2026-2027学年暑假北师大版九年级数学上册预习——一元二次方程的解法

**基本信息** 系统整合直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法四大解法，构建从特殊到一般的解题逻辑链，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直接开平方法|10题|转化为x²=a或(mx+n)²=a形式求解|基础解法，体现降次思想| |配方法|10题|含配方步骤及错误辨析（如小明解法纠错）|承接开平方法，为公式法铺垫| |公式法|10题|强调求根公式的直接应用|通用解法，体现代数推理| |因式分解法|10题|包含公因式提取及避免失根训练（如小红解法纠错）|特殊形式的简便解法，强化转化意识|

一元二次方程的解法 ◆方法一 直接开平方法 1．解方程：16x2﹣8x+1＝2（1﹣4x）． 2．解方程：（x﹣1）2＝16． 3．解方程（x﹣1）2﹣4＝0． 4．解方程：4x2﹣3＝6． 5．用开平方法解下列方程： （1）3x2﹣48＝0； （2）（2x﹣3）2＝7． 6．解方程：（x﹣2）2＝3． 7．解方程3（x+1）2﹣18＝0． 8．解方程：16x2﹣1＝0． 9．解方程：． 10．用开平方法解下列方程： （1）x2＝121； （2）9y2＝25； （3）3a2﹣27＝0． ◆方法二 配方法 11．解方程：x2﹣4x﹣2＝1． 12．解方程： （1）4x2+2＝66； （2）2x2﹣4x﹣5＝0． 13．解一元二次方程：x2﹣2x＝3． 14．解方程： （1）3（x﹣1）2﹣27＝0； （2）x2﹣6x﹣4＝0． 15．解方程：x2﹣4x﹣3＝0． 16．在用配方法解方程x2﹣4x﹣3＝0时，小明的解法如图： 第一步：移项，得x2﹣4x＝3． 第二步：配方，得x2﹣4x+42＝3+42，即（x﹣4）2＝19． 第三步：两边开平方，得． 第四步：所以，． 请回答： （1）小明的解答过程从第　 　 步开始出现错误； （2）请给出这道题的正确解答过程． 17．阅读与思考 小明同学解一元二次方程2x2﹣8x﹣18＝0的过程如下： 解；移项，得2x2﹣8x＝18① 两边同除以2，得x2﹣4x＝9② 配方，得x2﹣4x+4＝9③ 即（x﹣2）2＝9④ ∴x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3⑤ ∴x1＝5，x2＝﹣1⑥ 小明解方程的方法是　 　 ．（填字母） A．直接开平方法，B．配方法，C．公式法，D．因式分解法． 他的求解过程从步骤　 　 （填序号）开始出现错误；请你写出正确的解答过程． 18．下面是小明同学解一元二次方程2x2﹣8x﹣3＝0的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：二次项系数化为1，得，…第一步 移项，得，…第二步 配方，得，…第三步 ，…第四步 由此可得，…第五步 解得第六步 任务一： ①上述小明同学解此一元二次方程的方法是什么？依据的数学公式是什么？ ②哪一步首先出现错误，错误的原因是什么？ 任务二：请你写出该方程的正确求解过程． 19．用配方法解下列一元二次方程： （1）x2+6x＝1； （2）x2+5x﹣6＝0． 20．解方程：x2﹣2x﹣5＝0． ◆方法三 公式法 21．解方程： （1）x2﹣4x+2＝0； （2）2x2+2x﹣3＝0． 22．解方程：2x2﹣6x+4＝0． 23．解方程：x2﹣5x+2＝0． 24．解方程： （1）x2﹣2x＝5； （2）x2﹣x﹣1＝0． 25．解方程：3x（x﹣5）＝10﹣2x． 26．用适当的方法解下列方程： （1）x2﹣6x+3＝0； （2）x2﹣3x＝2x﹣6． 27．解方程：4x2﹣6x﹣9＝0． 28．解方程：x2+3x﹣2＝0． 29．解下列方程： （1）2x2+4x﹣3＝0． （2）y2﹣9＝2y+6． 30．解方程：x2＝4x+1． ◆方法四 因式分解法 31．解方程：x2﹣4x＝0． 32．解方程（x﹣2）2＝x﹣2． 33．小明与小红两位同学解方程3（x﹣3）＝（x﹣3）2的过程如下框： 小明： 等号两边同除以（x﹣3）， 得3＝x﹣3， 则x＝6． 小红： 移项得3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0， 提取公因式得（x﹣3）（3﹣x﹣3）＝0． 则x﹣3＝0或3﹣x﹣3＝0， 解得x1＝3，x2＝0． 请判断小明与小红的解法是否正确，如果不正确，请写出你的解答过程． 34．解方程： （1）x2﹣5x＝0； （2）x（x﹣6）＝2（x﹣6）． 35．解方程： （1）x2﹣4＝0； （2）（x﹣2）2＝x﹣2． 36．解方程： （1）x2﹣2x＝1； （2）x（2x﹣3）＝2（2x﹣3）． 37． 解方程：x2+5x﹣6＝0． 38．小明与小强两位同学解方程2（x﹣1）＝（x﹣1）2的过程如下： 小明： 解：两边同除以（x﹣1）， 得2＝x﹣1， 则x＝3． 小强： 解：移项，得2（x﹣1）﹣（x﹣1）2＝0， 提取公因式，得（x﹣1）（2﹣x﹣1）＝0， 则x﹣1＝0或2﹣x﹣1＝0， 解得x1＝x2＝1． （1）你认为两人的解法是否正确？若正确请在横线上打“√”，若错误请在横线上打“×”： 小明　 　 ，小强　 　 ； （2）写出你的解答过程． 39．解方程：x（2x﹣3）＝6﹣4x． 40．解方程：x2﹣6＝5x． 参考答案与试题解析 1．【解答】解：16x2﹣8x+1＝2（1﹣4x）， 16x2﹣8x+1﹣2+8x＝0， 16x2＝1， x2， 则x， 所以． 2．【解答】解：原方程开方得x﹣1＝±4， 解得x1＝5，x2＝﹣3． 3．【解答】解：（x﹣1）2﹣4＝0， （x﹣1+2）（x﹣1﹣2）＝0， x﹣1+2＝0，x﹣1﹣2＝0， x1＝﹣1，x2＝3． 4．【解答】解：由题意得，4x2＝6+3， 4x2＝9， ， ． 5．【解答】解：（1）3x2﹣48＝0， 移项得：3x2＝48， 整理得：x2＝16 解得：x1＝4，x2＝﹣4； （2）（2x﹣3）2＝7， 开方得：， 故， 解得：x1，x2． 6．【解答】解：由条件可得， ∴或． 7．【解答】解：3（x+1）2﹣18＝0， （x+1）2＝6， x+1＝±， 所以x1＝﹣1，x2＝﹣1． 8．【解答】解：16x2﹣1＝0， 16x2＝1， ， 或． 9．【解答】解：原方程整理得： ， （2x+3）2＝16， 2x+3＝±4， ． 10．【解答】解：（1）∵x2＝121， ∴x＝±11． （2）∵9y2＝25， ∴y2， ∴y＝±． （3）∵3a2﹣27＝0， ∴a2＝9， ∴a＝±3． 11．【解答】解：x2﹣4x﹣2＝1， x2﹣4x＝1+2， x2﹣4x＝3， x2﹣4x+4＝3+4， （x﹣2）2＝7 ， ，． 12．【解答】解：（1）4x2+2＝66， 整理得：4x2＝64， 则x2＝16， 直接开平方得：x＝±4， 即x1＝﹣4，x2＝4； （2）2x2﹣4x﹣5＝0， 整理得：2x2﹣4x＝5， 即x2﹣2x， 配方得：x2﹣2x+11， 即（x﹣1）2， 直接开平方得：x﹣1＝±， 解得：x1，x2． 13．【解答】解：由题意得，x2﹣2x+1＝3+1， （x﹣1）2＝4， x﹣1＝±2， x1＝3，x2＝﹣1． 14．【解答】解：（1）3（x﹣1）2﹣27＝0， （x﹣1）2＝9， x﹣1＝±3， 解得x1＝4，x2＝﹣2； （2）x2﹣6x﹣4＝0， x2﹣6x＝4， x2﹣6x+9＝4+9， （x﹣3）2＝13， ， 解得． 15．【解答】解：移项得x2﹣4x＝3， 配方得x2﹣4x+4＝3+4， 即（x﹣2）2＝7， 开方得x﹣2＝±， ∴x1＝2，x2＝2． 16．【解答】解：（1）小明的解答过程从第二步开始出现错误； 故答案为：二； （2）原方程移项可得： x2﹣4x＝3， （x﹣2）2＝7， ， ∴，． 17．【解答】解：小明解方程的方法是配方法， 他的求解过程从步骤③开始出现错误， 正确的解析过程如下： 2x2﹣8x﹣18＝0， 2x2﹣8x＝18， x2﹣4x＝9， x2﹣4x+4＝13， （x﹣2）2＝13， ∴或， ∴． 故答案为：B，③． 18．【解答】解：任务一：①由所给求解过程可知， 小明解此一元二次方程的方法是配方法，依据的数学公式是完全平方公式； ②第三步出现错误，原因是：等式的右边忘记加上4； 任务二：2x2﹣8x﹣3＝0， x2﹣4x0， x2﹣4x， x2﹣4x+4， （x﹣2）2， 则x﹣2， 所以． 19．【解答】解：（1）∵x2+6x＝1， ∴（x+3）2＝10， ∴x+3＝±， ∴x13，x23； （2）∵x2+5x﹣6＝0， ∴x2+5x＝6， ∴（x）2， ∴x±， ∴x1＝1，x2＝﹣6． 20．【解答】解：x2﹣2x+1＝6， 那么（x﹣1）2＝6， 即x﹣1＝±， 则x1＝1，x2＝1． 21．【解答】解：（1）x2﹣4x+2＝0， x2﹣4x＝﹣2， x2﹣4x+4＝﹣2+4， （x﹣2）2＝2， x﹣2＝±， x1＝2，x2＝2； （2）2x2+2x﹣3＝0， ∵Δ＝22﹣4×2×（﹣3）＝4+24＝28＞0， ∴x， ∴x1，x2． 22．【解答】解：a＝2，b＝﹣6，c＝4， b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×2×4＝4＞0， x， ∴x1＝2，x2＝1． 23．【解答】解：这里a＝1，b＝﹣5，c＝2， ∵Δ＝25﹣8＝17＞0， ∴x， 则x1，x2． 24．【解答】解：（1）x2﹣2x＝5， x2﹣2x+1＝5+1， （x﹣1）2＝6， ， 解得：，； （2）x2﹣x﹣1＝0， ∵a＝1，b＝﹣1，c＝﹣1， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）＝5， ∴， ∴，． 25．【解答】解：原方程整理得：3x2﹣13x﹣10＝0， a＝3，b＝﹣13，c＝﹣10， Δ＝b2﹣4ac＝289＞0， ， ． 26．【解答】解：（1）x2﹣6x+3＝0， ∴x2﹣6x+9＝﹣3+9， ∴（x﹣3）2＝6， ∴， 解得：，． （2）x2﹣3x＝2x﹣6， ∴（x﹣3）（x﹣2）＝0， ∴x﹣3＝0或x﹣2＝0， ∴x1＝3，x2＝2． 27．【解答】解：由题意得Δ＝（﹣6）2﹣4×4×（﹣9）＝36+144＝180＞0， ∴， ∴，． 28．【解答】解：∵a＝1，b＝3，c＝﹣2， ∴Δ＝b2﹣4ac＝32﹣4×1×（﹣2）＝17， ∴x， ∴x1，x2． 29．【解答】解：（1）由题意，∵2x2+4x﹣3＝0， ∴a＝2，b＝4，c＝﹣3， ∴Δ＝16﹣4×2×（﹣3）＝40＞0． ∴x1，2． ∴x1，x2； （2）∵y2﹣9＝2y+6， ∴（y+3）（y﹣3）﹣2（y+3）＝0． ∴（y+3）（y﹣5）＝0． ∴y1＝﹣3，y2＝5． 30．【解答】解：原方程移项配方可得： x2﹣4x+4＝1+4， （x﹣2）2＝5， ， 解得，． 31．【解答】解：∵x（x﹣4）＝0， ∴x＝0或x﹣4＝0， 解得：x1＝0或x2＝4． 32．【解答】解：∵（x﹣2）2＝x﹣2， ∴（x﹣2）2﹣（x﹣2）＝0， ∴（x﹣2）（x﹣3）＝0， 则x﹣2＝0或x﹣3＝0， 解得x1＝2，x2＝3． 33．【解答】解：由题知， 小明和小红的解法都不正确，解答过程如下： 3（x﹣3）＝（x﹣3）2， 3（x﹣3）﹣（x﹣3）2＝0， （x﹣3）（3﹣x+3）＝0， （x﹣3）（6﹣x）＝0， 则x﹣3＝0或6﹣x＝0， 所以x1＝3，x2＝6． 34．【解答】解：（1）x2﹣5x＝0， x（x﹣5）＝0， 则x＝0或x﹣5＝0， 所以x1＝0，x2＝5； （2）x（x﹣6）＝2（x﹣6）， x（x﹣6）﹣2（x﹣6）＝0， （x﹣6）（x﹣2）＝0， 则x﹣6＝0或x﹣2＝0， 所以x1＝6，x2＝2． 35．【解答】解：（1）x2﹣4＝0， ∴x2＝4， ∴x＝±2， ∴x1＝2，x2＝﹣2， （2）（x﹣2）2＝x﹣2， ∴（x﹣2）（x﹣2﹣1）＝0， ∴（x﹣2）（x﹣3）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣3＝0， ∴x1＝2，x2＝3， 36．【解答】解：（1）x2﹣2x＝1， x2﹣2x+1＝1+1， （x﹣1）2＝2， 则x﹣1， 所以； （2）x（2x﹣3）＝2（2x﹣3）， x（2x﹣3）﹣2（2x﹣3）＝0， （2x﹣3）（x﹣2）＝0， 则2x﹣3＝0或x﹣2＝0， 所以． 37．【解答】解：（x+6）（x﹣1）＝0， x+6＝0或x﹣1＝0， 所以x1＝﹣6，x2＝1． 38．【解答】解：（1）我认为两人的解法都不正确，小明×，小强×， 故答案为：×；×； （2）2（x﹣1）＝（x﹣1）2， 2（x﹣1）﹣（x﹣1）2＝0， （x﹣1）[2﹣（x﹣1）]＝0， （x﹣1）（3﹣x）＝0， x﹣1＝0或3﹣x＝0， x1＝1，x2＝3． 39．【解答】解：原方程可化为：x（2x﹣3）+2（2x﹣3）＝0， （2x﹣3）（x+2）＝0， 2x﹣3＝0或x+2＝0， 解得，x2＝﹣2． 40．【解答】解：x2﹣6＝5x， x2﹣5x﹣6＝0， （x+1）（x﹣6）＝0， 则x+1＝0或x﹣6＝0， 所以x1＝﹣1，x2＝6． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/7/7 9:20:07；用户：贾老师；邮箱：18700475953；学号：68421402 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $