的长． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 相似三角形的性质 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 证明相似三角形的对应线段成比例 题型2 利用相似三角形的性质求解 题型3 相似三角形的判定与性质综合 题型4 利用相似求坐标 题型5 相似三角形的实际应用 题型6 动态几何中的相似三角形问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 相似三角形的性质 相似三角形的判定与性质综合 动态几何中的相似三角形问题 1. 相似三角形的性质 熟记相似三角形边角、对应线段、周长、面积的比例规律，能利用相似比完成线段、周长、面积相关计算。 2. 相似三角形的判定与性质综合 能结合四类相似判定定理证明三角形相似，再借助相似性质列式求解线段、证明等积式，掌握几何大题完整解题逻辑。 3. 动态几何中的相似三角形问题 能用参数表示动线段长度，分情况讨论三角形对应顶点，结合相似判定列方程求解动点参数，并根据线段范围检验、取舍答案。 学习重点：牢记对应角相等、对应边、对应高/中线/角平分线、周长比等于相似比；面积比为相似比平方。 学习难点： 区分对应线段与非对应线段，易混用相似比 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 相似三角形的性质 一、核心必考性质（全部对应，牢记平方关系） 1.边角性质：相似三角形对应角相等，对应边成比例，比值为相似比 2.线段性质：对应高线、对应中线、对应角平分线的比，都等于相似比 3.周长性质：相似三角形周长之比 = 相似比 4.面积性质：相似三角形面积之比 = 相似比的平方（考试最高频易错） 二、拓展推论 1. 相似比为1：两三角形全等（全等是特殊的相似）； 2. 多个相似三角形，相似比具有传递性； 3. 等高三角形面积比 = 底边之比；等底三角形面积比 = 高之比。 三、解题技巧 1.做题第一步：找准对应边角，顶点按顺序书写，防止相似比颠倒； 2.求值口诀：边长、高线、中线、周长直接用相似比；面积、多层图形面积一定平方； 3.已知面积比求边长：先开平方得到相似比，再计算线段长度； 4.网格题型：先证三角形相似，再套用性质求周长、面积、线段高。 即时即练如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交于点，则的面积与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据得到，根据平行四边形的性质有，，因此，，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【易错提醒】 1. 直接用面积比等于相似比，忘记平方； 2. 非对应高线、中线之比误用相似比； 3. 两个三角形相似比和面积比正反换算出错。 知识点02 相似三角形的判定与性质综合 一、核心解题逻辑 先判定相似 → 再用性质求值/证结论 判定优先级：AA两角相等＞两边成比例夹角相等＞三边成比例＞直角三角形HL相似 二、大题固定解题步骤 1.挖掘题干条件：找平行线、公共角、对顶角、余补角，证三角形相似； 2.规范书写相似证明，对齐对应顶点； 3.利用相似得对应边成比例，列方程求线段长； 4.利用相似比，求解周长、面积、高线、角度问题； 5.证明等积式：证相似→写比例式→交叉相乘得等积式。 三、分类解题技巧 1. 线段计算类 剥离图形多余线条，锁定一组相似三角形，设未知数，列比例分式方程求解。 2. 证明比例/等积式类 横找竖找定三角形：线段在两个三角形内，直接证三角形相似；线段共线，替换相等线段再证相似。 3. 周长面积综合类 先求相似比，边长类直接代比，面积类平方比，组合图形拆分基础相似模型计算。 即时即练如图，在中，点D在边上，点F、E在边上，且 ，． (1)求证：； (2)如果，，求的值． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， 又， ∴， ∴， ． (2) 【分析】（1）由 可得，再结合已知比例，可得，证明，即可解答； （2）由图可知与等高，根据等高的两个三角形面积比等于底边的比，再由，得出，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ； 与同高， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ． 【易错提醒】 1. 直接用面积比等于相似比，忘记平方； 2. 非对应高线、中线之比误用相似比； 3. 两个三角形相似比和面积比正反换算出错。 知识点03 动态几何中的相似三角形问题 一、题型分类 1.动点型：点在线段、折线、抛物线上匀速运动； 2.动线型：直线平移、旋转，改变图形结构； 3.动图形：三角形、矩形整体平移旋转。 二、通用解题步骤 1.设时间为t，用含t代数式表示动点线段长度； 2.分类讨论：三角形顶点对应不确定，分多组情况讨论相似； 3.结合AA/SAS判定，列比例方程求解参数； 4.结合线段取值范围，舍去不合题意的解。 三、高分解题技巧 1.分类讨论核心：动态题无指明对应顶点，必须分两类：①角1对应角2 ②角1对应角3，避免漏解； 2.固定找角方法：动态过程中，公共角、直角、固定角度始终不变，优先用AA证相似，计算量最小； 3.取值范围技巧：动点在线段上，边长必须大于0，据此取舍t的值； 4.模型速用法：动态图形大多变形为A字、8字、一线三等角模型，直接套用模型结论，不用重新推导角度； 5.直角动态相似：优先利用直角固定，一组锐角相等直接相似。 即时即练如图，在矩形中，，点为边上一点，，连接．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．设运动时间为． (1)用含的代数式表示： ， ； (2)连接，若存在某一时刻，使得以为顶点的三角形与相似，请求出此时的值． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题是相似三角形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质表示线段的长是解题的关键． ()根据矩形的性质，利用路程速度时间可得答案； ()求解，，分当时，，当时，，两种情况利用相似三角形的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， ∴， 由勾股定理可得：， ∵点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为 ∴， ∴， 故答案为：，； （2）解：由题意可得：， ， ∴， 由勾股定理可得：， ∵矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ①当时，， ∴，即， 解得：， ②当时，， ∴，即， 解得：； 综上，当或时，以为顶点的三角形和相似． 【易错提醒】 1.不分类讨论，只写一种相似情况，直接丢一半分数； 2.忽略动点运动范围，算出负数、超出线段长度的解，没有舍去； 3.含t代数式列错边长，比例方程列式错误； 4.图形旋转平移后，找错对应边角，相似判定出错。 题型1 证明相似三角形的对应线段成比例 【例1】如图，在中，．点D在上，点E在上，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了等边对等角，相似三角形的判定与性质综合、三角形的外角性质等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）先根据等边对等角得到，再根据三角形外角性质得到，然后根据相似三角形的判定方法可得到； （2）根据相似三角形的性质得到，则． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 而， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【例2】如图1，中，为内部一点，． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)如图2，延长交于点D，求证：． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）先证，可得，进而得出结论； （2）利用（1）中相似比求解即可； （3）过B作交的延长线于E，先证，可得， 再证，即可得解． 【详解】（1）证明：中，， ． ， ． ， ． ， ； （2）解：， ． ． ， ． ． ． （3）解：过B作交的延长线于E， ， ． ． ， ． 在与中 ． ． ， ． ， ， ； ． ． 【技巧归纳】 1.先证两组三角形相似，得到对应边比例； 2.结合对应高、中线、角平分线所在小三角形再次证相似； 3.统一相似比，等量代换推导出线段比例关系； 4.认准“对应”，非对应线段不能直接套用比例。 【变式1-1】如图，在正方形中，为边上一点，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长； 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题主要考查了正方形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由正方形的性质可得，再结合可证，再根据两组对角相等的三角形是相似三角形即可证明结论； （2）根据正方形的性质以及已知条件可得、，再结合列比例式求解即可． 【详解】（1）证明：四边形为正方形， ， ， ， ， ， ． （2）解：四边形为正方形， ． ， ，， ， ， ，解得：． 【变式1-2】如图，是斜边上的中线，点位于边上，且． (1)求证：． (2)若，， 求． 【答案】(1) 证明： 是斜边上的中线， ， ， 在 中，． 又即， ， ． (2)3 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线．解决本题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得，进而得到，根据已知条件和三角形外角定义求得，再两个角对应相等的两个三角形相似求解； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可得，进而求出的长度，再利用相似三角形的对应边成比例来求解． 【详解】（1）略 （2）解：是斜边上的中线， ， ， ， 即， 解得或 (舍去)， ． 题型2 利用相似三角形的性质求解 【例3】如图，在 中，点 、 、分别是、 、 的中点，连接、、．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明，同理可证，解答即可． 【详解】解：点 、 分别是、  的中点， ∴， ∴， ∴， 同理可证，， ∴， 由， ∴． 【例4】如图所示，已知，，且，，若图中两直角三角形相似，则________________． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，，根据相似三角形的性质，列出式子计算，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，，图中两直角三角形相似， ∴，， ①当时，有，则，即， ． ②当时，有，则， ． 【技巧归纳】 1.边长、高线、中线、周长直接用相似比计算； 2.面积相关计算，相似比必须平方；已知面积比求线段先开平方； 3.书写三角形时对齐对应顶点，防止相似比颠倒； 4.多个嵌套相似图形，分层依次计算相似比。 【变式2-1】如图，在中，，分别是边，的中点，若的周长为8，则的周长为（     ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【分析】根据三角形中位线定理证得，利用相似三角形周长比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵ 分别是边 的中点 ， ∴是的中位线， ∴，且， ∴, ∴ ， ∴ ∵的周长为：8 ∴的周长为： 【变式2-2】两个相似三角形一组对应高的长分别是2cm和5cm，若在这两个三角形的一组对应中线中，较短的中线是3cm，那么较长的中线是______cm． 【答案】7.5 【分析】根据题意求出两个三角形的相似比，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【详解】解：∵两个相似三角形一组对应高的长分别是2cm和5cm， ∴两个相似三角形的相似比为2：5， ∴两个相似三角形的对应中线的为2：5， 设较长的中线是xcm， 则， 解得，x=7.5cm， 故答案为：7.5． 题型3相似三角形的判定与性质综合 【例5】如图，在中，，点D为中点，于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵，D为中点， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，结合题意，证明，利用公共角证明即可； （2）根据三角形相似，得，根据勾股定理，代入比例式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∴． ∵D为中点，， ∴． 在中，， ∴． ∴． ∴． 【例6】如图，在四边形中，连接对角线，过点A作交于点 E，将线段绕点A顺时针旋转得到，连接． (1)求证：； (2)记与交于点G，若，求的值． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 由旋转可得，， ∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据旋转的性质以及平行线的性质证明即可； （2）连接，过点分别作，垂足为点，先证明，则，，设，则在等腰中，，则，可得是等腰直角三角形，则，是等腰直角三角形，则，再证明即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接，过点分别作，垂足为点， ∵ ∴ 由旋转可得， ∵ ∴ ∴，， 设， 则在等腰中， ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形 ∴ ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 【技巧归纳】 1.解题固定流程：先找等角/边长条件判定相似，再用性质列比例； 2.判定优先选AA，无等角再用SAS、SSS；直角三角形优先锐角相等； 3.证明等积式思路：证相似→写出对应边比例→交叉相乘； 4.复杂图形剥离多余线条，识别A字、8字、一线三等角简化证明。 【变式3-1】已知，中，，，是的中点，交的延长线于点．若． (1)求证：； (2)求的值． 【答案】(1)证明：∵，， ∴，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (2) 【分析】（1）利用余角的性质得到，利用直角三角形斜边中线的性质结合等腰三角形的性质可得，进而得到，即可证得结论； （2）根据相似三角形的性质可得，设，表示出即可解决问题． 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 设， 则， ∴， ∴． 【变式3-2】如图，在矩形中，点E是的中点，连接．过点D作，交的延长线于点F．连接，交于点G． (1)求证：； (2)若，．求的长； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，由得到，即可证明结论； （2）根据点E是的中点，求出，再根据相似三角形的性质得到，即可得到答案； 【详解】（1）证明：矩形， ， ， ， ； （2）解：①点E是的中点，， ， 矩形，， ， ， ， ， ． 题型4 利用相似求坐标 【例7】如图，是小芳在制作“简易视力表”时的两个成相似的“E”字，若把这两个“E”字放在图中的平面直角坐标系内，会发现它们的对应点B，G和对应点C，H的连线刚好经过原点O，其中点C，H均在x轴上．若，点G的坐标是，则点B的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似图形的性质及平面直角坐标系中坐标的变化规律．先根据已知条件得出的比值，在平面直角坐标系中，根据点G的坐标得出其横纵坐标的值，由题意易证得，从而得到相关线段的长度，进而求得点B的横纵坐标并最终求出点B的坐标． 【详解】解：∵， ∴， 又∵点， ∴，， 由题意知，， ∴， ∴， ∴，即，，即， ∴点B坐标为， 故选：D． 【例8】如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断． 【详解】解：在中，，，则是等腰直角三角形， ， ①、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ②、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ③、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ④、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； 故选：D．    【技巧归纳】 1.借助坐标轴垂直关系得到直角，用AA证明三角形相似； 2.设点坐标，用横、纵坐标表示线段长度； 3.根据相似比列等式，解方程求出未知坐标； 4.分象限、分点的左右上下位置分类讨论，避免漏解。 【变式4-1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据已知条件得到AC=6，OC=2，OB=7，求得BC=9，根据正方形的性质得到DE=OC=OE=2，求得O′E′=O′C′=2，根据相似三角形的性质得到BO′=3，于是得到结论． 【详解】解：如图，设正方形D′C′O′E′是正方形OCDE沿x轴向右平移后的正方形， ∵顶点A，B的坐标分别为（-2，6）和（7，0）， ∴AC=6，OC=2，OB=7， ∴BC=9， ∵四边形OCDE是正方形， ∴DE=OC=OE=2， ∴O′E′=O′C′=2， ∵E′O′⊥BC， ∴∠BO′E′=∠BCA=90°， ∴E′O′∥AC， ∴△BO′E′∽△BCA， ∴， ∴， ∴BO′=3， ∴OO′=7-3=4， 故选：C． 【变式4-2】如图，线段AB两个端点的坐标分别为A（6，6），B（8，2），以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则线段CD的长为（　　） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】直接利用A，B点坐标得出AB的长，再利用位似图形的性质得出CD的长． 【详解】解：∵A（6，6），B（8，2）， ∴AB＝＝2， ∵以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD， ∴线段CD的长为：×2＝． 故选：D． 题型5 相似三角形的实际应用 【例9】综合与实践 【问题情境】 数学活动课上，老师要求九年级（2）班各学习小组的同学测量操场上不同旗杆的高度，活动过程如下： (1)利用镜子测量：如图1，小康站在操场上点E处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶端A，．小组中的同学测得小康的眼睛距地面的高度米，小康到镜面的距离米，镜面到旗杆的距离米．求旗杆的高度． (2)利用标杆测量：如图2，小英站在操场上的点E处，她的眼睛D，标杆的顶端C和旗杆的顶端A在一条直线上，小组中的同学测得小英的眼睛到地面的高度米，标杆高米，米，米，，，均垂直于地面，与水平面平行．求旗杆的高度． 【答案】(1)7.5米 (2)11.5米 【分析】（1）证明，由相似三角形的性质得出，代入数值即可得出的值． （2）证明，由相似三角形的性质得出．代入数值即可得出的值，最后由线段的和差关系即可求出的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∴． ∴． ∴． 答：旗杆的高度为7.5米． （2）解：∵，，均垂直于地面，与水平面平行， ∴，米． ∵， ∴． ∴． ∵（米），米，（米）， ∴． ∴． ∴（米）． 答：旗杆的高度为11.5米． 【例10】渭华起义纪念馆是融合红色旅游、思政教育与红色文化的研学阵地，获评国保单位、全国爱国主义教育及中小学生研学实践教育基地．某次研学旅行中，小王和小李两人准备用所学知识测量该纪念馆中渭华起义纪念塔的高度，如图，小王在点E处放置一面平面镜（平面镜的大小忽略不计），后退到点C处时，眼睛位于点D处，此时恰好在平面镜中看到了塔顶A的像，小王拿来一根标杆立于点C处，小李发现地面上的点G、标杆顶端F和塔的顶端A恰好在一条直线上，已知点B、E、C、G在一条水平直线上，点C、D、F在一条直线上，，，经测量，米，米，小王的眼睛到地面的距离米，标杆米，请你根据上述测量结果，帮助小王和小李计算渭华起义纪念塔的高度． 【答案】渭华起义纪念塔的高度为19.2米 【分析】设渭华起义纪念塔的高度为x米，为y米．先证，从而得到，即；再证，从而得到，即，将代入消元，即可解得x的值，从而求得渭华起义纪念塔的高度． 【详解】解：设渭华起义纪念塔的高度为x米，为y米． ∵，， ∴， 由光的反射定律可得：， ∴， ∴， 即， 化简得：． ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， 将代入上式， 得：， 解得：， 答：渭华起义纪念塔的高度为19.2米． 【技巧归纳】 1.常见场景：影子、楼高、标杆、测距，先抽象出两组直角三角形； 2.平行光线得两组等角，直接判定相似； 3.统一单位后再列比例式，设未知量构建方程； 4.读懂题意找准对应边，区分实物长度与影长。 【变式5-1】【学科融合】 如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别位于法线两侧；反射角等于入射角．这就是光的反射定律． 【解决问题】 阿房宫遗址被联合国确定为世界上最大的宫殿基址，属于世界奇迹．上天台是阿房宫殿祭祀天神的建筑物，重现的上天台，是根据有关史料营造． 如图2，小江和小海两位同学想利用学过的知识来测量上天台的高度．一天，他们带着测量工具来到上天台前，但由于整体规划的原因，无法到达上天台底部．于是小江在地面上的点处放置了一个平面镜，小海从处出发沿着方向移动，当移动到点处时，恰好在平面镜内看到上天台的顶端的像，此时，测得，小海眼睛到地面的距离为；然后，小江沿方向移动到点，用测角仪测得上天台顶端的仰角为，此时，测得，测角仪的高度也为．已知点，，，在同一水平直线上，且、、均垂直于． (1)填空：__________°，________； (2)求该上天台的高度． 【答案】(1)45； (2)该上天台的高度为． 【分析】（1）过点F作于点H，推出是等腰直角三角形，求得，证明，列出比例式，即可求解； （2）证明四边形是矩形，求得，，设，根据，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点F作于点H， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 根据题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 设， ∵， ∴，解得， ∴， 答：该上天台的高度为． 【变式5-2】综合与实践：探究汽车盲区与安全行驶的问题 【问题提出】很多交通事故和汽车盲区有关，汽车肓区是指驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到（含通过后视镜观察）的那部分区域（如图1）． 【基本原理】因为光线沿直线传播，所以当驾驶员坐在驾驶位置上时，由于视角的限制以及车体的遮挡必然会有很大区域的物体反射的光线无法传播到驾驶员的眼中．受到车辆本身结构的影响，车头、车尾、车底等区域会形成视野盲区． 【问题情境】预防进入汽车盲区，能有效预防交通事故发生，提高学生避险能力．康居数启星河社团的同学们在学习了交通安全知识后，对汽车盲区的问题产生了浓厚的兴趣．如图2是他们研究的一个汽车盲区的左视图．若司机视线高度，车前盖最高处与地面距离，车顶到地面的距离为，驾驶员与车头水平距离，车前盖最高处与车头水平距离 ，点在上， 【问题解决】 任务一： (1)求车头盲区的长度； 任务二：在实际驾车中，驾驶员可以通过调整座椅的高度从而改变盲区的范围． (2)在处有一个高度为的物体，驾驶员能观察到物体吗？若能观察到物体，请说明理由；若不能观察到物体，请问如何调整座椅的高度才能使得驾驶员观察到物体；（精确到） (3)若、、保持不变，减小，则 （填 “减小”、“不变” 或“增大”）． 任务三：交通安全规定：一般情况下，小轿车车头地面盲区长度才算安全驾驶． (4)若固定，，时，求驾驶员安全驾驶时视野高度的取值范围． 【答案】(1) (2)解：不能看到物体，理由如下： 过点M作交于点G，过点E 作交于点H， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， ， ∴驾驶员不能观察到物体； 根据题意，得， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得， 故将座椅的高度调低； (3)增大 (4) 【分析】（1）设，根据三角形相似，得到，求解即可． （2）过点M作交于点G，过点E 作交于点H，根据三角形相似的判定和性质求解即可； （3）设，得到，根据分式的性质，求解即可． （4）设，根据题意，得，解得，求解即可; 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴， ∴， 设， ∵，，，， ∴，， ∴， 解得， 经检验，时，， 故时原方程的根， 故的长为 （2）略 （3）解：根据题意，得， ∴， ∴， 设， ∵，，， ∴，， ∴， 解得， 经检验，是原方程的根， 故， 减小， 也在减小， 在增大， 在增大， 故增大; （4）解：根据题意，得， ∴， ∴， 设， ∵，，，， ∴，， ∴， 解得， 经检验，时，， 故时原方程的根， ， 根据题意，得车顶到地面的距离为， 故; 题型6 动态几何中的相似三角形问题 【例11】如图，在中，，，．点P从点A出发沿边向点B以的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，两点同时出发．问运动几秒后，与相似？ 【答案】或秒 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质．利用分类讨论思想解答是解题的关键． 分两种情况：当时，当时，即可求解． 【详解】解：设运动时间为t秒， 根据题意得：， ∴， 当时，， ∵，， ∴， 解得：； 当时，， ∵，， ∴， 解得：； 综上所述，运动或秒后，与相似． 【例12】如图，已知四边形中，，，，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，于点．设运动时间为，解答下列问题： (1)当为何值时，以，，为顶点的三角形与相似？ (2)是否存在某一时刻，使将四边形分成面积相等的两部分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)是否存在某一时刻，使？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)为或 (2)不存在；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得， 若将四边形分成面积相等的两部分，则四边形的面积为梯形面积的一半， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 整理得， ∵， ∴方程无实数根， ∴不存在某一时刻，使将四边形分成面积相等的两部分； (3)存在；或 【分析】（1）过点D作于点F，则易得四边形是矩形，再由勾股定理求得，求得的值，再分两种情况考虑相似即可； （2）若将四边形分成面积相等的两部分，则四边形的面积为梯形面积的一半，用含t的代数式表示出四边形的面积，解关于t的方程，根据t的值是否存在即可作出判断； （3）证明，利用比例式建立方程即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点D作于点F， 则， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 若，则， ∵，， ∴， 解得； 若，则， ∴， 解得； 综上，当为或时，以，，为顶点的三角形与相似； （2）解：不存在；理由略； （3）解：存在； 当时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得， 解得， ∴当或时，． 【技巧归纳】 1.设运动时间t，用含t代数式表示动线段长度； 2.未指定对应顶点时必须分类讨论所有相似对应情况； 3.动态过程中公共角、直角固定不变，优先用AA证相似； 4.求出参数后结合线段取值范围，舍去超出范围、负数等不合理解。 【变式6-1】如图，，，，动点，分别以每秒和的速度同时开始运动，其中点从点出发，沿边一直移到点为止，点从点出发沿边一直运动到点为止（点到达点后，点继续运动） (1)请直接用含的代数式表示的长和的长，并写出的取值范围： (2)当是直角三角形时，求的值； (3)当与相似时，直接写出的值． 【答案】(1) ， (2)或 (3)或 【分析】（1）因为点P的速度是每秒，从A出发沿运动，所以的长可直接用速度乘时间表示；因为，根据可表示出的长；所以先算出P、Q运动的最长时间，即可确定t的取值范围． （2）因为是直角三角形，且，所以分两种情况讨论：和；同时要注意t的取值范围，对解进行筛选． （3）因为与相似，且是公共角，所以分两种情况：和；根据对应边成比例，代入含t的代数式建立方程；结合t的取值范围，求解方程得到t的值． 【详解】（1）：点P速度为，点到达点用时， ∴ ， ：点Q速度为，从B走到A总用时，， ∴； （2）， ∵， ∴直角只能是或，分情况讨论： ①当时， ， ∴． 当时，得 ，解得， 符合题意． 当时，，则，解得：，不符合题意． ②当时， ， ∴． 当时，代入得，解得，超出，舍去； 当时，，代入得，解得，符合题意． 综上，的值为或． （3）两个三角形有公共角，仅需夹的两边成比例，分两种对应情况： 当（即）时： 当时，代入，得 ，解得，符合题意． 当时，代入，得 ，解得，不符合题意，舍去． 当（即）时： 当时，代入得，解得，不符合题意，舍去． 当时，，代入得，解得，符合题意． 综上，的值为或． 【变式6-2】如图，在平面直角坐标系中，已知，，点P从O点开始沿边向点A以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动，如果P、Q同时出发，用t（单位：秒）表示移动的时间，那么： (1)当时，求的面积； (2)在运动过程中，的长度能否为？试说明理由； (3)当t为何值时，与相似？ 【答案】(1)； (2)的长度不能为，理由见详解； (3)当或 【分析】本题考查了相似三角形的性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式等知识，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）求出的长，再根据三角形面积公式计算即可； （2）由题意得，，则，在中，，得到，即，利用根的判别式判断即可； （3）分两种情形讨论即可：①若时，②若时两种情况，然后分别解方程即可． 【详解】（1）解：当时，，， ∴． （2）解：由题意得，， ∴， 在中，， ∴，化简得：， ∵， ∴原方程无实数根， ∴的长度不能为． （3）解：由题意得，， ∴， ①若时， 则有，即， 整理得：，解得：， ∴时，与相似； ②若时， 则有，即，解得：， ∴当时，与相似， 综上所述：当或时，与相似． 1．如图，在中，，已知，则的长为（    ） A． B． C．12 D．20 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质可得且，从而证得，利用相似三角形对应边成比例即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形 ， 2．在阳光下，一名同学测得一根长为0.9米的垂直于地面的竹竿的影长为0.6米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为3.84米，则树高为（     ） A．6.36米 B．8米 C．11.8米 D．12米 【答案】A 【分析】连接，过点E作于点F，设米，利用“同一时刻，物高和影长成正比”列出方程，解方程求出的长度，进而可得的长度． 【详解】解：如图所示，连接，过点E作于点F， 由题意，米，米，米， 则（米）， 设米， 由题意，得， 解得：， ∴（米）． 3．如图，为的重心，点在延长线上，且，连接并延长交于点，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长交于点，过点作交延长线于点，根据重心的性质可得，，再根据得到，推出，通过证明得到，推出，再证明得到，再利用比例的性质即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点，过点作交延长线于点， ∵G为的重心， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 4．如图，正方形网格中每个小正方形边长为2，点A、B、C都在格点上，、分别与网格线交于点D、E，则的长为______． 【答案】 【分析】取格点M、N，如图，先证明，则，从而计算出，再证明得到，从而可计算出，然后计算即可． 【详解】解：取格点M、N，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 5．如果两个相似三角形的面积之比为，较小的三角形的周长是，那么另一个三角形的周长为____． 【答案】120 【分析】先根据两个相似三角形面积的比得到周长的比，再根据较小的三角形的周长，即可解答． 【详解】解：∵相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方， ∴相似三角形面积的比等于周长的比的平方， ∵两个相似三角形的面积之比为， ∴这两个相似三角形的周长之比为， ∵较小的三角形的周长是， ∴另一个的三角形的周长为． 6．如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为______．    【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；由题意易得，点B到x轴的距离为2，即为边上的高，然后可得相似比为，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，的坐标分别为，，的坐标为， ∴，点B到x轴的距离为2，即为边上的高， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 故答案为． 7．如图，在中，点D是边上一点，连接，，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【分析】先计算出，再由即可判定出，进而即可得解． 【详解】略 8．学校“数学建模小分队”为了测量校园里水平地面上一棵树的高度，做了如下的探索：根据《物理》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：①把一面很小的镜子放在离树底B距离米的点E处；②沿着直线后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A；③用皮尺量得米；④观察者目高米，则树（）的高度约为多少米（精确到米）． 【答案】米 【分析】证明，得出，即，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ， ， ， 米，米，米， ， （米）． 答：树的高度约为米． 9．如图，点为内一点，点，，分别在线段，，上，且满足． (1)求证：． (2)若的面积是，求的面积． 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∴， 同理得，， ∴， ∴； (2) 【分析】（）由，，得，所以，同理得，，则，然后根据相似三角形的判定方法得到结论； （）根据“相似三角形面积的比等于相似比的平方”解决问题． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴， ∴的面积为． 10．如图，在菱形中，E为边上一点．现要添加一个条件，使． (1)若添加的条件为，求证：； (2)若添加下列条件，也可以使，则这个条件是_______（填序号）； ①；②；③． (3)在（1）的条件下，若，，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)③ (3) 【分析】（1）根据菱形的性质可得，即可求证； （2）根据相似三角形的判定定理解答即可； （3）根据相似三角形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ， ， 又， ； （2）解：四边形是菱形， ， ， ∴可添加，使； （3）解：四边形是菱形， ， 又， ，即， ， ∵，， ， ， 即菱形的边长为． 11．如图，在矩形中，点在边上，连结，过点作于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 【答案】(1)证明：， ． 四边形为矩形， ， ． ， (2) 【分析】（1）找直角相等，根据平行线找角相等，根据两个角相等的三角形相似证明即可； （2）由勾股定理计算的长，再根据相似三角形对应边成比例计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：在矩形中，， 在中，， 由（1）得，， ∴，即， 解得：． 12．如图，已知、两点的坐标分别为和，动点从点开始在线段上以每秒2个长度单位的速度向原点运动、动直线从轴开始以每秒1个单位的速度向上平行移动（即轴），并且分别与轴、线段交于点、，连接、，设动点与动直线同时出发，运动时间为秒． (1)求时，的面积； (2)直线、点在运动过程中，是否存在这样的，使得的面积等于160（平方单位）．若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由； (3)当为何值时，与相似． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)秒或秒 【分析】（1）根据题意得到，求出，根据轴，是中点，得到是的中位线，求出，即可得到答案； （2）根据题意得到，，求出，联立得到面积，没有实数根，即可得到答案． （3）分和两种情况，利用相似三角形对应线段成比例进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， 动直线从轴开始以每秒1个单位的速度向上平行移动（即轴）， 时，，， ∴， 轴， ∴， ∴， 是的中位线， ， ； （2）解：动直线从轴开始以每秒1个单位的速度向上平行移动（即轴）， ， 轴， ， ， ， ， 整理得， ， 故方程没有实数根， 故不存在使得的面积等于160（平方单位）； （3）解：动点从点开始在线段上以每秒2个长度单位的速度向原点运动、动直线从轴开始以每秒1个单位的速度向上平行移动（即轴）， ， 当时，，即， 解得秒； 当时，，即， 解得秒； 综上所述，当秒或秒时，与相似． 13．如图，在中，，，，动点M从点B出发，在边上以2的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在边上以的速度向点B匀速运动，设运动时间为（），连接． 发现： ， ；（用含t的式子来表示） （1）猜想： ①若，求t值； ②若的面积与四边形的面积比值为，求出t的值． （2）探究：是否存在符合条件的t，使与相似？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】发现：，；（1）①秒②秒（2）满足条件的t的值为或秒 【分析】本题是相似综合题目，考查了相似三角形的判定与性质，含30度的直角三角形的性质，综合性较强，证明三角形相似是解题的关键， 发现：利用路程等于速度乘以时间即可得出结论； 猜想：（1）①利用建立方程求解即可得出结论；②先求出的面积，进而求出的面积，最后用的面积建立方程并解方程，即可得出结论； （2）分两种情况，利用相似三角形得出比例式建立方程求解即可得出结论． 【详解】解：发现：在中，， ∴， ∵， ∴， ， 由运动知，， ， ∴， 故答案为：，； 猜想：（1）①∵， ∴， ∴秒； ②∵ ， ∴， ∵与四边形面积比值为， ∴， 如图，过点M作于D， 在中，，， ∴， ∴， 解得：秒； （2）∵与相似， 当时， ∴ ， ∴ ， ∴秒， 当时， ∴， ∴， ∴秒， 即：满足条件的t的值为或秒； 14．某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： (1)问题发现：如图1，在等边中，点是边上任意一点，连接，以为边作等边，连接．求证：． (2)变式探究：如图2，在等腰中，，点是边上任意一点，以为腰作等腰，使，连接．求证：； (3)解决问题：如图3，在正方形中，点是边上一点，以为边作正方形是正方形的中心，连接．若正方形的边长为，请直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，即可证得结论； （2）证明，则，由得到，即可证得结论； （3）连接，证明，得到，可得，可得，根据勾股定理，即可得的长． 【详解】（1）证明：∵与都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵在等腰中，， ∴， ∵在等腰中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， （3）解：连接，，，如图3所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵Q是正方形的中心， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵正方形的边长为， ∴， ∴． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $