精品解析：广东惠州市2025-2026学年高一第二学期期末考试数学试题

高一数学试题 全卷满分150分，时间120分钟.2026.7 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上. 2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，请用2B铅笔把答题卡上对应题目 的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效. 3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 若，，则（  ） A. B. C. D. 2. 如图所示，是用斜二测画法所得的水平放置的直观图，其中，则的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，其中，的夹角为，则在方向上的投影向量（  ） A. B. C. D. 4. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列选项正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 已知一组数据的平均数为16，则这组数据的第70百分位数为（  ） A. 17 B. 16.5 C. 16 D. 15.5 6. 惠州西湖泗洲塔是西湖标志性建筑，其高度约为38米（不计塔基高度）.某同学在西湖边两点观测泗洲塔塔顶，已知两点在同一水平面上，且两点到塔底的距离相等，（为塔底，⊥平面），在两点测塔顶的仰角均为，则两点之间的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验结果，设事件；事件至少有一颗骰子的点数为5；事件.则下列说法正确的是（  ） A. 事件与事件为互斥事件 B. C. 事件与事件相互独立 D. 8. 依据国家气象学通用规范，入夏的标准为：立夏之后，连续五天日平均气温不低于．立夏之后，测得惠州连续五天的平均气温数据满足如下条件，其中能断定惠州入夏的是（     ） A. 总体均值为，中位数为 B. 总体均值为，总体标准差大于 C. 总体中位数为，众数为 D. 总体均值为，总体标准差为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或选错的得0分. 9. 已知复数，下列说法正确的是（  ） A. 复数的虚部为 B. C. 复数在复平面内对应的点位于第二象限 D. 复数的共轭复数为 10. 已知平面向量，则下列说法错误的是（  ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 且，则或 11. 棱长为1的正方体中，M，N，P分别为棱，，BC的中点（如图1），则下列结论正确的是（ ） A. 平面PMN截正方体所得截面的形状为六边形 B. 异面直线与所成角为 C. 若点Q为平面PMN上的动点，且直线与所成角为，则动点Q的轨迹长度为 D. 若，交于点，正方形的四个顶点在其所在平面内绕着点逆时针旋转，得到一个十面体（如图2），则该十面体的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，角所对的边分别为，若，，，则_______. 13. 某圆锥的母线长为，其侧面积与底面积之比为2，则该圆锥的体积为____. 14. 已知平面向量两两都不共线．若，，的最大值是________． 四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某高校的社团招聘面试中有3道难度相当的题目，李明答对每道题目的概率都是.若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过.否则就一直抽题到第3次为止，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的. （1）求李明第二次答题通过面试的概率； （2）求李明最终通过面试的概率. 16. 为响应国家《新一代人工智能发展规划》中“广泛开展人工智能科普活动，提升全民智能素养”的号召，某中学举办了“智创未来·知识竞赛”，引导学生了解人工智能的发展历程、核心技术、伦理安全及其在国家现代化建设中的重要作用，培养学生科技报国的责任感和创新精神.为了了解本次竞赛的情况，从中抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，将其成绩（满分：100分）分成，，...，六组，得到如图所示频率分布直方图. （1）求图中的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）学校计划给成绩排名前的学生颁发“未来之星”荣誉证书，以表彰他们在人工智能科普学习中的优异表现.试估计获得该证书的最低分数； （3）若落在中的样本数据的平均数是54，落在中的样本数据的平均数是66，求这两组数据的总体平均数. 17. 在中，角所对的边分别为，. （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求三角形周长的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，，平面，，，，为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值； （3）在棱上是否存在点，使得直线平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 19. 如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标.记为. （1）已知向量，，求的值. （2）设向量，，其中.记，，是否存在实数，使得？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由. （3）已知点，，动点的坐标为，其中.记的面积为.若对任意实数，不等式恒成立，求实数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学试题 全卷满分150分，时间120分钟.2026.7 注意事项: 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上. 2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，请用2B铅笔把答题卡上对应题目 的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效. 3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 若，，则（  ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则求解即可. 【详解】已知，，则 . 2. 如图所示，是用斜二测画法所得的水平放置的直观图，其中，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则，将直观图还原为原图形，确定原三角形的底边长和高，利用三角形面积公式求解. 【详解】∵在直观图中，， 根据斜二测画法：水平长度不变，竖直高度减半， ∴原图形中，， 即底边，高为， 所以的面积为. 3. 已知，，其中，的夹角为，则在方向上的投影向量（  ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助投影向量定义计算即可得. 【详解】. 4. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列选项正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与平面、平面与平面的判定和性质可逐项判断. 【详解】对于A，直线可以平面的交线，故A错误； 对于B，直线可以在平面内，故B错误； 对于C，一直线同时垂直于两平面，则这两平面平行，即，，则，故C正确； 对于D，直线可以在平面内，故D错误； 故选：C. 5. 已知一组数据的平均数为16，则这组数据的第70百分位数为（  ） A. 17 B. 16.5 C. 16 D. 15.5 【答案】A 【解析】 【详解】已知数据的平均数为16，因此有 ， 解得， 将该组数据从小到大排序为，共5个数据， 因为， 因此第70百分位数为排序后第4个数据17. 6. 惠州西湖泗洲塔是西湖标志性建筑，其高度约为38米（不计塔基高度）.某同学在西湖边两点观测泗洲塔塔顶，已知两点在同一水平面上，且两点到塔底的距离相等，（为塔底，⊥平面），在两点测塔顶的仰角均为，则两点之间的距离为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】利用线面垂直的性质及仰角定义求出的长，再在中利用余弦定理求解的长. 【详解】因为平面，且平面， 所以，， 在中，，， 所以， 同理，在中，，， 在中，由余弦定理，， 所以， 故两点之间的距离为米. 7. 抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验结果，设事件；事件至少有一颗骰子的点数为5；事件.则下列说法正确的是（  ） A. 事件与事件为互斥事件 B. C. 事件与事件相互独立 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，用列举法求出事件，再利用互斥事件、相互独立事件及概率的基本性质求解判断. 【详解】依题意，抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子的试验有个基本事件， 事件，共6个基本事件； ，共11个基本事件； ，共12个基本事件， 对于A，由，得事件与事件不是互斥事件，A错误； 对于B，由，得，B错误； 对于C，由，得，而， 因此，事件与事件相互独立，C正确； 对于D，，，D错误. 8. 依据国家气象学通用规范，入夏的标准为：立夏之后，连续五天日平均气温不低于．立夏之后，测得惠州连续五天的平均气温数据满足如下条件，其中能断定惠州入夏的是（     ） A. 总体均值为，中位数为 B. 总体均值为，总体标准差大于 C. 总体中位数为，众数为 D. 总体均值为，总体标准差为 【答案】D 【解析】 【详解】选项 A：举反例，气温（单位），均值、中位数，含，不满足入夏标准，A 错误； 选项 B：标准差大于 0 仅说明数据不全相等，举反例：气温（单位），均值、标准差，含，不满足入夏标准，B 错误； 选项 C：中位数、众数无法限制最小值，举反例：气温（单位），中位数、众数，含，不满足入夏标准，C 错误； 选项 D：反证法，若存在某一天的日均气温低于，即该天温度（单位）， 因为均值，标准差，方差, 所以， ，则， 与题目的方差为矛盾，所以假设不成立，即五天所有气温均不低于，符合入夏标准，D 正确. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或选错的得0分. 9. 已知复数，下列说法正确的是（  ） A. 复数的虚部为 B. C. 复数在复平面内对应的点位于第二象限 D. 复数的共轭复数为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先利用复数的运算法则化简复数，再结合复数的虚部、模长、几何意义、共轭复数的定义逐一判断选项即可． 【详解】， 对于选项A：复数的虚部为实数，所以A正确； 对于选项B：，所以B正确； 对于选项C：在复平面内对应点为，位于第四象限，所以C错误； 对于选项D：复数的共轭复数为，故的共轭复数为，所以D正确． 10. 已知平面向量，则下列说法错误的是（  ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 且，则或 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量模、平行、垂直、夹角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】若，则，得，故A正确； 平面向量， 则，解得或，故B错误； 若，则，得，故C错误； 由（对应点在轴），， 可得或，故D正确. 11. 棱长为1的正方体中，M，N，P分别为棱，，BC的中点（如图1），则下列结论正确的是（ ） A. 平面PMN截正方体所得截面的形状为六边形 B. 异面直线与所成角为 C. 若点Q为平面PMN上的动点，且直线与所成角为，则动点Q的轨迹长度为 D. 若，交于点，正方形的四个顶点在其所在平面内绕着点逆时针旋转，得到一个十面体（如图2），则该十面体的体积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A取的中点，说明截面为即可；B求直线与所成角即可；C求证平面，即可确定轨迹为圆；D将图形分割为三棱锥进行求解. 【详解】A选项，如图，取的中点， 易得，， 故平面PMN截正方体所得截面为，即为六边形，故A正确； B选项，因为， 所以异面直线与所成角、直线与所成角相等，即为，故B错误； C选项，因为平面，平面，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以，同理可得，， 因为平面，所以平面， 设平面，因为平面，所以， 因为直线与所成角为，所以， 则动点Q的轨迹是半径为的圆，故其长度为，故C正确； D选项，连接， 因为平面，所以三棱锥的高为， 则，同理可得，， 因为，且，所以， 所以， ， 因为，所以， 所以， 因为， 所以十面体的体积为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，角所对的边分别为，若，，，则_______. 【答案】 【解析】 【详解】因为，由正弦定理可得， 因为，所以， 由余弦定理可得，即. 13. 某圆锥的母线长为，其侧面积与底面积之比为2，则该圆锥的体积为____. 【答案】## 【解析】 【分析】先利用侧面积与底面积的比值求出底面半径，再结合母线长计算圆锥的高，最后代入圆锥体积公式求解即可得. 【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，高为， 由题意得，圆锥侧面积，解得， 则 ，故. 14. 已知平面向量两两都不共线．若，，的最大值是________． 【答案】## 【解析】 【分析】采用数形结合画出图象，的最大值即所有向量在上的投影之和最大，即可得到答案. 【详解】因为 ， 所以 ，则， 固定， 又因为，依次类推画出图象，如图所示： ,,,,. 则，或1，，或2，.    的最大值即所有向量在上的投影之和最大时，看图易得即当取远离时，取靠近时取得最大值，    . 故答案为：. 四、解答题：共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某高校的社团招聘面试中有3道难度相当的题目，李明答对每道题目的概率都是.若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过.否则就一直抽题到第3次为止，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的. （1）求李明第二次答题通过面试的概率； （2）求李明最终通过面试的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 设第次答对为事件，则，， 记“李明第二次答题通过面试”为事件，则第一次答错，第二次答对，即， 所以李明第二次答题通过面试的概率为. 【小问2详解】 记“李明最终通过面试”为事件，则， 可得， 所以李明最终通过面试的概率为. 16. 为响应国家《新一代人工智能发展规划》中“广泛开展人工智能科普活动，提升全民智能素养”的号召，某中学举办了“智创未来·知识竞赛”，引导学生了解人工智能的发展历程、核心技术、伦理安全及其在国家现代化建设中的重要作用，培养学生科技报国的责任感和创新精神.为了了解本次竞赛的情况，从中抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计，将其成绩（满分：100分）分成，，...，六组，得到如图所示频率分布直方图. （1）求图中的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）学校计划给成绩排名前的学生颁发“未来之星”荣誉证书，以表彰他们在人工智能科普学习中的优异表现.试估计获得该证书的最低分数； （3）若落在中的样本数据的平均数是54，落在中的样本数据的平均数是66，求这两组数据的总体平均数. 【答案】（1） ，平均数为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由概率之和为1即可求解，由频率分布直方图的平均数计算方法直接计算即可求解； （2）由成绩在的频率和成绩在的频率即可列等量关系求解； （3）由分层随机抽样的平均数和方差公式直接计算即可得解. 【小问1详解】 由题可得， 所以样本数据的平均数约为； 【小问2详解】 成绩较高的前的学生对应的频率为， 成绩在的频率为， 成绩在的频率为， 设获得该荣誉证书的最低分数为，则， 则； 【小问3详解】 由题可得成绩在和的频数分别为，， 所以这两组数据的总平均数. 17. 在中，角所对的边分别为，. （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求三角形周长的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过正弦定理实现边角互化，结合两角和的正弦公式化简即可求得角A； （2）利用正弦定理将边转化为对应角的正弦值，结合锐角三角形的约束确定角的范围，再通过三角恒等变换求周长的值域. 【小问1详解】 已知，由正弦定理得，  由，得， 因为，所以，得，故. 【小问2详解】 由正弦定理得，因此，， 由得， 因为为锐角三角形，所以， 解得， 周长 ， 由得，因此， 代入得. 18. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，，平面，，，，为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值； （3）在棱上是否存在点，使得直线平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明：取的中点，连接，如图所示.则，. 因为平面，平面，所以平面. 因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以，. 因为平面，平面，所以平面. 又因为平面，，所以平面平面. 因为平面，所以平面. （2） （3）存在，点为靠近的三等分点. 【解析】 【分析】（1）作辅助线，由面面平行推出线面平行； （2）利用等体积法找到点到平面的距离，则直线与平面所成角的正弦值为； （3）先证平面，因为平面平面，故只需，即可证平面，从而求出点的位置. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，，所以平面，， 所以. 在中，， 在中，， 在中，， 如图所示，在中，取的中点，连接， 则，， 可得，. 由（1）可知，，则在中，， 设点到平面的距离为，则， 解得. 设直线与平面所成的角为，则. 【小问3详解】 棱上存在点，使得直线平面. 过作，垂足为，如图所示. 由（2）可知，且为的中点，所以. 因为平面，平面，所以. 因为，平面，所以平面. 因为平面，所以. 因为，平面，所以平面. 在中，. 因为，所以， 解得，即点为靠近的三等分点. 19. 如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标.记为. （1）已知向量，，求的值. （2）设向量，，其中.记，，是否存在实数，使得？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由. （3）已知点，，动点的坐标为，其中.记的面积为.若对任意实数，不等式恒成立，求实数的最小值. 【答案】（1） （2）存在，或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知将分别用表示，再求； （2）根据已知将分别用表示，要使，只需使，求解即可； （3）用向量法求，，，再由面积公式求，结合，求解. 【小问1详解】 由题意可知，，, 则. 【小问2详解】 由题意可得，， 则， . 若，则，即， 整理得，解得或. 【小问3详解】 由题意可得，， 则，① ，② .③ 设，则， 于是， 将①②③代入上式，整理得， ，即. 对于二次函数， 因为对所有都成立， 而当时，总存在，使得，故不合题意， 于是，此时，即， 可得，故的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $