第03讲 有理数的乘法与除法（讲义，上海专用沪教版）数学小升初衔接

第03讲 有理数的乘法与除法 预习目标 知识回顾 1. 掌握有理数的乘法法则，能熟练进行有理数的乘法运算； 2. . 掌握多个有理数相乘的积的符号法则（奇负偶正）； 3. 理解倒数的意义，掌握有理数的除法法则； 4.能熟练进行有理数的乘除混合运算； 5.掌握有理数乘法的运算律，并能运用运算律简化运算。 1. 上一讲我们学习了有理数的加法与减法，掌握了“同号相加取相同符号，异号相加取绝对值大的符号”等法则。 2. 我们还学会了“减去一个数等于加上这个数的相反数”，知道了减法可以统一转化为加法。 3. 小学阶段我们学习过正数的乘法与除法：如 ，。 4. 我们还知道“除以一个数等于乘这个数的倒数”，如 。 5. 现在数的范围扩大了——引入了负数，那么“负数×负数”等于什么？“负数÷正数”又等于什么？这就是本讲要解决的问题。 新知导图 预习精讲 想一想 1、小明在一条东西向的马路上行走，我们规定向东为正。小明从路灯出发，每分钟向东走3米，2分钟后他在路灯的什么方向？距离路灯多远？ 2、如果小明每分钟向西走3米（即速度为 −3 米/分），2分钟后他在路灯的什么方向？ 图1 1、小明在一条东西向的马路上行走，我们规定向东为正。小明从路灯出发，每分钟向东走3米，2分钟后他在路灯的什么方向？距离路灯多远？——这可以表示为 (+3)×(+2)=+6。 2、如果小明每分钟向西走3米（即速度为 −3 米/分），2分钟后他在路灯的什么方向？——这可以表示为 (−3)×(+2)=−6。 3、如果小明每分钟向东走3米，2分钟前他在路灯的什么方向？（2分钟前，时间方向为负）——这可以表示为 (+3)×(−2)=−6。 4、如果小明每分钟向西走3米，2分钟前他在路灯的什么方向？——这可以表示为 (−3)×(−2)=+6。 【思考1】观察上面四个算式：(+3)×(+2)=+6，(−3)×(+2)=−6，(+3)×(−2)=−6，(−3)×(−2)=+6。你发现两个数相乘时，积的符号与两个因数的符号有什么关系？ 【思考2】如果小明站在原地不动（速度为0），无论过多久他都在路灯处。这对应乘法中的什么情况？你能用乘法算式表示吗？ 【思考3】小学时我们学过“除以一个数等于乘这个数的倒数”，比如 6÷2=6×12=3。那么在有理数范围内，(−6)÷2 等于多少？(−6)÷(−2) 又等于多少？除法的符号规律和乘法一样吗？ 知识点01 有理数的乘法法则 有理数乘法法则： （1） 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2） 任何数同0相乘，都得0。 运算步骤： 第一步：定符号 —— 同号得正，异号得负。第二步：算绝对值 —— 把两个数的绝对值相乘。 书写规范： 当因数中有负号时，必须用括号括起来。如 与 的乘积，应写成 ，不能写成 。 【示例】 （1） （2） （3） （4） 【即学即练1】 1．（25-26六年级上·上海虹口·期末）计算：______________ ． 【答案】 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据有理数乘法法则，异号两数相乘得负，再计算分数乘法即可解答． 【详解】解：原式． 故答案为：． 2.（25-26六年级上·上海杨浦·期末）请列举两个有理数：使它们的积为负数，和为负数，这两个有理数可以是_____．（写出一组即可） 【答案】1和（答案不唯一） 【知识点】有理数加法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法和加法，两个有理数的积为负数表明它们异号，和为负数表明负数的绝对值大于正数的绝对值，据此求解即可． 【详解】解：两个有理数的积为负数，和为负数，则这两个有理数异号，且负数的绝对值大于正数的绝对值， 所以这两个有理数可以是1和， 故答案为：1和（答案不唯一） 知识点02 多个有理数的乘法 积的符号法则（奇负偶正） ： 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定： 负因数有奇数个时，积为负； 负因数有偶数个时，积为正。 口诀：“奇负偶正” 有0因数的特殊情况： 几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0。 【示例】 （1）：负因数有2个（偶数）→ 积为正， （2）：负因数有3个（奇数）→ 积为负， （3） 【即学即练2】 1.（25-26六年级上·上海·阶段检测）________； 【答案】0 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数的乘法计算，任何数与0相乘都得0，据此可得答案． 【详解】解：， 故答案为：0． 2．（25-26六年级上·上海松江·期中）计算：． 【答案】 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了分数的四则混合运算，掌握有理数的四则混合运算法则是解题的关键． 直接运用分数的四则运算法则计算即可． 【详解】解： ． 知识点03 倒数 1.倒数的定义： 乘积是1的两个数互为倒数。 如：2 和 12 互为倒数，−34 和 −43 互为倒数。 2.倒数的性质： （1）“互为倒数”的两个数是互相依存的，不能单独说某个数是倒数。 （2）0没有倒数（因为0和任何数相乘都不等于1）。 （3）互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）。 （4）1的倒数是1，−1 的倒数是-1。 3.求倒数的方法： o求一个分数的倒数：交换分子和分母的位置。23 的倒数是 32。 o求一个整数的倒数：整数可以看作分母为1的分数。5 的倒数是 15，−7 的倒数是 −17。 o求带分数的倒数：先化成假分数，再交换分子分母的位置。213=73，倒数为 37。 o求小数的倒数：先化成分数，再交换分子分母的位置。0.25=14，倒数为4。 【即学即练3】 1.（25-26六年级上·上海·期末）的倒数是______． 【答案】 【知识点】倒数 【分析】本题主要考查了倒数．先将带分数转化为假分数，再依据倒数的定义求解即可． 【详解】解：的倒数是． 故答案为． 2．（25-26六年级上·上海·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．一个数不是正数就是负数 B．有限小数一定是有理数 C．相反数等于本身的数是 D．倒数等于本身的数是0，1 【答案】B 【知识点】相反数的定义、倒数、正负数的定义、有理数的定义 【分析】本题主要考查了正数和负数、有理数、相反数、倒数等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据正数和负数、有理数、相反数、倒数逐项判断即可． 【详解】解：A．0既不是正数也不是负数，故A错误，不符合题意； B．有限小数可以写成分数形式，是有理数，故B正确，符合题意； C．相反数等于本身的数是0，故C错误，不符合题意； D．倒数等于本身的数是，0无倒数，故D错误，不符合题意． 故选：B． 知识点04　有理数的乘法运算律 小学阶段学习的乘法运算律在有理数范围内同样适用。 运算律 字母表示 说明 乘法交换律 交换因数的位置时，要连同符号一起交换 乘法结合律 先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘 乘法分配律 一个数同两个数的和相乘，等于分别相乘再相加 【要点】 （1）运用运算律的目的是“简化运算”，可以根据需要“顺用”也可以“逆用”。 （2）分配律可推广为：。 【示例】 （1）交换律： （2）结合律： （3）分配律（顺用）： （4）分配律（逆用）： 【即学即练4】 1.（25-26六年级上·上海黄浦·期末）计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，乘法分配律的应用，正确计算是解题的关键；先利用乘法分配律进行计算，再计算加减即可． 【详解】解： 2．（25-26六年级上·上海普陀·期末）计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查了乘法分配律，先利用乘法分配律去括号，再计算乘法，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 知识点05　有理数的除法法则 倒数法（法则一） ： 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 符号法（法则二） ： 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 0除以任何一个不等于0的数，都得0。 要点： 一般在不能整除时用倒数法；在能整除时用符号法更方便。 因为0没有倒数，所以0不能作除数。 除法法则与乘法法则符号规则相同：同号得正，异号得负。 【示例】 （1）（符号法） （2）（符号法） （3）（倒数法） （4） 【即学即练5】 1.（25-26六年级上·上海·阶段检测）计算： __________． 【答案】 【知识点】有理数的除法运算 【详解】解： ． 2．（25-26六年级上·上海·期末）乐乐在计算时，误将“”看成“”，所得的结果是，那么的正确结果应是______． 【答案】 【知识点】有理数的除法运算、有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的减法和除法，根据题意求出的值，再代入算式计算即可求解，掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴正确结果为， 故答案为：． 知识点06　有理数的乘除混合运算 由于乘法和除法是同一级运算，应按从左往右的顺序计算。 一般步骤： ① 将除法统一转化为乘法（除以一个数等于乘这个数的倒数）； ② 确定积的符号（奇负偶正）； ③ 将各因数的绝对值相乘，得出结果。 【示例】 计算： 解：原式 （除法化乘法） 负因数有2个（偶数）→ 积为正 【即学即练6】 1．（25-26六年级上·上海·期末）计算： 【答案】5 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，解题关键是先将带分数化为假分数，把除法转化为乘法，再通过约分简化计算，同时注意符号的运算规则. 【详解】解：原式 . 2．（25-26六年级上·上海金山·期中）计算： 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算． 将带分数和小数化为分数形式，再计算乘除即可． 【详解】解： ． 题型速练 题型01 有理数乘法的计算 【例1】（25-26六年级上·上海静安·期末）已知且，，，则的值是_____． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、两个有理数的乘法运算、有理数的减法运算 【分析】本题考查了有理数的乘法法则，有理数减法，求一个数的绝对值，由，可知和异号，结合可得为负数，为正数；再根据和确定，，最后计算的值即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：因为， 所以和异号， 又因为， 所以为负数，为正数； 因为，， 所以，， 所以， 故答案为：． 【例2】（25-26六年级上·上海·期末）规定一种运算，则_______ ． 【答案】10 【知识点】两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查定义新运算，根据新定义的运算规则正确计算是解题的关键．根据新定义运算规则，将，代入公式计算． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故答案为：10． 常见错误/必记结论 先定符号，再算绝对值——顺序不能颠倒。 同号得正，异号得负——不要把符号搞反。 任何数乘以0都得0，不是得原数。 带分数相乘要先化成假分数。 【小试牛刀】 1.（24-25六年级上·上海·阶段检测）下列说法中错误的是（   ） A．一个数与0相乘，积为0 B．一个数与1相乘，积仍为这个数 C．一个数与相乘，积为这个数的相反数； D．一个数与它本身相乘，积为正数 【答案】D 【知识点】两个有理数的乘法运算、相反数的定义 【分析】本题考查有理数的乘法性质，需逐一判断各选项的正确性，特别注意特殊值0的情况，据此进行判断即可 【详解】解：选项A：任何数与0相乘，积为0，正确； 选项B：任何数与1相乘，积仍为该数，正确； 选项C：任何数与相乘，积为该数的相反数，正确； 选项D：当数为0时，，0不是正数，故错误； 故选：D 2．（25-26六年级上·上海·期末）绝对值不大于的所有负整数的积是_______． 【答案】2 【知识点】两个有理数的乘法运算、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值，理解其定义是解题的关键． 根据题意，绝对值不大于 的所有负整数有 和 ，再计算它们的积即可． 【详解】解：，绝对值不大于此值的负整数有 和 ， 它们的积为 ：． 故答案为 ：2． 题型02 多个有理数的乘法（奇负偶正） 【例1】（25-26六年级上·上海·期中）计算： 【答案】 【知识点】两个有理数的乘法运算、有理数的加减混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，先进行乘法运算，再进行加减运算即可． 【详解】解：原式． 【例2】（25-26六年级上·上海·阶段检测）已知，，，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数乘法运算法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．据此判断即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 综上所述，，． 故选：B． 常见错误/必记结论 奇负偶正——只数负因数的个数，正因数不影响符号。 - 有0因数时，积直接为0，不需要再判断符号。 - 不要忘记算正因数的绝对值。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】有理数乘法运算律、多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数乘法运算，熟练掌握有理数乘法运算法则和运算律是解题的关键． （1）根据有理数的乘法，利用乘法交换律进行计算，即可； （2）根据有理数的乘法，利用乘法交换律，结合律计算即可； （3）根据有理数的乘法，利用乘法交换律，结合律计算即可； （4）根据有理数的乘法，利用乘法交换律，结合律计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 题型03 ：倒数的概念与求法 【例1】（25-26六年级上·上海金山·期末）某数的倒数的相反数是2026，则这个数是（    ） A．2026 B． C． D． 【答案】D 【知识点】相反数的定义、倒数 【分析】本题主要考查了求一个数的相反数和倒数，只有符号不同的两个数互为相反数，则可求出该数的倒数，再根据乘积为1的两个数互为倒数可得答案． 【详解】解：∵某数的倒数的相反数是2026， ∴该数的倒数为， ∵， ∴该数为， 故选：D． 常见错误/必记结论 - 0没有倒数——这是最常考的点。 - 互为倒数的两个数同号（同正或同负）。 - 带分数求倒数要先化成假分数。 - 小数求倒数要先化成分数。 - 1的倒数是1， 的倒数是 。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海浦东新·期末）的倒数是________． 【答案】 【知识点】倒数 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，乘积为1的两个数互为倒数，据此可得答案． 【详解】解：， ∵， ∴的倒数是， 故答案为：． 2.（25-26六年级上·上海青浦·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．一定是负数 B．正整数和负整数统称为整数 C．任何有理数都有倒数 D．负数的相反数一定大于它本身 【答案】D 【知识点】有理数的分类、倒数、相反数的定义 【分析】本题考查有理数的基本概念，包括负数、整数、倒数和相反数的性质， 通过逐一分析选项，判断其正确性． 【详解】解：A、当m为负数时，为正数，故A错误； B、整数包括正整数、负整数和零，但B漏掉了零，故B错误； C、零是有理数，但零没有倒数，故C错误； D、负数的相反数是正数，正数一定大于负数，故D正确． 故选：D． 题型04 ：有理数乘法的运算律（简便运算） 【例1】（24-25六年级上·上海·阶段检测）计算：； 【答案】14 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】利用乘法分配律展开原式，再按照有理数乘法和加减法法则计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 【例2】（25-26六年级上·上海黄浦·期末）计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，乘法分配律的应用，正确计算是解题的关键；先利用乘法分配律进行计算，再计算加减即可． 【详解】解： 常见错误/必记结论 - 交换因数的位置时，要连同符号一起交换。 - 分配律中，括号内的每一项都要乘以括号外的数，不要漏项。 - 运用运算律的目的是简化运算，要善于观察数字特征（如 25×4=100，125×8=1000）。 【小试牛刀】 1.（24-25六年级上·上海·阶段检测）规定，如果，则___________ 【答案】/ 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查有理数的运算，根据定义计算和的值，代入方程后通过通分和约分求解b． 【详解】由定义，， 则， ． 代入方程：， 即， 则． 故答案为：． 2.（25-26六年级上·上海普陀·期末）计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律 【分析】本题主要考查了乘法分配律，先利用乘法分配律去括号，再计算乘法，最后计算加减法即可得到答案． 【详解】解： ． 题型05：有理数除法的计算 【例1】（25-26六年级上·上海松江·期末）计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律、有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先把除法化为乘法，再运用乘法运算律进行简便运算，即可作答． 【详解】解： ． 【例2】（25-26六年级上·上海·阶段检测）________； 【答案】 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题主要考查了有理数的除法计算，将带分数转换为假分数，利用除以一个数等于乘以它的倒数的法则，进行乘法运算并约分即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 常见错误/必记结论 - 除法法则与乘法法则符号规则相同：同号得正，异号得负。 - 0不能作除数，但0可以作被除数（0÷a=0，a≠0）。 - 不能整除时用倒数法（除以一个数等于乘它的倒数）。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海奉贤·期中）计算： 【答案】 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查有理数的除法运算，带分数化为假分数，除法变乘法，进行约分化简即可． 【详解】解：原式． 2．（25-26六年级下·上海·期中）东汉名医张仲景的“芩桂术甘汤”药方中，茯苓12克，桂枝9克，白术9克，炙甘草6克．王医生按这个药方配了一周的中药共重252克，其中共用到白术______克． 【答案】63 【知识点】有理数除法的应用 【分析】本题考查了有理数的乘除实际应用，正确理解题意是解题的关键． 先算出一副“芩桂术甘汤”药方的重量，由总重量可得有几副，再乘以每副白术的重量即可． 【详解】解：（克）， 故答案为：63． 3．（25-26六年级上·上海普陀·期末）计算：______． 【答案】 【知识点】有理数的除法运算 【分析】本题考查了有理数的除法运算，解题关键是掌握有理数的除法运算． 将带分数转换为假分数，然后利用除以分数等于乘以倒数的法则进行计算． 【详解】解：原式． 故答案为：． 题型06：有理数乘除混合运算 【例1】（25-26六年级上·上海·期中）简便计算： 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算、有理数的除法运算、有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数四则混合运算，通过观察，发现各项有因数，逆用乘法分配律，提取公因数，即可简化计算． 【详解】解： ． 【例2】（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）计算： ． 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，先计算中括号内的加法，再把除法变成乘法后计算乘法即可得到答案． 【详解】解： ． 常见错误/必记结论 - 乘除混合运算按从左往右的顺序计算。 - 先把除法统一化为乘法，再用“奇负偶正”确定符号。 - 不要跳步——每一步都写清楚，避免符号出错。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海·期末）计算： 【答案】26 【知识点】有理数乘除混合运算、有理数乘法运算律 【分析】先变除法为乘法，后根据乘法对加法的分配律解答即可． 本题考查了除法运算，分配律的应用，熟练掌握运算法则，会用分配律是解题的关键． 【详解】解： ． 2．（2025六年级上·上海·专题练习）计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，先把除法转化为乘法，再进行计算即可﹒ 【详解】解：﹒ 3．（25-26六年级下·上海静安·期中）计算：． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算 【详解】解： ． 题型07：有理数乘除法中的符号判断 【例1】 （2025七年级上·上海·专题练习）a，b，c是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，且，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、绝对值的几何意义、数轴上找原点 【分析】本题考查了数轴、绝对值，属于基础题型，正确判断的符号及其绝对值的大小关系是关键． 由在数轴上的位置可判断，结合，可得，进一步根据数轴逐一判断即可得答案． 【详解】解：根据题意，得：，而， ， 如图， ∴，所以选项B中是正确的． 故选：B． 【例2】（2025七年级上·上海·专题练习）如图，a ，b ，c在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、有理数加法运算、有理数的减法运算、两个有理数的乘法运算 【分析】本题主要考查了有理数的加减法和乘法，以及数轴等知识点，首先根据数轴判断出的大小，再根据有理数的减法和乘法法则进行计算可得答案，熟练掌握有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘是解决此题的关键． 【详解】解：由题意得：， ∴，，， A、，故此选项错误，不符合题意； B、，故此选项错误，不符合题意； C、，故此选项错误，不符合题意； D、，故此选项正确，符合题意； 故选：D． 常见错误/必记结论 - 判断符号的步骤：①统一为乘法 → ②数负因数的个数 → ③奇负偶正。 - 有0因数时，结果直接为0，不需要判断符号。 - 不要把除法中的“除号”当成负号来数。- 变化量 = 终值 − 初值。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海·单元复习）如图，在数轴上A、B两点分别对应数轴a、b，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、绝对值的几何意义 【分析】本题考查的是数轴和绝对值，从数轴中提取已知条件是解题的关键． 根据数轴可知，，由此逐一判断各选项即可． 【详解】解：根据数轴可知，， ∵，故选项A不符合题意； ∵，故选项B不符合题意； ∵，故选项C不符合题意； ∵，故选项D符合题意； 故选：D． 2.（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，将一张印有数轴的纸条翻折，使得表示的点与表示1的点重合，此时，表示数字的点与表示数字______的点重合（用含的代数式表示） 【答案】 【知识点】数轴上的翻折、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了数轴的翻折，掌握中点公式是解题的关键．数轴翻折后，表示的点与表示1的点重合，则数轴沿中点翻折，根据重合的数中点是即可解答． 【详解】解：由题意得数轴沿和1的中点翻折， 设与表示数字的点重合的是表示数字b的点， 则， 解得， 故答案为． 题型08：有理数乘除法的实际应用 【例1】（25-26六年级下·上海·期中）王明开着小轿车去“中石化”加油站加“92#”汽油（当天油价“92#”是元/升，“95#”是元/升，“98#”是元/升，“0#”柴油是元/升）．“中石化”加油站规定若用卡加油，“92#”汽油每升的单价在当天基础上可减元，“95#”汽油每升的单价在当天基础上可减元，正好该加油站当天也在搞促销活动，一张面值300元加油卡打九折出售，且两项活动可一起享受，他盘算了一下，决定这次买一张面值300元加油卡加油． (1)他实际花了多少钱购买了这张加油卡？ (2)假设这次加油他把这张卡内钱一次性全部用完，求：用卡加油比不用卡加油在加油量相等的条件下一共便宜了多少钱？ 【答案】(1)他实际花了元购买了这张加油卡． (2)一共便宜了元． 【知识点】有理数乘法的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】（1）用加油卡的原价乘以折扣即可得到答案； （2）求出用加油卡所加的油量，进而求出不用卡加这些油需要的费用即可得到答案． 【详解】（1）解：（元）， 答：他实际花了元购买了这张加油卡． （2）解：（升）， （元）， （元）， 答：一共便宜了元． 【例2】（25-26六年级上·上海金山·期末）小明、小丽、小杰三人去一家餐厅吃火锅，付款时打印的结账单如图所示．现有三种优惠活动如下： 结账单锅底          1份      38.00 精品羊肉      1份      48.00 雪花牛肉      1份      58.00 毛肚          1份      68.00 贡丸          1份      28.00 金针菇        1份      18.00 蔬菜拼盘      1份      28.00 可乐（饮料）  1瓶      10.00 共计                 296.00 元 （1）大众点评网上可用88元购得该店100元的代金券（每单最多可用两张）； （2）支付宝付款可享受全单八八折； （3）火锅店优惠活动“除锅底、酒水、饮料外，每消费满80元立减10元”． 以上三种优惠方式只能选择一种，你能帮他们算一算哪种支付方式最优惠吗？ 【答案】第二种支付方式最优惠 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算与实际应用，读懂题意，列出算式并正确计算是做题的关键．分别计算三种优惠方式的实际支付金额，比较后选择最小值即可． 【详解】解：由题意得， 第一种优惠方式的实际支付金额为：（元）； 第二种优惠方式的实际支付金额为：（元）； （元），， 第三种优惠方式的实际支付金额为：（元）． ， 选择第二种支付方式最优惠． 常见错误/必记结论 - “下降”用负数表示，“升高”用正数表示。 - 连续变化用乘法，求初始值用除法（或方程）。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海虹口·期末）小可同学家的冰箱有三块区域，冷藏区（）、生鲜区（）、冷冻区（及以下）．一天，他将妈妈买来的商品放入冰箱，其中有一个进口药品上写着“贮藏温度是至”，小可同学不了解（华氏度）与（摄氏度）之间的关系，于是查询了一下，了解到它俩转换关系是：华氏度摄氏度，那么小可应该将这个进口药品放在（　　） A．冷藏区 B．生鲜区 C．冷冻区 D．常温储存 【答案】A 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 将药品的华氏温度范围转换为摄氏度范围，再与冰箱各区域温度比较，即可解答． 【详解】解：∵华氏度摄氏度， ∴摄氏度（华氏度）， ∴当华氏度为时，摄氏度， 当华氏度为时，摄氏度， 故药品贮藏温度范围为至， 又∵冷藏区温度为， ∴该温度范围完全在冷藏区内，故应放在冷藏区． 故选：A． 2.（25-26六年级上·上海静安·期末）（BodyMassIndex，身体质量指数，又称体质指数）是国际通用的衡量人体胖瘦程度与健康关联的量化指标，核心是用体重（kg）与身高（m）的平方比值快速筛查体重相关健康风险．的常用判断标准如下表．例如，小明体重、身高，那么他的身体质量指数． 分类 中国标准（卫健委） WHO标准 健康提示 体重过轻 可能存在营养不良风险，需关注营养与免疫状况 正常 健康风险低，建议维持体重与生活方式 超重 慢病风险上升，需控制体重、改善饮食与运动 肥胖 慢病风险显著升高，建议医学评估与综合干预 (1)小军的身高是1.5米，体重是45千克．请计算小军的值，并对照中国标准，判断他的体重属于___________范围； (2)小泽的身高是1.4米，他的值约为26.0，处于超重范围．身高不变的情况下，如果他要达到WHO（World Health Organization，中文译为世界卫生组织）标准的正常范围，他至少要减重多少千克？（结果保留一位小数） 【答案】(1)，正常 (2)他至少要减重千克． 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用． （1）直接利用他的身体质量指数计算即可求解； （2）利用他的身体质量指数计算得出小泽的体重，再计算得出正常体重，据此计算即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得他的身体质量指数． 对照中国标准，判断他的体重属于正常范围； （2）解：小泽的身高是1.4米，他的值约为26.0， 此时小泽的体重是千克， 正常体重应该是千克， ， ∴他至少要减重千克． 基础过关 1．（25-26六年级上·上海松江·期末）下列说法正确的是（   ） A．如果两个数的和为0，那么这两个数的商为 B．如果两个数的差为0，那么这两个数的商为1 C．如果两个数的积为，那么这两个数的和为0 D．如果两个数的商为，那么这两个数的和为0 【答案】D 【知识点】有理数的除法运算、两个有理数的乘法运算、有理数加法运算、相反数的定义 【分析】本题考查真假命题的判断，根据题意判断命题的真假是解题的关键，通过逐一分析每个选项的条件和结论，判断其是否恒成立，即可得到答案. 【详解】解：选项A：∵如果两个数的和为0，则它们互为相反数，但当其中一个数为0时，商不存在，∴A错误； 选项B：∵如果两个数的差为0，则它们相等，但当数为0时，商不存在，∴B错误； 选项C：∵如果两个数的积为，则它们互为负倒数，但和不一定为0，例如2和，和为，∴C错误； 选项D：∵如果两个数的商为，则设一个数为，另一个数为， ∴， ∴D正确， 故选：D. 2．（25-26六年级上·上海金山·期中）计算：______． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、两个有理数的乘法运算 【分析】本题考查的是绝对值的运算，掌握绝对值的性质是解题的关键．根据绝对值的非负性，正数的绝对值是它本身，可得，再结合小数与分数的乘法运算求出结果． 【详解】解：，故． 故答案为：． 3．（25-26六年级上·上海·期末）计算：． 【答案】 【知识点】有理数加法运算、多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数的乘法和加法运算．化小数为分数然后计算即可． 【详解】解：原式． 4．（25-26六年级上·上海青浦·期中）从五个有理数中任取三个有理数相乘，最小的积为______． 【答案】 【知识点】多个有理数的乘法运算 【分析】本题考查有理数乘法运算．要使三个数的乘积最小，结果应为负数.而三数相乘结果为负数有两种情况：一负两正或三负．根据题中数据，负数只有两个，故只能是“一负两正”的情况．要使“一负两正”的积最小，应取绝对值最大的负数与两个正数相乘． 【详解】解：最小的积为：． 故答案为：． 5.（25-26六年级上·上海·阶段检测）在抢答比赛中，规定答对一题记分，答错一题记分．如果甲队答对5个题，答错2个题，则最后得分为______分． 【答案】11 【知识点】有理数乘法的实际应用 【分析】本题考查了有理数的乘法应用，理解题意，根据题意正确列式计算是解题的关键．根据题意列式计算即可． 【详解】解：由题意，最后得分为（分）， 故答案为：11． 6．（25-26六年级上·上海金山·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．一个数不是正数就是负数 B．任何有理数都有倒数 C．互余的两个角一定都是锐角 D．一个锐角和一个钝角一定互补 【答案】C 【知识点】正负数的定义、与余角、补角有关的计算、倒数 【分析】本题考查了倒数，有理数，余角和补角的定义，根据0既不是正数，也不是负数可判断A；根据0没有倒数可判断B；根据度数之和为90度的两个角互余可判断C；根据度数之和为180度的两个角互补可判断D． 【详解】解：A、一个数不是正数就是负数或者0，原说法错误，不符合题意； B、任何非零有理数都有倒数，原说法错误，不符合题意； C、互余的两个角一定都是锐角，原说法正确，符合题意； D、一个锐角和一个钝角不一定互补（度数之和为180度才互补），原说法错误，不符合题意； 故选：C． 7．（25-26六年级上·上海普陀·期末）的倒数是_____________． 【答案】 【知识点】倒数 【分析】本题考查了倒数的定义，掌握乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键． 先将带分数化为假分数，再根据倒数的定义即可求解． 【详解】解：， ∴的倒数是， 故答案为：． 8.（25-26六年级上·上海·阶段检测）计算：． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算、有理数乘法运算律 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练计算是解题的关键． 将除法转换成乘法，再根据乘法分配律计算即可． 【详解】解： ． 9.（25-26六年级上·上海浦东新·期中）计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘法运算律、有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，乘法运算律的运用，根据题目特点，运用运算律简化运算是关键．先计算绝对值并将除法转化为乘法，再利用乘法分配律计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 10．（25-26六年级上·上海·阶段检测）如果两个有理数、在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商是（     ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．无法确定 【答案】A 【知识点】有理数的除法运算、根据点在数轴的位置判断式子的正负 【分析】先根据数轴上点的位置判断两个数的符号，再利用有理数除法法则判断商的符号即可． 【详解】解：∵有理数，在数轴上对应的点分别在原点的两侧， ∴和一个是正数，一个是负数，即，异号， 又∵有理数除法法则为：两数相除，同号得正，异号得负， ∴这两个数相除所得的商一定是负数． 11.（25-26六年级上·上海青浦·期中）计算：． 【答案】 【知识点】有理数乘除混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，先将带分数化为假分数，再将除法转化为乘法，计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解： ． 12.（25-26六年级上·上海普陀·期末）计算： 【答案】35 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．先算括号里面的减法，接着算乘除，最后算加减即可． 【详解】解：原式 13.（25-26六年级上·上海普陀·期末）计算： 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解决本题的关键是逆用分配律进行简便计算． 根据运算法则计算即可． 【详解】解： ． 14.（25-26六年级上·上海·阶段检测）甲乙两人买相同品种的苹果，甲用22元买了4千克苹果，乙用17元买了3千克苹果，谁买的苹果更便宜？（    ） A．甲 B．乙 C．一样 D．无法比较 【答案】A 【知识点】有理数大小比较的实际应用、有理数除法的应用 【分析】本题主要考查了有理数大小比较的应用．解决问题的关键是熟练掌握总价与单价和数量的关系，比较计算出的单价大小． 用每人所付的钱数除以购买的苹果的千克数得到每人买的苹果的单价，比较单价的大小即可． 【详解】解：甲购买苹果的单价为：（元/千克） 乙购买苹果的单价为：（元/千克） ，因此甲购买的苹果更便宜． 故选：A． 能力提升 15.（（25-26六年级上·上海·阶段检测）计算： 【答案】0 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的加减乘除混合运算，先把式子的利用商不变的性质整理得到，再进行计算，即可作答． 【详解】解： ． 16．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）计算： ______． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握有理数的乘除运算法则是解题的关键．根据有理数的乘除运算规则，同级运算从左到右依次计算，将除法转化为乘法，进行计算即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 17.（25-26六年级上·上海浦东新·期末）如表，学校组织春游参观博物馆，给予资金600元，由3位老师带队参观博物馆，则最多带_________名学生． 类别 单价(元) 购票说明 个人票 成人 20 18岁及以上 学生 10 以中小学学生证为准 学龄前 0 不超过6岁 团体票（30人及以上） 12 团体中所有人都要买票 【答案】54 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的应用，分别计算出购票资金不超过600元时，单独购票和团体购票时所能带的最多学生数，比较即可得到答案． 【详解】解：单独购票最多带名学生，团体购票最多带名学生，， ∴最多带54名学生， 故答案为：54． 18.（25-26六年级上·上海浦东新·期中）计算：． 【答案】 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键在于熟练掌握运算法则．先计算小括号里的乘法，再计算小括号里的减法，然后计算除法，最后根据去括号法去括号后计算加减法即可． 【详解】解： ． 19.（25-26六年级上·上海静安·期末）机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过3秒后，甲、乙之间的距离为4个单位长度，那么此时甲所在位置表示的数为___________． 【答案】或 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、数轴上点的平移（动点问题）、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴上两点距离，有理数的混合运算的应用，理解题意是解决本题的关键． 根据题意得出乙所在位置表示的数为，进而根据甲、乙之间的距离是，得出甲所在位置表示的数，即可求解． 【详解】解：乙的速度是平均每秒个单位长度， 经过3秒后，乙所在位置表示的数为， 经过3秒后，甲、乙之间的距离是， 此时甲所在位置表示的数是或， 故答案为：或． 挑战一刻 20．（25-26六年级上·上海虹口·期中）阅读下面材料： 计算：． 解法①： 原式 解法②： 原式． 解法③： 先计算：． 所以，原式 (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法__________是错误的（填序号）； (2)请你根据材料尝试计算：． 【答案】(1)① (2) 【知识点】有理数四则混合运算 【分析】本题考查了乘法分配律的应用． （1）除法不满足分配律，解法①错误； （2）采用解法③的思路，先计算，再取结果的倒数． 【详解】（1）解：除法不满足分配律因此解法①是错误的． 故答案为：①； （2）解：先计算： 原式 ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 有理数的乘法与除法 预习目标 知识回顾 1. 掌握有理数的乘法法则，能熟练进行有理数的乘法运算； 2. . 掌握多个有理数相乘的积的符号法则（奇负偶正）； 3. 理解倒数的意义，掌握有理数的除法法则； 4.能熟练进行有理数的乘除混合运算； 5.掌握有理数乘法的运算律，并能运用运算律简化运算。 1. 上一讲我们学习了有理数的加法与减法，掌握了“同号相加取相同符号，异号相加取绝对值大的符号”等法则。 2. 我们还学会了“减去一个数等于加上这个数的相反数”，知道了减法可以统一转化为加法。 3. 小学阶段我们学习过正数的乘法与除法：如 ，。 4. 我们还知道“除以一个数等于乘这个数的倒数”，如 。 5. 现在数的范围扩大了——引入了负数，那么“负数×负数”等于什么？“负数÷正数”又等于什么？这就是本讲要解决的问题。 新知导图 预习精讲 想一想 1、小明在一条东西向的马路上行走，我们规定向东为正。小明从路灯出发，每分钟向东走3米，2分钟后他在路灯的什么方向？距离路灯多远？ 2、如果小明每分钟向西走3米（即速度为 −3 米/分），2分钟后他在路灯的什么方向？ 图1 1、小明在一条东西向的马路上行走，我们规定向东为正。小明从路灯出发，每分钟向东走3米，2分钟后他在路灯的什么方向？距离路灯多远？——这可以表示为 (+3)×(+2)=+6。 2、如果小明每分钟向西走3米（即速度为 −3 米/分），2分钟后他在路灯的什么方向？——这可以表示为 (−3)×(+2)=−6。 3、如果小明每分钟向东走3米，2分钟前他在路灯的什么方向？（2分钟前，时间方向为负）——这可以表示为 (+3)×(−2)=−6。 4、如果小明每分钟向西走3米，2分钟前他在路灯的什么方向？——这可以表示为 (−3)×(−2)=+6。 【思考1】观察上面四个算式：(+3)×(+2)=+6，(−3)×(+2)=−6，(+3)×(−2)=−6，(−3)×(−2)=+6。你发现两个数相乘时，积的符号与两个因数的符号有什么关系？ 【思考2】如果小明站在原地不动（速度为0），无论过多久他都在路灯处。这对应乘法中的什么情况？你能用乘法算式表示吗？ 【思考3】小学时我们学过“除以一个数等于乘这个数的倒数”，比如 6÷2=6×12=3。那么在有理数范围内，(−6)÷2 等于多少？(−6)÷(−2) 又等于多少？除法的符号规律和乘法一样吗？ 知识点01 有理数的乘法法则 有理数乘法法则： （1） 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2） 任何数同0相乘，都得0。 运算步骤： 第一步：定符号 —— 同号得正，异号得负。第二步：算绝对值 —— 把两个数的绝对值相乘。 书写规范： 当因数中有负号时，必须用括号括起来。如 与 的乘积，应写成 ，不能写成 。 【示例】 （1） （2） （3） （4） 【即学即练1】 1．（25-26六年级上·上海虹口·期末）计算：______________ ． 2.（25-26六年级上·上海杨浦·期末）请列举两个有理数：使它们的积为负数，和为负数，这两个有理数可以是_____．（写出一组即可） 知识点02 多个有理数的乘法 积的符号法则（奇负偶正） ： 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定： 负因数有奇数个时，积为负； 负因数有偶数个时，积为正。 口诀：“奇负偶正” 有0因数的特殊情况： 几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0。 【示例】 （1）：负因数有2个（偶数）→ 积为正， （2）：负因数有3个（奇数）→ 积为负， （3） 【即学即练2】 1.（25-26六年级上·上海·阶段检测）________； 2．（25-26六年级上·上海松江·期中）计算：． 知识点03 倒数 1.倒数的定义： 乘积是1的两个数互为倒数。 如：2 和 12 互为倒数，−34 和 −43 互为倒数。 2.倒数的性质： （1）“互为倒数”的两个数是互相依存的，不能单独说某个数是倒数。 （2）0没有倒数（因为0和任何数相乘都不等于1）。 （3）互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）。 （4）1的倒数是1，−1 的倒数是-1。 3.求倒数的方法： o求一个分数的倒数：交换分子和分母的位置。23 的倒数是 32。 o求一个整数的倒数：整数可以看作分母为1的分数。5 的倒数是 15，−7 的倒数是 −17。 o求带分数的倒数：先化成假分数，再交换分子分母的位置。213=73，倒数为 37。 o求小数的倒数：先化成分数，再交换分子分母的位置。0.25=14，倒数为4。 【即学即练3】 1.（25-26六年级上·上海·期末）的倒数是______． 2．（25-26六年级上·上海·期末）下列说法中，正确的是（   ） A．一个数不是正数就是负数 B．有限小数一定是有理数 C．相反数等于本身的数是 D．倒数等于本身的数是0，1 知识点04　有理数的乘法运算律 小学阶段学习的乘法运算律在有理数范围内同样适用。 运算律 字母表示 说明 乘法交换律 交换因数的位置时，要连同符号一起交换 乘法结合律 先把前两个数相乘，或先把后两个数相乘 乘法分配律 一个数同两个数的和相乘，等于分别相乘再相加 【要点】 （1）运用运算律的目的是“简化运算”，可以根据需要“顺用”也可以“逆用”。 （2）分配律可推广为：。 【示例】 （1）交换律： （2）结合律： （3）分配律（顺用）： （4）分配律（逆用）： 【即学即练4】 1.（25-26六年级上·上海黄浦·期末）计算：． 2．（25-26六年级上·上海普陀·期末）计算：． 知识点05　有理数的除法法则 倒数法（法则一） ： 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 符号法（法则二） ： 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 0除以任何一个不等于0的数，都得0。 要点： 一般在不能整除时用倒数法；在能整除时用符号法更方便。 因为0没有倒数，所以0不能作除数。 除法法则与乘法法则符号规则相同：同号得正，异号得负。 【示例】 （1）（符号法） （2）（符号法） （3）（倒数法） （4） 【即学即练5】 1.（25-26六年级上·上海·阶段检测）计算： __________． 2．（25-26六年级上·上海·期末）乐乐在计算时，误将“”看成“”，所得的结果是，那么的正确结果应是______． 知识点06　有理数的乘除混合运算 由于乘法和除法是同一级运算，应按从左往右的顺序计算。 一般步骤： ① 将除法统一转化为乘法（除以一个数等于乘这个数的倒数）； ② 确定积的符号（奇负偶正）； ③ 将各因数的绝对值相乘，得出结果。 【示例】 计算： 解：原式 （除法化乘法） 负因数有2个（偶数）→ 积为正 【即学即练6】 1．（25-26六年级上·上海·期末）计算： 2．（25-26六年级上·上海金山·期中）计算： 题型速练 题型01 有理数乘法的计算 【例1】（25-26六年级上·上海静安·期末）已知且，，，则的值是_____． 【例2】（25-26六年级上·上海·期末）规定一种运算，则_______ ． 常见错误/必记结论 先定符号，再算绝对值——顺序不能颠倒。 同号得正，异号得负——不要把符号搞反。 任何数乘以0都得0，不是得原数。 带分数相乘要先化成假分数。 【小试牛刀】 1.（24-25六年级上·上海·阶段检测）下列说法中错误的是（   ） A．一个数与0相乘，积为0 B．一个数与1相乘，积仍为这个数 C．一个数与相乘，积为这个数的相反数； D．一个数与它本身相乘，积为正数 2．（25-26六年级上·上海·期末）绝对值不大于的所有负整数的积是_______． 题型02 多个有理数的乘法（奇负偶正） 【例1】（25-26六年级上·上海·期中）计算： 【例2】（25-26六年级上·上海·阶段检测）已知，，，，则（   ） A．， B．， C．， D．， 常见错误/必记结论 奇负偶正——只数负因数的个数，正因数不影响符号。 - 有0因数时，积直接为0，不需要再判断符号。 - 不要忘记算正因数的绝对值。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型03 ：倒数的概念与求法 【例1】（25-26六年级上·上海金山·期末）某数的倒数的相反数是2026，则这个数是（    ） A．2026 B． C． D． 常见错误/必记结论 - 0没有倒数——这是最常考的点。 - 互为倒数的两个数同号（同正或同负）。 - 带分数求倒数要先化成假分数。 - 小数求倒数要先化成分数。 - 1的倒数是1， 的倒数是 。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海浦东新·期末）的倒数是________． 2.（25-26六年级上·上海青浦·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．一定是负数 B．正整数和负整数统称为整数 C．任何有理数都有倒数 D．负数的相反数一定大于它本身 题型04 ：有理数乘法的运算律（简便运算） 【例1】（24-25六年级上·上海·阶段检测）计算：； 【例2】（25-26六年级上·上海黄浦·期末）计算：． 常见错误/必记结论 - 交换因数的位置时，要连同符号一起交换。 - 分配律中，括号内的每一项都要乘以括号外的数，不要漏项。 - 运用运算律的目的是简化运算，要善于观察数字特征（如 25×4=100，125×8=1000）。 【小试牛刀】 1.（24-25六年级上·上海·阶段检测）规定，如果，则___________ 2.（25-26六年级上·上海普陀·期末）计算：． 题型05：有理数除法的计算 【例1】（25-26六年级上·上海松江·期末）计算：． 【例2】（25-26六年级上·上海·阶段检测）________； 常见错误/必记结论 - 除法法则与乘法法则符号规则相同：同号得正，异号得负。 - 0不能作除数，但0可以作被除数（0÷a=0，a≠0）。 - 不能整除时用倒数法（除以一个数等于乘它的倒数）。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海奉贤·期中）计算： 2．（25-26六年级下·上海·期中）东汉名医张仲景的“芩桂术甘汤”药方中，茯苓12克，桂枝9克，白术9克，炙甘草6克．王医生按这个药方配了一周的中药共重252克，其中共用到白术______克． 3．（25-26六年级上·上海普陀·期末）计算：______． 题型06：有理数乘除混合运算 【例1】（25-26六年级上·上海·期中）简便计算： 【例2】（25-26六年级上·上海普陀·阶段检测）计算： ． 常见错误/必记结论 - 乘除混合运算按从左往右的顺序计算。 - 先把除法统一化为乘法，再用“奇负偶正”确定符号。 - 不要跳步——每一步都写清楚，避免符号出错。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海·期末）计算： 2．（2025六年级上·上海·专题练习）计算：． 3．（25-26六年级下·上海静安·期中）计算：． 题型07：有理数乘除法中的符号判断 【例1】 （2025七年级上·上海·专题练习）a，b，c是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，且，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025七年级上·上海·专题练习）如图，a ，b ，c在数轴上的位置如图所示，则下列结论正确的是（        ） A． B． C． D． 常见错误/必记结论 - 判断符号的步骤：①统一为乘法 → ②数负因数的个数 → ③奇负偶正。 - 有0因数时，结果直接为0，不需要判断符号。 - 不要把除法中的“除号”当成负号来数。- 变化量 = 终值 − 初值。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海·单元复习）如图，在数轴上A、B两点分别对应数轴a、b，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 2.（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图，将一张印有数轴的纸条翻折，使得表示的点与表示1的点重合，此时，表示数字的点与表示数字______的点重合（用含的代数式表示） 题型08：有理数乘除法的实际应用 【例1】（25-26六年级下·上海·期中）王明开着小轿车去“中石化”加油站加“92#”汽油（当天油价“92#”是元/升，“95#”是元/升，“98#”是元/升，“0#”柴油是元/升）．“中石化”加油站规定若用卡加油，“92#”汽油每升的单价在当天基础上可减元，“95#”汽油每升的单价在当天基础上可减元，正好该加油站当天也在搞促销活动，一张面值300元加油卡打九折出售，且两项活动可一起享受，他盘算了一下，决定这次买一张面值300元加油卡加油． (1)他实际花了多少钱购买了这张加油卡？ (2)假设这次加油他把这张卡内钱一次性全部用完，求：用卡加油比不用卡加油在加油量相等的条件下一共便宜了多少钱？ 【例2】（25-26六年级上·上海金山·期末）小明、小丽、小杰三人去一家餐厅吃火锅，付款时打印的结账单如图所示．现有三种优惠活动如下： 结账单锅底          1份      38.00 精品羊肉      1份      48.00 雪花牛肉      1份      58.00 毛肚          1份      68.00 贡丸          1份      28.00 金针菇        1份      18.00 蔬菜拼盘      1份      28.00 可乐（饮料）  1瓶      10.00 共计                 296.00 元 （1）大众点评网上可用88元购得该店100元的代金券（每单最多可用两张）； （2）支付宝付款可享受全单八八折； （3）火锅店优惠活动“除锅底、酒水、饮料外，每消费满80元立减10元”． 以上三种优惠方式只能选择一种，你能帮他们算一算哪种支付方式最优惠吗？ 常见错误/必记结论 - “下降”用负数表示，“升高”用正数表示。 - 连续变化用乘法，求初始值用除法（或方程）。 【小试牛刀】 1.（25-26六年级上·上海虹口·期末）小可同学家的冰箱有三块区域，冷藏区（）、生鲜区（）、冷冻区（及以下）．一天，他将妈妈买来的商品放入冰箱，其中有一个进口药品上写着“贮藏温度是至”，小可同学不了解（华氏度）与（摄氏度）之间的关系，于是查询了一下，了解到它俩转换关系是：华氏度摄氏度，那么小可应该将这个进口药品放在（　　） A．冷藏区 B．生鲜区 C．冷冻区 D．常温储存 2.（25-26六年级上·上海静安·期末）（BodyMassIndex，身体质量指数，又称体质指数）是国际通用的衡量人体胖瘦程度与健康关联的量化指标，核心是用体重（kg）与身高（m）的平方比值快速筛查体重相关健康风险．的常用判断标准如下表．例如，小明体重、身高，那么他的身体质量指数． 分类 中国标准（卫健委） WHO标准 健康提示 体重过轻 可能存在营养不良风险，需关注营养与免疫状况 正常 健康风险低，建议维持体重与生活方式 超重 慢病风险上升，需控制体重、改善饮食与运动 肥胖 慢病风险显著升高，建议医学评估与综合干预 (1)小军的身高是1.5米，体重是45千克．请计算小军的值，并对照中国标准，判断他的体重属于___________范围； (2)小泽的身高是1.4米，他的值约为26.0，处于超重范围．身高不变的情况下，如果他要达到WHO（World Health Organization，中文译为世界卫生组织）标准的正常范围，他至少要减重多少千克？（结果保留一位小数） 基础过关 1．（25-26六年级上·上海松江·期末）下列说法正确的是（   ） A．如果两个数的和为0，那么这两个数的商为 B．如果两个数的差为0，那么这两个数的商为1 C．如果两个数的积为，那么这两个数的和为0 D．如果两个数的商为，那么这两个数的和为0 2．（25-26六年级上·上海金山·期中）计算：______． 3．（25-26六年级上·上海·期末）计算：． 4．（25-26六年级上·上海青浦·期中）从五个有理数中任取三个有理数相乘，最小的积为______． 5.（25-26六年级上·上海·阶段检测）在抢答比赛中，规定答对一题记分，答错一题记分．如果甲队答对5个题，答错2个题，则最后得分为______分． 6．（25-26六年级上·上海金山·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．一个数不是正数就是负数 B．任何有理数都有倒数 C．互余的两个角一定都是锐角 D．一个锐角和一个钝角一定互补 7．（25-26六年级上·上海普陀·期末）的倒数是_____________． 8.（25-26六年级上·上海·阶段检测）计算：． 9.（25-26六年级上·上海浦东新·期中）计算：． 10．（25-26六年级上·上海·阶段检测）如果两个有理数、在数轴上对应的点分别在原点的两侧，则这两个数相除所得的商是（     ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．等于0 D．无法确定 11.（25-26六年级上·上海青浦·期中）计算：． 12.（25-26六年级上·上海普陀·期末）计算： 13.（25-26六年级上·上海普陀·期末）计算： 14.（25-26六年级上·上海·阶段检测）甲乙两人买相同品种的苹果，甲用22元买了4千克苹果，乙用17元买了3千克苹果，谁买的苹果更便宜？（    ） A．甲 B．乙 C．一样 D．无法比较 能力提升 15.（（25-26六年级上·上海·阶段检测）计算： 16．（24-25六年级上·上海浦东新·期中）计算： ______． 17.（25-26六年级上·上海浦东新·期末）如表，学校组织春游参观博物馆，给予资金600元，由3位老师带队参观博物馆，则最多带_________名学生． 类别 单价(元) 购票说明 个人票 成人 20 18岁及以上 学生 10 以中小学学生证为准 学龄前 0 不超过6岁 团体票（30人及以上） 12 团体中所有人都要买票 18.（25-26六年级上·上海浦东新·期中）计算：． 19.（25-26六年级上·上海静安·期末）机器人甲、乙沿着数轴相向而行，且各自运动的方向和速度都不改变．在某一时刻它们分别在点和点两个整数点处（如图），如果乙的速度是平均每秒个单位长度，经过3秒后，甲、乙之间的距离为4个单位长度，那么此时甲所在位置表示的数为___________． 挑战一刻 20．（25-26六年级上·上海虹口·期中）阅读下面材料： 计算：． 解法①： 原式 解法②： 原式． 解法③： 先计算：． 所以，原式 (1)上述三种解法得出的结果不同，肯定有解法是错误的，你认为解法__________是错误的（填序号）； (2)请你根据材料尝试计算：． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $