第1章 集合（举一反三讲义·培优篇）高一数学苏教版必修第一册

该高中数学集合单元复习讲义通过六大压轴题型框架系统构建知识体系，涵盖元素个数、参数求解、集合运算、新定义问题等核心内容，以题型归类呈现集合知识的内在逻辑与重难点分布，帮助学生梳理知识脉络。 讲义亮点在于分层练习设计，既有基础选择填空巩固概念，又有压轴解答题如“和谐集”判断、参数范围求解等，培养数学思维与创新意识。通过举一反三实例，基础生掌握方法，优生深化探究，为教师精准教学和学生自主复习提供有力支持。

第1章 集合全章六大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【苏教版】 题型1 集合中元素的个数问题 1．（25-26高一上·贵州·期中）已知集合，．则集合中的元素个数是（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用列举法求出集合即可. 【解答过程】集合，，则集合， 所以集合中的元素个数是7. 故选：C. 2．（25-26高一上·福建福州·期中）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解题思路】利用集合中元素的互异性，对的取值进行分类讨论即可. 【解答过程】由题意，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 由集合中元素满足互异性，所以. 故选：B. 3．（25-26高一上·浙江宁波·阶段检测）设集合，若集合中至多有一个元素，则的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．或 【答案】D 【解题思路】根据和中只有一个元素，即可结合二次方程和一次方程的根求解. 【解答过程】当时，则需满足且，解得， 当中只有一个元素时，则或，解得， 综上可知：集合中至多有一个元素，则或， 故选：D. 4．（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）已知集合，集合，若，则集合含有的元素个数为__________． 【答案】3 【解题思路】根据集合的描述法计算求解即可. 【解答过程】因为集合，集合， 且， 则 则集合含有的元素个数为3. 故答案为：3. 5．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）转化为关于的方程的方程有两个不等的实数根，用判别式即可求解； （2）分，两种情况讨论，当时用判别式即可求解. 【解答过程】（1）由于中有两个元素， 关于的方程有两个不等的实数根， ，且，即，且. 故实数的取值范围是或； （2）当时，方程为，集合只有一个元素； 当时，若关于的方程有两个相等的实数根，则中只有一个元素， 即，， 若关于的方程没有实数根，则中没有元素， 即. 综上可知，实数的取值范围是. 题型2 根据元素与集合的关系求参数 1．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知集合，若，则（   ） A． B． C．或 D．1或 【答案】B 【解题思路】分和讨论即可. 【解答过程】若，则①，解得，此时，不满足集合互异性，舍去； ②，解得或（舍去）， 当时，，满足题意， 则. 故选：B. 2．（25-26高一上·重庆·期中）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 【答案】D 【解题思路】根据元素与集合的关系及元素的互异性求解即可. 【解答过程】由题意， 是集合 的元素，则 或 ，解得 或 . 根据集合元素的互异性检验：当 时， 且 ，集合 中出现重复元素，故舍去； 当 时，，，集合 ，符合题意. 综上，. 故选：. 3．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知集合，若且，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据元素与集合的从属关系列式，可求实数m的取值范围. 【解答过程】由且，得，解得． 故选：A. 4．（25-26高一上·陕西渭南·阶段检测）已知集合，若，则__________. 【答案】 【解题思路】根据属于的定义，结合集合元素互异性分类讨论进行求解即可. 【解答过程】因为， 所以有，或， 当时，解得，或， 当时，，不符合集合元素互异性， 当时，，符合集合元素互异性， 当时，解得，，不符合集合元素互异性， 综上所述， 故答案为：. 5．（25-26高一上·上海·期中）已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）代入于方程，求解出并解方程，则可知； （2）当时，直接分析即可；当时，考虑，由此可求结果. 【解答过程】（1）因为，所以，所以， 由，解得或， 所以； （2）当时，，，所以，满足条件； 当时，方程无解或仅有解，则只需，解得， 综上所述，的取值范围是. 题型3 根据集合间的关系求参数 1．（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合. 若，则实数的取值范围为(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意可得：，分和两种情况，结合包含关系分析求解. 【解答过程】因为则 (1)若，则，解得； (2)若，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 故选： C. 2．（25-26高一上·重庆·期中）集合，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据，利用集合端点值间的关系列不等式即可求解答案. 【解答过程】已知， 由于，可得：. 故选：A. 3．（25-26高一上·天津·阶段检测）已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分集合是否是空集进行讨论即可求解. 【解答过程】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则或解得. 综上，，即m的取值范围是.    故选：C. 4．（2026高一·上海·专题练习）已知全集，，，且，则m的取值范围为__________． 【答案】 【解题思路】根据，分、两种情况讨论求解即可. 【解答过程】由，，， 当时，，解得； 当时，由或，解得. 综上所述，m的取值范围为. 故答案为：. 5．（25-26高一上·云南·阶段检测）已知集合，． (1)若且，求b的值． (2)若且，求a的值． (3)是否存在实数a，使得对于任意实数b（且），都有？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或1． (3)存在 【解题思路】（1）利用子集的意义可求解； （2）解方程求得集合，根据子集的意义可求解； （3）由题意知，利用子集的意义求解即可. 【解答过程】（1）若，则．因为，所以． （2）当时，， 因为，所以，所以， 所以，所以或或， 解得或1． （3）若对于任意实数b，都有，则． 所以，所以，解得， 所以存在，使得对于任意实数b（且），都有． 题型4 交、并、补集的混合运算 1．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知全集，集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先运用补集的运算，求集合在全集中的补集；再运用交集运算，求即可. 【解答过程】因为，， 因此， 又因为，所以. 故选：B. 2．（25-26高一上·福建厦门·期中）已知全集，那么是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由集合的运算逐项判断可得. 【解答过程】 对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：D. 3．（25-26高一上·河北·期中）已知集合，集合，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【解题思路】首先化简集合，再根据集合的运算法则一一判断即可. 【解答过程】由，解得，所以， 又，所以，，故A、D错误； 又或， 所以，或，故B正确，C错误. 故选：B. 4．（25-26高一上·江西吉安·期中）已知全集，且，则 =___________. 【答案】 【解题思路】根据题设画出Venn图即可求解. 【解答过程】由题意， 知全集， 又， 画出Venn图如下图所示， 即得. 故答案为：.    5．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知集合， (1)求；． (2)若全集，求及． 【答案】(1)， (2)， 【解题思路】（1）直接根据集合的交集、并集运算求解即可； （2）根据集合的交集、并集、补集运算求解即可. 【解答过程】（1）因为集合 所以， ； （2）全集，， 所以或， 或， 或， 或或或. 题型5 集合混合运算中的求参问题 1．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知全集，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 【答案】D 【解题思路】求出A中方程的解确定A，再由A的补集与B的交集为空集，确定A与B的包含关系进行分类讨论，即可确定m的值. 【解答过程】因为方程的判别式， 所以， 根据题意得到集合，， 即，， 因为，所以， 所以或， 若，则，解得， 若，则，解得， 所以或. 故选：D. 2．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）集合，，集合，若，则以下的取值不满足题意的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，求得，利用，列出不等式，求得的取值范围，结合选项，即可求解. 【解答过程】由集合，， 可得，则， 因为，则满足，解得， 结合选项，可得选项D不满足题意. 故选:D. 3．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知集合，若，则实数m的取值范围是___________． 【答案】 【解题思路】根据题意，先求或，再结合题意，分和讨论求解即可． 【解答过程】或， 又， 所以①当，，解得； ②当，，解得； 综上，时，实数m的取值范围为． 故答案为：． 4．（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据集合的补集、交集运算即可； （2）根据并集补集运算可得，分类讨论，，列不等式得的取值范围即可. 【解答过程】（1）当时，，因为或， 所以， 故； （2）由（1）知， 若，则， 当时，则，解得，满足题意； 当时，由题意可得，解得． 综上所述，，即的取值范围为． 5．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题：若选__________，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）当时，求出集合，利用补集和交集的定义可求得集合； （2）根据所选条件可得出，分、两种情况讨论，求出集合，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【解答过程】（1）当时，，则， 故. （2）若选①，，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选②，因，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为； 若选③，因为，可得，则. 当时，，由，可得，故； 当时，，由，可得，故. 综上，实数的取值范围为. 题型6 集合中的新定义问题 1．（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）定义集合的乘运算：.已知集合，集合，则集合非空真子集的个数为（    ） A．6 B．14 C．30 D．62 【答案】D 【解题思路】根据给定条件，求出集合，再求出集合即可得解. 【解答过程】由，得， 而，则， 所以集合非空真子集的个数为. 故选：D. 2．（25-26高一上·安徽安庆·阶段检测）定义集合运算：.若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】首先根据集合中的元素球集合，再求. 【解答过程】， 当，或，或，或，解得或或 或， 所以，， 所以. 故选：D. 3．（25-26高一上·江苏无锡·期中）设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的（与可以相等，也可以不相等），且，则称是“和谐集”.则下列四个命题中为真命题个数为（   ） ①存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集； ②集合是“和谐集”； ③若，都是“和谐集”，则； ④对任意两个不同的“和谐集”，，总有. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】利用和谐集的定义，判断集合中必有元素0，从而可判断①，利用和谐集的定义，可证明②，利用举例可证明③④. 【解答过程】对于①，存在，满足有限集，也满足和谐集，故①正确； 对于②，当时， 对于， 总有 所以且，即满足“和谐集”，故②正确； 对于③，若都是“和谐集”， 则当时，由可知，“和谐集”中必有元素0，即，故③正确； 对于④，存在“和谐集”，此时，故④错误； 故选：C. 4．（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. (1)判断：集合，，是否是“完美集”并说明理由； (2)、是两个不同的正数，且是“完美集”，求的取值范围. (3)若为正整数，求：“完美集”. 【答案】(1)不是“完美集”， 是“完美集”； (2)； (3)“完美集” ． 【解题思路】（1）根据“完美集”的定义验证； （2）由新定义结合一元二次方程的判别式得出，然后变形为的函数形式，得其范围； （3）在中设，然后由和分类讨论可得． 【解答过程】（1）（1）因为，不是“完美集”， 又，所以是“完美集”； （2）是“完美集”，则，，又，所以，同理， 设，则是方程的两不等实根， 所以，解得或，又，所以， ， 因为，所以 ； 即的取值范围是； （3）若，则，由（2）的解析知，且， 当时，与互质，，而，所以，此时，不合题意； 若，，，不妨设，都是正整数， 则，，， 由得，则， 所以，，所以，，则， 所以； 若，，不妨设，且都是正整数， 则， 由知，(i)， 时，， 即，所以，(ii)，而， (i)式与(ii)式矛盾，所以时不存在“完美集”， 综上，“完美集” ． 5．（25-26高一上·山东·阶段检测）已知集合，，其中，中至少有两个元素，若集合，满足：①对于任意两个不同元素，都有；②对于任意两个不同元素且，都有；则称集合是的“友好集”． (1)已知，与，，分别判断是否为的“友好集”，是否为的“友好集”，并说明理由； (2)若集合，其中，若存在集合是的“友好集”，证明：； (3)若集合中有四个元素，且集合是的“友好集”，求集合中元素的个数． 【答案】(1)不是的“友好集”，是的“友好集”，理由见解析 (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）根据“友好集”的定义分别判断各集合的元素是否满足要求即可； （2）先根据定义确定出集合中的元素，然后根据范围分析出的取值，由此可完成证明； （3）先确定出集合中的元素，然后分类讨论的情况，根据范围确定出 的取值，然后可求得集合，由此可计算出中元素的个数． 【解答过程】（1）在中：，所以不是的“友好集”； 在中：，满足要求， 在中：，满足要求， 所以是的“友好集”. （2）由题意可知，， 所以， 因为，所以，解得， 因为，所以，所以， 所以，即成立. （3）设，其中且， 则， 所以， 若，则， 因为，所以，所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以，所以， 此时有，此式显然不成立，所以不符合条件，所以； 当时，因为，所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，， 所以， 所以集合中元素的个数为个. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 集合全章六大压轴题型归纳（举一反三讲义·培优篇） 【苏教版】 题型1 集合中元素的个数问题 1．（25-26高一上·贵州·期中）已知集合，．则集合中的元素个数是（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 2．（25-26高一上·福建福州·期中）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（25-26高一上·浙江宁波·阶段检测）设集合，若集合中至多有一个元素，则的取值范围为（    ） A． B． C．且 D．或 4．（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）已知集合，集合，若，则集合含有的元素个数为__________． 5．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）已知集合. (1)若中有两个元素，求实数的取值范围； (2)若中至多有一个元素，求实数取值范围. 题型2 根据元素与集合的关系求参数 1．（25-26高一上·海南海口·阶段检测）已知集合，若，则（   ） A． B． C．或 D．1或 2．（25-26高一上·重庆·期中）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 3．（25-26高一上·安徽·阶段检测）已知集合，若且，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·陕西渭南·阶段检测）已知集合，若，则__________. 5．（25-26高一上·上海·期中）已知集合. (1)若，求集合； (2)若中至多有一个元素，求实数的取值范围． 题型3 根据集合间的关系求参数 1．（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合. 若，则实数的取值范围为(     ) A． B． C． D． 2．（25-26高一上·重庆·期中）集合，，若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·天津·阶段检测）已知集合，，若为的真子集，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2026高一·上海·专题练习）已知全集，，，且，则m的取值范围为__________． 5．（25-26高一上·云南·阶段检测）已知集合，． (1)若且，求b的值． (2)若且，求a的值． (3)是否存在实数a，使得对于任意实数b（且），都有？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 题型4 交、并、补集的混合运算 1．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）已知全集，集合，，则集合（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·福建厦门·期中）已知全集，那么是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·河北·期中）已知集合，集合，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C．或 D． 4．（25-26高一上·江西吉安·期中）已知全集，且，则 =___________. 5．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知集合， (1)求；． (2)若全集，求及． 题型5 集合混合运算中的求参问题 1．（2026·陕西商洛·模拟预测）已知全集，若，则实数的值为（    ） A．1 B．3 C．-1或-3 D．1或3 2．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）集合，，集合，若，则以下的取值不满足题意的是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·安徽合肥·阶段检测）已知集合，若，则实数m的取值范围是___________． 4．（25-26高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 5．（25-26高一上·北京·阶段检测）已知集合，. (1)若，求； (2)从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并进行解答. 问题：若选__________，求实数的取值范围. 题型6 集合中的新定义问题 1．（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）定义集合的乘运算：.已知集合，集合，则集合非空真子集的个数为（    ） A．6 B．14 C．30 D．62 2．（25-26高一上·安徽安庆·阶段检测）定义集合运算：.若集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·江苏无锡·期中）设是实数集的一个非空子集，如果对于任意的（与可以相等，也可以不相等），且，则称是“和谐集”.则下列四个命题中为真命题个数为（   ） ①存在一个集合，它既是“和谐集”，又是有限集； ②集合是“和谐集”； ③若，都是“和谐集”，则； ④对任意两个不同的“和谐集”，，总有. A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高一上·福建宁德·阶段检测）已知有限集，如果中的元素满足，就称为“完美集”. (1)判断：集合，，是否是“完美集”并说明理由； (2)、是两个不同的正数，且是“完美集”，求的取值范围. (3)若为正整数，求：“完美集”. 5．（25-26高一上·山东·阶段检测）已知集合，，其中，中至少有两个元素，若集合，满足：①对于任意两个不同元素，都有；②对于任意两个不同元素且，都有；则称集合是的“友好集”． (1)已知，与，，分别判断是否为的“友好集”，是否为的“友好集”，并说明理由； (2)若集合，其中，若存在集合是的“友好集”，证明：； (3)若集合中有四个元素，且集合是的“友好集”，求集合中元素的个数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $