3.1 列代数式表示数量关系 课件 2026--2027学年人教版七年级数学上册

该初中数学课件聚焦“列代数式表示数量关系”，通过机器人工作问题导入，从具体时间（10s、60s）的面积计算到一般时间t的表达式，再到面积求时间、机器人与人工差异对比，逐步抽象数量关系，搭建从具体到抽象的学习支架，衔接代数式定义、书写规范及应用。 其亮点在于以现实情境（机器人工作、管道铺设等）培养数学眼光，通过例题解析和书写规范发展数学思维，用正反比例关系强化数学语言。采用情境探究与分层练习结合的教学方法，小结突出抽象思想，帮助学生形成符号意识和应用能力，为教师提供系统教学资源。

3.1 列代数式表示数量关系 人教版七年级数学上册 · 第三章 代数式 1.7.2013 同学们好！今天我们将学习第三章的内容——列代数式表示数量关系。在实际问题中，我们常常会遇到一些数量和数量关系，如何用数学式子简明地表达它们呢？这就是我们今天要学习的内容。 ‹#› 情境引入：机器人工作问题 01 核心问题探究 已知机器人每秒识别 5 m²，请尝试解决以下问题： ① 若工作时间为 10s、60s 或 t秒，识别面积是多少？ ② 若要识别 n m² 的苹果，需要工作多长时间？ ③ 搭载 m 个机械手工作 1 小时，比人工多摘多少个？ 02 数量关系拆解 面积计算：工作量 = 工作效率 × 工作时间 (S = 5t) 时间推导：工作时间 = 总工作量 ÷ 工作效率 (t = n/5) 差值对比：多采摘量 = 机器人总量 - 人工采摘总量 1.7.2013 我们来看本章引言中的问题。机器人的工作量、工作效率和工作时间之间存在关系：工作量=工作效率×工作时间。当时间是具体的10秒、60秒时，我们可以算出具体的工作量。当时间是任意的t秒时，工作量就是5t。这里的5t就具有了一般性。 ‹#› 情境引入：机器人工作问题 📐 01核心关系：工作量 = 工作效率 × 工作时间 已知机器人识别效率为 5 m²/秒，根据公式计算不同时间下的识别面积： ⏱️ 10 秒 ⏱️ 60 秒 ⏱️ t 秒 (任意) 💡 从具体到一般的数学思想 用字母t代替具体的数字，不仅是形式上的改变，更是思维的飞跃。它让我们从解决一个“特定时间”的问题，上升到解决一类“任意时间”的问题，这正是代数的核心魅力——用符号表达普遍规律。 5 × 10 = 50 m² 具体数值的简单运算 5 × 60 = 300 m² 不同时长的具体结果 5 × t = 5t m² 一般规律的代数表达 1.7.2013 我们来看本章引言中的问题。机器人的工作量、工作效率和工作时间之间存在关系：工作量=工作效率×工作时间。当时间是具体的10秒、60秒时，我们可以算出具体的工作量。当时间是任意的t秒时，工作量就是5t。这里的5t就具有了一般性。 ‹#› 情境引入：机器人工作问题解答 02. 已知面积求所需时间 公式变形为“时间=总量÷效率”，若需识别面积为 n m²，则所需时间为 秒。这展示了字母不仅能代表数，还能像数一样参与数学运算。 03. 机器人与人工的采摘量差异 以1小时（3600秒）为基准：机器人采摘量为 450m，人工采摘量为 720个，两者的差值为 ，这是对实际问题中数量关系的综合代数表达。 450m-720 1.7.2013 我们来解答这三个问题。通过计算，我们得到了含有字母的式子，如5t, n/5, 450m-720。这些式子可以简明地表示数量和数量关系。 ‹#› 情境引入：更多实例 工程应用：铺设管道问题 工程队铺设一条长 2 km 的地下管道，历时 d 天完工。根据“工作效率=总量÷时间”，可得平均每天铺设的管道长度为： (km) 几何模型：正方形的度量 设正方形的边长为 a，利用几何公式可推导出：周长 ，面积 。字母表示数让几何关系更简洁。 思考发现：上述式子都是用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数和表示数的字母连接而成的，这样的式子叫做代数式。 L=4a S=a2 1.7.2013 我们再来看几个例子。铺设管道问题中，平均每天铺设的长度是2/d km。正方形的周长是4a，面积是a²。这些式子都是用运算符号把数和字母连接起来的。 ‹#› 新知探究：代数式的定义 01 / 代数式的定义 用运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数和表示数的字母连接起来的式子，统称为代数式。例如：5t、、4a、a²、450m-720 等都是代数式。 特别提示：特殊形式 单独的一个数（如 5、-3）或一个字母（如 a、x）也是代数式，它们是代数式的一种特殊且基础的形式。 书写规范：乘号规则 数字与字母相乘时，数字在前，乘号通常省略不写或写作“·”。例如：5 × t 应写成 5t 或 5·t，以保持式子简洁。 💡 核心记忆：数与字母手拉手，运算符号来连接，单独个体也是它，书写规范要遵守！ 1.7.2013 像这样，用运算符号把数和字母连接起来的式子，就叫做代数式。单独一个数或一个字母也是代数式。同时，我们要注意代数式的书写规范，比如乘号的写法。 ‹#› 新知探究：代数式的书写规范 01. 数字与字母相乘 正确：5a 或 5·a | 错误：5×a 或 a5 说明：数字在前字母在后，乘号可省略或用“·”。 02. 字母与字母相乘 正确：ab 或 a·b | 错误：a×b 说明：乘号直接省略，书写更简洁清晰。 03. 数字与数字相乘 正确：5×8 或 5·8 | 错误：58 说明：乘号不可省，避免被误读为两位数。 04. 带分数与字母相乘 正确：a 或 3.5a | 错误：3a 说明：需化为假分数或小数，防止歧义。 05. 除法运算规范 正确： | 错误：m÷5 说明：代数式中的除法，统一写成分数形式。 06. 和差形式带单位 正确：(a+b)米 | 错误：a+b米 说明：若为和或差，需将整体加括号后写单位。 07. 乘方形式书写 正确：a²、b³ | 错误：a2、b3 说明：字母的指数应作为上标，写在右上角。 1.7.2013 代数式的书写有严格的规范，这是本节课的重点和易错点。大家一定要牢记这7条规则，特别是数字与字母相乘、除法、带单位等情况。 ‹#› 例题解析（一）：例1 01 商品售价 · 打折问题 苹果原价为 p 元/kg，现按九折优惠出售，如何用代数式表示现价？ 解：售价 = 0.9p 元/kg 02 几何图形 · 面积计算 已知长方形的长为 0.9 m，宽为 p m，请写出该长方形的面积表达式。 解：面积 = 0.9p m² 03 实际应用 · 产量关系 前年产量为 n 件，去年产量比前年的 2 倍少 10 件，求去年的产量。 解：产量 = (2n - 10) 件 04 立体空间 · 容积计算 长方体水池底面为正方形(a×a)，高 h m，水占容积的 ，求水量。 解：体积 = a²h m³ 解题点睛：列代数式的核心是“翻译”——将文字语言中的数量关系（如倍数、折扣、和差）准确转化为数学符号语言，注意运算顺序与单位的规范性。 1.7.2013 我们来看例1。这道题涵盖了商品销售、图形面积、产量问题和体积问题。我们需要根据题意，用代数式表示出相应的数量关系。 ‹#› 例题解析（二）：例2 明确代数式的运算逻辑是解题的核心，我们需要将数学符号转化为清晰的文字语言： 01. 2a + 3 02. 2(a + 3) 03. 04. x² + 2x + 8 💡 核心思路：遵循“先高级运算，后低级运算”的顺序，准确使用“和、差、积、商、倍、分、平方”等术语，注意括号的优先说明。 表示a的2倍与 3 的和。即先对a进行倍乘运算，再与3相加。 表示a与3的和的2倍。注意括号改变优先级，需先求和再求积。 表示 c 除以a、b两数的积的商。ab是一个整体，作为除数参与运算。 表示 x的平方、x的2倍 与 8 的和。包含乘方、乘法与加法的混合运算。 1.7.2013 例2要求我们说出代数式的意义。这需要我们理解代数式中各个部分的运算关系，并能用准确的语言描述出来。 ‹#› 课堂练习：快速判断 下列式子哪些是代数式？请结合定义进行辨析： 01. 3x + 5 02. 10 03. a + b = 10 04. 05. x > 3 ✔ 是代数式 解析：由数与字母通过加法运算连接而成，不含关系符号，符合代数式定义。 解析：单独的一个数是代数式的基本形式之一，是代数式的特例。 ✔ 是代数式 ✘ 不是代数式 解析：式子中含有等号“=”，表示两个量相等的关系，属于等式，而非代数式。 解析：字母与数的商，仅包含除法运算符号，符合代数式的构成规则。 ✔ 是代数式 解析：含有不等号“>”，表示两个量的大小关系，属于不等式。 核心区别：代数式只包含运算符号（+、-、×、÷等），一旦出现等号或不等号，就不再是代数式。 ✘ 不是代数式 1.7.2013 好了，学了这么多，我们来做几道判断题巩固一下。请大家判断这些式子是不是代数式。 ‹#› 课堂练习（一） 01 基础填空 · 夯实基础 (1)每包书10册，6包有 册，n包有 册。 (2)王芳今年m岁，去年 岁，6年后 岁。 (3)将p kg糖分装n个包装袋中，每袋糖的质量相同，每袋 kg。 (4)棱长为a的正方体体积是 。 02 深度理解 · 解读含义 ① 2a + 3c： ② 3(m - n)： ③ a² + 1： ④ ： 60 10n m-1 m+6 a3 a的2倍与c的3倍的和 m与n的差的3倍 a的平方与1的和 a的3倍除以b的5倍的商 1.7.2013 好了，学了这么多，我们来做几道练习题巩固一下。请大家完成这些填空题和说出代数式的意义。 ‹#› 例题解析（三）：例3 01 生活消费：总价的构成 购买2个单价为a元的面包和3瓶单价为b元的饮料。 02 金融理财：利息的计算 本金a元，存期3年，年利率2.75%。 03 商品销售：售价的变化 进价x元，按1.1倍标价，再降价80元出售。 列式：所需钱数 = 2a + 3b（元） 列式：利息 = a × 2.75% × 3 = 8.25%a（元） 列式：现售价 = 1.1x - 80（元） 1.7.2013 例3是生活中的实际问题。我们需要理解“总价”、“利息”、“售价”等概念，并根据题意列出代数式。 ‹#› 例题解析（四）：例4 01 行程问题情境 已知甲、乙两地公路全长240 km，汽车行驶速度为v km/h。 (1) 求汽车按原速从甲地到乙地的行驶时间； (2) 若速度增加3 km/h，求提速后的行驶时间及提前到达的时长。 02 核心公式与解答 ① 基础公式应用： 行程核心公式：时间 = 路程 ÷ 速度 原速行驶时间： 小时 ② 提速后的变化量： 提速后时间：小时 提前时长：（)小时 1.7.2013 例4是行程问题。我们需要牢记行程问题的基本公式：时间=路程/速度，并能处理速度变化后的情况。 ‹#› 课堂练习（二） 1. 用代数式分别表示： （1）比a的2倍大1的数； （2）a的相反数与b的一半的差； （3）a的平方除以b的商。 2. 销售金额计算 某种商品每袋售价4.8元，若一个月内共销售了m袋，请用代数式表示该月的销售总收入。 2a+1 -a - 4.8m（元） 3. 农业产量统计 两块棉田面积分别为m公顷和n公顷，平均产量分别为a kg/公顷和 b kg/公顷，求两块棉田的总产量。 (am+bn)kg 4. 几何面积求解 在边长为a mm的大正方形铁皮中，挖去一个边长为b mm的小正方形，用代数式表示剩余铁皮的面积。 (a2-b2)mm2 1.7.2013 接下来是更多的练习题。请大家根据题意，列出相应的代数式。 ‹#› 思考与探究：正反比例关系 01 正比例关系：比值一定 以机器人识别范围为例，其识别范围与所用时间的比值始终恒定（比值为5）。当两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化，且相对应两个数的比值一定时，这两个量就成正比例关系。 02 反比例关系：乘积一定 以冬奥会造雪为例，日造雪量与造雪天数的乘积恒定（积为260000）。当两种相关联的量，相对应两个数的乘积一定时，二者成反比例关系，其数学表达式为：xy = k (k为非零常数)。 1.7.2013 通过今天的学习，我们还接触到了正反比例关系。当两个量的比值一定时，它们成正比例关系；当两个量的乘积一定时，它们成反比例关系。 ‹#› 例题解析（五）：例5 01 / 问题描述 四个圆柱形容器内部底面积分别为 10、20、30、60 cm²，向各容器中注入 300 cm³ 的水。 (1) 计算四个容器中水的高度； (2) 用式子表示底面积 x 与高度 y 的关系，并判断二者成什么比例。 02 / 解题思路与答案 ① 高度计算 (体积 ÷ 底面积) 10cm² → 300÷10 =30cm 20cm² → 300÷20 =15cm 30cm² → 300÷30 =10cm 60cm² → 300÷60 =5cm ② 比例关系判断 由体积公式得：xy = 300 x 与 y 的乘积为定值，符合反比例关系的定义，因此底面积与高度成反比例关系。 1.7.2013 例5进一步探讨了反比例关系。通过计算，我们发现水的体积一定时，容器的底面积和水的高度成反比例关系。 ‹#› 课堂练习（三） 01. 核心概念：速度与时间的关系 思考：若汽车行驶的路程一定，平均速度与时间是否成反比？ 02. 生活实例：多场景判断辨析是否构成反比例关系 ① 水果总量一定，按每箱质量相等分装，箱数与每箱质量； ② 长方体体积一定，底面积与高； ③ 总费用一定，荧光笔与中性笔费用。 构成反比例关系 构成反比例关系 和差关系，不构成反比例 根据公式“路程 = 速度 × 时间”，当路程为定值时，速度与时间的乘积保持不变，符合反比例关系的判定标准。 1.7.2013 最后，我们来做几道关于正反比例关系的练习题。请大家判断这些量之间的关系。 ‹#› 课堂练习（三） 3.某运输公司计划运输一批货物，每天运输的吨数与运输的天数之间的关系如下表所示： （1）这批货物共有多少吨？ （2）运输的天数是怎样随着每天运输的吨数的变化而变化的？ （3）用t表示运输的天数，用a 表示每天运输的吨数，用式子表示t与a的关系，t与a成什么比例关系？ 每天运输的吨数 500 250 100 50 …… 运输的天数 1 2 5 10 …… 解：（1）500×1=500（吨），答：共有500吨。 （2）运输的天数是随着每天运输的吨数的减小而增大的。 （3）at=500，t与a成反比例关系。 1.7.2013 最后，我们来做几道关于正反比例关系的练习题。请大家判断这些量之间的关系。 ‹#› 课程总结：知识回顾 01. 代数式的定义 用运算符号连接数和字母的式子，单独的一个数或字母也是代数式，是数学表达的基础形式。 02. 列代数式的方法 抓住“多、少、倍、分”等关键词，理清运算顺序，将文字语言准确“翻译”为数学符号语言。 03. 代数式的意义 理解式中字母的取值范围及各部分运算关系的实际背景，体会用字母表示数的简洁与概括性。 04. 正反比例关系 依据比值或乘积是否为定值，判断两个相关联的量是成正比例还是反比例，建立变量关系的直观认知。 思想升华：从具体到抽象，从特殊到一般 列代数式不仅是数学技能的习得，更是对“抽象思想”的深刻体会。用字母代替具体数字，让一个式子承载无穷的具体情境，这是我们揭示事物普遍规律、建立数学模型的重要一步，帮助我们从感性认识迈向理性思考。 1.7.2013 课程结束，我们来回顾一下。今天我们学习了代数式的定义、列代数式的方法、代数式的意义以及正反比例关系。更重要的是，我们体会到了从具体到抽象的数学思想。 ‹#› 课后作业 01 基础夯实 完成课后配套课时作业。规范书写，重点注意代数式中系数、字母与运算符号的搭配规范，养成仔细检查的好习惯。 02 生活探微 做个生活中的“数学观察员”，寻找至少3个能用代数式表达的数量关系场景（如家庭水电费计算、商场折扣换算、球赛积分统计等），记录并写出对应的代数式。 下课！愿大家在生活中发现更多数学的奥秘，带着思考去观察世界，我们下节课见！ 1.7.2013 今天的课就到这里。课后请大家完成作业，巩固今天所学。希望大家能在生活中发现更多可以用代数式表示的数量关系，体会数学的魅力！同学们再见！ ‹#› $