广东湛江市2025-2026学年第二学期期末调研考试高一数学试题

湛江市2025—2026学年度第二学期期末调研考试 高一数学 本试卷共4页，19小题，满分150分；考试用时：120分钟． 注意事项： 1．考查范围：人教版高中数学必修第二册． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案写在答题卡各题指定区域内．写在本试卷上无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数的共轭复数是 A． B． C． D． 2．已知在中，，，，则 A． B． C． D． 3．已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列结论正确的是 A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 4．在中，，，，若把绕直线旋转一周，则所形成的几何体的体积是 A． B． C． D． 5．已知四个命题：①若，则有；②若，则与的夹角为锐角；③复数，，若，则；④复平面内，为直角坐标系原点，非零复数对应的向量为，则复数对应的向量与垂直． 四个命题中，真命题的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 6．从三个白球和一个黑球中分别采用有放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样的方式抽取两个球，抽到的两球都是白球的概率分别是，，则有 A． B． C． D． 7．已知点为所在平面内一动点，满足：，，则点的运动轨迹一定过的 A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 8．甲、乙、丙、丁四位同学分别记录了5个正整数数据，甲同学：中位数为22，众数为20；乙同学：中位数为25，平均数为22；丙同学：第40百分位数为22，极差为2；丁同学：有一个数据为30，平均数为24，方差为10.8．根据四名同学的统计结果，可以判断出四位同学记录的所有数据一定都不小于20的人数是 A．1 B．2 C．3 D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，，，其中、均为正数，且，下列说法正确的是 A． B．在上的投影向量的坐标是 C． D．的最大值为2 10．从甲袋内摸出1个红球的概率是，从乙袋内摸出1个红球的概率是，现从两袋内各摸出1个球，则 A．2个球不都是红球的概率是 B．2个球都是红球的概率是 C．至少有1个红球的概率是 D．2个球中恰有1个红球的概率是 11．在棱长为2的正方体中，点，分别是棱、的中点，则 A． B．直线与直线相交 C．三棱锥外接球的表面积为 D．平面截正方体所得的截面面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在复数范围内解方程：，两个根分别是________和________． 13．已知平行四边形的三个顶点，，的坐标分别为，，，则点的坐标是____________． 14．的内角，，所对的边分别为，，，已知，，若三角形有唯一解，则整数构成的集合为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 某学校高一新生体检，校医室为了解新生的身高情况，随机抽取了100名同学的身高数据（单位：），制作成频率分布直方图如图所示． （1）求这100名同学的平均身高的估计值（同一组数据用区间中点值作为代表）； （2）用分层抽样的方法从，，中抽出一个容量为17的样本，如果样本按比例分配，则各区间应抽取多少人？ （3）估计这100名同学身高的上四分位数． 16．（15分） 设的内角，，所对的边分别为，，，已知． （1）求角； （2）若是的中点，且，，求． 17．（15分） 如图，正方体的边长为1，是正方形的中心． （1）证明：直线平面； （2）设直线与平面的交点为． （ⅰ）证明：，，三点共线； （ⅱ）求直线与平面所成的角的正弦值． 18．（17分） 如图，以边长为2的正方形的边为直径作半圆，为半圆上的动点，点，满足，． （1）设，，用、分别表示和； （2）求的取值范围． 19．（17分） 在三棱锥中，已知、均是边长为的正三角形，棱．现对其四个顶点随机贴上写有数字1～8的八个标签中的四个，，，，表示顶点，，，所贴数字，为侧棱上一点． （1）求事件“为偶数”的概率； （2）若，求“二面角的平面角大于”的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $湛江市2025-2026学年度第二学期期末调研考试 高一数学参考答案及评分细则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B D D B B C C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BCD BC CD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.1+i,1-i(一个正确得3分)13.(-1,3) 14.{1,2,4} 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)解：(1)第一组的频率为0.05，第二组的频率为0.35，第三组的频率为5x, 第四组的频率为0.20，第五组的频率为0.10， .2分 0.05+0.35+5x+0.2+0.1=1,x=0.06.4分 故平均数x=162.5×0.05+167.5×0.35+172.5×0.3+177.5×0.2+182.5×0.1=172.25.5分 (2)根据题意，第[165,170)组选17 035+0.3+02=7人.6分 0.35 0.3 第[170,175)组选17× 0.35+0.3+0.2 =6人7分 所以第[175,180)组选17× 0.2 =4人 0.35+0.3+0.2 8分 (3)因为前3组的频率和为0.7，前4组的频率和为0.99分 所以第75百分位数在第四组，不妨设为x.… 10分 则(x-175)×0.04=0.75-0.05-0.35-0.30 12分 解得x=175+=176.25,即第75百分位数约为176.25 这100名同学身高的上四分位数估计值为176.25.. 13分 16.解：(1)因为acos B=(2c-b)cosA,由正弦定理可得 sin Acos B=(2inc-sin B)cosA...2. 则sin Ac0sB+sin B c0sA=2 sinCc0SA.3分 sin (A+B)=2sin CcosA................ 4分 湛江市2025-2026学年度第二学期期末调研考试高一数学答案 1/4 所以sinC=2 sinC cosA. .5分 又C∈(0，，所以simC>0. .6分 1 所以cosA= 2 .7分 又A∈(0，元). .8分 所以A=亚 3 9分 (2)在△ABD中，由余弦定理可得BD2=AD+AB2-2AD·AB cosA 1 即49=25+AB2-2x5AB×210分 解得AB=8或AB=-3(舍去) 12分 在△ABD中，由余弦定理可得BC2=AC2+AB2-2AC.ABc0sA.13分 即a2=82+10-2×8×10x=84. 14分 2 所以a=221 .15分 17.解：(1)连接AD1,交A1D于E,连接BC11分 因为AB/C1D1且AB=C1D1,所以ABCD1是平行四边 形2分 因为E,O分别为AD1,BC1的中点， 所以BED10为平行四边形，所以D10/BE. .3分 因为BEC平面BDA1,D10在平面BDA1外4分 所以直线D10/平面BDA1 .5分 (2)由(1)知AB0D1共面，平面AB0D1∩平面ABCD=AB.. .6分 因为OD1C平面ABOD1 所以T∈平面AB0D1,T∈平面ABCD.7分 即T∈AB,即A,B,T三点共线8分 (3)过T作TH1DB,垂足为H9分 因为BB1⊥平面ABCD,BB1C平面BDDB1 所以平面BDD1B11平面ABCD .10分 平面BDD1B1N平面ABCD=BD,THC平面ABCD 所以TH1平面BDDB1 11分 所以D1H是D1O在平面BDD1B1的射影，∠HD1T是直线D1O与平面BDD1B1所成的角 湛江市2025-2026学年度第二学期期末调研考试高一数学答案 2/4 12分 因为BD=AD1,BD//AD, 所以B是AT的中点， .13分 计算得TH=号，TD,=V6 .14分 所以在RTATHD,.中，sintHD,T=-点 TD1 6 直线D,0与平面BDD,B所成的角的正弦值为得 15分 18.解：因为BC=2EC,DF=3FC 所以AF-AD+DF=AD+3AB 1分 AE-AB+BE-AB+AD. .2分 2 AD+3AB-6 则 4 .3分 AB+LAD-a 2 解得-6，-a+ 5分 5 （2)以AB中点为坐标原点，OB的方向为x轴正向建立平面直角坐标系..6分 因为正方形边长为2，所以半圆O时单位圆位于x轴上方的部分 设P(cos6,simn8(0∈[0，元0，A(-1,0),D(-1,2)8分 则AP=(cos6+l,sin6),Dp=(cos6+1sim6-2)10分 AP.DP=(cose +1)2+sine(sine-2) .11分 =2+2N20s(0+孕 13分 因为9=0，小，所0e .14分 4 .15分 所以AP.Dp∈[2-22,4] .17分 湛江市2025-2026学年度第二学期期末调研考试高一数学答案 3/4 19.解：(1)用M表示“f(C)f(D)均为奇数的事件，用M表示“f(C)f(D)均为偶数”的 事件 .1分 则从1-8个数字中任取两个数字标签贴在C、D顶点的样本空间有56个样本点2分 事件M,包含12个样本点，事件M2也包含12个样本点， 3分 根据古典概率知识得： r)-60P)-8 .4分 记“f(C)+f(D)为偶数为事件O,则Q=M+M2. .5分 收分P4P)2 .6分 (2)如图，取边CD的中点F,连结BF、AFEF. .7分 因为△BCD.△ACD均是边长为a的正三角形， 所以AF⊥CD,BF⊥CD,AFOBE=F,AF.BFC平面ABF, 因此CD⊥平面ABF .8分 从而∠AFE是二面角E-CD-A的平面角日，… 9分 又AF=BF= 2a=B,则AFB=∠FBA=∠BMn= 10分 又A® EF .11分 sine sin BARAsin sin∠BAF 同理BE= EFsin∠BFE sin∠ABF .12分 当二面角B-CD-A的平面角日大于亚时， 4 J(A) AF sin∠AFE sine sin 4=V3+1, f(B) BE sin∠BFE π sin sin- 13分 (3 12 当f(B)=1时，f(A)23,则f(A)可取3,4,5,6,7,8共六个值14分 当f(B)=2时，f(A)26,则f(A)可取6,7,8共三个值.15分 当f(B)23时，f(A≥9，则f(A)不存在. .16分 从1-8个数字中任取两个数字标签贴在AB顶点的样本空间有56个样本点， 其中使得二面角B-CD-A的平面角0大于石的样本点有9个，所以B=9 4 56 …17分 湛江市2025-2026学年度第二学期期末调研考试高一数学答案 4/4