四川广安市2025-2026学年高一下学期期末教学质量评价数学试题

2026年春高一期末教学质量评价 数学试题 本试卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、座位号和准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号． 3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上． 4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效． 5．考试结束后，只将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（ ） A． B． C． D． 2．某班8名学生的数学测验成绩分别为92，95，96，98，100，105，108，110，则这组数据的第一四分位数是（ ） A．95 B．95.5 C．105 D．106.5 3．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则的形状是（ ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定 4．已知向量，向量，则在方向上的投影向量的坐标为（ ） A． B． C． D． 5．已知α，β，γ为空间中不重合的平面，m，n为空间中不重合的直线，下列命题正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 6．如图，中，点N为边的中点，点M在边上，且，以为一组基底，则（ ） A． B． C． D． 7．如图，在三棱锥中，，二面角的余弦值为，则的长为（ ） A． B．2 C． D． 8．在中，，，O是的内心，若，其中x，，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，则（ ） A． B． C． D． 10．小张统计了某超市2025年前10个月的营业额（单位：万元），得到了如图所示的折线图，则下列说法正确的是（ ） A．这10个月营业额的极差为39万元 B．从二月份开始，每月与上个月相比，营业额下降得最多的是九月份 C．前5个月营业额的方差大于后5个月营业额的方差 D．这10个月营业额的平均数大于30 11．如图，在正三棱台中，，P，D分别是线段，上的点，，O是上、下底面的中心，M是底面内一点，下列结论正确的是（ ） A． B．若，平面，则点M的轨迹长等于 C． D．当时，由点、O、D、P构成的四边形为直角梯形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某中学高一年级有男生640人，女生480人．为了解该年级男、女学生的身高差异，采用分层随机抽样．若样本容量为28，则应抽取的女生人数为________． 13．圆锥底面半径为2，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则此圆锥的侧面积为________． 14．在三棱锥中，已知，，平面平面，且三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，点F在线段上运动（端点除外），当三棱锥的体积为时，过点F作球O的截面，则截面面积的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知复数（i为虚数单位，） （1）若复数z对应的点在第四象限，求m的取值范围； （2）当时，复数z是关于x的方程的一个根，求实数p，q的值． 16．（15分）某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求图中a的值； （2）估计这100名学生这次竞赛成绩的众数与平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） （3）该校准备对本次竞赛成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前的为优异）的学生进行嘉奖，则据此频率分布直方图估计受嘉奖的学生分数不低于多少？ 17．（15分）已知锐角的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量， （1）若，证明：为等腰三角形； （2）若，，的周长为，求角B． 18．（17分）如图，已知菱形的边长为4，，平面外一点P在平面内的射影是与的交点O，是等边三角形． （1）求证：平面； （2）求点D到平面的距离； （3）若点E是线段上的动点，求直线与平面所成角的正弦的最大值． 19．（17分）如图，已知，，，，，任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N． （1）求； （2）若点M在线段上（端点除外），且，求的面积； （3）当点M、B位于直线的异侧时，求的最小值． 2026年春高一期末教学质量评价 数学参考答案 一、单选题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B B D C B A C 二、多选题： 9 10 11 BCD ACD AC 三、填空题： 12．12 13．12π 14．2π 四、解答题： 15．【详解】（1）由题意得：， 解得m＜－3，故m的取值范围是（－，－3） （2）若m＝0，则z＝－3－i．∵复数z是关于x的方程的一个根， ∴．∴16－3p＋q＋（12－p）i＝0． ∴．∴p＝12，q＝20 16．【详解】（1）由题意得： （a＋0.020＋0.025＋0.035＋a）×10＝1，∴a＝0.010 （2）估计这100名学生这次竞赛成绩的众数为：（80＋90）＝85（分） 估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数为 55×0.1＋65×0.2＋75×0.25＋85×0.35＋95×0.1＝76.5（分） （3）∵1－0.17＝0.83，∴[50，80）内的频率为：0.1＋0.2＋0.25＝0.55＜0.83 [80，90）内的频率为：0.35，∴第83百分位数在[80，90）内， 令其为m，则（m－80）×0.035＝0.83－0.55， 即m＝88，∴估计受嘉奖的学生分数不低于88分 17．【详解】（1）∵，， ∴sinAsinB＝cosA（1＋cosB），∴cosAcosB－sinAsinB＝－cosA， ∴cos（A＋B）＝－cosA，∴－cosC＝－cosA即cosC＝cosA， ∵A，C，∴C＝A，∴△ABC为等腰三角形 （2）若，则sinA（1＋cosB）＋cosAsinB＝， ∴sinA＋sinAcosB＋cosAsinB＝，∴sinA＋sin（A＋B）＝， 即sinA＋sinC＝，∵b＝，△ABC的周长为 ∴a＋c＝5，∵，∴a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC， ∴2R（sinA＋sinC）＝2R×＝5，即2R＝， ∴，即sinB＝，∵△ABC为锐角三角形，∴B＝ 18．【详解】（1）∵在菱形ABCD中，ACBD＝O， ∴AC⊥BD，∵P在平面ABCD内的射影是点O， ∴PO⊥平面ABCD，∵BD平面ABCD，∴PO⊥BD， ∵POAC＝O，PO，AC平面PAC，∴BD⊥平面PAC （2）由题意可得：△ABD，△BCD与△PBD都是边长为4的等边三角形， BP＝BC＝4，PO＝AO＝CO＝，， ∴， 过点B作BH⊥PC，垂足为H，∴ ∴， 设点D到平面PBC的距离为h，则由，则 ∴，解得， ∴点D到平面PBC的距离为； （3）设直线PE与平面PBC所成的角为， ∵AD∥BC，AD平面PBC，BC平面PBC，∴AD∥平面PBC， ∴点E到平面PBC的距离，即为点D到平面PBC的距离h， 过点E作EF⊥平面PBC交平面PBC于点F，则 此时，要使最大，则需使PE最小，此时PE⊥AD， 由题意可知：PA＝PC，AD＝CB，PD＝PB，∴△PAD与△PBC全等， ∴，∴， ∴PE＝，∴， 即直线PE与平面PBC所成角的正弦的最大值为 19．【详解】（1）由题意得：点A，点B分别为SM，SN的中点 ∴|MN|＝2|AB|，∴， ∴， ∴，即， （也可以用解三角形知识求解） （2）方法一： 设|OM|＝x，则∵， ∴， ， ∴，∴x＝1或x＝－9（舍去），即 ∴ 方法二： 由题意得：MN∥AB，∴∠OMN＝－∠OBA且， 在△OAB中，cos∠OBA＝， ∴cos∠OMN＝cos（－∠OBA）＝－cos∠OBA＝， 在△OMN中，设，则cos∠OMN＝ ∴x＝1或x＝－9（舍去），即， ∴ （3）当点M，B位于直线OA的异侧时 设，∠MOA＝， ∴， ∵ 当时，，当时，， ∵，∴ ∴， 其中，∴， ∴， ∵，当且仅当x＝2时，取等号； ，当时，取等号； 又∵，∴等号能取得 综上可知，的最小值为 学科网（北京）股份有限公司 $