精品解析：广西来宾高级中学2025-2026学年高二下学期期末第一次适应性训练数学试题

2026年春学期高二期末第一次适应性训练 数学 考试时间：120分钟满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，则． 2. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，，而，所以选项A错误. 对于B，，而不是，所以选项B错误. 对于C，，所以选项C正确. 对于D，，而不是，所以选项D错误. 3. 甲、乙、丙、丁4名同学进行知识竞赛，若甲不是最后一名，则4人不同名次排列的种数有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 18种 D. 24种 【答案】C 【解析】 【详解】先对甲进行排序，有3种不同的选择， 再对其他3人进行全排列，有种不同方法， 则一共有种不同名次排列. 4. 一个体育队有4名女运动员和3名男运动员，现从队伍抽样尿检，每次从中抽选1个运动员，抽出的运动员不再检查，则在第1次抽到女运动员的条件下，第2次抽到男运动员的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用条件概率的概率公式结合排列组合知识求解. 【详解】用事件表示“第1次抽到女运动员”，事件表示“第2次抽到男运动员”， 第1次抽到女运动员包括第1次女第2次男：种，两次均为女种， 共种， 从所有运动员中依次取2名共有种， 则，，则， 则在第1次抽到女运动员的条件下，第2次抽到男运动员的概率为. 故选：C 5. 某市高二年级男生的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，随机选择一名该市高二年级的男生，则其身高落在区间内的概率约为（ ）（附：若随机变量X服从正态分布，则，） A. 0.0456 B. 0.1359 C. 0.2718 D. 0.3174 【答案】B 【解析】 【分析】由正态分布的对称性及特殊区间的概率求解即可得. 【详解】由题意知， ． 故选：B. 6. 函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过的单调性，判断的正负，即可求得的正负. 【详解】由图象可得， 在上单调递增，所以时，； 在上单调递减， 所以当时，； 当时，； 在上单调递增,当时，． 综上，的解集为． 7. 已知函数在处有极小值，则的极大值为（ ） A. 1 B. 1或3 C. D. 4或 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导函数，由求出的值，再代入求出函数的单调性，从而确定函数的极值. 【详解】因为， 所以， 由，即，解得或， 当时 令，解得或， 所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极小值，在处取得极大值， 则； 当时 令，解得或， 所以当或时，当时， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，在处取得极小值，不符合题意，故舍去； 综上可得； 故选：C． 8. 已知对恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将不等式进行变形，构造函数，根据其单调性得到，转化为恒成立问题，通过求函数在上的最大值来确定的取值范围. 【详解】设，则. ∵时，，，∴，故在上单调递增. ∵对恒成立，∴当时，，则有， 当时，可等价变形为. ∵在上单调递增，且，（）， ∴由可得，可得，即对恒成立. 设，则. 当时，， ，，故. ∴在上单调递减， ∴当时， . ∵对恒成立，∴，即实数的取值范围是. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知二项式的展开式中各二项式系数和为64，则下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有6项 B. 二项式系数最大的项是第4项 C. 展开式的常数项为160 D. 展开式中各项的系数和为1 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，根据条件得到，即可求解；对于B，利用二项式系数的性质，即可求解；对于C，利用二项式的展开式的通项公式，即可求解；对于D，根据条件，通过赋值，即可求解. 【详解】由题知，得到，所以展开式共有项，故选项A错误， 对于选项B，因为，由二项式系数的性质知二项式系数最大的项是第项，所以选项B正确， 对于选项C，二项式的展开式的通项公式为， 由，得到，所以展开式的常数项为，所以选项C错误， 对于选项D，令，则，所以展开式中各项的系数和为，故选项D正确. 10. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的若干种价格进行试销，统计了连续5个月的月销售量（单位：千件）与售价（单位：元/件）的情况如下表所示．则（ ） 售价（元/件） 10 11 12 13 14 月销售量（千件） 10 9 9 7 5 参考数据：，，，． A. 关于的线性回归方程为： B. 相关系数（小数点后保留两位） C. 当售价为15元/件时，预测月销售量为3.4千件 D. 在线性回归方程的估计下，样本点的残差为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由已知公式求得线性回归方程可判断ACD，由相关系数计算公式可判断B. 【详解】计算均值： ， ， 选项A，根据公式， ， 线性回归方程为，A正确； 选项B，相关系数，B正确； 选项C，将代入回归方程： ，预测月销售量为千件，不是千件，C错误； 选项D，时， ，残差 ，D正确. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，的对称中心为 B. 若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是 C. 曲线不可能是轴对称图形 D. 若的极大值与极小值互为相反数，且，则 【答案】AD 【解析】 【分析】计算出，的对称中心为，故A正确；利用判别式即可判断B；利用偶函数的定义即可判断C；利用导数研究函数的极大值与极小值即可求解. 【详解】对于A，当时，，，故，所以的对称中心为，故A正确； 对于B，若函数在R上单调递增，则恒成立，，解得，故B错误； 对于C，当时，，因为，所以是偶函数，即曲线关于对称，是轴对称图形，所以C错误； 对于D，，令，得或0， 已知，当时，，此时无极值，舍去， 当时，，令，得或，令，得， 故的极大值为，极小值为， 令，即，变形为， ，， 又，则，故D正确． 故选：AD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 为进一步了解学生的学习和生活，某校选派4名老师去三个学生家中进行家访活动，每个学生家中至少去1人，恰有两个学生家中所派人数相同，则不同的安排方式有__________种 【答案】36 【解析】 【分析】先从4名老师中选2名作为一组 ，将这三组对应三个学生家进行全排列，根据分步乘法计数原理，安排方式共有种. 【详解】某校选派4名老师去三个学生家中进行家访活动， 每个学生家中至少去1人，恰有两个学生家中所派人数相同，选派方案为：1，1，2；不同的安排方式有：（种）． 故答案为：36 13. 已知随机变量X，Y满足，且随机变量X的分布列如下：则随机变量Y的方差等于_____. 0 1 2 【答案】 【解析】 【分析】先根据分布列的性质可得，再计算随机变量X的期望及方差，最后再根据方差的性质可得结果. 【详解】由随机变量的分布列的性质，得，即. 再由期望公式， 所以， 由方差的性质得. 故答案为： 14. 已知若函数有两个零点，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】函数有两个零点等价于的图象有两个交点，对每段函数分别求导，求出函数的单调区间，再求出每一段上的最大值，进而画出函数的图象，即可求出m的取值范围. 【详解】当时，，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 所以时，. 当时，，则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 所以时，. 画出函数的图象，如图所示： 函数有两个零点等价于的图象有两个交点，， 由图可知或. 所以m的取值范围为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性： （3）若在区间上存在极值，且此极值小于，求的取值范围． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求函数在点处的切线. （2）求导，分，讨论导函数的单调性. （3）结合（2）的结论，确定函数的极小值，在根据极小值的取值范围求的取值范围. 【小问1详解】 当时，，， 所以，. 所以在处的切线方程为：，即. 【小问2详解】 因为，. 所以. 若，则在上恒成立，所以在上为减函数； 若，由，由. 所以在上为减函数，在上为增函数. 综上，时，在上为减函数； 时，在上为减函数，在上为增函数. 【小问3详解】 由（2）知：，即，此时函数在处取得极小值. 由， 由， 结合，得. 故的取值范围为. 16. 某学校组织一次认识大自然的夏令营活动，有10名同学参加，其中有6名男生、4名女生，现要从这10名同学中随机抽取5名同学去采集自然标本，设抽取的人中女生有名． （1）求抽取的人中至多有1名女生的概率． （2）设抽取的人中女生有名，求的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列如下： 【解析】 【分析】（1）根据古典概型求概率，再根据互斥事件的概率加法公式求解； （2）根据古典概型求出每一个可能取值的概率，进而得出分布列，然后根据期望公式求解. 【小问1详解】 抽取的人中没有女生的概率为， 抽取的人中有1名女生的概率为， 抽取的人中至多有1名女生的概率为. 【小问2详解】 的取值可能为， ， ， ， ， ， 的分布列如下： . 17. 某学校开展阅读兴趣调查，随机采访男生、女生各人，每人从文学类书籍和科普类书籍中选择最喜欢的一类，喜欢文学类书籍的归为甲组，喜欢科普类书籍的归为乙组.调查发现：甲组成员共人，其中男生人. （1）根据以上数据，填空列联表： 甲组 乙组 合计 男生 女生 合计 （2）依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢文学类还是科普类书籍是否与性别有关； （3）将上述调查所得的频率视为概率，从该校全体女生中随机抽取3人，设抽取的女生中喜欢文学类书籍的人数为随机变量，求的分布列及数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 【答案】（1） 甲组 乙组 合计 男生 女生 合计 （2）学生喜欢文学类还是科普类书籍与性别有关 （3） 的分布列为： 0 . 【解析】 【分析】（1）根据题意，求出男生、女生在甲、乙组的人数，计算即得列联表； （2）写出零假设，计算，由小概率值的独立性检验，推断不成立，从而得到结论； （3）求出女生喜欢文学类书籍的概率，随机变量服从二项分布，利用二项分布概率公式求出的每个可能取值的概率，得到其分布列，继而求出. 【小问1详解】 甲组成员共46人，其中男生16人，则其中女生30人， 男生有50人，则男生在乙组有34人，女生有50人，则女生在乙组有20人， 则列联表为： 甲组 乙组 合计 男生 女生 合计 【小问2详解】 零假设学生喜欢文学类还是科普类书籍与性别无关， ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为学生喜欢文学类还是科普类书籍与性别有关. 【小问3详解】 女生喜欢文学类书籍的概率为， 依题意，随机变量服从二项分布， ， ， ， ， 则随机变量的分布列如下表所示： 0 所以. 18. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）函数有两个零点，． （i）求实数a的取值范围； （ⅱ）若函数有两个零点为，，证明：． 【答案】（1） 当时，在上无极值； 当时，有极小值，无极大值. （2）（i）； （ⅱ）证明：由（i）可知，. 由. 设，，则， 由；由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 又，，当时，. 当时，与函数的图象有两个交点，且. 所以，且. 又，，，， 结合（i），，. 由，由. 所以. 因为，所以，， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）求导，分和讨论函数的单调性，探索函数的极值情况. （2）（i）问题转化为与函数的图象有两个不同交点，求的取值范围，再分析的极值及符号即可，（ⅱ）根据，及，可确定. 【小问1详解】 因为（），所以. 当时，在上恒成立，所以在上单调递减，无极值； 当时，由；由. 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，无极大值. 【小问2详解】 （i）. 设，则问题转化为与函数的图象有两个交点. 因为. 由，由. 所以在上单调递增，在上单调递减. ，且当时，；；当时，. 所以当时，与函数的图象有两个交点. 所以实数的取值范围为. （ⅱ）略 19. 甲对某运动项目进行挑战，若第一天挑战不成功，则第二天继续挑战；若第一天挑战成功，则第二天休息一天，第三天继续挑战，依此类推…假设甲挑战成功的概率均为，设第天甲挑战的概率为． （1）求，； （2）求证数列为等比数列，并求； （3）若随机变量服从两点分布，且，，则．记前天（即从第1天到第天）中甲挑战的天数为，求． 【答案】（1），. （2）证明见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）根据对立事件概率公式和独立事件乘法公式求解即可； （2）由，即可得，即可利用等比数列定义证明结论，然后利用等比数列的通项公式求解即可； （3）利用两点分布求得，然后利用等比数列求和公式求解即可. 【小问1详解】 根据题意，. 【小问2详解】 当时，，所以，又, 所以是以为首，为公比的等比数列，所以， 即. 【小问3详解】 因为，， 所以，     因为，， 所以当时，， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春学期高二期末第一次适应性训练 数学 考试时间：120分钟满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合 ，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 甲、乙、丙、丁4名同学进行知识竞赛，若甲不是最后一名，则4人不同名次排列的种数有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 18种 D. 24种 4. 一个体育队有4名女运动员和3名男运动员，现从队伍抽样尿检，每次从中抽选1个运动员，抽出的运动员不再检查，则在第1次抽到女运动员的条件下，第2次抽到男运动员的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 某市高二年级男生的身高X（单位：cm）近似服从正态分布，随机选择一名该市高二年级的男生，则其身高落在区间内的概率约为（ ）（附：若随机变量X服从正态分布，则，） A. 0.0456 B. 0.1359 C. 0.2718 D. 0.3174 6. 函数的图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在处有极小值，则的极大值为（ ） A. 1 B. 1或3 C. D. 4或 8. 已知对恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知二项式的展开式中各二项式系数和为64，则下列说法正确的是（ ） A. 展开式共有6项 B. 二项式系数最大的项是第4项 C. 展开式的常数项为160 D. 展开式中各项的系数和为1 10. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的若干种价格进行试销，统计了连续5个月的月销售量（单位：千件）与售价（单位：元/件）的情况如下表所示．则（ ） 售价（元/件） 10 11 12 13 14 月销售量（千件） 10 9 9 7 5 参考数据：，，，． A. 关于的线性回归方程为： B. 相关系数（小数点后保留两位） C. 当售价为15元/件时，预测月销售量为3.4千件 D. 在线性回归方程的估计下，样本点的残差为 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，的对称中心为 B. 若函数在R上单调递增，则实数a的取值范围是 C. 曲线不可能是轴对称图形 D. 若的极大值与极小值互为相反数，且，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 为进一步了解学生的学习和生活，某校选派4名老师去三个学生家中进行家访活动，每个学生家中至少去1人，恰有两个学生家中所派人数相同，则不同的安排方式有__________种 13. 已知随机变量X，Y满足，且随机变量X的分布列如下：则随机变量Y的方差等于_____. 0 1 2 14. 已知若函数有两个零点，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）若，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性： （3）若在区间上存在极值，且此极值小于，求的取值范围． 16. 某学校组织一次认识大自然的夏令营活动，有10名同学参加，其中有6名男生、4名女生，现要从这10名同学中随机抽取5名同学去采集自然标本，设抽取的人中女生有名． （1）求抽取的人中至多有1名女生的概率． （2）设抽取的人中女生有名，求的分布列及数学期望． 17. 某学校开展阅读兴趣调查，随机采访男生、女生各人，每人从文学类书籍和科普类书籍中选择最喜欢的一类，喜欢文学类书籍的归为甲组，喜欢科普类书籍的归为乙组.调查发现：甲组成员共人，其中男生人. （1）根据以上数据，填空列联表： 甲组 乙组 合计 男生 女生 合计 （2）依据小概率值的独立性检验，分析学生喜欢文学类还是科普类书籍是否与性别有关； （3）将上述调查所得的频率视为概率，从该校全体女生中随机抽取3人，设抽取的女生中喜欢文学类书籍的人数为随机变量，求的分布列及数学期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 18. 已知函数． （1）求函数的极值； （2）函数有两个零点，． （i）求实数a的取值范围； （ⅱ）若函数有两个零点为，，证明：． 19. 甲对某运动项目进行挑战，若第一天挑战不成功，则第二天继续挑战；若第一天挑战成功，则第二天休息一天，第三天继续挑战，依此类推…假设甲挑战成功的概率均为，设第天甲挑战的概率为． （1）求，； （2）求证数列为等比数列，并求； （3）若随机变量服从两点分布，且，，则．记前天（即从第1天到第天）中甲挑战的天数为，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $