第一章 集合与常用逻辑用语（单元自测·基础卷）-2026-2027学年高一数学上学期重点•题型讲义（人教A版必修第一册）

第一章 集合与常用逻辑用语（单元自测·基础卷） 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】交集的概念及运算、公式法解绝对值不等式 【分析】先解绝对值不等式得集合，再求交集即得. 【详解】由可得，解得，即， 因故. 故选：D. 2．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】特称命题的否定及其真假判断 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可直接写出答案. 【详解】的否定为 故答案为：A. 3．若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】判断两个集合的包含关系 【分析】求出集合后，根据集合间的关系逐项判断即可. 【详解】， 是以空集为元素的集合，不是集合的子集，故A错误； ，故B错误；，故C错误；，故D正确. 故选：D. 4．若命题“，”为假命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、全称命题的否定及其真假判断、一元二次不等式在某区间上有解问题 【分析】利用全称量词命题的否定与真假性，将问题转化为二次不等式的有解问题，从而得解. 【详解】因为“，”为假命题， 所以“，”为真命题， 则在区间上有解， 设，则的图象开口向上，对称轴为， 且，则当时，函数取得最大值为， 所以，即的取值范围是. 故选：C. 5．设全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（   ）    A．或 B．或 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】交并补混合运算、利用Venn图求集合 【分析】根据图可知，阴影表示的补集，即可根据集合交并补的定义求解. 【详解】由可得，， 故，进而. 故选：D 6．已知命题，.则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】解绝对值不等式和二次不等式，然后由充分必要条件的定义即可得到结果. 【详解】，，即 ，即，，则，即， ∴是的充分不必要条件. 故选：A. 7．已知，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】充要条件的证明 【分析】由可得，考虑由能否推出，由能否推出，由此判断结论． 【详解】因为 ，所以 ，即 ， 充分性：若 ，因为 ，所以必有 ，即 ，故充分性成立， 必要性：若 ，即 ，因为 ，所以必有 ，故必要性成立， 综上，“”是“”的充要条件。 故选：A． 8．已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】根据题意，得到，结合不等式的基本性质，即可求解. 【详解】设， 所以，解得，即可得， 因为，，所以. 故选：D. 二、多选题：本大题共3小题，每个小题6分，共18分. 9．若集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【难度】0.94 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系 【分析】求得集合，可得结论. 【详解】， 所以，，故AD正确； 所以，，故BC错误. 故选：AD. 10．下列命题中假命题的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】判断特称（存在性）命题的真假、判断全称命题的真假 【分析】利用存在量词命题和全称量词的概念结合相关内容对选项逐个分析并做出判断，可得出答案． 【详解】对于A，当时，成立，即A正确； 对于B，由，可得，显然不是有理数，即B错误； 对于C，取，可知，即C错误； 对于D，因为中，，所以一元二次不等式有解，不是恒成立， 比如取时，不等式不成立，即D错误； 故选：BCD. 11．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（   ） A．，是一个戴德金分割 B．M没有最大元素，N有一个最小元素 C．M有一个最大元素，N有一个最小元素 D．M没有最大元素，N也没有最小元素 【答案】BD 【难度】0.65 【知识点】交集的概念及运算、并集的概念及运算、集合新定义 【分析】根据戴德金分割的定义，结合选项，分别举例，判断正误. 【详解】对于A，因为，，所以，故A错误； 对于B，设，，满足戴德金分割， 此时没有最大元素，有一个最小元素为0，故B正确； 对于C，若有一个最大元素，有一个最小元素， 则不能同时满足，，故C错误； 对于D，设，，满足戴德金分割， 此时没有最大元素，也没有最小元素，故D正确． 故选：BD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.把答案填在答题卡中的横线上. 12．已知集合，且，则_________． 【答案】-3 【难度】0.85 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】由集合，，，且，得或，由此能求出结果． 【详解】解：集合，，，且， 或， 解得，或， 当时，，，，不合题意， 当时，，，，符合题意． 综上，． 故答案为：. 13．若集合，且，则实数___________. 【答案】或. 【难度】0.85 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据题意，分、和，三种情况讨论，结合元素的互异性，即可求解. 【详解】由题意，集合，且， 若时，可得，此时集合，符合题意； 若时，可得，此时，不满足集合元素的互异性，舍去； 若时，可得或（舍去）， 当时，集合，符合题意， 综上可得，实数的值为或. 故答案为：或. 14．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】一元二次不等式的实际应用 【分析】根据题意得出，然后通过计算以及即可得出结果. 【详解】设这批台灯的销售单价为x元，由题意得，， 即，解得，又因为，所以， 这批台灯的销售单价的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知集合，. (1)当时，求，；；； (2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)，，或，. (2) 【难度】0.65 【知识点】根据充分不必要条件求参数、补集的概念及运算、并集的概念及运算、交集的概念及运算 【分析】（1）直接根据集合的交并补运算求解即可； （2）根据题意得真包含于，进而分与两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）解：当时，，， 所以，， 或，或. （2）解：因为“”是“”成立的充分不必要条件， 所以 当时，,即，此不等式无解，故不成立； 当时，，解不等式得， 当时，此时有，不满足真包含于，舍去 综上，实数的取值范围 16．已知集合. (1)若，求和； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【难度】0.65 【知识点】公式法解绝对值不等式、交并补混合运算、并集的概念及运算、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）把代入，利用并集的定义及补集交集的定义求解即得. （2）利用交集的结果，分和两种情况结合集合的包含关系，列式求解即得. 【详解】（1）当时，，而， 所以，或 . （2）由，得， 当时，，即； 当时，，解得， 所以实数的取值范围是. 17．设全集，集合，集合． (1)若，求，. (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2)． 【难度】0.85 【知识点】交并补混合运算、并集的概念及运算、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）根据并集与交集，补集的概念直接计算． （2）分与两种情况讨论，根据集合间的包含关系，列不等式，解不等式即可． 【详解】（1）因为，所以． 因为，所以． 因为，所以或，所以． （2）因为，，， ①当时，满足，此时，解得； ②当时，要满足，则，解得． 综上所述，实数的取值范围是． 18．已知集合，. (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【难度】0.65 【知识点】分式不等式、解不含参数的一元二次不等式、交并补混合运算、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）解不等式，明确集合、，再根据集合的运算法则进行集合的运算. （2）明确集合、的包含关系，再分，，三种情况讨论求的取值范围. 【详解】（1）由，所以. 当时，由，所以. 所以， 因为或，所以. （2）由. 当时，，由，结合可得； 当时，，所以时符合题意； 当时，，由，结合可得. 综上可知，当时，. 19．已知集合，集合． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】根据充分不必要条件求参数、根据集合的包含关系求参数 【分析】（1）根据充分不必要条件的性质，得到集合是集合的真子集，从而得到关于实数的不等式组，求解不等式组，即可得到实数的取值范围. （2）根据分和两种情况讨论，建立不等式组，求解. 【详解】（1）（1）若“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 所以，解得， 所以实数的取值范围为； （2）（2）当时，，得； 当时，，不等式组无解， 综上，实数的取值范围为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 集合与常用逻辑用语（单元自测·基础卷） 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．集合，则（    ） A． B． C． D． 2．命题“”的否定是（    ） A． B． C． D． 3．若，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若命题“，”为假命题，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．设全集，集合，，则图中阴影部分所表示的集合为（   ）    A．或 B．或 C． D． 6．已知命题，.则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本大题共3小题，每个小题6分，共18分. 9．若集合，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 10．下列命题中假命题的是（   ） A． B． C． D． 11．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数(史称戴德金分割)，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断下列选项中，可能成立的是（   ） A．，是一个戴德金分割 B．M没有最大元素，N有一个最小元素 C．M有一个最大元素，N有一个最小元素 D．M没有最大元素，N也没有最小元素 三、填空题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.把答案填在答题卡中的横线上. 12．已知集合，且，则_________． 13．若集合，且，则实数___________. 14．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上（不含400元）的销售收入.则这批台灯的销售单价x（单位：元）的取值范围是______. 四、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知集合，. (1)当时，求，；；； (2)若“”是“”成立的充分不必要条件，求实数的取值范围. 16．已知集合. (1)若，求和； (2)若，求的取值范围. 17．设全集，集合，集合． (1)若，求，. (2)若，求实数的取值范围． 18．已知集合，. (1)若，求，； (2)若，求实数的取值范围. 19．已知集合，集合． (1)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $