专题01 三角形的概念（题型专练）数学新教材人教版八年级上册

**基本信息** 以10类题型为框架，融合定义辨析、分类讨论、动态建模等方法，构建从概念识别到综合应用的递进式训练体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形识别|1典例+3变式|定义法+易错点排查（三点共线/非线段）|从概念本质出发，建立图形判断标准| |边/角/顶点|1典例+3变式|图形要素定位法|连接概念与图形表征，强化几何直观| |数三角形个数|1典例+3变式|编号分类计数法（单/组合三角形）|从简单到复杂，培养有序思维| |等腰/直角三角形|2典例+6变式|定义应用+分类讨论（存在性问题）|特殊三角形概念→性质→动态应用| |动点问题|1典例+3变式|代数化表示（路程=速度×时间）+方程建模|静态概念延伸至动态问题，发展模型意识|

专题01 三角形的概念 （题型突破·举一反三） 题型01 三角形的识别 题型02 三角形的边、角和顶点 题型03 数三角形的个数 题型04 根据边判断三角形的形状 题型05 根据角判断三角形的形状 题型06 直角三角形 题型07 等腰三角形 题型08 三角形有关概念辨析 题型09 等腰三角形存在性问题 题型10 动点问题 ▌题型01 三角形的识别 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，叫做三角形。 易错提醒：(1)三点共线 → 不是三角形 (2)曲线、折线围成 → 不是三角形 【典例1】下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列图形中，是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】小华用三根火柴搭成下列图形，其中是三角形的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（） A． B． C． D． ▌题型02 三角形的边、角和顶点 组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角. 【典例2】如图所示，图中共有________个三角形，其中以为边的三角形有_______________，是________的内角． 【变式2-1】如图，下面以为边的三角形是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 【变式2-3】如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． (1)写出的三个内角； (2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． (3)图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ ▌题型03 数三角形的个数 方法点拨：在数三角形的个数时，先给单个三角形编号，数单个的三角形，再数两个三角形组成的较大三角形，然后再数三个，四个三角形组成的三角形. 【典例3】图中以为边的三角形的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式3-1】如图，中，，D是延长线上一点，于F，交于E，图中有（    ）个直角三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3-2】如图，已知点A，B在直线a上，点C，D，E在直线b上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 【变式3-3】如果依次用分别表示图3中内三角形的个数，那么，______________． ▌题型04 根据边判断三角形的形状 【典例4】若的三边长a，b，c满足，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【变式4-1】若为的三边长，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【变式4-2】已知的三边长为，，，且满足，则此三角形一定是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．三边都不相等的三角形 【变式4-3】在课堂上，老师在黑板上画出了如图所示的三个三角形，让同学们根据它们的边长进行分类．其中，分类错误的是（    ） A．①是不等边三角形 B．②是等腰三角形 C．③是等边三角形 D．②③是等边三角形 ▌题型05 根据角判断三角形的形状 三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形． 【典例5】如图，在中，是直角，，垂足为D，点E在线段上，找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 【变式5-1】在△ABC中，若∠A－∠B＝90°，则△ABC是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 【变式5-2】在一张方格图上，有一个三角形，三个顶点的位置分别是，，，这是一个( )三角形． 【变式5-3】图中锐角三角形的个数有________ ▌题型06 直角三角形 有一个角是直角的三角形是直角三角形 【典例6】如图，在锐角中，是边上的高，是线段上一点，连接，则图中的直角三角形共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式6-1】如图，已知，将等腰直角三角形按图所示放置．若，则______． 【变式6-2】如图为一张藏宝图，有一人想出发寻宝，已知秘密宝藏藏在图中的某个黑点标示的位置．经过调查，秘密宝藏的位置P满足条件：为直角三角形，符合条件的P点的个数为______个． 【变式6-3】如图，中，，，，动点从出发沿以每秒个单位向运动，动点从出发沿以每秒个单位向运动，、同时出发，设运动时间为秒． (1)用含t的式子表示、； (2)当t为何值时，为等腰直角三角形？ ▌题型07 等腰三角形 有两边相等的三角形叫作等腰三角形，其中相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角.三边都相等的三角形叫作等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形. 【典例7】已知等腰三角形的底边和腰长分别为和，那么这个三角形的周长为________ ． 【变式7-1】已知三边长，且满足，则此三角形一定是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．三边都不相等的三角形 【变式7-2】用一条长为的细绳围成一个等腰三角形．如果底边长是腰长的一半，求腰长； 【变式7-3】等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰的周长为，其中一边长为，求它的“和谐比” 题型08 三角形有关概念辨析 利用各个类型三角形的定义是解题的关键 【典例8】下列说法正确的是（　　） A．三角形分为等边三角形和三边不相等的三角形 B．等边三角形不是等腰三角形 C．等腰三角形是等边三角形 D．三角形分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形 【变式8-1】下列语句中，不属于定义的是（   ） A．有一个角是直角的三角形是直角三角形 B．有一个角是锐角的三角形称为锐角三角形 C．有两条边相等的三角形叫作等腰三角形 D．等边三角形的三条边是相等的 【变式8-2】下列说法：（1）一个等边三角形一定不是钝角三角形；（2）一个钝角三角形一定不是等腰三角形；（3）一个等腰三角形一定不是锐角三角形；（4）一个直角三角形一定不是等腰三角形．其中正确的有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式8-3】下列说法正确的是（    ） ①等腰三角形是等边三角形； ②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形； ③等腰三角形至少有两条边相等． A．①② B．②③ C．①③ D．③ ▌题型09 等腰三角形存在性问题 根据等腰三角形的定义，利用分类讨论的思想，画图解决问题 【典例9】在方格纸中，点P、Q都在格点上，请用无刻度的直尺按要求画格点三角形： (1)在图1中，画一个以PQ为腰的等腰（为格点）； (2)在图1中，以为腰的等腰（为格点）共有___________个． 【变式9-1】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为且，在x轴上确定一点P，使为等腰三角形．则符合题意的点P共（   ）有个． A．4 B．5 C．6 D．7 【变式9-2】在平面直角坐标系中，已知点，，点在坐标轴上，若是等腰三角形，则满足条件的点的个数为（   ） A．2个 B．4个 C．7个 D．确定不下来 【变式9-3】如图，是平角内一射线，点是上一定点，点是直线上一动点，若是等腰三角形，则满足条件的点的个数为______． ▌题型10 动点问题 设时间，知速度，表示路程，从而用代数式表示线段的长，根据题意列方程解决问题 【典例10】如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒．从出发_____秒钟后，第一次能形成等腰三角形？ 【变式10-1】如图，中，，，，．点为边上的动点，沿的路径运动（再次到达点则停止运动），点的运动速度为秒，设点运动时间为秒． （1）当点在上运动时，若，则___________； （2）若点与某一顶点的连线平分的周长时的值为___________． 【变式10-2】如图，在中，．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点B运动，设点运动的时间为秒． (1)当点在上运动时，的长为 （用含的代数式表示）． (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值． (3)当将分成的两部分的面积相等时，求的值． (4)当点与的顶点连接的线段将三角形的周长分成的两部分的比为时，直接写出的值． 【变式10-3】如图，在长方形中，，点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，点Q从点B出发，以的速度沿向点C运动，P、Q同时出发，运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示线段的长度； (2)当时，求的面积； (3)当t为何值时，为等腰直角三角形？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 三角形的概念 （题型突破·举一反三） 题型01 三角形的识别 题型02 三角形的边、角和顶点 题型03 数三角形的个数 题型04 根据边判断三角形的形状 题型05 根据角判断三角形的形状 题型06 直角三角形 题型07 等腰三角形 题型08 三角形有关概念辨析 题型09 等腰三角形存在性问题 题型10 动点问题 ▌题型01 三角形的识别 定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，叫做三角形。 易错提醒：(1)三点共线 → 不是三角形 (2)曲线、折线围成 → 不是三角形 【典例1】下列由三条线段组成的图形是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键．据此解答即可． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 【变式1-1】下列图形中，是三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题主要考查了三角形的定义，三角形是由同一平面内，不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形，据此可得答案． 【详解】解：由三角形的定义可知，四个选项中，只有B选项中的图形是三角形， 故选：B． 【变式1-2】小华用三根火柴搭成下列图形，其中是三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】此题考查了三角形的定义．三角形的定义为：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．据此求解即可 【详解】解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形． 用三根火柴搭成下列图形，其中是三角形的是 ， 故选：C． 【变式1-3】观察下列图形，其中符合三角形概念的图形是（） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查三角形的定义，由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角形．据此即可解答． 【详解】解：A、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； B、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； C、三条线段没有首尾顺次相接，不符合三角形概念； D、符合三角形的概念． 故选：D． ▌题型02 三角形的边、角和顶点 组成三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角形的角. 【典例2】如图所示，图中共有________个三角形，其中以为边的三角形有_______________，是________的内角． 【答案】 8 ，，， 和 【知识点】三角形的识别与有关概念、三角形的个数问题 【分析】本题主要考查三角形的定义，熟练掌握三角形的角，边是解题的关键．根据三角形的角，边定义进行求解即可． 【详解】解：图中共有，，，，，，，，个三角形； 以为边的三角形是，，，； 是和； 故答案为：8；，，，；和； 【变式2-1】如图，下面以为边的三角形是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查了三角形的认识．根据三角形的边的含义可得答案． 【详解】解：以为边的三角形有，，． 故选：A 【变式2-2】如图，下列说法错误的是（    ） A．DF是的边 B．是的内角 C．以为内角的三角形有3个 D．以BC为边的三角形有3个 【答案】D 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】此题考查三角形的识别与有关概念，关键是根据三角形的内角和边进行解答． 根据三角形的内角和边判断即可． 【详解】解：A、是的边，说法正确，不符合题意； B、是的内角，说法正确，不符合题意； C、以为内角的三角形有个，分别为、、，说法正确，不符合题意； D、以为边的三角形有个，分别是、、、，说法错误，符合题意； 故选：D． 【变式2-3】如图，在中，，点是垂足，点是边上的一点，连接． (1)写出的三个内角； (2)在中，的对边是__________；在中，的对边是__________． (3)图中共有________个三角形，是哪几个三角形的公共角？ 【答案】(1)的三个内角是：，， (2)； (3)6，是，的公共角 【知识点】三角形的识别与有关概念、三角形的个数问题 【分析】本题考查了三角形的基本概念（内角、对边、公共角）及图形中三角形的识别，解题的关键是结合图形明确三角形的组成元素及相互关系． （1）根据三角形内角的定义，直接从中找出三个内角． （2）依据“角的对边是角对面的边”，分别在、△ABC中确定的对边． （3）先逐一数出图中三角形的数量，再根据公共角的定义，找出包含的三角形． 【详解】（1）的三个内角是：，，； （2）在中，的对边是；在中，的对边是． 故答案为：；； （3）图中共有6个三角形，分别是：，，，，，． 故答案为：6； 是，的公共角； ▌题型03 数三角形的个数 方法点拨：在数三角形的个数时，先给单个三角形编号，数单个的三角形，再数两个三角形组成的较大三角形，然后再数三个，四个三角形组成的三角形. 【典例3】图中以为边的三角形的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【知识点】三角形的识别与有关概念、三角形的个数问题 【分析】此题主要考查了三角形．关键是掌握三角形的定义，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形． 由D、E、C三点分别与端点相连，可构成3个三角形， 【详解】解：图中以为边的三角形有：，，．共有3个． 故选：B． 【变式3-1】如图，中，，D是延长线上一点，于F，交于E，图中有（    ）个直角三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】三角形的个数问题、垂线的定义理解 【分析】根据垂直的定义找出图中的直角，进而确定直角三角形的个数． 【详解】解：， 是直角三角形， 是延长线上一点， ， 是直角三角形， ， ， 和都是直角三角形， 综上所述，图中的直角三角形有、、、，共个． 【变式3-2】如图，已知点A，B在直线a上，点C，D，E在直线b上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，可以组成的三角形共有（    ） A．3个 B．4个 C．6个 D．9个 【答案】D 【知识点】三角形的个数问题 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握不在同一直线上的三点才能组成三角形是解题的关键． 三角形的三个顶点不能共线，因此从直线a和直线b中交叉选取三点，分①从选个、选 个；②从选 个、选个两种情况，计算可组成的三角形数量． 【详解】解：可以组成的三角形有: ，，，，，，，，，共9个． 故选：D． 【变式3-3】如果依次用分别表示图3中内三角形的个数，那么，______________． 【答案】 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索、三角形的个数问题 【分析】本题考查了图形类规律探索，三角形的个数问题，是分层有序计数，归纳规律是解题的关键． 根据图形结构灵活选择分层，通过已知数据验证规律的合理性，最终得出答案． 【详解】解：， ， 故答案为：． ▌题型04 根据边判断三角形的形状 【典例4】若的三边长a，b，c满足，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．无法确定 【答案】C 【知识点】绝对值非负性、三角形的分类 【分析】首先根据平方和绝对值的非负性得到，，求出，即可得结论． 【详解】解：∵， ，， ， ∴是等边三角形． 【变式4-1】若为的三边长，且，则一定是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【知识点】三角形的分类 【分析】根据乘积为0的性质得到边的关系，即可判断三角形类型. 【详解】解：∵， ∴或， 即或， ∴至少有两条边相等， ∴一定是等腰三角形. 【变式4-2】已知的三边长为，，，且满足，则此三角形一定是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．三边都不相等的三角形 【答案】B 【知识点】三角形的分类、绝对值非负性 【分析】本题考查三角形的分类（按边分），平方式和绝对值的非负性等知识点，根据非负性求出三角形的边长是解题关键．由非负数的性质可知，平方项和绝对值项均为非负数，它们的和为零时，每个部分都为零，从而求出各边的值，再根据三角形形状的判定条件得出结论． 【详解】解：由题意得，， 因为平方项和绝对值项均非负，且它们的和为0， 所以，，， 解得，， 因此，的三边长均为2，满足等边三角形的定义． 故选：B． 【变式4-3】在课堂上，老师在黑板上画出了如图所示的三个三角形，让同学们根据它们的边长进行分类．其中，分类错误的是（    ） A．①是不等边三角形 B．②是等腰三角形 C．③是等边三角形 D．②③是等边三角形 【答案】D 【知识点】三角形的分类 【分析】本题主要考查等腰三角形，等边三角形的定义，解题的关键是掌握相关概念． 根据等边三角形，等腰三角形的定义可逐项判定求解． 【详解】解：A、①，故①是不等边三角形，分类正确，不符合题意； B、②，故②是等腰三角形，分类正确，不符合题意； C、③，故③是等边三角形，分类正确，不符合题意； D、②是等腰三角形，③是等边三角形，分类错误，符合题意； 故选：D． ▌题型05 根据角判断三角形的形状 三角形按角分类，可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形．有一个角是直角的三角形是直角三角形；有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形． 【典例5】如图，在中，是直角，，垂足为D，点E在线段上，找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 【答案】是锐角三角形；，，，是直角三角形；是钝角三角形 【知识点】三角形的分类 【分析】本题考查了锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的定义； 根据是直角，，可得，，是锐角，是锐角，是钝角，然后进行分类即可． 【详解】解：∵是直角， ∴，，是锐角， ∵，点E在线段上， ∴是锐角，是钝角， ∴是锐角三角形；，，，是直角三角形；是钝角三角形． 【变式5-1】在△ABC中，若∠A－∠B＝90°，则△ABC是（    ） A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【知识点】三角形的分类 【分析】由已知条件，结合三角形的分类即可解答． 【详解】解：在三角形ABC中，∠A－∠B＝90°， ∴△ABC是钝角三角形 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的分类，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 【变式5-2】在一张方格图上，有一个三角形，三个顶点的位置分别是，，，这是一个（ ）三角形． 【答案】直角 【知识点】三角形的识别与有关概念、坐标与图形 【分析】本题考查了三角形的形状．画出图形，即可得到答案． 【详解】解：如图： 根据图形可知这是一个直角三角形． 【变式5-3】图中锐角三角形的个数有________ 【答案】3个 【知识点】三角形的个数问题、三角形的分类 【分析】先找出以A为顶点的锐角三角形的个数，再找出以E为顶点的锐角三角形的个数，然后将两种锐角三角形相加即可． 【详解】解：①以A为顶点的锐角三角形共2个； ②以E为顶点的锐角三角形：，共1个； 所以图中锐角三角形的个数有（个）； ▌题型06 直角三角形 有一个角是直角的三角形是直角三角形 【典例6】如图，在锐角中，是边上的高，是线段上一点，连接，则图中的直角三角形共有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】三角形的分类 【分析】本题考查三角形的高，直角三角形的概念，利用三角形的高确定直角，再确定直角三角形即可． 【详解】∵是边上的高， ∴， ∴， ∴、、都是直角三角形， 图中的直角三角形共有3个， 故选：B． 【变式6-1】如图，已知，将等腰直角三角形按图所示放置．若，则______． 【答案】/度 【知识点】两直线平行同位角相等、等腰三角形的定义、三角板中角度计算问题 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，再由平行的性质可得，由此求解即可． 【详解】解：∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ． 【变式6-2】如图为一张藏宝图，有一人想出发寻宝，已知秘密宝藏藏在图中的某个黑点标示的位置．经过调查，秘密宝藏的位置P满足条件：为直角三角形，符合条件的P点的个数为______个． 【答案】 【知识点】三角形的分类 【分析】分三种情况，当时，当时，当时，分别找出符合条件的P点的个数，即可解决问题． 本题考查了直角三角形的性质，正确作出图形是解题的关键． 【详解】解：如图，分三种情况： 当时，符合条件的P点的个数有2个； 当时，符合条件的P点的个数有2个； 当时，符合条件的P点的个数有2个； 综上所述，为直角三角形，符合条件的P点的个数为（个）． 故答案为：6． 【变式6-3】如图，中，，，，动点从出发沿以每秒个单位向运动，动点从出发沿以每秒个单位向运动，、同时出发，设运动时间为秒． (1)用含t的式子表示、； (2)当t为何值时，为等腰直角三角形？ 【答案】(1)， (2)当秒时，为等腰直角三角形 【知识点】列代数式、几何问题(一元一次方程的应用)、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了列代数式， 等腰三角形的性质和判定，几何问题(一元一次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据运动，分别用t表示出、，即可用t表示出； （2）由为等腰直角三角形，得到关于t的方程求解． 【详解】（1）解：∵动点从出发沿以每秒个单位向运动，动点从出发沿以每秒个单位向运动， ∴，， ∴， （2）解：若为等腰直角三角形，则，且， ∴， 解得， 此时，满足条件． 故当秒时，为等腰直角三角形． ▌题型07 等腰三角形 有两边相等的三角形叫作等腰三角形，其中相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角.三边都相等的三角形叫作等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形. 【典例7】已知等腰三角形的底边和腰长分别为和，那么这个三角形的周长为________ ． 【答案】 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】利用等腰三角形两腰相等的性质，计算三边长度和即可得到周长． 【详解】解：等腰三角形底边长为，腰长为， 这个三角形的周长为 ． 【变式7-1】已知三边长，且满足，则此三角形一定是（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．三边都不相等的三角形 【答案】C 【知识点】绝对值非负性、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义以及绝对值和偶次方的非负性，由题意得：，求出即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴此三角形一定是底边和腰不相等的等腰三角形， 故选：C 【变式7-2】用一条长为的细绳围成一个等腰三角形．如果底边长是腰长的一半，求腰长； 【答案】腰长为； 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的性质、三角形三边关系，明确题意，利用分类讨论的数学思想解答是解答本题的关键．根据题意和底边长是腰长的一半，即可列出相应的方程，从而可以求得各边的长； 【详解】解：设底边为，则腰为， 由题意得， 解得， 腰长为； 【变式7-3】等腰三角形的腰长与其底边长的比值称为这个等腰三角形的“和谐比”．若等腰的周长为，其中一边长为，求它的“和谐比” 【答案】见详解 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，三角形三边关系，根据等腰三角形分一边为，分是腰长或底边长两种情况讨论． 【详解】解： 等腰周长为，一边长为， 当为腰长时，底边长为， 和谐比为：； 当为底边长时，腰长为， 和谐比为：． ∴ 和谐比为或． 题型08 三角形有关概念辨析 利用各个类型三角形的定义是解题的关键 【典例8】下列说法正确的是（　　） A．三角形分为等边三角形和三边不相等的三角形 B．等边三角形不是等腰三角形 C．等腰三角形是等边三角形 D．三角形分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形 【答案】D 【知识点】三角形的分类 【分析】根据三角形的分类，等腰三角形与等边三角形之间的关系分别对每一项进行分析即可． 【详解】A、三角形分为等腰三角形和三边不相等的三角形，选项错误，不符合题意； B、等边三角形是等腰三角形，选项错误，不符合题意； C、等腰三角形不一定是等边三角形，选项错误，不符合题意； D、三角形分为锐角三角形，直角三角形，钝角三角形，选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形的分类，掌握三角形的分类方法、等腰三角形与等边三角形之间的关系是解题的关键． 【变式8-1】下列语句中，不属于定义的是（   ） A．有一个角是直角的三角形是直角三角形 B．有一个角是锐角的三角形称为锐角三角形 C．有两条边相等的三角形叫作等腰三角形 D．等边三角形的三条边是相等的 【答案】D 【知识点】三角形的识别与有关概念 【分析】本题考查了三角形的定义，熟知各个类型三角形的定义是解题的关键． 根据三角形的定义进行判断即可． 【详解】解：A．有一个内角是直角的三角形是直角三角形，是定义，故A不符合题意； B．有一个角是锐角的三角形称为锐角三角形，是定义，故B不符合题意； C．有两条边相等的三角形叫作等腰三角形，是定义，故C不符合题意； D．等边三角形的三条边是相等的，是性质，故D符合题意． 故选：D． 【变式8-2】下列说法：（1）一个等边三角形一定不是钝角三角形；（2）一个钝角三角形一定不是等腰三角形；（3）一个等腰三角形一定不是锐角三角形；（4）一个直角三角形一定不是等腰三角形．其中正确的有（     ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】三角形的分类 【分析】根据三角形的分类判断即可． 【详解】解：（1）一个等边三角形一定不是钝角三角形，原说法正确； （2）一个钝角三角形不一定不是等腰三角形，原说法错误； （3）一个等腰三角形不一定不是锐角三角形，原说法错误； （4）一个直角三角形不一定不是等腰三角形，原说法错误； 故选：A． 【点睛】此题考查三角形问题，关键是根据三角形的分类的概念解答 【变式8-3】下列说法正确的是（    ） ①等腰三角形是等边三角形； ②三角形按边分类可分为等腰三角形、等边三角形和不等边三角形； ③等腰三角形至少有两条边相等． A．①② B．②③ C．①③ D．③ 【答案】D 【知识点】三角形的分类、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了三角形，理解三角形的分类和等腰三角形的性质是解题的关键． 利用等腰三角形和等边三角形的定义对①③进行判断；利用三角形按边分类可对②进行判断． 【详解】解：等腰三角形不一定是等边三角形，但等边三角形一定为等腰三角形，所以①的说法错误； 三角形按边分类可分为等腰三角形和不等边三角形，所以②的说法错误； 等腰三角形至少有两条边相等，所以③的说法正确． 故选：D． ▌题型09 等腰三角形存在性问题 根据等腰三角形的定义，利用分类讨论的思想，画图解决问题 【典例9】在方格纸中，点P、Q都在格点上，请用无刻度的直尺按要求画格点三角形： (1)在图1中，画一个以PQ为腰的等腰（为格点）； (2)在图1中，以为腰的等腰（为格点）共有___________个． 【答案】(1)见解析 (2)6 【知识点】等腰三角形的定义、无刻度直尺作图 【分析】本题主要考查了等腰三角形， 对于（1），根据等腰三角形的定义画出图形； 对于（2），分别以点P为圆心，以为半径确定结果，再以点Q为圆心，以为半径，即可得出符合条件的结果. 【详解】（1）解：如图所示； （2）解：如图所示. 以点P为圆心，为半径，符合条件的有3个点； 以点Q为圆心，为半径，符合条件的有3个点， 一共有6个. 故答案为：6. 【变式9-1】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为且，在x轴上确定一点P，使为等腰三角形．则符合题意的点P共（   ）有个． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【知识点】等腰三角形的定义、坐标系中的动点问题（不含函数） 【分析】根据等腰三角形的定义，分类画图解答即可． 本题考查了等腰三角形的定义，分类思想，熟练掌握定义和分类思想是解题的关键． 【详解】解：在x轴上使为等腰三角形的点P，如图即为所求； 时，有2个； 时，有1个； 时，有1个； 符合题意的点P共有4个， 故选：A 【变式9-2】在平面直角坐标系中，已知点，，点在坐标轴上，若是等腰三角形，则满足条件的点的个数为（   ） A．2个 B．4个 C．7个 D．确定不下来 【答案】C 【知识点】坐标系中描点、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，分别以为腰的三角形，以为腰的三角形和以为腰的三角形分别进行分析即可，正确理解等腰三角形的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意可知：以为腰的三角形有个，轴正半轴上的点不能成立，因为此时三点共线，不能构成三角形； 以为腰的三角形有个； 以为腰的三角形有个． 则点的个数是． 故选：C． 【变式9-3】如图，是平角内一射线，点是上一定点，点是直线上一动点，若是等腰三角形，则满足条件的点的个数为______． 【答案】4或2/2或4 【知识点】等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，熟练掌握知识点并能够分类讨论是解题的关键．分与垂直和不垂直两种情况，再根据等腰三角形的定义画图求解即可． 【详解】解：当时， 若是等腰三角形，只有1种情况，如图： 此时，满足题意； 当与不垂直时， 若是等腰三角形，则有3种情况讨论如下： 当时，如图，以点O为圆心，以长为半径作圆，交直线于点，则满足题意； 当时，如图，以点A为圆心，以长为半径作圆，交直线于点，则满足题意； 当时，如图，作线段的垂直平分线，交直线于点，则满足题意； 综上，共有4个点或2个点， 故答案为：4或2． ▌题型10 动点问题 设时间，知速度，表示路程，从而用代数式表示线段的长，根据题意列方程解决问题 【典例10】如图，已知中，，，，P、Q是边上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动，且速度为每秒，点Q从点B开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为t秒．从出发_____秒钟后，第一次能形成等腰三角形？ 【答案】/ 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，一元一次方程的应用，设出发t秒钟后，能形成等腰三角形，则，由，，列式求得t即可； 【详解】解：设从出发t秒钟后，第一次能形成等腰三角形． ∵， ∴当第一次能形成等腰三角形时，． 由题意，，； ∴， 当时，，解得秒． 故答案为：． 【变式10-1】如图，中，，，，．点为边上的动点，沿的路径运动（再次到达点则停止运动），点的运动速度为秒，设点运动时间为秒． （1）当点在上运动时，若，则___________； （2）若点与某一顶点的连线平分的周长时的值为___________． 【答案】 3 3或6或10 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）根据得到求解即可； （2）分类讨论：当点D与顶点A连线平分、当点D与顶点B连线平分、当点D与顶点C连线平分的周长时分别求解． 【详解】解：（1）当点在上运动时， 若，则 解得； （2）∵，，， ∴的周长， 如图，当点D与顶点B连线平分的周长时， ∴ ∴ ∴； 如图，当点D与顶点C连线平分的周长时， ∴ ∴ ∴； 如图，当点D与顶点A连线平分的周长时， ∴ ∴ ∴ ∴； 综上所述，秒或者6秒或者10秒． 【变式10-2】如图，在中，．点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿向终点B运动，设点运动的时间为秒． (1)当点在上运动时，的长为 （用含的代数式表示）． (2)当是以为腰的等腰三角形时，求的值． (3)当将分成的两部分的面积相等时，求的值． (4)当点与的顶点连接的线段将三角形的周长分成的两部分的比为时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)4 (3) (4)0.9或2.4或3.6 【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、等腰三角形的定义、列代数式 【分析】（1）由等于点P运动的距离与的差，从而得出结果； （2）由可得出点P运动距离，进而求得结果； （3）根据题意可知，进而可知，根据列方程求解即可； （4）分为点P在上、点P在上当点P在上时，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点P运动的距离是， ∴； （2）解：∵，点P在上， ∴， ∴； （3）解：由题意得：点P在上， ∵将分成的两部分的面积相等， ∴， ∴， ∴， ∴； （4）解：，， 当点P在上时，， ∴，即， ∴， 当点P在上时，或， 即或， ∴或3.6， 综上所述：或2.4或3.6． 【变式10-3】如图，在长方形中，，点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，点Q从点B出发，以的速度沿向点C运动，P、Q同时出发，运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示线段的长度； (2)当时，求的面积； (3)当t为何值时，为等腰直角三角形？ 【答案】(1) (2) (3)时，为等腰直角三角形 【知识点】列代数式、几何问题(一元一次方程的应用)、等腰三角形的定义 【分析】（1）根据路程速度时间即可用含的代数式表示线段； （2）由为直角三角形，再利用面积公式求解； （3）根据题意，再列式求解． 【详解】（1）解：∵点P速度为，运动t秒，，， ∴， 点Q速度为，运动t秒， ∴； （2）解：当时，， 为直角三角形，面积= （cm²）； （3）解：∵长方形中，， ∴为等腰直角三角形时，，即 解得：； 验证：时，，符合题意． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $