暑假作业08 因式分解法解一元二次方程（预习作业）八年级数学新教材北师大版

**基本信息** 以零积性质为逻辑根基，系统构建因式分解法解一元二次方程的方法体系，覆盖原理、类型、优先级及跨题型应用，强化转化思想与解题策略。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |核心原理|3个知识点|零积性质降次逻辑、归零前置条件、三类因式分解类型|从原理到操作条件，再到具体分解方法，形成完整认知链| |解题策略|4个知识点|解法选择优先级（直接开方→因式分解→公式法）|基于计算效率的最优决策路径，培养优化意识| |题型应用|3类题型（含换元法、分式方程转化）|换元降次、分式方程整式化|从基础解法到复杂方程转化，体现模型思想与化归能力|

西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 完成时间： 月」 日 今日打卡：口已完成 用时： min 自评勋章： 罗 暑假作业08因式分解法解一元二次方程 新知初探 【知识点1因式分解法的核心依据：零积性质】 1. 若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0；反之，若两个因式的乘积等于0，则至少其中一个 因式等于0。 2.符号表述：若b=0,则a=-0或b=0(“或”表示两种情况满足其一即可，不是排他性的“要么 …要么…”)。 3.这就是因式分解法能实现「降次」的逻辑根基：把二次方程拆成两个一次方程，分别求解即可。 【知识点2适用因式分解法的强制前置条件】 方程必须能整理为如下标准形态才能用该方法：左边=两个一次因式的乘积，右边=0，即：必须 先把方程所有项移到等号左侧，右侧化为0，绝不能对右边非0的等式直接拆因子。 【知识点3目前阶段可操作的因式分解类型】 类型 特征 分解方法 示例 2x2+4x=0 提取公因式 提公因式法 各项含公共的一次因式单项式因式 2x(x+2)=0 (含分组提公) x=0,x32=-2 4x2-9=0 (2x+3)(2x-3)=0 公式法 符合平方差或完全平方公式形态 逆用乘法公式 二次三项式x+br+c=0能拆分为 x2+5x+6=0 十字相乘法 十字交叉相乘验证 (x+2)(x+3)=0 (x+p)(x+q)=0 x=-2,X2=-3 117 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 其中P+9=b,pq=c 【知识点4三类解法的选择优洗级】 按“最快最省计算”的原则排序，不用死磕一种方法： 1. 最优先：方程已经是能快速化成一次式的平方=常数→直接开平方法 2.次优：归零后左边能轻松因式分解→因式分解法（步骤最少，几乎不牵扯复杂计算） 3. 兜底：上述两种方法都用不了→公式法（万能，但要算△、化简根式） 4.配方法除非题目指定要求，否则实战一般不优先用。 基础检测 题型01因式分解法解一元二次方程 1.(25-26八年级下·陕西西安·阶段检测)解方程： (1)(x-2)}-2(x-2)=0: (2)2x2+5x+3=0」 2.(25-26八年级下·江苏南通阶段检测)用适当的方法解下列方程： (1)x2-4x+1=0; (②)x2+6x+9=(2-3x 3.(25-26八年级下·安徽合肥期中)解方程： (1)x2+2x-4=0: (2)(x+1)(x+3)=15 4.(25-26八年级下·浙江金华·阶段检测)解下列方程： (1)x2-6x-6=0: (2)2(x+3)=x(x+3). 题型02换元法解一元二次方程 1.(25-26八年级下·安徽宣城期中)解下列方程： (1)3x2-2x-1=0: (②)(x2+x-5(x2+x+4=0. 217 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.(25-26八年级下·安徽淮北阶段检测)阅读材料：我们在解方程(x-1-5(x-)+4=0时，可以将 x-1看成一个整体，设x-1=y,则原方程可化为y-5y+4=0,解得=1，=4.当y=1时， x-1=1,解得x=2;当y=4时，x-1=4,解得x=5,原方程的解为=2，x2=5. 根据上述材料，解下列方程： (1)(x+5)-4(x+5)=0; (2)(2y-3)-18(2y-3+81=0 3.(25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测)【材料阅读】 己知实数m,n满足(m2++1(m+n-)=8,试求m2+n的值. 解：设y=m2+n2, 则原方程可化为(0y+1y-1)=8,即y=9,解得y=3. m2+n2≥0， m2+n2=3」 上面这种解方程的方法属于转化的数学思想，即在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分 看成一个整体，并用新字母代替（换元），则能使复杂的问题简单化 【方法应用】 请仿照材料中的方法解决下列问题： (①)已知(x2+y2+1(x2+y2+3)=15,求x2+y2的值 (2)解方程：x4-x2-2=0. (3)解方程：(x2-2x)-5x2+10x-6=0. 4.(25-26八年级下·江苏盐城阶段检测)【阅读材料】 解方程：x4-5x2+4=0, 这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设x=y,则x=y, 于是原方程可转化为：y2-5y+4=0, 解得：=1,2=4 当y=1时，x2=1,所以x=±1： 当y=4时，x2=4,所以x=±2， 所以原方程有四个根：=1，x2=-1,x=2,x4=-2, 317 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想. 【解决问题】 (①)在解方程(x2+x-4(x2+x)-12=0时，若设y=x2+x,则原方程可转化为一， 解得原方程的 根为一： (②若(m2+2-3m2+n2+3)=8,则m2+n2=； (⑧参果上面靴题的思想方法解方程：《之名-629=0。 题型03解分式方程（化为一元二次） 2 1.(2026浙江金华二模)解分式方程：x+1x- -=1 2.(25-26八年级下·湖南衡阳期中)我们把形如x +b=a+b《a,b不为零)，且两个解分别为x=a, 5=6的方程移为“十字分式方程”.例如：x+-6为“十字分式方程，可化为+5=1+5，： 5=与=5：西：x+至5为叶字分式方程，可化为，②-(2到+（←3列.5=2： 2=-3 应用上面的结论，解答下列问题： (0四若x+10 7为“十字分式方程”，则5=一飞：一 ②请利用上述方法求“十字分式方程”x 20 x-3 =2的解； ③诺“十字分式方程”；-7的两个解分别为=m:与=1·求+骨的值。 n m 3.(2026重庆北碚模拟预测)列方程解下列应用题： 成渝中线高速铁路是国家“八纵八横”高速铁路主通道之“沿江通道”沪渝蓉高铁的重要组成部分， 于2022年11月28日正式动工，设计时速350千米，且大足石刻站至简州站段是全国首条预留400千 米提速条件的高铁线路.在施工建设某隧道时，甲、乙两工程队使用智能台车掘进.己知甲队每天比 乙队多掘进1米，且甲队掘进6天的长度比乙队掘进7天的长度少1米. (1)求甲、乙两工程队每天各掘进多少米？ (②)随着科技发展，甲、乙两工程队引进了新型智能台车.新型智能台车使得乙工程队每天掘进量比原 来增加m米，甲工程队每天掘进量比原来增加的数量是乙工程队每天掘进量比原来增加的数量的2倍， 417 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 且新型台车使两工程队效率在增加后的基础上再提升50%.现需掘进两段长度均为210米的隧道，分 别由甲、乙两工程队单独施工，结果乙工程队比甲工程队多用4天.若乙工程队每天增加的数量不超 过3.2米，求m的值。 4.(2026湖南娄底模拟预测)每年的农历五月初五是端午节，主要有赛龙舟、吃粽子和挂艾草等习俗。 某食品店生产粽子礼盒，每个礼盒内含6个牛角粽和4个三角粽，已知：包制一个牛角粽需1片粽叶， 包制一个三角粽需2片粽叶，每捆粽叶固定为30片，且单捆粽叶仅用于包制同一种粽子. (1)现有21捆粽叶，全部用于包制牛角粽和三角粽（无剩余），为使包制出的粽子恰好组成完整礼盒， 求需用多少捆粽叶包制牛角粽： (2)为了节省资源，食品店改为零售单颗粽子.已知一个三角粽比一个牛角粽贵3元，小宇在此食品店 花200元购买牛角粽的个数比花240元购买三角粽的个数多10个， ①求购买一个牛角粽和一个三角粽各需多少元； ②考前吃粽子有“一举高粽”的寓意，学校食堂决定在此食品店购买600个粽子为毕业生送上考前祝 福，总费用不超过3440元，且三角粽的个数不少于牛角粽个数的？·此食品店推出优惠活动：三角粽 按原售价打八五折出售.问有多少种购买方案？并求出所花资金的最小值. 小试牛刀 1.(2026河南三门峡·二模)下列一元二次方程有两个相等的实数根的是() A.x2+1=2xB.x2=2x C.x2+1=0 D.x2+2x-1=0 2.(25-26八年级下福建福州阶段检测)已知实数m,n满足(m2+2-2(m2+n)-15=0,则m+m 的值为() A.3 B.5 C.5或3 D.-3或5 3.(25-26八年级下河北张家口·期中)如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少 15001000 条件而无法解答.经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程x一x-10 =5进 行解答.则被墨水污染部分的文字为() 某校为魔方社团采购某款魔方，第一次 用1500元买了若干个，第二次用1000元 在同一商家购买同款的魔方。 求第一次购买了多少个魔方。 517 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个 B.这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个 C.这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个 D.这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个 4.(2026安徽宜城二模)如图，这是小卫同学解一元二次方程5x(3x-2)=2(2-3x)的过程，判断他在 解答过程中出现错误的步骤是() 小卫同学解答过程： 解：5x(3x-2)=2(2-3x). 第一步 5x(3x-2)-2(2-3x)=0. 第二步 (5x-2)3x-2)=0 第三步 5x-2=0或3x-2=0, 第四步 22 解得x=5或x= 3 第五步 A.第一步 B.第二步 C,第三步 D.第四步 5.(2026山东聊城二模)若关于的一元二次方程a++(口+r-弓=0有丙个相等的实数根，则 a= 6.(2026安徽安庆·二模)若a2+b2=25,ab+a+b=19,则a+b= 7.(25-26八年级下·浙江宁波期中)若关于x的一元二次方程ax2+br+2=0(a≠0)的根为，=2025， x,=1,则一元二次方程a(x-少+bx-b=-2的根为一 8.(25-26八年级下·浙江温州期中)解方程： (1)(x-2)2=x-2; (2)2x2-4x+1=0. 9.(2026广东河源二模)在解方程3x-2}=x-4时，小明的解法如下： 第一步：3(x-22=(x+2)(x-2), 第二步：3(x-2)=x+2, 第三步：3x-6=x+2, 第四步：x=4」 小明的解法中第几步开始出现错误？错误的原因是什么？请你写出这道题的正确解答过程， 617 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.(25-26八年级下浙江温州期中)先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题. 例：求代数式y+4y+6的最小值. 解：y2+4y+6=y2+4y+4+2=0y+2)2+2 因为0y+2}≥0，所以0y+2)2+2≥2，所以y+4y+6的最小值是2. (1)代数式2x2-4x+3的最小值为 ②)关于x的二次多项式x2-4a+2a2+a-6(a为常数)有最小值为-9，求常数a的值. 3)如图，在等腰△ABC中，∠BAC=135°，点P为AB边上一点（不与点B重合），连接CP,将线段 CP绕点P顺时针旋转90°，点C的对应点为Q,连接BQ.若AB=4,求△BPO的面积的最大值. B 717 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业08 因式分解法解一元二次方程 【知识点1 因式分解法的核心依据：零积性质】 1. 若两个数的乘积为0，则至少其中一个数为0；反之，若两个因式的乘积等于0，则至少其中一个因式等于0。 2. 符号表述：若ab＝0，则a＝0或b＝0（“或”表示两种情况满足其一即可，不是排他性的“要么…要么…”）。 3. 这就是因式分解法能实现「降次」的逻辑根基：把二次方程拆成两个一次方程，分别求解即可。 【知识点2 适用因式分解法的强制前置条件】 方程必须能整理为如下标准形态才能用该方法：左边＝两个一次因式的乘积，右边＝0，即：必须先把方程所有项移到等号左侧，右侧化为0，绝不能对右边非0的等式直接拆因子。 【知识点3 目前阶段可操作的因式分解类型】 类型 特征 分解方法 示例 提公因式法 各项含公共的一次因式/单项式因式 提取公因式 （含分组提公） 公式法 符合平方差或完全平方公式形态 逆用乘法公式 十字相乘法 二次三项式能拆分为 其中， 十字交叉相乘验证 【知识点4 三类解法的选择优先级】 按“最快最省计算”的原则排序，不用死磕一种方法： 1. 最优先：方程已经是/能快速化成一次式的平方＝常数→直接开平方法 2. 次优：归零后左边能轻松因式分解→因式分解法（步骤最少，几乎不牵扯复杂计算） 3. 兜底：上述两种方法都用不了→公式法（万能，但要算Δ、化简根式） 4. 配方法除非题目指定要求，否则实战一般不优先用。 题型01 因式分解法解一元二次方程 1．（25-26八年级下·陕西西安·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】（1）先提出公因式得出两个因式相乘等于0的形式，再解答即可； （2）根据公式法求解即可． 【详解】（1）解：， 因式分解，得， ∴或， 得； （2）解：， 由，得， ∴， 解得． 2．（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）用适当的方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由配方法解一元二次方程即可； （2）由因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， 则， 直接开平方得， ； （2）解：， ， 则， ， 即， ． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解的方法解方程即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或. （2）解：∵， ∴， ∴， 解得：或. 4．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解：， ∵，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ， ∴，． （2）解：， 移项，得， 因式分解，得， 即， ∴或， 解得，． 题型02 换元法解一元二次方程 1．（25-26八年级下·安徽宣城·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）用十字相乘法分解因式，用因式分解法求解即可； （2）设，用换元法求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， 解得； （2）解：设，则原方程化为， ∴， ∴或， 解得，， 当时，则，即， ∵， ∴； 当时，则，即0， ∵， ∴； 综上所述，原方程的解为，． 2．（25-26八年级下·安徽淮北·阶段检测）阅读材料：我们在解方程时，可以将看成一个整体，设，则原方程可化为，解得，．当时，，解得；当时，，解得，原方程的解为，． 根据上述材料，解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）设，则原方程可化为，解方程，即可求解； （2）设，则原方程可化为，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为， 解得，． 当时，，解得； 当时，，解得． 原方程的解为，． （2）解：设，则原方程可化为， 解得．             ， 即或， 解得，． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·阶段检测）【材料阅读】 已知实数m，n满足，试求的值． 解：设， 则原方程可化为，即，解得． ， ． 上面这种解方程的方法属于转化的数学思想，即在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（换元），则能使复杂的问题简单化． 【方法应用】 请仿照材料中的方法解决下列问题： (1)已知，求的值． (2)解方程：． (3)解方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，则原方程可化为，求出，再根据，得到，即可解答； （2）设，则原方程可化为，求出，再根据，得到，求出x的值即可； （3）设，则原方程可化为，求出，得到或，进而求出x的值即可． 【详解】（1）解：设，则原方程可化为 ， ， ， 解得， ∵， ∴； （2）解：设，则原方程可化为 ， 解得， ∵， ∴， 解得； （3）解：原方程可化为， 设，则原方程可化为 解得， ∴或， 即或， 解得，． 4．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）【阅读材料】 解方程：， 这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则， 于是原方程可转化为： ， 解得：，． 当时，，所以； 当时，，所以， 所以原方程有四个根：，，，， 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． 【解决问题】 (1)在解方程时，若设，则原方程可转化为______，解得原方程的根为______； (2)若 ，则______； (3)参照上面解题的思想方法解方程： ． 【答案】(1) ，， (2) (3) 【分析】（）直接代入得关于的方程，即可得到结果； （）设，则原方程可转化为，的方程得出，即可求解； （）设，则原方程可转化为，求出，即可得出关于的方程，然后解关于的分式方程，即可求解． 【详解】（1）解：设，代入原方程直接替换，得转化后的方程：， 因式分解得， 解得； 时，，即， 因式分解得， 解得或， 时，， 判别式，无实根， ∴原方程的根为； （2）解：设，由平方非负性得， 原方程可化为， 展开得， ， 结合得，即； （3）解：设， 原方程转化为：， ， 解得， ∴， 两边乘得， 解得， 检验：时分母， ∴是原方程的解． 题型03 解分式方程（化为一元二次） 1．（2026·浙江金华·二模）解分式方程：． 【答案】和 【分析】首先去分母把分式方程化为整式方程，解整式方程求出，，再把求出的解代入最简公分母检验是否增根． 【详解】解：， 方程两边同时乘以， 可得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 整理得：， 分解因式得：， 解得：，， 经检验，和均为方程的解， 方程的解为：、． 2．（25-26八年级下·湖南衡阳·期中）我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．例如：为“十字分式方程”，可化为，∴，；再如：为“十字分式方程”，可化为，∴，． 应用上面的结论，解答下列问题： (1)若为“十字分式方程”，则_，_． (2)请利用上述方法求“十字分式方程”的解； (3)若“十字分式方程”的两个解分别为，．求的值． 【答案】(1)2，5 (2) (3) 【分析】（1）根据，结合“十字分式方程”的定义可得答案； （2）原方程可变形为，根据“十字分式方程”的定义可得或，解方程即可得到答案； （3）根据题意可得，再由，代入求值即可． 【详解】（1）解：∵为“十字分式方程”，且， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵为“十字分式方程”， ∴或 ∴； （3）解：“十字分式方程”的两个解分别为，， ∴， ∴ ． 3．（2026·重庆北碚·模拟预测）列方程解下列应用题： 成渝中线高速铁路是国家“八纵八横”高速铁路主通道之“沿江通道”沪渝蓉高铁的重要组成部分，于2022年11月28日正式动工，设计时速350千米，且大足石刻站至简州站段是全国首条预留400千米提速条件的高铁线路．在施工建设某隧道时，甲、乙两工程队使用智能台车掘进．已知甲队每天比乙队多掘进1米，且甲队掘进6天的长度比乙队掘进7天的长度少1米． (1)求甲、乙两工程队每天各掘进多少米？ (2)随着科技发展，甲、乙两工程队引进了新型智能台车．新型智能台车使得乙工程队每天掘进量比原来增加米，甲工程队每天掘进量比原来增加的数量是乙工程队每天掘进量比原来增加的数量的2倍，且新型台车使两工程队效率在增加后的基础上再提升．现需掘进两段长度均为210米的隧道，分别由甲、乙两工程队单独施工，结果乙工程队比甲工程队多用4天．若乙工程队每天增加的数量不超过3.2米，求的值． 【答案】(1)甲、乙两工程队每天各掘进米，米 (2)3 【分析】（1）设乙队每天掘进米，则甲队每天掘进米，根据“甲队掘进6天的长度比乙队掘进7天的长度少1米”建立方程求解； （2）分别表示甲乙两队的时间，然后由“结果乙工程队比甲工程队多用4天”建立分式方程求解． 【详解】（1）解：设乙队每天掘进米，则甲队每天掘进米 由题意得， 解得， 则 答：甲、乙两工程队每天各掘进米，米； （2）解：由题意得， 整理得， 解得， 经检验，，都是原方程的解，但，不符合题意， ∴原方程的解为 ∴的值为． 4．（2026·湖南娄底·模拟预测）每年的农历五月初五是端午节，主要有赛龙舟、吃粽子和挂艾草等习俗．某食品店生产粽子礼盒，每个礼盒内含6个牛角粽和4个三角粽，已知：包制一个牛角粽需1片粽叶，包制一个三角粽需2片粽叶，每捆粽叶固定为30片，且单捆粽叶仅用于包制同一种粽子． (1)现有21捆粽叶，全部用于包制牛角粽和三角粽（无剩余），为使包制出的粽子恰好组成完整礼盒，求需用多少捆粽叶包制牛角粽； (2)为了节省资源，食品店改为零售单颗粽子．已知一个三角粽比一个牛角粽贵3元，小宇在此食品店花200元购买牛角粽的个数比花240元购买三角粽的个数多10个， ①求购买一个牛角粽和一个三角粽各需多少元； ②考前吃粽子有“一举高粽”的寓意，学校食堂决定在此食品店购买600个粽子为毕业生送上考前祝福，总费用不超过3440元，且三角粽的个数不少于牛角粽个数的．此食品店推出优惠活动：三角粽按原售价打八五折出售．问有多少种购买方案？并求出所花资金的最小值． 【答案】(1)9捆 (2)①购买一个牛角粽需5元，购买一个三角粽需8元；②共有5种购买方案，所花资金的最小值为3432元 【分析】（1）设需用x捆粽叶包制牛角粽，则用捆粽叶包制三角粽，由题意列出关于x的一元一次方程，求出x的值即可； （2）①设购买一个牛角粽需y元，则购买一个三角粽需元，由题意列出分式方程，求出y的值，并检验是否符合题意即可； ②设购买a个牛角粽，则购买个三角粽，由题意得，求出，再根据a为整数，得到a可以为356、357、358、359、360，共有5种购买方案，设购买总费用为W，则，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设需用x捆粽叶包制牛角粽，则用捆粽叶包制三角粽， 由题意得， 解得， 答：需用9捆粽叶包制牛角粽． （2）①解：设购买一个牛角粽需y元，则购买一个三角粽需元， 由题意得， ∴， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， ∴（元） 答：购买一个牛角粽需5元，购买一个三角粽需8元． ②解：设购买a个牛角粽，则购买个三角粽， 由题意得， 解得：， ∴， ∵a为整数， ∴a可以为356、357、358、359、360 ∴共有5种购买方案 设购买总费用为W，则， ∵，则W随a的增大而减小， ∴当时，W取得最小值，最小值为， 答：共有5种购买方案，所花资金的最小值为3432元． 1．（2026·河南三门峡·二模）下列一元二次方程有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：可化为，，符合题意； 的解是，，不合题意； 可化为，没有实数根，不合题意； ，，有两个不相等的实数根，不合题意． 2．（25-26八年级下·福建福州·阶段检测）已知实数m，n满足，则的值为（     ） A．3 B．5 C．5或3 D．或5 【答案】B 【分析】本题利用换元法将看作整体求解，再根据平方数的非负性舍去不符合题意的根即可得到结果． 【详解】设， ∵任意实数的平方是非负数，两个非负数相加仍是非负数， ∴， 原方程可化为， 因式分解得， 解得，， ∵， ∴舍去， 即． 3．（25-26八年级下·河北张家口·期中）如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为（  ） A．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次多买了10个 B．这次商家每个魔方涨价5元，结果比上次少买了10个 C．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次多买了10个 D．这次商家每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个 【答案】D 【分析】由表示第一次购买魔方的数量，可得出表示第二次购买魔方的数量，进而可得出第二次比第一次少买 10 个，利用单价总价数量，结合所列方程，可得出第二次购买魔方的单价比第一次低 5 元，进而可找出被墨水污染部分的文字． 【详解】解：∵设第一次购买了个魔方， ∴方程中表示第二次购买魔方的数量， ∴第二次比第一次少买了 10 个； ∵单价总价数量， ∴表示第一次购买魔方的单价，表示第二次购买魔方的单价， 又 ∵所列方程为， ∴第二次购买魔方的单价比第一次低 5 元， ∴被墨水污染部分的文字为：这次商家每个魔方优惠 5 元，结果比上次少买了 10 个． 4．（2026·安徽宣城·二模）如图，这是小卫同学解一元二次方程的过程，判断他在解答过程中出现错误的步骤是（    ） 小卫同学解答过程： 解：，             第一步 ，             第二步 ，             第三步 或，             第四步 解得或．             第五步 A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【答案】C 【详解】解：正确步骤如下： ， ， ， 或， 解得或． ∴第三步的提取公因式出错． 5．（2026·山东聊城·二模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则________． 【答案】 【分析】根据条件“一元二次方程二次项系数不为，以及根的判别式与根的情况的关系”列方程求解，舍去不符合定义的解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， 且， 由得， 化简得：，解得或， ． 6．（2026·安徽安庆·二模）若，，则________． 【答案】或 【分析】设，利用完全平方公式变形可得，从而得到关于的一元二次方程，求解即可． 【详解】解：设， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理，得， 解得，， ∴或． 7．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若关于x的一元二次方程的根为，，则一元二次方程的根为______． 【答案】， 【分析】先整理所求一元二次方程，通过换元法将其转化为与已知方程形式一致的方程，利用已知方程的根得到换元后未知数的值，进而求出所求方程的根． 【详解】解：整理方程，移项得： 设，则上述方程可化为， 根据题意可知：一元二次方程的根为，， 因此可得：或， 解得，． 8．（25-26八年级下·浙江温州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， 则或， ∴． （2）解：， ∵， ∴， 则， ∴． 9．（2026·广东河源·二模）在解方程时，小明的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 小明的解法中第几步开始出现错误？错误的原因是什么？请你写出这道题的正确解答过程． 【答案】小明的解法中第二步开始出现错误，错误的原因是方程两边同时除以时，没有考虑的情况， 正确的解答过程： 第一步：， 第二步：， 第三步：，即， 第四步：或， 第五步：，． 【分析】由方程两边都除以，没有考虑的情况，这会导致漏解，从而得到错误的步骤及原因，然后把方程移项化为，再利用因式分解的方法解方程即可． 【详解】略 10．（25-26八年级下·浙江温州·期中）先阅读理解下面的例题，再按要求解答问题． 例：求代数式的最小值． 解：． 因为，所以，所以的最小值是2． (1)代数式的最小值为___________． (2)关于的二次多项式（为常数）有最小值为，求常数的值． (3)如图，在等腰中，，点为边上一点（不与点重合），连接，将线段绕点顺时针旋转，点的对应点为，连接．若，求的面积的最大值． 【答案】(1)1 (2)或 (3)的面积最大值为 【分析】（1）根据题干的配方法求解即可． （2）根据题干的配方法求解即可． （3）过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点．由等腰三角形的性质进一步得出，设，则，由旋转的性质进一步得出，由全等三角形的性质得出，由三角形面积配方求解即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴ ∴的最小值是1． （2）解： ∵最小值为， ∴， 解得， ∴常数的值为或； （3）解：如图，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点． 是等腰三角形，， ， 在中，， 设，则， ∵线段绕点P顺时针旋转得到， ， ， 又， 又 ， ， ， ∴当时，的面积有最大值为． / 学科网（北京）股份有限公司 $