精品解析：广东省惠州市2024-2025学年高一下学期期末质量检测数学试题

惠州市2024-2025学年第二学期高一期末考试 数 学 全卷满分150分，时间120分钟. 2025.7 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上. 2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效. 3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法化简可得出复数. 【详解】， 故选：D. 2. 已知，若，则实数（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】由向量坐标运算及垂直坐标表示可求. 【详解】由题意，向量，则， 因为，可得，解得． 故选：C. 3. 某班有男生人，女生人，现在要用性别比例分配的分层随机抽样方法从该班中抽取人参加跳绳比赛，则男生被抽取的人数为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分层抽样可求出男生被抽取的人数. 【详解】设男生被抽取的人数为，则，解得. 故选：C. 4. 已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为60°的扇形，则该圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长即可求解母线长，最后利用侧面积公式即可得到答案. 【详解】设圆锥的母线为，底面半径为，侧面展开图扇形的圆心角为， 则， 因为圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长， 所以，即，所以. 则该圆锥的侧面积为 故选：A. 5. 位于灯塔处正西方相距海里的处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔处北偏东方向有一与灯塔相距海里的处有一艘乙船，则乙船前往支援处甲船需要航行的最短距离是 （ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设画出示意图，利用余弦定理可得. 【详解】根据题意，画出示意图如下，由题意得，， 由余弦定理得 . 所以，则乙船航行的距离为海里. 故选：B. 6. 如图，某几何体可看成是个几何体的组合体，上面的几何体I是直棱柱，中间的几何体Ⅱ是棱台，下面的几何体Ⅲ也是棱台，几何体Ⅲ的下底面与几何体I的底面是全等的六边形，几何体III的上底面面积是下底面面积的倍，若几何体I、II、III的高之比分别为，则几何体I、II、III的体积之比为 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用柱体、台体体积公式可求得结果. 【详解】设直棱柱I的底面积为，高为，则棱台II的上底面面积为，下底面面积为，高为， 棱台III的上底面面积为，下底面面积为，高为， 设几何体I、II、III的体积分别为、、， 则，， ， 因此，. 故选：C. 7. 如图，在△ABC中， 过点P的直线分别交直线AB ，AC于不同的两点M，N，设 其中m，n>0， 则 的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量基本定理得到，由共线定理的推论得到方程，求出，再利用乘“1”法即可得到答案. 【详解】， 因为，，所以， 又三点共线，所以，即，且， ， 当且仅当，即时等号成立. 故选：C 8. 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.在费马提到的这个问题中所求的点被称为费马点，其答案如下：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求的点为三角形最大内角的顶点.已知、、分别是的内角、、所对的边， 且，，若为的费马点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦定理、二倍角正弦公式化简得出的值，结合角的取值范围可得出角的值，再利用与余弦定理求出的值，利用三角形的面积结合等面积法可求得的值，再结合平面向量数量积的定义可求得结果. 【详解】因为，即， 由余弦定理可得，故， 即，即， 因为，由正弦定理可得， 因为、，则，故，， 所以，化简得，故，所以， 所以，可得， 故， 所以 ， 故， 故 . 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或选错的得0分. 9. 若复数满足（是虚数单位），则下列说法正确的是 （ ） A. B. 的模为 C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用复数的除法化简得出复数，可判断A选项；利用共轭复数的定义以及复数的模长公式可判断B选项；利用复数的几何意义可判断C选项；利用复数的运算可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，，A对； 对于B选项，，则，B错； 对于C选项，在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，C对； 对于D选项，，D对. 故选：ACD. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 数据、、、、、、、、、的下四分位数为 B. 若、为互斥事件，则的对立事件与的对立事件一定互斥 C. 设样本数据、、、、、的平均数和方差分别为和，若，则、、、、、 的平均数和方差分别为和 D. 已知，，且，则 【答案】AC 【解析】 【分析】利用百分位数的定义可判断A选项；利用韦恩图法可判断B选项；利用平均数和方差的性质可判断C选项；利用事件的关系可判断D选项. 【详解】对于A选项，，故数据、、、、、、、、、的下四分位数为，A对； 对于B选项，若事件、互斥且不对立，如下图所示： 则，即的对立事件与的对立事件不一定互斥，B错； 对于C选项，设样本数据、、、、、的平均数和方差分别为和， 若，则、、、、、 的平均数为，方差为，C对； 对于D选项，若，则，故，D错. 故选：AC. 11. 如图，在棱长为的正方体 中，为棱的中点，点满足 ，则下列说法中正确的是 （ ） A. 平面 B. 若平面，则动点的轨迹长度为 C. 若，则四面体的体积为定值 D. 平面截正方体的截面面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，运用反证法思路，假设结论成立，经过推理得到平面，与事实矛盾，排除A；对于B，利用动线构造平面平面与平面平行，即可判断点的轨迹为线段，求出其长度可判断B；对于C，由推理得到、、三点共线，而平面，故得四面体的体积为定值，可判断C；对于D，取的中点，连接、，分析出截面为梯形，求其面积，可判断D. 【详解】对于A，如图1，假设平面，因平面则①； 因为四边形为正方形，可得， 又平面，平面，则, 又，、平面，故平面， 因平面，故②， 又，、平面，故由①②可得平面， 显然该结论不成立，故错误； 对于B，如图2，分别取、中点、，连接、、， 因为，，、分别为、中点， 所以，， 故四边形为平行四边形，故，， 又因为，，所以， 即四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，故平面③， 因为、分别为、的中点，所以， 因为，，故四边形为平行四边形， 则，故， 因为平面，平面，所以平面④， 因为，、平面， 由③④可得平面平面， 而平面，则点在平面内，而点又在平面内， 故点的轨迹为线段， 其长度为，B正确； 对于C，，，， 因为，，即， 所以， 即，即，故、、三点共线， 所以点在上，而，且平面，平面， 所以平面， 所以点到平面的距离为定值，因为的面积为定值， 所以四面体的体积为定值，正确； 对于D，取的中点，连接、，如下图所示： 因为、分别为、的中点，故， 又因为，故， 且， 由勾股定理可得， ， 所以， 因为，故， 故， 因为，故， 所以， 因此，平面截正方体的截面面积为， D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中， 异面直线AC与A₁B所成角的大小为 _____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正方体的结构特征先确定直线与所成角，然后根据线段关系确定角度大小. 【详解】如图所示， 因为是正方体， 所以. 所以直线与所成角为直线与所成角. 因为为面对角线，所以， 所以为等边三角形，所以. 所以直线与所成角的大小为. 故答案为：. 13. 已知向量与的夹角为则在方向上的投影向量的坐标为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量公式直接求解可得. 【详解】，， 由投影向量公式可得： . 故答案为：. 14. 已知正四面体的棱长为 ，现截去四个全等的小正四面体，得到如图的八面体，若这个八面体能放进半径为 的球形容器中，则截去的小正四面体的棱长最小值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】画出图形，做出辅助线，求出大正四面体的外接球半径，这个八面体的外接球半径为，则截去的小正四面体的棱长最小，根据勾股定理列出方程，求出答案，舍去不合要求的解. 【详解】如图，正四面体在点截去小正四面体， 取中点，连接，过点作⊥平面，则在上，且⊥平面，垂足为，连接，则为正的中心， 大正四面体的外接球球心在高上，设为，连接，则， 因为大正四面体的棱长为，故，解得， 由勾股定理得， 中，，即，解得， 则大正四面体的外接球半径为6， 若这个八面体的外接球半径为，则截去的小正四面体的棱长最小， 由对称性可知，这个八面体的外接球的球心与正四面体的外接球球心重合，连接， 则， 设截去的小正四面体的棱长为，则，即， 则，故，故高， 所以， 在中，，即， 解得或， ，不合要求，舍去，符合要求， 截去的小正四面体的棱长最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5 小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了解某小区居民的体育锻炼时间，随机在该小区选取了名住户，将他们上周体育锻炼的时间 （单位: 时） 按照、、、、分成组， 制成如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）根据频率分布直方图估计样本数据的第百分位数； （3）根据频率分布直方图，用每组数据区间中点值作代表，估计这名住户上周体育锻炼时间的平均值. 【答案】（1） （2） （3）小时 【解析】 【分析】（1）在频率分布直方图中，所有条形图的面积之和为，列式可求得实数的值； （2）设样本数据的第百分位数为，则，利用百分位数的定义可得出关于的等式，解之即可； （3）将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全加，即可得出样本的平均数. 【小问1详解】 在频率分布直方图中，所有条形图的面积之和为， 可得，解得. 【小问2详解】 前三个矩形的面积之和为， 前四个矩形的面积之和为， 设样本数据的第百分位数为，则， 由百分位数的定义可得，解得. 【小问3详解】 由频率分布直方图可知，样本的平均数为. 估计这名住户上周体育锻炼时间的平均值为小时. 16. 在中，已知a，b，c分别是的内角A，B，C所对的边， 记 且 . （1）求角C; （2）若 求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先利用向量共线的坐标表示列出等式，然后根据正弦定理和和差的正弦公式化简从而求得. （2）先根据正弦定理将分别用表示出来，然后列出的表达式并化简，最后根据的范围求出的范围即可. 【小问1详解】 因为， 所以，化简得， 利用正弦定理得， 因为，所以， 所以，因为，所以. 又，所以. 【小问2详解】 根据正弦定理，所以， 同理. 所以. 因为，所以，所以. 所以的取值范围为. 17. DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，在金融、医疗健康、智能制造、教育等多个领域都有广泛的应用场景.为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A、B两部门的员工参加DeepSeek培训. （1）已知该公司A、B部门分别有3名领导，此次DeepSeek培训需要从这6名部门领导中随机选取2人负责，假设每人被抽到的可能性都相同，求全部来自A部门领导的概率； （2）此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为 ，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格，求每位员工经过培训合格的概率. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用组合计数问题求出基本事件数，再利用古典概率列式求解. （2）记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（），由此可得关系，结合概率公式即可求解. 【小问1详解】 记部门的3名领导为，部门的3名领导为， 从6名部门领导中随机选取2人负责，不同结果有： ，共15种， 选取2人全部来自A部门领导的事件，不同结果有：，共3种， 所以全部来自A部门领导的概率为. 【小问2详解】 记“每位员工经过培训合格”，“每位员工第轮培训达到优秀”（）， 则，， 依题意， ， 所以每位员工经过培训合格的概率为. 18. 如图，等腰直角三角形所在平面与半圆弧所在平面垂直，为的中点，且， 是上异于、的点，是的中点. （1）证明：平面 （2）若圆的半径为， 设， （i）当时， 求二面角的平面角的正切值； （ii）当在弧上运动时 （不与、重合），证明：点到平面的距离 . 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得，再根据线面垂直的判定与性质即可证明； （2）（i）由二面角的定义可知二面角的平面角为，求出、的长，即可求出的正切值，即为所求； （ii）过点在平面内作交于点，求出的面积，结合等体积法可证得结论成立. 【小问1详解】 因为是半圆弧上一点，所以，即， 因为、分别是、的中点，所以，， 因为是等腰直角三角形，，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 因为、平面，，所以平面. 【小问2详解】 （i）由（1）可知平面，且、平面，故，， 所以，二面角的平面角为， 当时，， 因为为等腰直角三角形，且，则， 因为为的中点，所以， 因为平面，平面，故， 所以，即二面角的平面角的正切值为； （ii）过点在平面内作交于点，如图所示， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 由（ⅰ）知， 当时，，则， 所以， 由等腰三角形得，， 因为平面，平面，所以， 所以， 在中，，， 所以， 又因为， 所以. 19. 将所有平面向量组成的集合记作.如果对于向量. ，存在唯一的向量 与之对应，其中坐标、由、确定，则把这种对应关系记为. 或者 简记为.例如就是一种对应关系.若在的条件下有最大值，则称此最大值为对应关系的模，并把的模记作；若存在非零向量及实数使得，则称为的一个特征值， （1）如果，求； （2）如果，计算的特征值，并求相应的；（若符合条件的向量有多个，写出其中一个即可） （3）若，要使有唯一的特征值，实数、、、应满足什么条件?试找出一个对应关系，同时满足以下两个条件：①有唯一的特征值，②，并验证满足这两个条件. 【答案】（1） （2）的特征值为，，其中且 （3），答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用向量的坐标运算可得，可求得，可求得； （2）利用向量相等的条件可得，进而可求得，进而可得其中且； （3）利用，可得，进而可得，进而可证明当时，有唯一的特征值，且． 小问1详解】 由题意，所以，当时，，最大值也为，所以． 【小问2详解】 由，可得：， 上述两个 相加得，解得． 当时，解方程组，此时这两个方程是同一个方程， 所以此时方程有无穷多个解，为（写出一个即可），其中且． 【小问3详解】 由，可得． 因为、都不为，从而向量与平行， 所以存在实数满足，即． 要使存在且唯一，则、、、应满足：． 当时，有唯一的特征值，且．具体证明为： 由的定义可知：，所以为特征值． 此时，，，满足：，所以有唯一的特征值． 在的条件下，从而有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 惠州市2024-2025学年第二学期高一期末考试 数 学 全卷满分150分，时间120分钟. 2025.7 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上. 2.作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效. 3.非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，若，则实数（ ） A. B. 2 C. D. 1 3. 某班有男生人，女生人，现在要用性别比例分配的分层随机抽样方法从该班中抽取人参加跳绳比赛，则男生被抽取的人数为 （ ） A. B. C. D. 4. 已知圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为60°的扇形，则该圆锥的侧面积为（ ） A B. C. D. 5. 位于灯塔处正西方相距海里的处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔处北偏东方向有一与灯塔相距海里的处有一艘乙船，则乙船前往支援处甲船需要航行的最短距离是 （ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 6. 如图，某几何体可看成是个几何体的组合体，上面的几何体I是直棱柱，中间的几何体Ⅱ是棱台，下面的几何体Ⅲ也是棱台，几何体Ⅲ的下底面与几何体I的底面是全等的六边形，几何体III的上底面面积是下底面面积的倍，若几何体I、II、III的高之比分别为，则几何体I、II、III的体积之比为 （ ） A. B. C. D. 7. 如图，在△ABC中， 过点P的直线分别交直线AB ，AC于不同的两点M，N，设 其中m，n>0， 则 的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出一个著名的几何问题：已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小.在费马提到的这个问题中所求的点被称为费马点，其答案如下：当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求的点为三角形最大内角的顶点.已知、、分别是的内角、、所对的边， 且，，若为的费马点，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或选错的得0分. 9. 若复数满足（是虚数单位），则下列说法正确的是 （ ） A. B. 的模为 C. 在复平面内对应的点位于第四象限 D. 10. 下列说法中正确的是（ ） A. 数据、、、、、、、、、下四分位数为 B. 若、为互斥事件，则的对立事件与的对立事件一定互斥 C. 设样本数据、、、、、平均数和方差分别为和，若，则、、、、、 的平均数和方差分别为和 D. 已知，，且，则 11. 如图，在棱长为的正方体 中，为棱的中点，点满足 ，则下列说法中正确的是 （ ） A. 平面 B. 若平面，则动点的轨迹长度为 C. 若，则四面体的体积为定值 D. 平面截正方体的截面面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中， 异面直线AC与A₁B所成角大小为 _____________. 13. 已知向量与的夹角为则在方向上的投影向量的坐标为_____________. 14. 已知正四面体棱长为 ，现截去四个全等的小正四面体，得到如图的八面体，若这个八面体能放进半径为 的球形容器中，则截去的小正四面体的棱长最小值为_____________. 四、解答题：本题共5 小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 为了解某小区居民的体育锻炼时间，随机在该小区选取了名住户，将他们上周体育锻炼的时间 （单位: 时） 按照、、、、分成组， 制成如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）根据频率分布直方图估计样本数据的第百分位数； （3）根据频率分布直方图，用每组数据区间中点值作代表，估计这名住户上周体育锻炼时间的平均值. 16. 在中，已知a，b，c分别是的内角A，B，C所对的边， 记 且 . （1）求角C; （2）若 求的取值范围. 17. DeepSeek是由中国杭州的DeepSeek公司开发的人工智能模型，在金融、医疗健康、智能制造、教育等多个领域都有广泛的应用场景.为提高DeepSeek的应用能力，某公司组织A、B两部门的员工参加DeepSeek培训. （1）已知该公司A、B部门分别有3名领导，此次DeepSeek培训需要从这6名部门领导中随机选取2人负责，假设每人被抽到的可能性都相同，求全部来自A部门领导的概率； （2）此次DeepSeek培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为 ，每轮培训结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格，求每位员工经过培训合格的概率. 18. 如图，等腰直角三角形所在平面与半圆弧所在平面垂直，为的中点，且， 是上异于、的点，是的中点. （1）证明：平面 （2）若圆的半径为， 设， （i）当时， 求二面角的平面角的正切值； （ii）当在弧上运动时 （不与、重合），证明：点到平面的距离 . 19. 将所有平面向量组成的集合记作.如果对于向量. ，存在唯一的向量 与之对应，其中坐标、由、确定，则把这种对应关系记为. 或者 简记为.例如就是一种对应关系.若在的条件下有最大值，则称此最大值为对应关系的模，并把的模记作；若存在非零向量及实数使得，则称为的一个特征值， （1）如果，求； （2）如果，计算的特征值，并求相应的；（若符合条件的向量有多个，写出其中一个即可） （3）若，要使有唯一的特征值，实数、、、应满足什么条件?试找出一个对应关系，同时满足以下两个条件：①有唯一的特征值，②，并验证满足这两个条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$