第04讲 有理数的乘方（讲义，上海专用沪教版）数学小升初衔接

第04讲 有理数的乘方 预习目标 知识回顾 1. 理解有理数乘方的意义，掌握幂、底数、指数的概念；. 掌握多个有理数相乘的积的符号法则（奇负偶正）； 2. 能正确进行有理数的乘方运算； 3. 掌握乘方运算的符号规律（奇负偶正）； 4. 能进行乘方的逆运算（已知幂求底数）； 5. 能运用乘方解决实际问题。 1. 上一讲我们学习了有理数的乘法与除法，掌握了“同号得正、异号得负”的符号法则，以及“奇负偶正”的多个数相乘规律。 2. 小学阶段我们学习过正方形的面积公式 ，正方体的体积公式 。 3. 我们还知道 读作“a的平方”， 读作“a的立方”。 4. 现在数的范围扩大了——引入了负数，那么 等于多少？ 又等于多少？乘方运算的符号有什么规律？这就是本讲要解决的问题。 新知导图 预习精讲 想一想 （1） 一张足够大的白纸，厚度为 mm。我们把它对折： （2） 对折1次后，纸的层数是 层，厚度为 mm； （3） 对折2次后，纸的层数是 层，厚度为 mm； （4） 对折3次后，纸的层数是 层，厚度为 mm； （5） 对折4次后，纸的层数是 层，厚度为 mm； 图1 同学们，请看下面这个关于折纸的问题： 一张足够大的白纸，厚度为 0.1 mm。我们把它对折： 对折1次后，纸的层数是 2 层，厚度为 0.1×2=0.2 mm； 对折2次后，纸的层数是 4 层，厚度为 0.1×4=0.4 mm； 对折3次后，纸的层数是 8 层，厚度为 0.1×8=0.8 mm； 对折4次后，纸的层数是 16 层，厚度为 0.1×16=1.6 mm； 【思考1】观察上面的数据：对折1次是 2 层，对折2次是 4=2×2 层，对折3次是 8=2×2×2 层，对折4次是 16=2×2×2×2 层。如果对折 n 次，纸的层数应该怎样表示？你能用一个简洁的数学符号来表示“n 个相同的数相乘”吗？ 【思考2】我们已经知道 2×2 可以写成 22，2×2×2 可以写成 23。那么： （1）(−2)×(−2) 可以写成什么？它等于多少？ （2）(−2)×(−2)×(−2) 可以写成什么？它等于多少？ （3）观察上面两个结果，你发现负数的乘方在符号上有什么规律？ 【思考3】(−2)2 和 −22 表示的意义一样吗？如果不一致，它们分别表示什么意思？计算结果相同吗？请思考并说明理由。 知识点01 乘方的定义与概念 乘方的定义： 求 个相同因数的积的运算，叫做乘方。 幂的组成： 其中， 叫做底数， 叫做指数， 叫做幂。 意义： 表示 个 相乘。例如：，。 特殊情况： （一个数的1次方等于它本身）； （，任何非零数的0次方等于1）。 【即学即练1】 1.（25-26六年级上·上海·阶段检测）关于的说法正确的是（     ） A．指数是 B．结果是 C．表示4个相加 D．表示4个相乘 2．（25-26六年级上·上海·期末）乘法运算可以表示为（    ） A． B． C． D． 知识点02 乘方的读法与书写 读法： 读作“ 的 次方”或“ 的 次幂”； 当 时，读作“ 的平方”； 当 时，读作“ 的立方”。 书写规范： 底数为负数或分数时，必须加括号。 例如： 表示 ，而 表示 ，两者完全不同。 与 的区别（重点） ： 形式 含义 示例 个 相乘 的相反数 注意：当 为偶数时，；当 为奇数时，两者数值相同。 【即学即练2】 1.（24-25六年级上·上海·阶段检测）下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26六年级上·上海静安·期末）下列说法正确的是（   ） A．任何有理数的平方都是正数 B．任何有理数的立方都是负数 C．与的值相等 D．比的值大 知识点03 乘方运算的符号规律 正数的乘方： 正数的任何次幂都是正数。 负数的乘方： 负数的奇次幂是负数； 负数的偶次幂是正数。 口诀：“奇负偶正”（与多个有理数相乘的符号规律一致！） 零的乘方： 0的任何正整数次幂都是0。 【示例】 （1）（正数 → 正） （2）（负数，偶次 → 正） （3）（负数，奇次 → 负） （4） 【即学即练3】 1.（25-26六年级上·上海浦东新·阶段检测）在、、、、、中，负数有（   ）个 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）在，，，中，负数的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 知识点04　有理数乘方的运算法则 运算步骤： 第一步：定符号 —— 根据底数的符号和指数的奇偶性确定符号； 第二步：算绝对值 —— 将底数的绝对值进行乘方运算。 整数指数幂： 正整数的乘方：直接计算。 负整数的乘方：先定符号，再计算绝对值的乘方。 分数的乘方：分子、分母分别乘方。 小数的乘方：先化成分数，或直接计算。 【示例】 （1）；（2）； （3）；（4）。 【即学即练4】 1.（25-26六年级上·上海嘉定·期末）下列各对数中，数值相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．（25-26六年级上·上海松江·期中）下列各组数中，数值不相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 知识点05　有理数乘方的逆运算 定义： 已知一个数的 次幂，求这个数（即底数）的运算，叫做乘方的逆运算。 方法： 若 ，且 已知，求 ，则 是 的 次方根。 对于初中阶段，主要涉及平方和立方的逆运算： 若 （），则 （两个解）； 若 ，则 （唯一解）。 注意： 一个正数的平方根有两个（互为相反数）； 负数的平方没有实数解（初中阶段不要求）； 任何数的立方都有唯一的解。 【示例】 （1）若 ，则 ； （2）若 ，则 ； （3）若 ，则 （因为 ，）。 【即学即练5】 1.（25-26六年级上·上海·期末）已知正整数满足，则当都取到最小值时，的值为__． 2．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）已知a、b互为倒数，化简：______． 知识点06　乘方的实际应用 乘方在实际生活中有广泛的应用： 面积与体积：正方形面积 ，正方体体积 。 细胞分裂：一个细胞分裂 次后的个数为 。 折纸问题：一张纸对折 次后的层数为 。 拉面问题：拉面师傅拉 次后的面条根数为 。 增长率问题：某数每年增长 ， 年后变为 。 科学记数法（后续学习）：用 表示大数。 【即学即练6】 1．（24-25六年级上·上海·阶段检测）某种细胞，每过20分钟便由1个分裂成2个，2个这种细胞，经过1小时，能分裂成______个． 2．（24-25七年级上·上海·阶段检测）随着科技的进步，纳米技术的运用越来越广泛．，那么． 题型速练 题型01 有理数幂的概念理解 【例1】（24-25六年级上·上海黄浦·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．一个数不是正数就是负数 B．任何有理数都有倒数 C．任何有理数的平方都是正数 D．正数的相反数一定小于它本身 【例2】（24-25六年级上·上海闵行·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．0既没有倒数，也没有相反数 B．能够写成分数（a、b是整数，）的数叫作有理数 C．如果一个数的偶次幂是正数，那么这个数是负数 D．如果一个数的平方等于它本身，那么这个数是 常见错误/必记结论 - 表示 个 相乘，不是 与 相乘。 - 底数为负数或分数时必须加括号。 - 与 的含义不同，注意区分。 【小试牛刀】 1.（24-25六年级上·上海崇明·期末）若4个相乘，写成乘方的形式是______，计算结果为_____． 2．（24-25六年级上·上海宝山·期末）5个相乘用乘方的形式表示：_______． 题型02 有理数乘方的运算 【例1】（24-25六年级上·上海·阶段检测）计算： ____________． 【例2】（25-26六年级上·上海·期末）比较大小：______． 常见错误/必记结论 - 先定符号，再算绝对值。 - 注意 与 的区别：，。 - 分数的乘方：分子分母分别乘方；小数的乘方注意小数点的位置。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海静安·期末）的倒数是____． 题型03 ：乘方运算的符号规律 【例1】（25-26六年级上·上海金山·期末）某数的倒数的相反数是2026，则这个数是（    ） A．2026 B． C． D． 【例2】（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）计算：___________． 常见错误/必记结论 - 口诀：“奇负偶正”。 - 注意区分 (−a)n 和 −an：前者看底数 −a 的符号，后者看 an 的相反数。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海闵行·阶段检测）在，，，0，，，这七个数中，非负数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2.（25-26七年级上·全国·单元复习）计算中常用到以下法则，负数的奇次幂是______，负数的偶次幂是______，0的任何正整数次幂都是_____． 题型04 ：有理数乘方的逆运算 【例1】（24-25六年级上·上海·阶段检测）计算：； 【例2】（25-26六年级上·上海黄浦·期末）计算：． 常见错误/必记结论 - 偶次幂的逆运算通常有两个解（一正一负），不要漏解！ - 奇次幂的逆运算有唯一解。 - 当等号右边为0时，底数为0（唯一解）。 【小试牛刀】 1.（24-25六年级上·上海·阶段检测）规定，如果，则___________ 2.（25-26六年级上·上海普陀·期末）计算：． 题型05：乘方的应用 【例1】（25-26六年级上·上海松江·期末）计算：． 【例2】（25-26六年级上·上海·阶段检测）________； 常见错误/必记结论 - 细胞分裂、折纸、拉面等问题，本质是 的模型。 - 关键是确定分裂/对折的次数。 -增长率为 ， 年后为原来的 倍 - 体积 = 棱长的立方，棱长扩大 倍，体积扩大 倍。 【小试牛刀】 1. （25-26六年级上·上海奉贤·期中）计算： 2．（25-26六年级下·上海·期中）东汉名医张仲景的“芩桂术甘汤”药方中，茯苓12克，桂枝9克，白术9克，炙甘草6克．王医生按这个药方配了一周的中药共重252克，其中共用到白术______克． 3．（25-26六年级上·上海普陀·期末）计算：______． 基础过关 1．（24-25六年级上·上海·阶段检测）下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26六年级上·上海普陀·期末）下列说法中，正确的是（   ） ①0没有相反数        ②负数的奇数次方是负数 ③正数的绝对值等于它本身    ④倒数等于它本身的数只有1 A．②③ B．③④ C．①④ D．①② 3．（25-26六年级上·上海普陀·期末）下列说法中正确的是（   ） A．一定表示正数 B．零是自然数 C．正数和负数互为相反数 D．立方等于本身的数只有0和1 4．（24-25六年级上·上海·阶段检测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）乘法运算可以表示为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）如果a是有理数，则下列各式的值一定不小于零的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26六年级上·上海浦东新·阶段检测）在、、、、、中，负数有（   ）个 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8.（25-26六年级上·上海青浦·期中）下列各组式子中，结果相等的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 9．（25-26六年级上·上海·期中）下列说法正确的是（   ） A．两个负数的和一定小于每一个加数； B．若干个有理数相乘，当负乘数的个数为奇数时，积为负数； C．如果两个数的商为正数，那么这两个数的和为正数； D．任何有理数的平方都是正数． 10.（25-26六年级上·上海闵行·阶段检测）已知与互为相反数，则的值为__________． 11.（25-26六年级上·上海青浦·期中）计算：__________． 12.（24-25六年级上·上海嘉定·期末）一个正方体的棱长为，则它体积是__m3． 13.（（24-25七年级上·上海奉贤·阶段检测）已知，，，其中、、均为正整数， (1)根据题意，可求得 ， ， ； (2)计算的值； 14.（25-26六年级上·上海奉贤·期中）名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意为：一尺木棍，第一天截取它的一半，以后每天截取剩下部分的一半，那么永远也截取不尽．照这样推算，第四天截取木棍总长度的（    ） A． B． C． D． 能力提升 15.（25-26六年级上·上海·阶段检测）在，，，，，这六个数中，非负数有____个． 16．（25-26六年级上·上海·阶段检测）立方等于其相反数的数是_______． 17.（25-26六年级上·上海浦东新·阶段检测）当_____，代数式的值最大． 18．（25-26六年级上·上海虹口·期中）若，则__________． 19.（25-26六年级上·上海·期中）计算：______． 挑战一刻 20．（24-25六年级上·上海·阶段检测）阅读材料，求值：． 解：设①，将等式两边同时乘以2得： ②， ，得：， 所以， 即， 请你仿照此法计算： (1)； (2)（其中为正整数） 21．（25-26六年级上·上海·阶段检测）请阅读材料，并解决问题 生活中常用“分贝（）”衡量声音响度，规定：若（L为声音的响度值），则k称为L的“分贝指数”，记为．由定义可知：与表示k、L之间的同一关系．“分贝指数”有如下运算性质： 若A、B为正响度值，则，． (1)根据“分贝指数”的定义，填空： ， ； (2)根据运算性质，填空： （m为正响度值且）； (3)若，计算的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 有理数的乘方 预习目标 知识回顾 1. 理解有理数乘方的意义，掌握幂、底数、指数的概念；. 掌握多个有理数相乘的积的符号法则（奇负偶正）； 2. 能正确进行有理数的乘方运算； 3. 掌握乘方运算的符号规律（奇负偶正）； 4. 能进行乘方的逆运算（已知幂求底数）； 5. 能运用乘方解决实际问题。 1. 上一讲我们学习了有理数的乘法与除法，掌握了“同号得正、异号得负”的符号法则，以及“奇负偶正”的多个数相乘规律。 2. 小学阶段我们学习过正方形的面积公式 ，正方体的体积公式 。 3. 我们还知道 读作“a的平方”， 读作“a的立方”。 4. 现在数的范围扩大了——引入了负数，那么 等于多少？ 又等于多少？乘方运算的符号有什么规律？这就是本讲要解决的问题。 新知导图 预习精讲 想一想 （1） 一张足够大的白纸，厚度为 mm。我们把它对折： （2） 对折1次后，纸的层数是 层，厚度为 mm； （3） 对折2次后，纸的层数是 层，厚度为 mm； （4） 对折3次后，纸的层数是 层，厚度为 mm； （5） 对折4次后，纸的层数是 层，厚度为 mm； 图1 同学们，请看下面这个关于折纸的问题： 一张足够大的白纸，厚度为 0.1 mm。我们把它对折： 对折1次后，纸的层数是 2 层，厚度为 0.1×2=0.2 mm； 对折2次后，纸的层数是 4 层，厚度为 0.1×4=0.4 mm； 对折3次后，纸的层数是 8 层，厚度为 0.1×8=0.8 mm； 对折4次后，纸的层数是 16 层，厚度为 0.1×16=1.6 mm； 【思考1】观察上面的数据：对折1次是 2 层，对折2次是 4=2×2 层，对折3次是 8=2×2×2 层，对折4次是 16=2×2×2×2 层。如果对折 n 次，纸的层数应该怎样表示？你能用一个简洁的数学符号来表示“n 个相同的数相乘”吗？ 【思考2】我们已经知道 2×2 可以写成 22，2×2×2 可以写成 23。那么： （1）(−2)×(−2) 可以写成什么？它等于多少？ （2）(−2)×(−2)×(−2) 可以写成什么？它等于多少？ （3）观察上面两个结果，你发现负数的乘方在符号上有什么规律？ 【思考3】(−2)2 和 −22 表示的意义一样吗？如果不一致，它们分别表示什么意思？计算结果相同吗？请思考并说明理由。 知识点01 乘方的定义与概念 乘方的定义： 求 个相同因数的积的运算，叫做乘方。 幂的组成： 其中， 叫做底数， 叫做指数， 叫做幂。 意义： 表示 个 相乘。例如：，。 特殊情况： （一个数的1次方等于它本身）； （，任何非零数的0次方等于1）。 【即学即练1】 1.（25-26六年级上·上海·阶段检测）关于的说法正确的是（     ） A．指数是 B．结果是 C．表示4个相加 D．表示4个相乘 【答案】D 【知识点】有理数的乘方运算、有理数幂的概念理解 【分析】根据乘方的定义逐一判断选项即可. 【详解】解：A.中，指数是，不是，故A错误； B.，结果不是，故B错误； C.个相加表示为，不是，故C错误； D.符合乘方定义，表示个相乘，故D正确. 2．（25-26六年级上·上海·期末）乘法运算可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】本题考查有理数幂，根据有理数幂的定义，进行判断即可． 【详解】解：乘法运算可以表示为； 故选C． 知识点02 乘方的读法与书写 读法： 读作“ 的 次方”或“ 的 次幂”； 当 时，读作“ 的平方”； 当 时，读作“ 的立方”。 书写规范： 底数为负数或分数时，必须加括号。 例如： 表示 ，而 表示 ，两者完全不同。 与 的区别（重点） ： 形式 含义 示例 个 相乘 的相反数 注意：当 为偶数时，；当 为奇数时，两者数值相同。 【即学即练2】 1.（24-25六年级上·上海·阶段检测）下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查有理数的乘方运算，根据乘方的定义计算每个选项，即可判断正误． 【详解】解：对选项A， ， A错误； 对选项B， ， B错误； 对选项C， ， C错误； 对选项D， ， D正确． 2．（25-26六年级上·上海静安·期末）下列说法正确的是（   ） A．任何有理数的平方都是正数 B．任何有理数的立方都是负数 C．与的值相等 D．比的值大 【答案】C 【知识点】乘方运算的符号规律、有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，根据有理数乘方运算法则逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 有理数0的平方为0，不是正数，原说法不正确，本选项不符合题意； B. 正数的立方为正数，0的立方为0，负数的立方为负数，原说法不正确，本选项不符合题意； C.因为，，所以，正确，本选项符合题意； D. 为负值，为正值，故，原说法不正确，本选项不符合题意． 故选：C． 知识点03 乘方运算的符号规律 正数的乘方： 正数的任何次幂都是正数。 负数的乘方： 负数的奇次幂是负数； 负数的偶次幂是正数。 口诀：“奇负偶正”（与多个有理数相乘的符号规律一致！） 零的乘方： 0的任何正整数次幂都是0。 【示例】 （1）（正数 → 正） （2）（负数，偶次 → 正） （3）（负数，奇次 → 负） （4） 【即学即练3】 1.（25-26六年级上·上海浦东新·阶段检测）在、、、、、中，负数有（   ）个 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】求一个数的绝对值、正负数的定义、有理数的乘方运算、化简多重符号 【分析】本题考查了正负数的定义，化简多重符号，求一个数的绝对值，有理数的乘方运算等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．分别计算每个表达式的值，再判断正负． 【详解】解：（正数）， （负数）， （负数）， （正数）， （正数）， ∴负数有2个， 故选：C． 2．（25-26六年级上·上海奉贤·期中）在，，，中，负数的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】求一个数的绝对值、化简多重符号、正负数的定义、有理数的乘方运算 【分析】本题考查相反数、绝对值、乘方的运算，注意负数的奇次幂为负，绝对值的非负性． 计算每个式子的值，根据正负判断负数个数． 【详解】，为正数；，为负数；，为正数；，为负数． ∴负数有2个． 故选：C． 知识点04　有理数乘方的运算法则 运算步骤： 第一步：定符号 —— 根据底数的符号和指数的奇偶性确定符号； 第二步：算绝对值 —— 将底数的绝对值进行乘方运算。 整数指数幂： 正整数的乘方：直接计算。 负整数的乘方：先定符号，再计算绝对值的乘方。 分数的乘方：分子、分母分别乘方。 小数的乘方：先化成分数，或直接计算。 【示例】 （1）；（2）； （3）；（4）。 【即学即练4】 1.（25-26六年级上·上海嘉定·期末）下列各对数中，数值相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，解题的关键是掌握运算法则；通过计算每对数的数值，比较是否相等即可． 【详解】解：、，，，故本选项不符合题意； 、，，，故本选项符合题意； 、，，，故本选项不符合题意； 、，，，故本选项不符合题意； 故选：． 2．（25-26六年级上·上海松江·期中）下列各组数中，数值不相等的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】此题考查了乘方运算，分别计算各项后，进行判断即可得到答案． 【详解】解：对于A：∵ ， ， ∴和相等． 对于B：∵ ， ， ∴和不相等． 对于C：∵ ， ， ∴和相等． 对于D：∵ ， ， ∴和相等． 故选：B． 知识点05　有理数乘方的逆运算 定义： 已知一个数的 次幂，求这个数（即底数）的运算，叫做乘方的逆运算。 方法： 若 ，且 已知，求 ，则 是 的 次方根。 对于初中阶段，主要涉及平方和立方的逆运算： 若 （），则 （两个解）； 若 ，则 （唯一解）。 注意： 一个正数的平方根有两个（互为相反数）； 负数的平方没有实数解（初中阶段不要求）； 任何数的立方都有唯一的解。 【示例】 （1）若 ，则 ； （2）若 ，则 ； （3）若 ，则 （因为 ，）。 【即学即练5】 1.（25-26六年级上·上海·期末）已知正整数满足，则当都取到最小值时，的值为__． 【答案】12 【知识点】有理数乘方逆运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题主要考查了代数式求值，乘方的逆运算，由 且为正整数，可知必须是 72 的倍数；将72分解质因数为，那么a必须包含质因数3，使得3的指数为 3 的倍数，a最小时，b也最小，因此确定a的最小值，即可确定b的最小值，据此求解即可． 【详解】解：因为，，且a、b都是正整数， ∴必须包含质因数3，使得3的指数为 3 的倍数， ∵a最小时，b也最小，且a的最小值为3， ∴此时，即b的最小值为6， ∴， 故答案为：12． 2．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）已知a、b互为倒数，化简：______． 【答案】 【知识点】倒数、有理数乘方逆运算 【分析】本题考查了倒数，有理数的混合运算，积的乘方的逆运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据倒数的意义可得，然后计算乘方，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵a、b互为倒数， ∴ ∴ 故答案为：． 知识点06　乘方的实际应用 乘方在实际生活中有广泛的应用： 面积与体积：正方形面积 ，正方体体积 。 细胞分裂：一个细胞分裂 次后的个数为 。 折纸问题：一张纸对折 次后的层数为 。 拉面问题：拉面师傅拉 次后的面条根数为 。 增长率问题：某数每年增长 ， 年后变为 。 科学记数法（后续学习）：用 表示大数。 【即学即练6】 1．（24-25六年级上·上海·阶段检测）某种细胞，每过20分钟便由1个分裂成2个，2个这种细胞，经过1小时，能分裂成______个． 【答案】16 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，熟练掌握运算法则是解题关键．先求出细胞每20分钟分裂一次，1小时共分裂3轮，再根据每过20分钟便由1个分裂成2个列式计算即可得． 【详解】解：∵每过20分钟细胞分裂一次， ∴经过1小时，分裂轮数为（轮）， ∵某种细胞，每过20分钟便由1个分裂成2个， ∴2个这种细胞，经过1小时，能分裂成（个）， 故答案为：16． 2．（24-25七年级上·上海·阶段检测）随着科技的进步，纳米技术的运用越来越广泛．，那么． 【答案】 【知识点】乘方的应用 【分析】本题考查了有理数的乘方运算．根据有理数的乘方运算法则计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 题型速练 题型01 有理数幂的概念理解 【例1】（24-25六年级上·上海黄浦·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．一个数不是正数就是负数 B．任何有理数都有倒数 C．任何有理数的平方都是正数 D．正数的相反数一定小于它本身 【答案】D 【知识点】有理数的分类、有理数幂的概念理解、相反数的定义、倒数 【分析】本题主要考查了有理数的分类，根据有理数的分类及相关的定义，逐项判断即可． 【详解】解：A、一个有理数，除了0外，不是正数就是负数，原说法错误，故此选项不符合题意； B、不是任何有理数都有倒数，0是有理数，0就没有倒数，原说法错误，故此选项不符合题意； C、任何有理数的平方都是正数或零，原说法错误，故此选项不符合题意； D、正数的相反数一定小于它本身，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 【例2】（24-25六年级上·上海闵行·期中）下列说法中，正确的是（   ） A．0既没有倒数，也没有相反数 B．能够写成分数（a、b是整数，）的数叫作有理数 C．如果一个数的偶次幂是正数，那么这个数是负数 D．如果一个数的平方等于它本身，那么这个数是 【答案】B 【知识点】相反数的定义、倒数、有理数的定义、有理数幂的概念理解 【分析】本题考查倒数、相反数、偶次幂、有理数的乘方，掌握倒数、相反数、偶次幂、有理数的乘方的意义是正确判断的前提．根据倒数、相反数、偶次幂的意义进行判断即可． 【详解】解：A．没有倒数，但0的相反数是0，因此选项A不正确； B．能够写成分数（a、b是整数，）的数叫作有理数，因此选项B正确； C．如果一个数的偶次幂是正数，那么这个数可能是正数，有可能是负数，因此选项C不正确； D．如果一个数的平方等于它本身，那么这个数是0或，因此选项D不正确； 故选：B． 常见错误/必记结论 - 表示 个 相乘，不是 与 相乘。 - 底数为负数或分数时必须加括号。 - 与 的含义不同，注意区分。 【小试牛刀】 1.（24-25六年级上·上海崇明·期末）若4个相乘，写成乘方的形式是______，计算结果为_____． 【答案】 【知识点】有理数幂的概念理解、有理数的乘方运算 【分析】此题可根据有理数的乘方运算法则，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据有理数的乘方定义和运算法则直接解答即可． 【详解】解： 故答案为：，． 2．（24-25六年级上·上海宝山·期末）5个相乘用乘方的形式表示：_______． 【答案】 【知识点】有理数幂的概念理解 【分析】此题考查了乘方定义的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识．运用乘方的定义进行求解． 【详解】解：由题意得， 故答案为： 题型02 有理数乘方的运算 【例1】（24-25六年级上·上海·阶段检测）计算： ____________． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算 【详解】解：原式． 【例2】（25-26六年级上·上海·期末）比较大小：______． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算、有理数大小比较 【分析】本题考查有理数的大小比较，根据乘方计算即可求值； 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：. 常见错误/必记结论 - 先定符号，再算绝对值。 - 注意 与 的区别：，。 - 分数的乘方：分子分母分别乘方；小数的乘方注意小数点的位置。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海静安·期末）的倒数是____． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算、倒数 【分析】本题考查有理数的乘方运算，倒数，先进行乘方运算，再根据倒数的定义进行求解即可． 【详解】解：的倒数为； 故答案为： 题型03 ：乘方运算的符号规律 【例1】（25-26六年级上·上海金山·期末）某数的倒数的相反数是2026，则这个数是（    ） A．2026 B． C． D． 【答案】D 【知识点】相反数的定义、倒数 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数和倒数，只有符号不同的两个数互为相反数，则可求出该数的倒数，再根据乘积为1的两个数互为倒数可得答案． 【详解】解：∵某数的倒数的相反数是2026， ∴该数的倒数为， ∵， ∴该数为， 故选：D． 【例2】（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）计算：___________． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，根据有理数的乘方法则，负数的偶次幂为正数，直接计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 常见错误/必记结论 - 口诀：“奇负偶正”。 - 注意区分 (−a)n 和 −an：前者看底数 −a 的符号，后者看 an 的相反数。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海闵行·阶段检测）在，，，0，，，这七个数中，非负数有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【知识点】有理数的乘方运算、求一个数的绝对值、化简多重符号、带“非”字的有理数 【分析】本题考查非负数的判断，注意绝对值、幂运算的优先级及负号处理，避免计算错误． 根据非负数指大于或等于0的数，判断即可． 【详解】解：，，，，，， ，0，是非负数，非负数有3个． 故选：A． 2.（25-26七年级上·全国·单元复习）计算中常用到以下法则，负数的奇次幂是______，负数的偶次幂是______，0的任何正整数次幂都是_____． 【答案】 负数 正数 0 【知识点】乘方运算的符号规律 【解析】略 题型04 ：有理数乘方的逆运算 【例1】（24-25六年级上·上海·阶段检测）计算：； 【答案】14 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】利用乘法分配律展开原式，再按照有理数乘法和加减法法则计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 【例2】（25-26六年级上·上海黄浦·期末）计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，乘法分配律的应用，正确计算是解题的关键；先利用乘法分配律进行计算，再计算加减即可． 【详解】解： 常见错误/必记结论 - 偶次幂的逆运算通常有两个解（一正一负），不要漏解！ - 奇次幂的逆运算有唯一解。 - 当等号右边为0时，底数为0（唯一解）。 【小试牛刀】 1.（24-25六年级上·上海·阶段检测）规定，如果，则___________ 【答案】/ 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查有理数的运算，根据定义计算和的值，代入方程后通过通分和约分求解b． 【详解】由定义，， 则， ． 代入方程：， 即， 则． 故答案为：． 2.（25-26六年级上·上海普陀·期末）计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查了乘法分配律，先利用乘法分配律去括号，再计算乘法，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 题型05：乘方的应用 【例1】（25-26六年级上·上海松江·期末）计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律、有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先把除法化为乘法，再运用乘法运算律进行简便运算，即可作答． 【详解】解： ． 【例2】（25-26六年级上·上海·阶段检测）________； 【答案】 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题主要考查了有理数的除法计算，将带分数转换为假分数，利用除以一个数等于乘以它的倒数的法则，进行乘法运算并约分即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 常见错误/必记结论 - 细胞分裂、折纸、拉面等问题，本质是 的模型。 - 关键是确定分裂/对折的次数。 -增长率为 ， 年后为原来的 倍 - 体积 = 棱长的立方，棱长扩大 倍，体积扩大 倍。 【小试牛刀】 1. （25-26六年级上·上海奉贤·期中）计算： 【答案】 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查有理数的除法运算，带分数化为假分数，除法变乘法，进行约分化简即可． 【详解】解：原式． 2．（25-26六年级下·上海·期中）东汉名医张仲景的“芩桂术甘汤”药方中，茯苓12克，桂枝9克，白术9克，炙甘草6克．王医生按这个药方配了一周的中药共重252克，其中共用到白术______克． 【答案】63 【知识点】有理数除法的应用 【分析】本题考查了有理数的乘除实际应用，正确理解题意是解题的关键． 先算出一副“芩桂术甘汤”药方的重量，由总重量可得有几副，再乘以每副白术的重量即可． 【详解】解：（克）， 故答案为：63． 3．（25-26六年级上·上海普陀·期末）计算：______． 【答案】 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的除法运算，解题关键是掌握有理数的除法运算． 将带分数转换为假分数，然后利用除以分数等于乘以倒数的法则进行计算． 【详解】解：原式． 故答案为：． 基础过关 1．（24-25六年级上·上海·阶段检测）下列算式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查有理数的乘方运算，根据乘方的定义计算每个选项，即可判断正误． 【详解】解：对选项A， ， A错误； 对选项B， ， B错误； 对选项C， ， C错误； 对选项D， ， D正确． 2．（25-26六年级上·上海普陀·期末）下列说法中，正确的是（   ） ①0没有相反数        ②负数的奇数次方是负数 ③正数的绝对值等于它本身    ④倒数等于它本身的数只有1 A．②③ B．③④ C．①④ D．①② 【答案】A 【知识点】倒数、有理数的乘方运算、相反数的定义、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了相反数、乘方、绝对值和倒数，根据相反数、乘方、绝对值和倒数的定义，逐一判断每个陈述的正确性即可，熟练掌握相反数、乘方、绝对值和倒数的定义是解此题的关键． 【详解】解：①0的相反数是0，故原说法错误，不符合题意； ②负数的奇数次方是负数，故原说法正确，符合题意； ③正数的绝对值等于它本身，故原说法正确，符合题意； ④倒数等于它本身的数有1和，故原说法错误，不符合题意； 综上所述，正确的有②③， 故选：A． 3．（25-26六年级上·上海普陀·期末）下列说法中正确的是（   ） A．一定表示正数 B．零是自然数 C．正数和负数互为相反数 D．立方等于本身的数只有0和1 【答案】B 【知识点】有理数的分类、相反数的定义、有理数的乘方运算 【分析】本题考查数学基本概念，包括字母表示数、自然数定义、相反数和立方运算，需逐项判断正误． 【详解】A．字母a可以表示正数、负数或零，不一定表示正数，∴A错误． B．在初中数学中，自然数包括零和正整数，因此零是自然数，∴B正确． C．相反数是指数值相等但符号相反的两个数，但正数和负数不一定互为相反数，例如2和不是相反数，∴C错误． D．立方等于本身的数有0、1和，因为，∴D错误． 故选：B． 4．（24-25六年级上·上海·阶段检测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查有理数的乘方运算，熟练掌握有理数的乘方运算是关键．根据有理数的乘方运算法则计算，即可判断答案． 【详解】解： A、 因为，所以选项 A错误，不合题意； B、 因为，所以选项 B错误，不合题意； C、计算正确，选项C符合题意； D、因为，所以选项D错误，不合题意． 故选：C． 5．（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）乘法运算可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的乘方运算．等价于先计算五分之一的五次方，再取负，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：乘法运算可以表示为， 故选：D． 6．（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）如果a是有理数，则下列各式的值一定不小于零的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数加法运算、有理数的乘方运算、绝对值的几何意义 【分析】本题考查有理数的运算符号的确定，根据有理数的平方总是非负的，即对于任何有理数，恒成立可判断B；而其他选项在取某些值时可能小于零． 【详解】解：∵是有理数，根据平方的性质，恒成立，故B选项符合题意； A、当时，，该选项不符合题意； C、当时，，该选项不符合题意； D、，该选项不符合题意； 故选：B． 7．（25-26六年级上·上海浦东新·阶段检测）在、、、、、中，负数有（   ）个 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【知识点】求一个数的绝对值、正负数的定义、有理数的乘方运算、化简多重符号 【分析】本题考查了正负数的定义，化简多重符号，求一个数的绝对值，有理数的乘方运算等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．分别计算每个表达式的值，再判断正负． 【详解】解：（正数）， （负数）， （负数）， （正数）， （正数）， ∴负数有2个， 故选：C． 8.（25-26六年级上·上海青浦·期中）下列各组式子中，结果相等的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数乘方，熟练掌握有理数乘方运算法则是解题的关键． 根据有理数的乘方法则对各选项分别计算，逐项判断即可． 【详解】解：A、，，故此选项符合题意； B、，，故此选项不符合题意； C、，，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意． 故选：A． 9．（25-26六年级上·上海·期中）下列说法正确的是（   ） A．两个负数的和一定小于每一个加数； B．若干个有理数相乘，当负乘数的个数为奇数时，积为负数； C．如果两个数的商为正数，那么这两个数的和为正数； D．任何有理数的平方都是正数． 【答案】A 【知识点】有理数的乘方运算、有理数加法运算、两个有理数的乘法运算、有理数的除法运算 【分析】本题考查有理数的运算，根据有理数的运算法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、两个负数的和一定小于每一个加数；正确，符合题意； B、若干个非零有理数相乘，当负乘数的个数为奇数时，积为负数，原说法错误，不符合题意； C、如果两个数的商为正数，那么这两个数可能同为正，也可能同为负，和可能为正数也可能为负数，原说法错误，不符合题意； D、，不是正数，原说法错误，不符合题意； 故选A． 10.（25-26六年级上·上海闵行·阶段检测）已知与互为相反数，则的值为__________． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算、绝对值非负性、相反数的应用 【分析】本题考查了相反数、绝对值的非负性、含乘方的有理数混合运算等知识点，熟练掌握各定义和运算法则是解题关键．先根据相反数的定义、绝对值的非负性可求出x、y的值，再代入代数式运用含乘方的有理数混合运算法则计算即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 11.（25-26六年级上·上海青浦·期中）计算：__________． 【答案】/ 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，计算负数的三次方，根据有理数乘方法则，负数的奇数次方结果为负，再计算绝对值的乘方． 【详解】解： 故答案为：． 12.（24-25六年级上·上海嘉定·期末）一个正方体的棱长为，则它体积是__m3． 【答案】/0.125 【知识点】有理数的乘方运算、乘方的应用 【分析】本题考查幂的乘法与积的乘方、认识立体图形，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据正方体的面积公式进行解题即可． 【详解】解：由题可知， （m3）， 故答案为：． 13.（（24-25七年级上·上海奉贤·阶段检测）已知，，，其中、、均为正整数， (1)根据题意，可求得 ， ， ； (2)计算的值； 【答案】(1)3，2，1 (2)216 【知识点】有理数乘方逆运算、有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了有理数乘方的运算，熟知乘方运算法则是正确解决本题的关键． （1）先根据，可得，即可求出n，a； （2）将数值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． ∵，即， ∴． ∵，即，且a为正整数， ∴． 故答案为：3，2，1； （2）解：原式． 14.（25-26六年级上·上海奉贤·期中）名著《庄子·天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意为：一尺木棍，第一天截取它的一半，以后每天截取剩下部分的一半，那么永远也截取不尽．照这样推算，第四天截取木棍总长度的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】乘方的应用 【分析】本题主要考查了有理数的乘方的意义，熟练掌握有理数的乘方的意义是解题的关键． 根据题意，第一天截取，第二天截取，第三天截取，依次类推即可． 【详解】解：第一天截取，则剩下； 第二天截取，则剩下； 第三天截取，则剩下； …… 由此可以得到第天截取， 第四天截取木棍总长度的． 故选：B． 能力提升 15.（25-26六年级上·上海·阶段检测）在，，，，，这六个数中，非负数有____个． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算、求一个数的绝对值、化简多重符号、带“非”字的有理数 【分析】本题主要考查了有理数的乘方，相反数，绝对值，掌握相关知识是解题的关键．非负数包括正数和零，对每个数进行化简，判断其正负性即可． 【详解】解：是正数，为非负数；是正数，为非负数；是正数，为非负数；是正数，为非负数；是非负数；是负数，不是非负数；因此非负数有个； 故答案为：． 16．（25-26六年级上·上海·阶段检测）立方等于其相反数的数是_______． 【答案】0 【知识点】相反数的定义、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了相反数的定义，有理数的乘方运算，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据立方的意义、相反数的意义求解． 【详解】解：立方等于其相反数的数是0， 故答案为：0． 17.（25-26六年级上·上海浦东新·阶段检测）当_____，代数式的值最大． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了本题考查了代数式求最值的问题，主要利用了平方的非负性，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据偶次方的非负性求解． 【详解】解∶因为对于任意实数x，有， 所以． 当且仅当， 即时，等号成立， 此时代数式取得最大值0． 故答案为∶． 18．（25-26六年级上·上海虹口·期中）若，则__________． 【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、有理数的乘方运算、绝对值非负性 【分析】本题考查了绝对值与平方数的非负性，解题的关键是利用“两个非负项的和为0，则每一项都为0的性质求出a、b的值． 根据非负数的性质，绝对值和平方项的和为零，则每个部分都为零，从而求出a和b的值． 【详解】∵， ∴，， 解得， 故答案为：． 19.（25-26六年级上·上海·期中）计算：______． 【答案】 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题考查了有理数的乘方．先计算绝对值内的加法，再取绝对值并平方，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 挑战一刻 20．（24-25六年级上·上海·阶段检测）阅读材料，求值：． 解：设①，将等式两边同时乘以2得： ②， ，得：， 所以， 即， 请你仿照此法计算： (1)； (2)（其中为正整数） 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】（1）根据材料提示，设，结合题意的计算方法求解即可； （2）设，等式两边同时乘以3，结合题意的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：设， ∴， ∴， ； （2）解：设， ∴， ∴， ， ∴． 21．（25-26六年级上·上海·阶段检测）请阅读材料，并解决问题 生活中常用“分贝（）”衡量声音响度，规定：若（L为声音的响度值），则k称为L的“分贝指数”，记为．由定义可知：与表示k、L之间的同一关系．“分贝指数”有如下运算性质： 若A、B为正响度值，则，． (1)根据“分贝指数”的定义，填空： ， ； (2)根据运算性质，填空： （m为正响度值且）； (3)若，计算的值． 【答案】(1)1，3 (2)4 (3) 【知识点】有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了新定义，有理数的乘方计算，正确理解新定义是解题的关键． （1），，再根据新定义可得答案； （2）根据新定义可得，据此可得答案； （3）根据新定义可得，，再根据可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； （2）解：， ∴； （3）解：∵， ∴； ∵， ∴， ∴． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $