精品解析：陕西安康市汉滨区七校联考2025-2026学年高二下学期期末质量检测数学试卷

2025-2026学年第二学期期末质量检测试卷 高二数学 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于A：根据基本初等函数法则求解；对于B：根据导数的乘法法则运算求解；对于C：根据复合函数的链式法则运算求解；对于D：根据导数的加法法则运算求解. 【详解】对于选项A：，故A错误； 对于选项B：，故B错误； 对于选项C：，故C正确； 对于选项D：，故D错误； 故选：C. 2. 现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（ ） A. 10种 B. 12种 C. 20种 D. 60种 【答案】B 【解析】 【分析】分三类计数相加即可得解. 【详解】分三类： 第一类，从3幅不同的油画中任选一幅，有种； 第二类，从4幅不同的国画中任选一幅，有种； 第三类，从5幅不同的水彩画任选一幅，有种， 根据分类加法计数原理得共有种不同的选法. 故选：B 3. 的展开式中含项的系数为（ ） A. 24 B. 28 C. 20 D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】化简二项式定理展开式通项，求出k值，代入即可. 【详解】设展开式中第项含x项，则， 令，解得，因此， 所以的展开式中含项的系数为28. 故选：B 4. 某研究所研究耕种深度（单位：）与一种农作物每公顷产量（单位：）的关系，所得数据资料如下表： 耕种深度 2 3 5 6 每公顷产量 m 5 7 8 发现与之间具有线性相关关系，其经验回归方程为，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】将代入经验回归方程计算即可得. 【详解】，， 则，解得. 5. 设随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态曲线的对称性计算可得. 【详解】因为且， 所以， 所以， 所以. 故选：A 6. 质数(prime number)又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和，那么，如果我们在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件：这两个数都是素数：事件：这两个数不是孪生素数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件概率的计算方法求得正确答案. 【详解】不超过的自然数有个，其中素数有共个， 孪生素数有和，和，和，和，共组. 所以，， 所以. 故选：D 7. 若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出平行于直线且与曲线相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】设平行于直线且与曲线相切的切线对应切点为， 由，则， 令， 解得或（舍去）， 故点P的坐标为， 故点P到直线的最小值为：. 故选：A. 8. 已知函数，则（ ） A. 在处的切线方程为 B. 的极小值为0 C. 在单调递增 D. 有三个实根 【答案】B 【解析】 【分析】求函数的导函数，结合导数的几何意义求在处的切线方程，判断A，结合极值的定义判断B，结合导数与单调性的关系判断C，结合函数图象判断D. 【详解】因为，所以， 所以，又， 所以函数在处的切线方程为，A错误， 令，可得或， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以时，函数取极小值，极小值为，B正确， 函数在上单调递增，在上单调递减，C错误， 当时，，， ，时，， 函数的图象大致如下： 作函数图象如下： 观察图象可得函数与函数的图象有且仅有一个交点， 所以方程有一个实根，D错误， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列有关样本相关系数r，叙述正确的是（ ） A. r的取值范围是 B. r的取值范围是 C. 越接近1，表示两变量的线性相关程度越强 D. 越接近0，表示两变量的线性相关程度越强 【答案】AC 【解析】 【分析】利用相关系数的取值范围判断AB；利用相关系数的意义判断CD. 【详解】对于AB，样本相关系数r的取值范围是，A正确，B错误； 对于CD，越大，越接近于1，两变量的线性相关程度越强， 越小，越接近于0，两变量的线性相关程度越弱，C正确，D错误. 故选：AC 10. 学校从7名候选人中选3名同学组成学生会，已知有3名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到，用表示3名学生会成员中来自甲班的人数，下列命题中正确的是（ ） A. 服从超几何分布 B. C. 的期望 D. 的方差 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意可知服从超几何分布，可取，再分别求出对应概率，计算期望及方差进行判断即可． 【详解】由题可知，总候选人，甲班候选人，抽取名，为甲班人数， 所以服从超几何分布，且可取，故A正确， ，，，，故B正确； 则的分布列为： 0 1 2 3 ， ， 故C错误，D正确． 11. 已知是函数的导函数，的图象如图，则下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 在处取得极小值 C. D. 在处取得极小值 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合导函数图象，根据导数正负得函数的单调性，从而得出极值．由此判断各选项． 【详解】由已知，时，（只有），因此在上单调递减，AC正确； ，且两侧的导数都是负数，所以不是极值，B错误； 由，时，，单调递减，时，，单调递增， 所以是极小值，D正确． 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机事件，满足，，则______． 【答案】##0.25 【解析】 【详解】因为，，所以． 13. 已知某水果超市苹果、香蕉、猕猴桃三种水果的购进数量之比为，经检查发现购进的苹果、香蕉、猕猴桃的新鲜率分别为 ，则从该超市随机选取一个水果恰好是新鲜的概率为_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】设出各个事件，根据条件，结合全概率公式，即可求得答案. 【详解】设事件为“选取苹果”，B为“选取香蕉”，C为 “选取猕猴桃”，D为“选取的一个水果新鲜”， 则， 根据全概率公式可知 . 故答案为： 14. 某商家统计了某商品最近5个月销量，如表所示，若与线性相关，且经验回归方程为， 时间 1 2 3 4 5 销量万只 5 4.5 4 3.5 2.5 给出下列说法： ①由题中数据可知，变量与负相关 ②当时，残差为 ③可以预测当时销量约为万只 ④经验回归方程中 其中正确的是__________（填序号）. 【答案】①③④ 【解析】 【分析】根据表格中销量与时间的变化规律可判断①；利用表格分别求出销量与时间的平均数，得样本中心点，代入回归方程求出判断④；进而推得线性回归方程，再利用残差定义，计算判断②；利用线性回归方程赋值计算即可判断③. 【详解】由经验回归方程，可知回归直线的斜率，即变量与负相关，同时结合表格，可知销量随着的增大而减小，故①正确； 又由表格可得，， 因样本中心点在回归方程上，则得，故④正确； 则回归方程为，当时，，此时残差为，故②错误； 当时，代入回归方程可得，即可以预测当时销量约为万只，故③正确. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，是的导函数． （1）求的值； （2）求曲线在处的切线方程； （3）求的最小值． 【答案】（1） （2） （或等价形式） （3） 【解析】 【分析】 （1）求的导函数，代入计算即可. （2） 利用二阶导数求出直线斜率，结合切点坐标用点斜式写切线方程； （3）由二阶导数判断一阶导数的单调性，找到一阶导数的零点确定的单调性，进而求得最小值. 【小问1详解】 已知，则， 进而. 【小问2详解】 令，则. 则在处切线斜率. 根据（1）知，切点为. 由点斜式得直线方程 ，整理得切线方程. 【小问3详解】 由，因，故，即在上单调递增. 又，则当时，，单调递减; 当时，，单调递增. 故在处取最小值，，即最小值为. 16. 在①只有第6项的二项式系数最大；②第4项与第8项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题． 已知（），若的展开式中，______. （1）求n的值； （2）求的系数； （3）求的值． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）选择条件①，②，③，利用二项式系数的性质求出. （2）由（1）的结论，结合二项式定理求出. （3）由（1）的结论，利用赋值法求出所求式子的值. 【小问1详解】 选择条件①，只有第6项的二项式系数最大，则的展开式共11项，即， 所以. 选择条件②，第4项与第8项的二项式系数相等，则，解得， 所以. 选择条件③，所有二项式系数的和为，则，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，的展开式中项为：， 所以. 【小问3详解】 由（1）知，的展开式中，当时，， 当时，， 所以. 17. 粮食是一个国家发展的基石，保障粮食安全是维护社会稳定的重要因素.小麦是我国两大口粮作物之一，其自身的稳定供应保障了数亿人口的食物需求，并通过产业链延伸带动了相关产业发展，促进了我国北方地区的经济发展．将2020～2024年记为年份代码1～5，我国小麦产量如下表所示． 年份代码 1 2 3 4 5 产量/千万吨 13.4 13.6 13.8 13.7 14.0 现规定表示年份代码i，表示年份代码为i的产量，经计算得，，． （1）求样本的相关系数r；（精确到0.01） （2）现从这5年中随机抽取3年，记这3年中小麦产量大于13.6千万吨的年数为X，求X的分布列与数学期望． 附：相关系数，． 【答案】（1）0.92 （2）随机变量的分布列为 X 1 2 3 P 【解析】 【分析】（1）根据统计表格中的数据，求得，，结合参考数据和相关系数的公式，即可求解； （2）根据题意，得到随机变量的取值为，利用超几何分布的概率公式，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【小问1详解】 解：根据统计表格中的数据，可得，， 以及，，． 可得样本相关系数. 【小问2详解】 解：根据题意，可得随机变量的取值为， 则，，， 所以随机变量的分布列为 X 1 2 3 P 所以期望为. 18. 2024年6月5日《中国教育报》刊发了教育部的“呵护好孩子的眼睛，共创光明的未来”的文章，其中特别强调“幼儿单次使用电子产品的时间不宜超过15分钟，累计每天不超过1小时”等内容．为切实提升儿童青少年视力健康整体水平，某学校积极推进近视综合防控，落实“明眸”工程，开展了近视原因的调查以备有效进行预防．在已近视的学生中随机调查了100人，同时在未近视的学生中随机调查了100人，得到如下数据： 电子产品 近视 未近视 非长时间使用电子产品 40 70 长时间使用电子产品 60 30 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为患近视与长时间使用电子产品有关？ （2）用频率估计概率，从已经近视的学生中采用随机抽样的方式选出1名学生，利用“物理+药物”治疗方案对该学生进行治疗．已知“物理+药物”治疗方案的治愈数据如下：在已近视的学生中，对非长时间使用电子产品的学生的治愈率为，对长时间使用电子产品的学生的治愈率为，求该近视学生被治愈的概率； （3）若按样本数据利用分层随机抽样的方法从近视学生中抽取5人，再从这5人中抽取3人进行近视矫正实验，记表示这3人中长时间使用电子产品的人数，求的分布列与数学期望． 【答案】（1）患近视与长时间使用电子产品有关联 （2） （3） 1 2 3 . 【解析】 【分析】（1）根据给定表中数据求出的观测值，再与临界值比对即可. （2）利用古典概率公式及全概率公式列式求解. （3）求出的所有可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望. 【小问1详解】 零假设为：学生患近视与长时间使用电子产品无关， ， 依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为学生患近视与长时间使用电子产品有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001. 【小问2详解】 设事件表示使用“物理+药物”治疗方案并且治愈，事件表示非长时间使用电子产品的近视学生， 事件表示长时间使用电子产品的近视学生， 则，且， 因此， 所以该近视学生被治愈的概率为. 【小问3详解】 由样本数据知近视学生中长时间使用电子产品与非长时间使用电子产品的人数比例为， 则抽取的5人中有3人是长时间使用电子产品，有2人是非长时间使用电子产品， 的可能取值为，， 所以的分布列为： 1 2 3 数学期望为. 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围； （3）若对任意，恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）当时，单调递增区间为； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用导数的正负判断原函数的单调性，对函数进行求导，讨论正负即可，需注意定义域的范围； （2）根据第一问的讨论结果，判断函数有两个零点则函数不单调，再利用最值列出不等式计算即可； （3）对不等式进行变形，通过构造新函数，利用新函数的单调性求解不等式． 【小问1详解】 定义域为； ， 当时，，故在上单调递增； 当时，令，解得； 当时，，故在上单调递增； 当时，，解得，故在上单调递增， ，解得，故在上单调递减； 综上：当时，单调递增区间为； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为． 【小问2详解】 若函数在上有且仅有2个零点， 则在上有两个根，即； 令，； 令，解得； 当时，，单调递增， 当时，，单调递减； 则，，； 因为在上有两个根，故与有两个交点； 故的取值范围为； 【小问3详解】 由可得，，即， 令，在上恒成立； 因为，故在上单调递增， 故，即，在上恒成立， 由（2）可知，，故的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期末质量检测试卷 高二数学 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选法共有（ ） A. 10种 B. 12种 C. 20种 D. 60种 3. 的展开式中含项的系数为（ ） A. 24 B. 28 C. 20 D. 32 4. 某研究所研究耕种深度（单位：）与一种农作物每公顷产量（单位：）的关系，所得数据资料如下表： 耕种深度 2 3 5 6 每公顷产量 m 5 7 8 发现与之间具有线性相关关系，其经验回归方程为，则（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 5. 设随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 质数(prime number)又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和，那么，如果我们在不超过30的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件：这两个数都是素数：事件：这两个数不是孪生素数，则（ ） A. B. C. D. 7. 若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则（ ） A. 在处的切线方程为 B. 的极小值为0 C. 在单调递增 D. 有三个实根 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列有关样本相关系数r，叙述正确的是（ ） A. r的取值范围是 B. r的取值范围是 C. 越接近1，表示两变量的线性相关程度越强 D. 越接近0，表示两变量的线性相关程度越强 10. 学校从7名候选人中选3名同学组成学生会，已知有3名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到，用表示3名学生会成员中来自甲班的人数，下列命题中正确的是（ ） A. 服从超几何分布 B. C. 的期望 D. 的方差 11. 已知是函数的导函数，的图象如图，则下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 在处取得极小值 C. D. 在处取得极小值 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机事件，满足，，则______． 13. 已知某水果超市苹果、香蕉、猕猴桃三种水果的购进数量之比为，经检查发现购进的苹果、香蕉、猕猴桃的新鲜率分别为 ，则从该超市随机选取一个水果恰好是新鲜的概率为_____________. 14. 某商家统计了某商品最近5个月销量，如表所示，若与线性相关，且经验回归方程为， 时间 1 2 3 4 5 销量万只 5 4.5 4 3.5 2.5 给出下列说法： ①由题中数据可知，变量与负相关 ②当时，残差为 ③可以预测当时销量约为万只 ④经验回归方程中 其中正确的是__________（填序号）. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，是的导函数． （1）求的值； （2）求曲线在处的切线方程； （3）求的最小值． 16. 在①只有第6项的二项式系数最大；②第4项与第8项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题． 已知（），若的展开式中，______. （1）求n的值； （2）求的系数； （3）求的值． 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 17. 粮食是一个国家发展的基石，保障粮食安全是维护社会稳定的重要因素.小麦是我国两大口粮作物之一，其自身的稳定供应保障了数亿人口的食物需求，并通过产业链延伸带动了相关产业发展，促进了我国北方地区的经济发展．将2020～2024年记为年份代码1～5，我国小麦产量如下表所示． 年份代码 1 2 3 4 5 产量/千万吨 13.4 13.6 13.8 13.7 14.0 现规定表示年份代码i，表示年份代码为i的产量，经计算得，，． （1）求样本的相关系数r；（精确到0.01） （2）现从这5年中随机抽取3年，记这3年中小麦产量大于13.6千万吨的年数为X，求X的分布列与数学期望． 附：相关系数，． 18. 2024年6月5日《中国教育报》刊发了教育部的“呵护好孩子的眼睛，共创光明的未来”的文章，其中特别强调“幼儿单次使用电子产品的时间不宜超过15分钟，累计每天不超过1小时”等内容．为切实提升儿童青少年视力健康整体水平，某学校积极推进近视综合防控，落实“明眸”工程，开展了近视原因的调查以备有效进行预防．在已近视的学生中随机调查了100人，同时在未近视的学生中随机调查了100人，得到如下数据： 电子产品 近视 未近视 非长时间使用电子产品 40 70 长时间使用电子产品 60 30 （1）依据小概率值的独立性检验，能否认为患近视与长时间使用电子产品有关？ （2）用频率估计概率，从已经近视的学生中采用随机抽样的方式选出1名学生，利用“物理+药物”治疗方案对该学生进行治疗．已知“物理+药物”治疗方案的治愈数据如下：在已近视的学生中，对非长时间使用电子产品的学生的治愈率为，对长时间使用电子产品的学生的治愈率为，求该近视学生被治愈的概率； （3）若按样本数据利用分层随机抽样的方法从近视学生中抽取5人，再从这5人中抽取3人进行近视矫正实验，记表示这3人中长时间使用电子产品的人数，求的分布列与数学期望． 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围； （3）若对任意，恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $