2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修一----第一章集合知识清单

集合的概念 定义：一般地，我们把研究对像统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称“集“） 集合元素性质：1确定性元素必须是确定的，“较小的数”不能构成集合，因为元素不确 定 2互异性集合中的元素互不相同 3.无序性{0,1和{1,0}是相等的 集合的表示：通常用大写字母A,B,C.表示集合，用小写字母a,b,c…表示集合元素 只要构成两个集合的元素是一样的，我们称为两个集合是相等的 如a是集合A的元素，记作：a∈A(读作a属于A)如不是集合A的元素，记作：a度A(读 作a不属于A) 常用数集及记法： 自然数集（非负整数）：N 正整数集：N+或N* 整数集：Z 有理数集：Q 全体数集：R 集合表示方法： 1列举法：把集合元素一列举，并用“{}”括起来表示集合的方法。元素较少 2.描述法：A是一个集合，我们把集合A中所有具有共同特征P(的元素×所组成的集合表 示为：{×EA|P)或{XEA:P)} 集合分类：1.空集(0)2.有限集3无限集 集合之间的基本关系 子集：一般地，对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B的元素，就称 集合A为集合B的子集 记作：A∈B或(B2A)读作：A包含于B(或B包含A) 图形表示(Venn图)： 或 A(B) 真子集：如果集合ASB,但存在元素x∈B且x庄A,就称集合A是集合B的真子集 记作：AcB或(BA)读作：A真包含于B(或B真包含A) 图形表示(Venn图)： 包含和真包含区别：ACB允许A=B;ACB严格包含，排除相等 相等集合：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都 是集合A的元素，那么集合A和集合B相等。 记作：A=B 若ASB且BSA,则A=B 图形表示(Venn图)： A(B) 2 空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作：，并规定：空集是任何集合的子集 集合的性质：1.反身性任何一个集合是他本身的子集，即A二A 2.传递性对于集合A,B,C,如果AcB且B≤C,则AcC 有限集合子集的个数（含n个元素的集合）： ●子集：2m ·真子集：2m-1 ● 非空集：2”-1 ·非空真子集：2n-2 ●若集合A含有n(n≥1)个元素，集合C含有m(m≥n)个元素，且ACBCC,则符合条 件的集合B有2m-n个 3 集合的基本运算 并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集。 记作：AUB(读作“A并B”) 符号语言：AUB={x|x∈A或xEB} Venn图： 在求集合的并集时，他们的公共元素在并集中只能出现一次（互异性） 性质： ①AUB=BUA ②(AUB)UC=AU(BUC) ③AUA=A ④AU0=A ⑤A∈(AUB) ⑥B∈(AUB) 若AcB)AUB=B 交集：由所有属于集合A且属于∩集合B元素组成的集合，称为集合A与集合B的交集。 记作：A∩B(读作“A交B”) 符号语言：A∩B={xx∈A且x∈B} Venn图： 性质： ①AnB=BnA ②(AnB)nC=An(BnC) ③AnA=A;An0=0 (AnB)UC=(AUC)n(BUC);(AUB)nc=(Anc)u(Bnc) ⑤AnB∈A;AnB∈B 若AcB)AnB=A 补集：如果一个集合含有所有研究问题中涉及的所有元素，那么这个集合称为全集，通常用 U表示，对于一个集合A,由集合U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相 对于集合U的补集，简称集合A的补集。 记作：CuA 符号语言：CuA={x|xEU且x庄A) Venn图： CUA( A 性质： ①CU=0;Cu0=U ②Cu(CA)=A ③AUCA=U;AnCA=0 (1)若AcB)CuA2CuB(2)若A=BCuA=CuB 5 充分条件与必要条件 概念： 1.一般地，“若p,则q”为真命题，是指由p通过推理可以得到q,这时，我们就说由p 可以推出q,记作：“p→q”p是q的充分条件，q是p的必要条件。 2.“若p,则q”为假命题，即由条件p不能推出结论q,记作：“p种q”就是说p不是q 的充分条件，q也不是p的必要条件。 3.如“若p,则q"和它的逆命题“若q,则p”均是真命题，即既有p→q,又有q→p,记作： “p台q“,此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必 要条件，简称”充要条件“ 举反例是判断命题真假的重要方法 四种形式： (1)若p→q,但q共p,则p是q的充分不必要条件 (2)若p种q,但q→p,则p是q的必要不充分条件 (3)若p→q,但q→p,则p是q的充要条件 (4)若p种q,但q种p,则p是q的既不充分也不必要条件 6 全称量词与存在量词 量词 全称量词 存在量词 定义 常见有所有的“，”任意一个”，" 常见的有“存在一个“，”至 一切“，”每一个“，”任意等” 少有一个“，”有些””有 的”等 3 符号表示 判断方法 判断命题是全称量词命题还是存在量词命题，关键是找出命题中 含有的量词，隐含量词需根据对像特征挖掘 命题： 定义：可以判定真假的陈述句叫做命题，真的叫真命题，假的叫假命题。 全称量词命题 存在量词命题 定义 含有全称量词的命题 含有存在量词的命题 符号表示 x∈M,P(x); x∈M,P(x); 表示：对M中的任意一个 表示：存在M中的一个元素 x,则P()成立 x,则PX成立 真假判断 真：保证该命题对所有元素 真：举一个例子说明该命题 7 成立 成立 假：举反例 假：命题对所有元素不成立 全称量词命题与存在量词命题否定（原命题与否命题不能同真同假，只能一真一假） 全称量词：x∈M,P(x),否定：x∈M,P(x); 存在量词命题：x∈M,P(x),否定：K∈M,P(x);