四川乐山市2025-2026学年高一下学期期末教学质量监测数学试题

秘密★启用前 〔考试时间：2026年7月4日下午15：00-17：00) 2025级高一下学期教学质量监测 数 学 （考试时间：120分钟试卷总分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知复数：=2+i,则上= 号+ BR号 c+ n子 2.已知点0，A,C,下列向量运算结果为0C的是 A.OA-AO B.0元+Ad C.A元-Oa D.OA+AC 3.某班级进行了一次数学测验，满分为150分.设事件A表示“学生成绩及格（分数≥90 分)”，事件B表示“学生成绩优秀（分数≥120分）”.若P(B)=0.2,P(AUB)=0.5,则 P(A)= A.0.2 B.0.3 C.0.5 D.0.7 4已知m子-号4m<a<6,则血号 器 B. C. 5.若xlog32=1,则2+2= A.1 B.3 10 C. D.6 高一数学试题第1页（共4页） 6.下列命题中，正确的个数是 ①若直线a∥b,那么a平行于经过b的任何平面 ②若平面内有无穷多条直线都与平面B平行，则平面α与平面B平行 ③若平面a⊥平面B,那么平面α内所有直线都垂直于平面B ④已知平面a,B,y,且a⊥y,B1y,a∩B=l,则1⊥y A.0 B.1 C.2 D.3 7.已知△ABC所在平面内一点0，满足2A0=AB+AC,1OA1=1AB1=10C1=3,则向量BA在 BC上的投影向量为 A.BG D.n 8在一组样本数据中，1,23,4出现的频率分别为P,几，P,卫，P,=1,且满足P=几 P2=P3,P≥P2,记样本的方差为s2,则s2的最大值是 A.1.25 B.1.5 C.2 D.2.25 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知函数(x)=x+2 A.f(x)的定义域为{xlx≠6 B.f(x)在定义域内单调递减 C.当x>6时f(x)的最小值为1 D.f(x)的图象关于点(6,1)中心对称 10.设0是△ABC所在平面内一点，则 A.若|Oi=|O|=|0C,则点0是△ABC的外心 B.若O+0B+O元=0，则点0是△ABC的重心 C.若0.0=OA.0元=0店.0元，则点0是△ABC的内心 D.若O.(+C =0,则点0在∠A的角平分线上 11.如图，正方体ABCD-ABCD1的棱长为2，点P、Q、M分别是棱 M BC,A4,C1D1的中点，则 B A.AC∥平面PQM B.DB1⊥平面PQM C.过P,Q,M三点的平面与正方体相交形成的截面周长为62 D.能放入由平面PQM分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚度忽略不计）的球的 半径的最大值为， 高一数学试题第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知幂函数y=f(x)的图象过点(5,5)，则f(x)=_ 13.在正三棱台ABC-A,BC中，AB=4,AB,=2,A41=2,则该棱台的体积为」 14.夹江竹纸是国家级非物质文化遗产.用其制成的折扇扇面可以抽象成如图所示的扇形 c0D,其中∠c0D=,0C=30A=3.点P在弧CD上 (含端点)，连接OP交弧AB于点Q,记∠COP=0,D 0e[0,牙1.当0.产取得最小值时，am6=一 B 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。 15.(13分) 柜子里有3双不同的鞋，分别用a1,a2,b1,b2,C1,c2表示6只鞋，从中随机抽取2只. (1)记事件A=“取出的鞋都是左脚的”，求P(A); (2)记事件B=“取出的鞋不成双”，求P(B). 16.(15分) 如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是BC上一点，且B京=3F元.设A店=a, AD=b. D (1)用基底a,b分别表示向量DB,A正，E: (2)若EC=4E7,用平面向量证明A,B,G三点共线。 17.(15分) 从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50~350W·h之 间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图. 频率/组距 0.006 少 0.0036 0.0024 0.0012 0 0 50100150200250300350月用电量/(W.h) 高一数学试题第3页（共4页） (1)计算直方图中x的值 (2)在被调查的用户中，用电量落在200W·h以上的户数为多少？ (3)为引导居民节约用电，电力公司拟采用分层定价策略：设定一个月用电量参考值，使 小区约半数用户用电量低于该值、半数高于该值，并据此对低于者执行基础电价、高于者执行 阶梯加价.请根据频率分布直方图估计该参考值（精确到0.01）. 18.(17分) 已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且asin(T-C)+ 2c-6. (1)求A; (2)若a=2,求△ABC周长最大值 19.(17分) 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设P为多面体W的一个顶点，定义多面体W在 点P处的离散曲率为中，=1-2（∠Q,P心：+∠0，P0,++∠QP0:+∠Q,PQ,),其中 Q:(i=1,2,…,k,k≥3)为多面体W的所有与P相邻的顶点，且平面QPQ2,平面Q2PQ3,…,平 面QPQ,为多面体W的所有以P为公共点的面.现给出如图所示的四棱锥P-ABCD,其底面 为正方形，且PA⊥平面ABCD,点E为棱PC上的一动点. (1)如图1，若点E为棱PC上靠近点P的一个三等分点，M、N分别为AB、AD的中点， 证明：BE∥平面PMN; (2)如图2，若四棱锥P-ABCD在点D处的高散曲率为}且P店=武，过A,BE三点的平 面a交棱PD于点T,证明：平面PBD⊥平面ABET; (3)若四陵锥P-ABCD在点P,A,CD处的离散曲率和为吕点E为棱PC上一动点，求 直线BE与平面ABCD所成角的取值范围. B B 图1 图2 高一数学试题第4页（共4页） 秘密★启用前（考试时间：2026年7月4日下午15：00-17：00） 2025级高一下学期教学质量监测 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷 上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 1.已知复数z=2+i,则是= A.号+i B.- C.号+3 D.号- 【答案】B 【解折】台22-可=号- 2-i 【命题立意】改编自必修二P18T2,考查复数的四则运算， 2.已知点O,A,C,下列向量运算结果为OC的是 A.OA-AO B.OC+AO C.AC-OA D.OA+AC 【答案】D 【解析】OA+AG=OC. 【命题立意】改编自必修二P59T1,考查向量的加减法运算 3.某班级进行了一次数学测验，满分为150分，设事件A表示“学生成绩及格（分数≥90分）”， 事件B表示“学生成绩优秀（分数≥120分）”.若P(B)=0.2,P(AUB)=0.5,则P(A)= A.0.2 B.0.3 C.0.5 D.0.7 【答案】C 【解析】由题可知，若事件B发生，则事件A一定发生，所以B二A.因此P(A∩B)=P(B). 根据概率的基本性质P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A∩B),则P(A)=0.5. 【命题立意】改编自必修一P245T1,考查概率的基本性质. 4.已知sin呈=-g,4r<a<6r,则sin号= A.-岩 B.岩 C.方 D.-5 【答案】B 【解析】：4r<a<6m,元<呈<号元，即呈是第三象限角，故cos呈<0.已知sm=-名， 由同角三角函数基本关系得cos呈=-专，利用根据二倍角公式sin号=2sin呈cos呈.代入得 sin号=2sin呈c0s呈=券. 【命题立意】改编自必修一P223T1,考查同角三角函数基本关系、二倍角公式. 5.若xlog32=1,则2”+2”= 数学试题第1页（共11页) A.1 B.3 C.9 D.6 【答案】C 【解析】由mlog2=1,解得x=g2=1og3,于是2”=23=3,2==专，小2+2= 3+号=9， 【命题立意】改编自必修一P127T6,考查指数幂的运算性质、换底公式. 6.下列命题中，正确的个数是 ①若直线a∥b,那么a平行于经过b的任何平面 ②若平面α内有无穷多条直线都与平面B平行，则平面α与平面B平行 ③若平面&⊥平面B,那么平面α内所有直线都垂直于平面B ④已知平面a,B,Y,且a⊥Y,B⊥y,a∩B=l,则l⊥y A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】B 【解析】α不平行于同时过a,b这两条直线的平面，则①错 Q内有无穷多条直线都与B平行，推不出平面α与平面β平行，平面α与平面B可以相交，则② 错： 若平面α⊥平面B,平面α内垂直于交线的直线才垂直于平面B,则③错： 证明：设a∩y=a,B∩Y=b,在平面y内取一点A,过A作AB⊥a于B,过A作AC⊥b于 C .ABCY,ACCY且AB∩AC=A, B 又'a⊥Y,a∩y=a,AB⊥a,∴.AB⊥a, 又：lCa,.AB⊥l, 同理可证AC⊥1， 又：ABCY,ACCY且AB∩AC=A, .l⊥Y,则④正确： 【命题立意】改编自必修二P162T2,考查线面平行与垂直的判定及性质. 7.已知△ABC和该平面内一点O,满足2AO=AB+AC,|OA=AB=OC=3,则向量BA 在BC上的投影向量为 A武 B.3BC C.-8 D.-3 BC 4 【答案】A 【解析】由图可知，O为BC边的中点，OA=OB=OC=AB=3,∠B=60°，BC=6,则向 量B函在BC上的投影向量为子BC, 【命题立意】改编自必修二P22T21,考查投影向量、向量的线性运算性质及几何意义，考查数 形结合思想， 8.在一组样本数据中，1,2,3,4出现的频率分别为乃，乃，乃，P, ∑P=1,满足B= =1 P,乃=P且P≥P,记样本的方差为s2,则s2的最大值是 A.1.25 B.1.5 C.2 D.2.25 【答案】D 数学试题第2页（共11页） 【解析】解法1：B=R,乃=R,∑P=1.B+B=0.5,乃=0.5-P 又：P1≥乃，∴.P≥0.5-PP1≥0.25，因此B∈[0.25,0.5]，则样本均值元=D1+2乃+3P +4P=5(B+B)=2.5,样本方差s2=∑P(x,-2=B(1-2.5)2+乃(2-2.5)2+乃(3-2.5) 2+P4(4-2.5)2=4P+0.25,由乃∈[0.25,0.5]，.s2∈[1.25,2.25]. 解法2：由数据的对称性可知，样本均值为2.5，欲使方差最大，应使数据1和4出现频率最大， 所以乃=P=0.5,乃=P=0,此时，方差最大值s2=0.5(1-2.5)2+0.5(4-2.5)2=2.25. 【命题立意】改编自2020年全国Ⅲ卷T3,考查用样本估计总体的离散程度，体现多想少算. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9已知函数f)=号，则 A.f(x)的定义域为{x≠6} B.f(c)在定义域上单调递减 C.当x>6时，fx)的最小值为1 D.f(x)的图象关于点(6,1)中心对称 【答案】AD 【解析】由分式的分母不为零得x一6≠0，故定义域为{xx≠6}，A正确. 由图象可得，f(x)在(-∞，6)和(6，+∞)上单调递减.但“在定义域上单调递减”要求对定义域 内任意c1<2,都有f(1)>f(x2).取1=5，c2=7.则f(5)=-7,f(7)=9.此时f(5)< f(7),不满足要求，B错误. 当x>6时，x-6>0,故36>0.从而f()>1,因此函数无最小值，C错误。 由f知)=号=1+8。可知，fo)的图象可由反比例函数y=是的图象先向右平移6个单位， 再向上平移1个单位得到.因为y=的对称中心为(0,0)，平移后变为(6,1)，所以f(x)的图象 关于点(6,1)中心对称，D正确. 24 12 12 24 30 【命题立意】改编自必修一P81例5，考查函数的性质. 10.设O是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是 A.若|OA=O-OC,则点O是△ABC的外心 B.若OA+OB+OC=0,则点O是△ABC的重心 C.若OA.OB=OA·OC=OB.OC,则点O是△ABC的内心 Di焉+ )=0,则点O在∠A的角平分线上 【答案】ABD 数学试题第3页（共11页) 【解析】若OA=OB=OC,则点O是△ABC的外心，A正确. 若OA+OB+OC=0,则OA+OB=-OC,以OA,OB为邻边作平行四边形OADB,设 OD与AB交于点G,则G为AB中点.由OA+OB=OD得OD=-OC,即C,O,D三点共 线，则点O在中线CG上.同理可得，点O在中线AE,BF上，所以O为△ABC的重心，B 正确 由OA.OB=O元.OC得OB.(OA-OC)=0,即O元.AC=0,则OB⊥AC.同理可得OA ⊥BC,OC⊥AB.所以O为△ABC的垂心，C错误， 西+表示∠A的外角平分线，由OA:(西 =0知OA垂直∠A的外角平分 AB CA CA 线，则OA是∠A的角平分线上，D正确. 【命题立意】改编自必修二P52T2,考查向量的数量积、数乘运算及几何意义， 11.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点P、Q、M分别是棱BC,AA1,C1D1的中 点，则 D M A.AC1∥平面PQM B.DB1⊥平面PQM C.过P,Q,M三点的平面与正方体相交形成的截面周长为6√2 D.能放入由平面PQM分割该正方体所成的两个空间几何体内部（厚 度忽略不计)的球的半径的最大值为3一√ 2 【答案】BCD 【解析】易知过P,Q,M三点的平面与正方体相交形成的截面为正六边形，显然AC:与此截面 相交，则AC1与平面PQM相交，A错误： 对于B选项，过P,Q,M三点的平面与正方体相交形成的截面为正六边形截面显然平行于平 面A1BC1,而DB1⊥平面A1BC1,则DB1⊥平面PQM,B正确； 过P,Q,M三点的平面与正方体相交形成的截面为正六边形截面周长为6√2，C正确： 因为平面PQM将正方体分割成完全相同的两部分，所以我们可只考虑平面PQM上方的部分， 若一个球在这部分内部且半径最大，则该球与平面B1BAA1,平面B1BCC1,平面A1BCD1及平 面PQM均相切，即此时该球为正六梭锥B,-EPFMGN的内切球.因为Saar=号，所以正六 梭锥的表而积为9+35.a-Gw=号×3W3×V5=3.设正六棱锥B,-EPPMGNE的内切 球半径为则宁0+3=3：所以=3百=32，D正路， 2 【命题立意】改编自必修二P171TI2,考查点线面位置关系及球的切接问题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.己知幂函数y=fx)的图象过点(5，√5)，则f(x)=· 【答案】fc)=x或f(x)=√ 【解析】“fx)是幂函数，.设fx)=,代入(5，√5)解得f(c)=x或f(x)=√元 【命题立意】改编自必修一P91T1,考查幂函数的概念， 13.在正三棱台ABC-A1B1C1中，AB=4,A1B1=2,AA1=2,则该棱台的体积为 【答案】14W2 数学试题第4页（共11页） 【解析】解法1：分别取上下底面的中心O1、O,连接AO、OO1以及OA1, 在直角梯形AO0,A中，易得A0-号×sin后-青 04=号×n号房，过点作A7上A0.在aAA7中，7A0A0后 从而方=AT=VAA-T-√2-（后-V胥 则体积为V=×（侵×2×2sin号+号×4×4sn号+V×2×2sin号号×4x4sin号）× V骨- 3 解法2：延长侧楼，补形为三枝锥P-ABC,由相似比知受-卧-。=分，则PA PO PA AB 易得A0=号xm管-青在anA0,p0=P-a0=V-(古= 3 从面PO:=26,则Va版=W-言×合×4Xsn号)×5吉× 3 3 3 (号×2×2m号)×2-12 3 3 【命题立意】改编自必修二P116T1,考查正三棱台的体积. 14.夹江竹纸是国家级非物质文化遗产.用其制成的折扇扇面可以抽象成如图所示的扇形COD,其 中∠C0D=,OC=30A=3.点P在弧CD上（含端点），连接OP交弧AB于点Q,记 ∠COP=6,6∈[0，].当Ad·B乎取得最小值时，tan0= 【答案】 解法1： 由平面向量基本定理可对AQ和BP进行分解， AQ=OQ-OABP-OP-OB =(O0-OA)·(OP-OB =OQ.OP-0Q.0B-OA.OP+0A.OB 整理得40，B2-号-（号cos6+号sin6) 令f0)=号cos0+号sim0 =V7℉cos0+图sin0) 令sin9=平，co80=图 则f(6)=√斤sin(p+6) 当AG·BP取得最小值时，则f()取得最大值. 即p+6=号时，sn(p+6)=1 数学试题第5页（共11页） 1= :.tand=tang=5 解法2： 建立如图坐标系，则 A1,0,Qcos6,sin),B(-7,号)，P3cos6,3sin0) 4AQ=(cos0-1,sin0)B=(3cos0+号，3sind-号） A0·B-号-（号cos0+号sind) 令f0)=号cos6+9sind =V7(年cos0+Tsn) 令snp=平，cow=图 则f(0)=√7sim(p+日) 当AOBP取得最小值时，则f)取得最大值： 即p+6=号时，sn(p+)=1 'tand-tane 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤。 15.(13分) 柜子里有3双不同的鞋，分别用a1,a2,b1,b2,c1,c2表示6只鞋，从中随机抽取2只. (1)记事件A=“取出的鞋都是左脚的”，求P(A): (2)记事件B=“取出的鞋不成双”，求P(B). 【答案】(1)样本空间2={a1a2,a1b1,ab,a1c1,a1c,ab1,ab2,ac1,ac,b1b2,b1c1,b1c2,bc,bc,C1c …2分 .n(2)=l5.…3分 A={ab1,a1C1,b1c.…5分 .n(A）=3.…6分 PA)=8=是=言 …8分 (2)解法1：由(1)得n(2)=15 B={a1b1,a1b2,a1C1,a1c,ab1,a2b2,aC1,a2c2,b1C1,b1c2,b2C1,b2C2,}.…10分 ∴.n(B)=12. …11分 PB-温-品=专 …13分 解法2：：事件B的对立事件是“取出的鞋成双”，即厄={aa,bb,c1c}. …10分 .n(B)=3.…11分 ∴PB=是=吉 1 …2分 ∴.P(B)=1-P(B-吉 …13分 【命题立意】改编自必修二P267T7,考查古典概型. 16.(15分) 如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是BC上一点，且BF=3F乙.设AB= a,AD=6. 数学试题第6页（共11页) (1)用基底{a,b}分别表示向量DB,AE,F: (2)若EG=4E录，用向量法证明A,B,G三点共线. 【答案】 (1)DB=AB-AD=a-b. .2分 :E是DC中点.D匝=a AE=Ad+Di=号a+b.…5分 BF=3C.“C=-1b, 录-C-C币-a-b. …8分 (2)AG=AE+EG. …10分 =b+5a+4〔-1b+2a)=号a. :AB=a,.AG=号AB. …13分 .由向量共线定理得，AG与AB共线。…14分 又：AG与AB公共点为A, A.B.G三点共线。 …15分 【命题立意】改编自必修二P27T2,考查平面向量基本定理，向量共线定理. 17.(15分) 从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50~350kw·h之间，进 行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图. 频率/组甄 0.006 0.0043 0.0036 0.0024 0.0012 50 1m150200203030月用电量/Wh) (1)计算直方图中x的值。 (2)在被调查的用户中，用电量在200kw·h以上的户数为多少？ (3)为引导居民节约用电，电力公司拟采用分层定价策略：设定一个月用电量参考值，使小区约 半数用户用电量低于该值、半数高于该值，并据此对低于者执行基础电价、高于者执行阶梯加价. 请根据频率分布直方图估计该参考值（精确到0.01）· 【答案】(1)根据频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1可得： 50×(0.0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012)=1.....…3分 解得x=0.0044.… …5分 (2)用电量在200%w-h以上的频率为：（0.0044+0.0024+0.0012)×50=0.4.…7分 样本容量为100，则抽取的户数为100×0.4=40.…9分 (3)由（2)可知，中位数在第三组[150,200)内.…11分 设中位数为m,则0.3十0.006(m-150)=0.5.…13分 资解得m心183.33.…15分 数学试题第7页（共11页) 【命题立意】改编自必修二P198T1,考查用样本估计总体的集中趋势参数， 18.(17分) 已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且asin(号-C)+c=b. (1)求A;(2)若a=2,求△ABC周长最大值. 【答案】(1)解法1： :sin(受-C)=cosC ∴.acosC+c=b. …2分 由正弦定理得sinAc0sC+号sinC=sinB.…4分 又.在△ABC中sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC.… 6分 :.化简得：2sinC=cosAsinC. …7分 即C08A=号，A=60°.…8分 解法2： :sin(号-C)=cosC ∴.acosC+c=b. …2分 由余弦定理得a品2+0 +c=b. 4分 化简得a2=b2十C2-bC.…5分 又“cosA=b+e÷-a」 2bc 7分 .C0sA=,A=60°.8分 (2)解法1： A=60°，a=2 .由余弦定理a2=b2十c2-2bcC0sA,得：b2+c2-bc=4.…10分 配方得（亿十C)=4十3bC.…12分 由基本不等式bc≤（尸得，(b+cP≤4+3（尸. …14分 .化简得(b+c)2≤16. … …15分 又：在△ABC中，b+c>a .2<b+c≤4. …16分 ∴.△ABC周长最大值为6. …17分 解法2： :A=60°，a=2 ~由正弦定理=no=,得b=9sinB,c=9sinC. …10分 己知a=2,所以△ABC周长最大值即为b+c最大值 ∴b+c=(sinB+sinC). …11分 又：A=60°.B+C=120°，B=120°-C. …12分 ∴b+e=[sin(120°-C)+simC sinCcosc] =5[v3ainC+若小. …14分 “A=晋C∈(0，) “.当C=号时，b+c取得最大值4. …16分 数学试题第8页（共11页） ..△ABC周长最大值为6. ..…17分 【命题立意】改编自必修二P54T22,考查诱导公式、两角和的正弦公式、正余弦定理、基本不 等式 19.(17分) 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标，设P为多面体W的一个顶点，定义多面体WV在点P 处的离散曲率为0p=1-左(QPQ+∠QPQ++∠Q,PQ+∠Q.PQ),其中 Q(1=1,2,…,k,k≥3)为多面体W的所有与P相邻的顶点，且平面Q1PQ2,平面QPQ,…,平面 QPQ1为多面体W的所有以P为公共点的面.现给出如图所示的四棱锥P-ABCD,其底面为正方 形，且PA⊥平面ABCD,点E为棱PC上的一动点. (1)如图1，若点E为棱PC上靠近点P的一个三等分点，M、N分别为AB、AD的中点，证 明：BE∥平面PMN; (2)如图2，若四棱锥P-ABCD在点D处的离散曲率为且P元=元，过A、B、E三点的 平面a交棱PD于点T,证明：平面PBD⊥平面ABET: (3)若四棱锥P-ABCD在点P、小、C、D处的离散曲率和为吕，点E为棱PC上一动点， 求直线BE与平面ABCD所成角的取值范围. 【答案】(1)证明：连接BD交AC于点O,连接ED、EO,记：MN∩AC=G :在正方形ABCD中，M、N分别为AB、AD的中点，则BD∥MN 又.MNC平面PMN,BD寸平面PMN .BD∥平面PMW.…2分 而在正方形ABCD中，易知点G是A0中点，从而C9 2 CG = 又：点E为棱PC上靠近点P的一个三等分点，从而C二 CP ∴瓷-器从而B0∥PG 又：PGC平面PMN,EOt平面PMN ∴.EO∥平面PMN.… …3分 又：BDC平面BDE,EOC平面BDE,BD∩EO=O .平面BDE∥平面PW.…4分 :BEC平面BDE, ∴.BE∥平面PMN. ……5分 (2)证明：在正方形ABCD中，CD⊥AD ·PA⊥平面ABCD,CDC平面ABCD .CD⊥PA :ADC平面PAD,PAC平面PAD,AD∩PA=A .CD⊥平面PAD 数学试题第9页（共11页） 又·PDC平面PAD .CD⊥PD,即∠CDP=」 2 …6分 :四棱锥P-ABCD在点D处的离散曲率为冬， @,=1-(2ADC+∠PDC+∠ADP)=1-左（号+受+∠ADP)=号 即∠ADP=至： 7分 AB∥CD 又：CDC平面PCD,AB寸平面PCD .AB∥平面PCD 又：ABc平面a,平面a∩平面PCD=ET ∴.AB∥ET. :PE=EC,则点T必为PD中点，即BT为△PCD的中位线 .在等腰RtAPAD中，PDLAT.…8分 又：PD⊥CD,CD∥ET,则PD⊥ET. …9分 又：ATC平面ABET,ETC平面ABET,AT∩ET=T .PDL平面ABET.…10分 .PDC平面PBD .平面PBD⊥平面ABET.I1分 (3)由题意，四棱锥P-ABCD在各个顶点处的离散曲率的和为： ①1+0g+0c+0+p=5-2左(4r+2)=2. :四棱锥P-ABCD在点P、A、C、D处的离散曲率和为吕，即：0：+0g+0,十0：=吕 :四棱锥P-A5CD在点B处的离敬由率为：心，=2-吕=高 5 :=I-安(2PBA+∠PBC+∠C8A)=1-(PBA+号+号)=是， 即：∠PBA=吾 …12分 不妨令：AB=2,从而在Rt△PBA中，易知PA=2y5 3 过点E作F⊥AC,连接BF,显然EF⊥平面ABCD,在Rt△EBF中，∠EBF为直线BE与 平面ABCD所成线面角（记：∠EBF=) 当点E与点C重叠时，直线BE与平面ABCD所成线面角为0°， …13分 当点E与点C不重叠时， 不妨设FC=t(t∈(0,2W2]),从而在Rt△BCF中， 由余弦定理得：BF2=4+8-2×2tcos于=4+t-2W2t,则BF=√4+-2W2t.…14分 山即∥PA,知=器：冠 22,则EP=6t 可F t 6 3 6t .在RtAEBF中，tan∠EBF=ta,n= EF 6 .15分 √4+t2-2W2t 合 1 1 1 6 令 6 6 .'tan2∠EBF=tan0= 4+-2W2=±-2y2+1 42-2√21+1 t2 t 4 十2 数学试题第10页（共11页） A∫2 4，+∞ 当1=华时，am动=-方：从而0<tan0≤号，则0e(0,后] …16分 3 :综上所述：直线BE与平面ABCD所成线面角9∈[0，看] 17分 E D B 数学试题第11页（共11页)