第08讲 一次式（讲义，上海专用沪教版）数学小升初衔接

第08讲 一次式 预习目标 知识回顾 1. 理解一次式的概念，能判断一个代数式是否为一次式；掌握含字母的式子的书写规范，能正确书写代数式； 2. 理解同类项的概念，能准确判断同类项； 3. 掌握一次式加减的法则——合并同类项； 4. 掌握去括号与添括号的法则； 5. 理解整体思维，能把代数式看作一个整体进行合并代入。 1. 上一讲我们学习了代数式与代数式的值，知道了用字母表示数的式子叫代数式。 2. 我们还学习了含字母式子的书写规范，如 、、 等。 3. 本章前两讲，我们分别学习了“用字母表示数”和“代数式与代数式的值”。 4. 在实际问题中，我们常常会遇到需要“整理”代数式的情况——把同一类的项合并起来，把括号去掉或添上，让式子变得更简洁。这就是本讲要解决的核心问题：一次式及其加减运算。 新知导图 预习精讲 一家水果店进了三种水果：苹果、香蕉和橙子。店主用字母表示每种水果的单价（元/千克）： · 苹果： 元/千克 · 香蕉： 元/千克 · 橙子： 元/千克 想一想 同学们，请看下面这个水果店进货清单的问题： 一家水果店进了三种水果：苹果、香蕉和橙子。店主用字母表示每种水果的单价（元/千克）： 苹果： 元/千克 香蕉： 元/千克 橙子： 元/千克 采购员小张采购了： 千克苹果、 千克香蕉、 千克苹果、 千克橙子、 千克香蕉。 【思考1】小张采购苹果的总费用是多少？采购香蕉的总费用是多少？采购橙子的总费用是多少？你能把这三项合起来写出总费用的代数式吗？观察这个代数式：，每一项中字母的指数都是几？这种类型的代数式叫做什么？ 【思考2】小张的采购单可以写成：。你能通过调整各项的顺序，把这个式子变得更简洁吗？哪些项可以合并？哪些项不能合并？不能合并的项有什么共同特征？能合并的项又有什么共同特征？ 【思考3】水果店做促销活动，规定：如果一次购买苹果和香蕉的总价超过 元，总价再打 折。小明买了 千克苹果和 千克香蕉，总价超过 元。应付金额为 。你能把这个式子中的括号去掉吗？去括号前后，式子的值变了吗？去括号的依据是什么？ 【思考4】已知 ，求 的值。这里我们没有求出 和 各自是多少，而是把什么看成了一个整体？为什么要这样做？这种思想方法叫什么？ 知识点01 一次式的概念 一次式的定义： 由数字与字母的乘积组成的代数式，且字母的指数都是1，这样的式子叫做一次式。 如：、、、 都是一次式。 一次项与常数项： · 一次项：字母的指数为1的项。如 、 都叫一次项。 · 常数项：不含字母的项。如 、 都叫常数项。 一次式的标准形式： 把一次式按某个字母的降幂（或升幂）排列，同类项合并后写成最简形式。 如： 的标准形式为 。 注意： · 不是一次式（因为 的指数是2）。 · 不是一次式（因为 和 的指数和是2）。 · 单独一个字母（如 ）或一个数（如 ）也是一次式。 【即学即练1】 1.（24-25六年级上·上海松江·期末）一次式中，一次项的系数为________． 2.（24-25六年级上·上海·阶段检测）一次式的系数是__________． 知识点02 同类项 同类项的定义： 所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项。 如： 与 是同类项（都含 ，且 的指数都是1）； 在六年级阶段，我们主要研究一次式中的同类项，即字母部分完全相同的项。 判断方法（两步法） ： 1 看所含字母是否相同； 2 看相同字母的指数是否分别相同。 3 两步都满足才是同类项。 4 注意： （1） 同类项与系数的大小无关。 与 是同类项， 与 也是同类项。 （2） 同类项与字母的排列顺序无关。 与 是同类项。 （3）常数项都是同类项。、、 都是同类项。 【即学即练2】 1.（25-26六年级上·上海宝山·阶段检测）一次式的一次项系数与常数项的和是________． 2.（24-25六年级上·上海·阶段检测）合并同类一次项：____________． 知识点03 一次式的加减——合并同类项 合并同类项的定义： 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 合并法则： 将同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 如：；。 合并步骤： 1 找同类项 —— 找出式子中的同类项（可做记号）； 2 移动项 —— 利用加法交换律将同类项移到一起（连同符号一起移动）； 3 合并 —— 将同类项的系数相加，字母部分不变； 4 整理结果 —— 按某一字母的降幂（或升幂）排列。 一次式加减的实质： 一次式的加减运算，本质上就是合并同类项。 要点： · 合并同类项的结果中，不再含有同类项。 · 系数相加时，注意符号（特别是负数）。 · 若同类项的系数互为相反数，则合并后该项为0。 【示例】 合并同类项： 解：原式 【即学即练3】 1.（24-25六年级上·上海·阶段检测）小马虎在计算一次式与另一个一次式的差时，把差当成了和，求出的答案是，则正确的答案是__________． 2.（25-26六年级上·上海普陀·期末）已知一个一次式与的和是，那么这个一次式是_____． 知识点04　去括号与添括号 去括号法则： （1） 括号前是“+”号：括号内的各项都不变号。 （2） 括号前是“−”号：括号内的各项都变号。 记忆口诀：“正不变，负全变”。 添括号法则： （1） 括号前添“+”号：括到括号内的各项都不变号。 （2） 括号前添“−”号：括到括号内的各项都变号。 记忆口诀：“正不变，负全变”（与去括号相同）。 注意： 去括号时，括号前的符号和括号要一起去掉。括号前有系数时，先用乘法分配律将系数乘入括号内的每一项，再去括号。 示例： （1） （不变号） （2） （全变号） （3） （3） 添括号： 【即学即练4】 1.（24-25六年级上·上海·阶段检测）计算：___________ 2.（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）下列去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点05　整体思维 整体思维的定义： 在解决数学问题时，把某一部分看成一个整体来处理，而不是分别处理其中的各个部分。 在代数式中的应用： （1） 整体合并：把 看成一个整体进行合并。 如： （2） 整体代入：当题目给出的是某个式子的值，将整个式子看作一个“整体”代入。 如：已知 ，求 。 解：。 整体思维的优势： · 简化运算，避免复杂的计算过程。 · 在题目信息不足时（只知道部分条件），仍然能求出结果。 · 是初中数学最重要的数学思想方法之一，贯穿整个代数学习。 【即学即练5】 1.（25-26六年级上·上海虹口·期末）已知一次式A、B、C满足，其中，，用含x的式子表示________ ． 题型速练 题型01一次式的概念 【例1】 （25-26六年级上·上海普陀·期末）在一次式中，各一次项的系数分别是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【例2】（25-26六年级上·上海·课后作业）一次式  中，一次项是__________，常数项 是__________ 常见错误/必记结论 - 一次式的判断标准：每一项中字母的指数都必须是1。 - x2 不是一次项（指数是2）；2xy 不是一次项（指数和是2）。 - 单独一个字母（如 x）或一个数（如 5）也是一次式。 - 一次式可以含有多项：如 3x−2y+5 是一次式。 - 判断一次式时，要检查每一项中字母的指数是否都为1。 - 是一次式； 不是一次式（因为 不是一次项）。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海宝山·阶段检测）一次式的一次项系数与常数项的和是________． 2．（24-25六年级上·上海金山·期末）一次式中，一次项系数是________． 题型02 同类项的判断 【例1】（24-25六年级上·上海·阶段检测）合并同类一次项：____________． 【例2】（24-25六年级上·上海·阶段检测）下列说法中正确的是（   ） A．在一次式中，常数项没有同类项 B．在一次式中，与是同类项 C．一次式与一次式的和一定是一次式 D．在一次式中，与是同类项 常见错误/必记结论 - 同类项必须同时满足两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数也相同。缺一不可。 - 同类项与系数大小无关， 与 是同类项。 - 同类项与字母的排列顺序无关， 与 是同类项。 - 常数项（如 、、）都是同类项。 - 与 不是同类项，这是最容易判断错误的地方。 - 与 不是同类项（指数不同）。 - 常数项与含字母的项一定不是同类项。 - 与 不是同类项，不要被它们含有相同的字母迷惑。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海普陀·期末）已知一个一次式与的和是，那么这个一次式是_____． 题型03 ：一次式的加减——合并同类项 【例1】（25-26六年级上·上海嘉定·期末）如果一个一次式与的和是，那么这个一次式是________． 【例2】（24-25六年级上·上海嘉定·阶段检测）已知是关于的一次式，求的值． 常见错误/必记结论 - 合并同类项法则：系数相加，字母和字母的指数不变。 - 移动项时要连同前面的符号一起移动。 - 系数相加时注意符号：3a+2a=5a，−2b−3b=−5b。 - 合并后要检查是否还有同类项，确保结果中不再含有同类项。 - 若同类项的系数互为相反数，合并后该项为0。 - 分别合并 项和 项：，。 - 项与 项不能合并（不是同类项）。 - 结果为 ，不是 ，注意 的正负号。 【小试牛刀】 1.（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如果一个一次式与的和是，那么这个一次式是______． 2. （24-25六年级上·上海闵行·期末）如果一个一次式与的和是，那么这个一次式是______． 题型04 ：去括号与添括号 【例1】（25-26六年级上·上海·阶段检测） ________． 【例2】（25-26六年级上·上海·阶段检测）下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 常见错误/必记结论 - 去括号口诀：“正不变，负全变”。 - 括号前是“-”号时，括号内的每一项都要变号，不要漏项。 - 括号前有系数时，系数要乘以括号内的每一项，不要只乘第一项。 - 去括号时，括号前的符号和括号要一起去掉。 - 添括号口诀：“正不变，负全变”（与去括号相同）。 - 括号前添“-”号时，括入括号内的各项都要变号。 - 验证方法：把括号去掉，看是否变回原式。 【小试牛刀】 1.（24-25六年级上·上海徐汇·期末）计算：______． 2．（24-25六年级上·上海·期末）去括号： （1）_____； （2）_____； （3）_____． 题型05：整体思维的应用 【例1】（25-26六年级上·上海杨浦·期末）有三个关于的一次式：、（为一次项的系数）、（为一次项的系数、为常数项）． (1)小海在研究一次式时发现，当的取值每增加1时，一次式的值就增加4．所以他得到这样一个结论：“当的取值每增加1时，一次式增加的值只与一次项系数4有关，和常数项2无关”．你同意小海的观点吗？请说明理由； (2)对于一次式，当的取值每增加1时，一次式的值就减少2，那么的值是_____（直接写出答案）； (3)已知当的取值每增加1时，一次式增加的值是一次式增加的值的3倍；且当的值为0时，一次式的值与的值相等．那么的值是_____（直接写出答案）． 【例2】（24-25六年级上·上海杨浦·期末）数学活动课上，小海利用列表法研究一次式、的值随着的取值的变化情况． … 0 1 2 … … 0 … … 6 3 0 … 根据表格，完成下列问题： (1)表格中的______； (2)从表格中可以发现，当的取值增大时，一次式的值______（填“增大”、“不变”或“减小”），一次式的值______（填“增大”、“不变”或“减小”）； (3)小海在研究时，得到这样一个结论：“当的值每增加1时，一次式减去一次式的差就增加6”，你同意小海的结论吗？请利用所学知识说明理由． 常见错误/必记结论 - 整体合并：把相同的代数式看作一个整体，合并其系数。 - 整体代入：不需求出每个字母的值，直接把已知条件的整体代入。 - 整体思维的关键是找到相同的部分作为整体。 - 整体思维是初中数学最重要的思想方法之一。 - 观察 与 的关系：。 - 整体代入 ，不需要分别求 和 的值。 - 这种方法在题目信息不足时（只知道部分条件）仍然能求出结果。 【小试牛刀】 （25-26六年级上·上海·期末）求一次式减去一次式的差，并求当，时该差的值． 2.（24-25六年级上·上海·阶段检测）已知一次式的一次项的系数为，常数项为，则与的差的立方的计算结果为____________． 基础过关 1．（25-26六年级上·上海普陀·期末）一次式的一次项是_____． 2．（25-26六年级上·上海·期末）一次式中的一次项系数是________． 3．（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）多项式的一次项系数是___． 4．（25-26六年级上·上海·阶段检测）代数式中一次项的系数是_____． 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）指出一次式中的一次项，常数项及一次项的系数 6．（24-25六年级上·上海宝山·期末）关于代数式，下列说法中正确的是（　　） A．它的一次项系数是 B．它的常数项是 C．它是一个一次式 D．它是一个一次项 7．（24-25六年级上·上海·阶段检测）计算：___________ 8．（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）下列去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25六年级上·上海·期末）化简：______． 10．（25-26六年级上·上海·单元复习）下列去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26六年级上·上海·单元复习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．（24-25六年级上·上海·期末）下列说法中正确的是 （   ） A．在一次式中，常数项没有同类项 B．在一次式中，与是同类项 C．一次式与一次式的和一定是一次式 D．在一次式中，与 是同类项 13．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）现有两个一次式，它们同时满足下述三个条件：①一次式中的字母均只含一个，为字母；②一次项的系数互为相反数；③这两个一次式的和为，这两个一次式可以是______．（写出满足条件的一组即可） 14．（25-26六年级上·上海松江·期末）一个一次式满足：①只含有一个字母；②常数项为正数；③当字母的值取1时，这个一次式的值等于．写出满足要求的一次式________．（写出一个即可） 能力提升 15.（24-25六年级上·上海宝山·期末）若一次式的值为3，那么一次式=__________． 16．（25-26六年级上·上海金山·期末）若一个一次式与的和是，那么这个一次式是_______． 17．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段检测）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个一次式，如图所示．老师捂住的一次式是______． 18．（24-25六年级上·上海普陀·期末）一次式的一次项的系数是________________． 19．（24-25六年级上·上海宝山·期末）一次式的一次项是 _________． 挑战一刻 20．（25-26六年级上·上海普陀·期末）若是关于的一次式，则______． 21.（24-25六年级上·上海·阶段检测）小马虎在计算一次式与另一个一次式的差时，把差当成了和，求出的答案是，则正确的答案是__________． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲 一次式 预习目标 知识回顾 1. 理解一次式的概念，能判断一个代数式是否为一次式；掌握含字母的式子的书写规范，能正确书写代数式； 2. 理解同类项的概念，能准确判断同类项； 3. 掌握一次式加减的法则——合并同类项； 4. 掌握去括号与添括号的法则； 5. 理解整体思维，能把代数式看作一个整体进行合并代入。 1. 上一讲我们学习了代数式与代数式的值，知道了用字母表示数的式子叫代数式。 2. 我们还学习了含字母式子的书写规范，如 、、 等。 3. 本章前两讲，我们分别学习了“用字母表示数”和“代数式与代数式的值”。 4. 在实际问题中，我们常常会遇到需要“整理”代数式的情况——把同一类的项合并起来，把括号去掉或添上，让式子变得更简洁。这就是本讲要解决的核心问题：一次式及其加减运算。 新知导图 预习精讲 一家水果店进了三种水果：苹果、香蕉和橙子。店主用字母表示每种水果的单价（元/千克）： · 苹果： 元/千克 · 香蕉： 元/千克 · 橙子： 元/千克 想一想 同学们，请看下面这个水果店进货清单的问题： 一家水果店进了三种水果：苹果、香蕉和橙子。店主用字母表示每种水果的单价（元/千克）： 苹果： 元/千克 香蕉： 元/千克 橙子： 元/千克 采购员小张采购了： 千克苹果、 千克香蕉、 千克苹果、 千克橙子、 千克香蕉。 【思考1】小张采购苹果的总费用是多少？采购香蕉的总费用是多少？采购橙子的总费用是多少？你能把这三项合起来写出总费用的代数式吗？观察这个代数式：，每一项中字母的指数都是几？这种类型的代数式叫做什么？ 【思考2】小张的采购单可以写成：。你能通过调整各项的顺序，把这个式子变得更简洁吗？哪些项可以合并？哪些项不能合并？不能合并的项有什么共同特征？能合并的项又有什么共同特征？ 【思考3】水果店做促销活动，规定：如果一次购买苹果和香蕉的总价超过 元，总价再打 折。小明买了 千克苹果和 千克香蕉，总价超过 元。应付金额为 。你能把这个式子中的括号去掉吗？去括号前后，式子的值变了吗？去括号的依据是什么？ 【思考4】已知 ，求 的值。这里我们没有求出 和 各自是多少，而是把什么看成了一个整体？为什么要这样做？这种思想方法叫什么？ 知识点01 一次式的概念 一次式的定义： 由数字与字母的乘积组成的代数式，且字母的指数都是1，这样的式子叫做一次式。 如：、、、 都是一次式。 一次项与常数项： · 一次项：字母的指数为1的项。如 、 都叫一次项。 · 常数项：不含字母的项。如 、 都叫常数项。 一次式的标准形式： 把一次式按某个字母的降幂（或升幂）排列，同类项合并后写成最简形式。 如： 的标准形式为 。 注意： · 不是一次式（因为 的指数是2）。 · 不是一次式（因为 和 的指数和是2）。 · 单独一个字母（如 ）或一个数（如 ）也是一次式。 【即学即练1】 1.（24-25六年级上·上海松江·期末）一次式中，一次项的系数为________． 【答案】 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题主要考查了单项式的系数， 根据单项式的系数的定义解答即可，即单项式中的数字因数叫做单项式的系数． 【详解】解：一次式的系数是． 故答案为：． 2.（24-25六年级上·上海·阶段检测）一次式的系数是__________． 【答案】 【知识点】单项式的系数、次数 【分析】本题考查了一次式的系数，熟练掌握一次式的相关概念是解题的关键．一次式中的数字因数叫做项的系数，根据一次式的系数的概念求解即可． 【详解】解：一次式的系数是． 故答案为：． 知识点02 同类项 同类项的定义： 所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项。 如： 与 是同类项（都含 ，且 的指数都是1）； 在六年级阶段，我们主要研究一次式中的同类项，即字母部分完全相同的项。 判断方法（两步法） ： 1 看所含字母是否相同； 2 看相同字母的指数是否分别相同。 3 两步都满足才是同类项。 4 注意： （1） 同类项与系数的大小无关。 与 是同类项， 与 也是同类项。 （2） 同类项与字母的排列顺序无关。 与 是同类项。 （3）常数项都是同类项。、、 都是同类项。 【即学即练2】 1.（25-26六年级上·上海宝山·阶段检测）一次式的一次项系数与常数项的和是________． 【答案】 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】题目主要考查多项式的化简，将给定式子化简为一般形式，识别一次项系数和常数项，并计算它们的和即可． 【详解】解：，其中一次项系数为，常数项为 ， ∴它们的和为 ， 故答案为 ． 2.（24-25六年级上·上海·阶段检测）合并同类一次项：____________． 【答案】 【知识点】合并同类项 【详解】解：． 知识点03 一次式的加减——合并同类项 合并同类项的定义： 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 合并法则： 将同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 如：；。 合并步骤： 1 找同类项 —— 找出式子中的同类项（可做记号）； 2 移动项 —— 利用加法交换律将同类项移到一起（连同符号一起移动）； 3 合并 —— 将同类项的系数相加，字母部分不变； 4 整理结果 —— 按某一字母的降幂（或升幂）排列。 一次式加减的实质： 一次式的加减运算，本质上就是合并同类项。 要点： · 合并同类项的结果中，不再含有同类项。 · 系数相加时，注意符号（特别是负数）。 · 若同类项的系数互为相反数，则合并后该项为0。 【示例】 合并同类项： 解：原式 【即学即练3】 1.（24-25六年级上·上海·阶段检测）小马虎在计算一次式与另一个一次式的差时，把差当成了和，求出的答案是，则正确的答案是__________． 【答案】/ 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减运算，设另一个一次式为，根据题意求得，再计算与的差，即可求解． 【详解】解：设另一个一次式为， 依题意， ∴正确的答案是 故答案为：． 2.（25-26六年级上·上海普陀·期末）已知一个一次式与的和是，那么这个一次式是_____． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减，掌握整式加减的运算法则是解题关键．根据和与加数的关系，所求一次式等于和减去已知加数，即可得解． 【详解】解： ， 故答案为：． 知识点04　去括号与添括号 去括号法则： （1） 括号前是“+”号：括号内的各项都不变号。 （2） 括号前是“−”号：括号内的各项都变号。 记忆口诀：“正不变，负全变”。 添括号法则： （1） 括号前添“+”号：括到括号内的各项都不变号。 （2） 括号前添“−”号：括到括号内的各项都变号。 记忆口诀：“正不变，负全变”（与去括号相同）。 注意： 去括号时，括号前的符号和括号要一起去掉。括号前有系数时，先用乘法分配律将系数乘入括号内的每一项，再去括号。 示例： （1） （不变号） （2） （全变号） （3） （3） 添括号： 【即学即练4】 1.（24-25六年级上·上海·阶段检测）计算：___________ 【答案】/ 【知识点】去括号 【分析】本题考查了整式的加减、去括号，熟练掌握去括号是关键．运用乘法分配律去括号即可． 【详解】解：． 故答案为：． 2.（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）下列去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】去括号 【分析】本题考查去括号的规则：括号前为“”号，去括号后括号内各项符号不变；括号前为“”号，去括号后括号内各项符号改变．根据此规则检查各选项即可求解． 【详解】解：选项A：，但选项写为，错误，不符合题意； 选项B：，但选项写为，错误，不符合题意； 选项C：，但选项写为，错误，不符合题意； 选项D：先内层括号（括号前“”号，改变符号）， 然后（括号前“”号，改变符号），正确，符合题意； 故选：D． 知识点05　整体思维 整体思维的定义： 在解决数学问题时，把某一部分看成一个整体来处理，而不是分别处理其中的各个部分。 在代数式中的应用： （1） 整体合并：把 看成一个整体进行合并。 如： （2） 整体代入：当题目给出的是某个式子的值，将整个式子看作一个“整体”代入。 如：已知 ，求 。 解：。 整体思维的优势： · 简化运算，避免复杂的计算过程。 · 在题目信息不足时（只知道部分条件），仍然能求出结果。 · 是初中数学最重要的数学思想方法之一，贯穿整个代数学习。 【即学即练5】 1.（25-26六年级上·上海虹口·期末）已知一次式A、B、C满足，其中，，用含x的式子表示________ ． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据等式，得到，再代入A和C的代数式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 题型速练 题型01一次式的概念 【例1】 （25-26六年级上·上海普陀·期末）在一次式中，各一次项的系数分别是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了多项式，将一次式展开为项的形式，分别找出变量和的系数即可求解，熟练掌握多项式各项系数的概念是解题的关键． 【详解】解：∵=， ∴的系数是，的系数是， 故选：． 【例2】（25-26六年级上·上海·课后作业）一次式  中，一次项是__________，常数项 是__________ 【答案】 / 2 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题主要考查单项式，多项式的知识，掌握其概念是解题的关键． 根据定义“只含有一个字母，且字母的指数是1，叫作一次项；不含字母的项叫作常数项，一次项中的数字因数叫作项的数字系数，简称系数”即可求解． 【详解】解：一次式中的一次项是，常数项是． 常见错误/必记结论 - 一次式的判断标准：每一项中字母的指数都必须是1。 - x2 不是一次项（指数是2）；2xy 不是一次项（指数和是2）。 - 单独一个字母（如 x）或一个数（如 5）也是一次式。 - 一次式可以含有多项：如 3x−2y+5 是一次式。 - 判断一次式时，要检查每一项中字母的指数是否都为1。 - 是一次式； 不是一次式（因为 不是一次项）。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海宝山·阶段检测）一次式的一次项系数与常数项的和是________． 【答案】 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】题目主要考查多项式的化简，将给定式子化简为一般形式，识别一次项系数和常数项，并计算它们的和即可． 【详解】解：，其中一次项系数为，常数项为 ， ∴它们的和为 ， 故答案为 ． 2．（24-25六年级上·上海金山·期末）一次式中，一次项系数是________． 【答案】/ 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了多项式的项数和次数，识别一次式中的一次项并确定其系数，即可作答． 【详解】解：在表达式中，一次项为，其系数为， 故答案为：． 题型02 同类项的判断 【例1】（24-25六年级上·上海·阶段检测）合并同类一次项：____________． 【答案】 【知识点】合并同类项 【详解】解：． 【例2】（24-25六年级上·上海·阶段检测）下列说法中正确的是（   ） A．在一次式中，常数项没有同类项 B．在一次式中，与是同类项 C．一次式与一次式的和一定是一次式 D．在一次式中，与是同类项 【答案】D 【知识点】同类项的判断 【分析】本题考查多项式加减，同类项，解题关键是熟练掌握所含字母相同，且相同字母指数也相同的项叫同类项． 根据同类项的定义与整式加法逐项判定即可． 【详解】解：A、在一次式中，常数项与常数项是同类项，故此选项不符合题意， B、在一次式中，与所含字母不同，不是同类项，故此选项不符合题意； C、一次式与一次式的和不一定是一次式，如与的和就不是一次式，故此选项不符合题意； D、在一次式中，与所含字母相同，相同字母y的指数也相同，是同类项，故此选项符合题意； 故选：D． 常见错误/必记结论 - 同类项必须同时满足两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数也相同。缺一不可。 - 同类项与系数大小无关， 与 是同类项。 - 同类项与字母的排列顺序无关， 与 是同类项。 - 常数项（如 、、）都是同类项。 - 与 不是同类项，这是最容易判断错误的地方。 - 与 不是同类项（指数不同）。 - 常数项与含字母的项一定不是同类项。 - 与 不是同类项，不要被它们含有相同的字母迷惑。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海普陀·期末）已知一个一次式与的和是，那么这个一次式是_____． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减，掌握整式加减的运算法则是解题关键．根据和与加数的关系，所求一次式等于和减去已知加数，即可得解． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型03 ：一次式的加减——合并同类项 【例1】（25-26六年级上·上海嘉定·期末）如果一个一次式与的和是，那么这个一次式是________． 【答案】/ 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减运算；掌握运算法则是解题的关键；根据整式的加减运算法则，用和减去已知的一次式即可求解． 【详解】解：根据题意，这个一次式为． 故答案为： ． 【例2】（24-25六年级上·上海嘉定·阶段检测）已知是关于的一次式，求的值． 【答案】 【知识点】多项式系数、指数中字母求值 【分析】本题主要考查了多项式的次数的定义，多项式中次数最高的项的次数为多项式的次数，据此可得，解之即可得到答案． 【详解】解：∵是关于的一次式， ∴， ∴． 常见错误/必记结论 - 合并同类项法则：系数相加，字母和字母的指数不变。 - 移动项时要连同前面的符号一起移动。 - 系数相加时注意符号：3a+2a=5a，−2b−3b=−5b。 - 合并后要检查是否还有同类项，确保结果中不再含有同类项。 - 若同类项的系数互为相反数，合并后该项为0。 - 分别合并 项和 项：，。 - 项与 项不能合并（不是同类项）。 - 结果为 ，不是 ，注意 的正负号。 【小试牛刀】 1.（24-25六年级上·上海杨浦·期末）如果一个一次式与的和是，那么这个一次式是______． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 根据整式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：根据题意得， ， 故答案为： ． 2. （24-25六年级上·上海闵行·期末）如果一个一次式与的和是，那么这个一次式是______． 【答案】/ 【知识点】去括号、合并同类项 【分析】本题考查了去括号、合并同类项，熟练掌握去括号、合并同类项的运算法则是解题的关键．设这个一次式是，由题意得，求出表示的式子即可解答． 【详解】解：设这个一次式是， 由题意得，， ， 这个一次式是． 故答案为：． 题型04 ：去括号与添括号 【例1】（25-26六年级上·上海·阶段检测） ________． 【答案】/ 【知识点】去括号 【分析】本题考查的是去括号，根据去括号法则，括号前是负号，去括号后括号内各项符号改变，据此去括号即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【例2】（25-26六年级上·上海·阶段检测）下列去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】去括号 【分析】本题考查了去括号的法则：若括号前是负号，括号内各项变符号；若括号前是正号，括号内各项不变符号，若括号前有系数，则利用乘法分配律将系数与括号内各项相乘，即可作答．据此逐一判断即可． 【详解】解：A、，错误，该选项不符合题意； B、，错误，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，正确，该选项符合题意． 故选：D． 常见错误/必记结论 - 去括号口诀：“正不变，负全变”。 - 括号前是“-”号时，括号内的每一项都要变号，不要漏项。 - 括号前有系数时，系数要乘以括号内的每一项，不要只乘第一项。 - 去括号时，括号前的符号和括号要一起去掉。 - 添括号口诀：“正不变，负全变”（与去括号相同）。 - 括号前添“-”号时，括入括号内的各项都要变号。 - 验证方法：把括号去掉，看是否变回原式。 【小试牛刀】 1.（24-25六年级上·上海徐汇·期末）计算：______． 【答案】 【知识点】去括号 【分析】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号．运用这一法则去掉括号． 【详解】解：， 故答案为：． 2．（24-25六年级上·上海·期末）去括号： （1）_____； （2）_____； （3）_____． 【答案】 【知识点】去括号 【分析】本题考查了整式的加减去括号，根据去括号法则计算即可得解，熟练掌握去括号法则是解此题的关键． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：． 题型05：整体思维的应用 【例1】（25-26六年级上·上海杨浦·期末）有三个关于的一次式：、（为一次项的系数）、（为一次项的系数、为常数项）． (1)小海在研究一次式时发现，当的取值每增加1时，一次式的值就增加4．所以他得到这样一个结论：“当的取值每增加1时，一次式增加的值只与一次项系数4有关，和常数项2无关”．你同意小海的观点吗？请说明理由； (2)对于一次式，当的取值每增加1时，一次式的值就减少2，那么的值是_____（直接写出答案）； (3)已知当的取值每增加1时，一次式增加的值是一次式增加的值的3倍；且当的值为0时，一次式的值与的值相等．那么的值是_____（直接写出答案）． 【答案】(1)同意小海的观点，理由见解析 (2) (3)9 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的加减运算 【分析】本题主要考查了代数式求值和整式的加减运算，正确理解题意是解题的关键． （1）设是关于x的一次式，其中为一次项的系数、为常数项，可求出，据此可得到结论； （2）根据（1）的结论可得当的取值每增加1时，一次式的值就增加，再结合已知条件即可得到答案； （3）根据题意可得当的取值每增加1时，一次式增加的值为m，一次式增加的值为4，结合题意求出m、n的值即可得到答案． 【详解】（1）解：同意小海的观点，理由如下： 设是关于x的一次式，其中为一次项的系数、为常数项， ∴ ， ∴对于一次式，当x增加1时，的值增加a，与常数项b无关， ∴当的取值每增加1时，一次式增加的值为4，只与一次项系数4有关，和常数项2无关， ∴同意小海的观点； （2）解：由（1）可得对于一次式，当的取值每增加1时，一次式的值就增加， ∵对于一次式，当的取值每增加1时，一次式的值就减少2， ∴； （3）解：由（1）可得当的取值每增加1时，一次式增加的值为m，一次式增加的值为4， ∵当的取值每增加1时，一次式增加的值是一次式增加的值的3倍， ∴； ∵当的值为0时，一次式的值与的值相等， ∴， ∴， ∴． 【例2】（24-25六年级上·上海杨浦·期末）数学活动课上，小海利用列表法研究一次式、的值随着的取值的变化情况． … 0 1 2 … … 0 … … 6 3 0 … 根据表格，完成下列问题： (1)表格中的______； (2)从表格中可以发现，当的取值增大时，一次式的值______（填“增大”、“不变”或“减小”），一次式的值______（填“增大”、“不变”或“减小”）； (3)小海在研究时，得到这样一个结论：“当的值每增加1时，一次式减去一次式的差就增加6”，你同意小海的结论吗？请利用所学知识说明理由． 【答案】(1) (2)增大；减小 (3)同意，理由见解析 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减、代数式求值； （1）将代入即可． （2）根据表格数据分析即可． （3）两个代数式求差，得到，然后判断下结论即可． 【详解】（1）解：将代入得：． 故答案为：． （2）解：从表格中可以发现，当x的取值增大时，一次式的值增大，一次式的值减小； 故答案为：增大；减小． （3）解：我同意小海的结论． 理由如下： ∵， 所以当x的值每增加1时，一次式减去一次式的差就增加6． 常见错误/必记结论 - 整体合并：把相同的代数式看作一个整体，合并其系数。 - 整体代入：不需求出每个字母的值，直接把已知条件的整体代入。 - 整体思维的关键是找到相同的部分作为整体。 - 整体思维是初中数学最重要的思想方法之一。 - 观察 与 的关系：。 - 整体代入 ，不需要分别求 和 的值。 - 这种方法在题目信息不足时（只知道部分条件）仍然能求出结果。 【小试牛刀】 （25-26六年级上·上海·期末）求一次式减去一次式的差，并求当，时该差的值． 【答案】， 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、整式的加减中的化简求值、整式的加减运算 【分析】本题考查了列代数式，代数式化简求值等相关内容，根据题意列出代数式，化简再代入求值即可. 【详解】解：由题意得： 当，时，原式. 2.（24-25六年级上·上海·阶段检测）已知一次式的一次项的系数为，常数项为，则与的差的立方的计算结果为____________． 【答案】 【知识点】多项式的项、项数或次数、有理数的乘方运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查多项式的项，项的系数，代数式求值，以及有理数的乘方运算，解题的关键在于熟练掌握相关概念．先化简一次式，得到与的值，再根据题意列式计算求解，即可解题． 【详解】解： ， 一次式的一次项的系数为，常数项为， ，， 则与的差的立方的计算结果为， 故答案为：． 基础过关 1．（25-26六年级上·上海普陀·期末）一次式的一次项是_____． 【答案】 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了多项式的定义．根据一次项是指多项式中次数为1的项，即可求解． 【详解】解：一次式，一次项是，常数项是． 故答案为：． 2．（25-26六年级上·上海·期末）一次式中的一次项系数是________． 【答案】 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了多项式中项的系数，解决本题的关键是熟练掌握多项式中项的系数． 识别一次式中的一次项并确定其系数即可． 【详解】解：一次式中，是一次项，其系数为，因此一次项系数是． 故答案为：． 3．（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）多项式的一次项系数是___． 【答案】 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查多项式的项与系数，熟练掌握相关知识是关键． 根据多项式的项及系数的定义，一次项是次数为1的项，其系数即为该项的数字因数． 【详解】解：多项式中，一次项是，因此一次项系数是． 故答案为：． 4．（25-26六年级上·上海·阶段检测）代数式中一次项的系数是_____． 【答案】 【知识点】多项式系数、指数中字母求值、多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了多项式的相关定义，熟练掌握一次式的相关概念是解题的关键．根据只含有一个字母，且字母的指数是1，这样的项叫做一次项；不含字母的项叫做常数项；一次项中的数字因数叫做项的数字系数；据此即可解答． 【详解】解：代数式中，一次项是，其系数是， 故答案为：． 5．（25-26七年级上·全国·课后作业）指出一次式中的一次项，常数项及一次项的系数 【答案】一次式中的一次项是和，常数项是，其中一次项的系数分别是1， 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了多项式的相关概念．根据多项式的概念作答即可． 【详解】解：一次式中的一次项是和，常数项是，其中一次项的系数分别是1和． 6．（24-25六年级上·上海宝山·期末）关于代数式，下列说法中正确的是（　　） A．它的一次项系数是 B．它的常数项是 C．它是一个一次式 D．它是一个一次项 【答案】C 【知识点】多项式的项、项数或次数 【详解】本题考查了多项式的概念，熟练掌握多项式的项数和次数是关键．根据整式的相关概念逐项分析判断即可． 【解答】解：， A、多项式一次项系数是，不符合题意； B、多项式的常数项是，不符合题意； C、多项式是一次式，符合题意； D、它是一次二项式，不符合题意； 故选：C． 7．（24-25六年级上·上海·阶段检测）计算：___________ 【答案】/ 【知识点】去括号 【分析】本题考查了整式的加减、去括号，熟练掌握去括号是关键．运用乘法分配律去括号即可． 【详解】解：． 故答案为：． 8．（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）下列去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】去括号 【分析】本题考查去括号的规则：括号前为“”号，去括号后括号内各项符号不变；括号前为“”号，去括号后括号内各项符号改变．根据此规则检查各选项即可求解． 【详解】解：选项A：，但选项写为，错误，不符合题意； 选项B：，但选项写为，错误，不符合题意； 选项C：，但选项写为，错误，不符合题意； 选项D：先内层括号（括号前“”号，改变符号）， 然后（括号前“”号，改变符号），正确，符合题意； 故选：D． 9．（24-25六年级上·上海·期末）化简：______． 【答案】 【知识点】去括号 【分析】本题考查去括号．根据去括号法则如果括号前是“”，去括号后，括号里的各项都变号，即可得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 10．（25-26六年级上·上海·单元复习）下列去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】去括号 【分析】本题考查去括号：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“”，去括号后，括号里的各项都改变符号． 【详解】解：A、，原说法错误，故本选项不符合题意； B、，原说法错误，故本选项不符合题意； C、，原说法错误，故本选项不符合题意； D、，原说法正确，故本选项符合题意． 故选：D． 11．（25-26六年级上·上海·单元复习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】去括号 【分析】本题考查了去括号，解题的关键是掌握去括号法则：将括号前的因式分别乘以括号内的每一项． （1）根据去括号法则将括号展开即可； （2）根据去括号法则将括号展开即可； （3）根据去括号法则将括号展开即可； （4）根据去括号法则将括号展开即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 12．（24-25六年级上·上海·期末）下列说法中正确的是 （   ） A．在一次式中，常数项没有同类项 B．在一次式中，与是同类项 C．一次式与一次式的和一定是一次式 D．在一次式中，与 是同类项 【答案】D 【知识点】多项式的项、项数或次数、同类项的判断 【分析】本题考查多项式加减，同类项，解题关键是熟练掌握所含字母相同，且相同字母指数也相同的项叫同类项． 根据同类项的定义与整式加法逐项判定即可． 【详解】解：A、在一次式中，常数项与常数项是同类项，故此选项不符合题意， B、在一次式中，与所含字母不同，不是同类项，故此选项不符合题意； C、一次式与一次式的和不一定是一次式，如与的和就不是一次式，故此选项不符合题意； D、在一次式中，与所含字母相同，相同字母x的指数也相同，是同类项，故此选项符合题意； 故选：D． 13．（24-25六年级上·上海杨浦·期末）现有两个一次式，它们同时满足下述三个条件：①一次式中的字母均只含一个，为字母；②一次项的系数互为相反数；③这两个一次式的和为，这两个一次式可以是______．（写出满足条件的一组即可） 【答案】和（答案不唯一） 【知识点】相反数的定义、写出满足某些特征的单项式 【分析】本题考查了一次式的定义，相反数，一次式的加减运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据一次式的定义，一次式的加减运算，即可得到答案． 【详解】解：设两个一次式分别是， ∴， ∴， ∴这两个一次式为和， 故答案为：和（答案不唯一） ． 14．（25-26六年级上·上海松江·期末）一个一次式满足：①只含有一个字母；②常数项为正数；③当字母的值取1时，这个一次式的值等于．写出满足要求的一次式________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】写出满足某些特征的单项式、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查一次式的概念．熟悉一次式的概念，根据一次式的值，推导并写出符合要求的一次式，是解题的关键。 设一次式为，其中和为常数，为字母。根据条件常数项，且当时，值为，代入得．由此关系选择合适常数即可． 【详解】解：设一次式形式为，常数项， 当时，，即， ∵， ∴， ∴取，则，得一次式为， 验证：常数项，当时，，满足条件． 故答案为：（答案不唯一）． 能力提升 15.（24-25六年级上·上海宝山·期末）若一次式的值为3，那么一次式=__________． 【答案】3 【知识点】已知式子的值，求代数式的值 【分析】根据题意列出关系式，所求式子变形后将关系式的值代入计算即可求出值． 【详解】解：，即， ． 故答案为：3. 【点睛】本题考查了代数式求值，利用了整体代入的思想，是一道基本题型． 16．（25-26六年级上·上海金山·期末）若一个一次式与的和是，那么这个一次式是_______． 【答案】 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题主要考查了整式加减的运算，根据题意列出算式进行计算即可． 【详解】解：∵一个一次式与的和是， ∴这个一次式为： ． 故答案为：． 17．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段检测）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个一次式，如图所示．老师捂住的一次式是______． 【答案】/ 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，根据题意只需要计算出的结果即可得到答案． 【详解】解： ， ∴老师捂住的一次式是， 故答案为：． 18．（24-25六年级上·上海普陀·期末）一次式的一次项的系数是________________． 【答案】/ 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查了多项式的定义，几个单项式的和（或者差）叫做多项式，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高项项次数，就是这个多项式的次数．一次项中的数字因数就是一次项的系数． 根据多项式的概念即可得到答案． 【详解】解：依题意，中的一次项是，系数是， 故答案为：． 19．（24-25六年级上·上海宝山·期末）一次式的一次项是 _________． 【答案】 【知识点】多项式的项、项数或次数 【分析】本题考查多项式中的项，根据多项式中的每一个单项式叫做多项式的项，项的次数为1的项为一次项，据此进行判断即可． 【详解】解：中一次项是， 故答案为：． 挑战一刻 20．（25-26六年级上·上海普陀·期末）若是关于的一次式，则______． 【答案】 【知识点】多项式系数、指数中字母求值、多项式的项、项数或次数、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了已知字母的值，求代数式的值，多项式的项、项数或次数，多项式系数、指数中字母求值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 根据一次式的定义，多项式最高次数为1，因此项系数为零，且的指数为1． 【详解】解：因为式子是关于的一次式， 所以项的系数， 解得：； 同时必须是一次项， 故， 解得：． 因此． 故答案为：． 21.（24-25六年级上·上海·阶段检测）小马虎在计算一次式与另一个一次式的差时，把差当成了和，求出的答案是，则正确的答案是__________． 【答案】/ 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查了整式的加减运算，设另一个一次式为，根据题意求得，再计算与的差，即可求解． 【详解】解：设另一个一次式为， 依题意， ∴正确的答案是 故答案为：． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $