3.1 列代数式表示数量关系（课时3）课件 2026-2027学年数学人教版七年级上册

该初中数学课件聚焦正比例与反比例关系，通过苹果采摘机器人、冬奥会造雪等现实情境导入，从具体实例到表格数据，再到规律探究，搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解数量关系。 其亮点是以现实情境为载体，培养学生用数学眼光观察数量关系，通过数据计算和规律分析发展数学思维，用字母表达式规范数学语言。如苹果采摘机器人工作效率、冬奥会造雪量计算实例，结合归纳总结，助力学生构建模型意识，也为教师提供结构化教学流程，提升教学效果。

3.1列代数式表示数量关系 第3课时正比例、反比例关系 第3章代数式 新知引入 科技发展让果园也迎来了好帮手——苹果采摘机器人！它的工作效率远超人工，平均每小时可以精准采摘苹果100千克。这个机器人不知疲倦，能根据程序自动识别成熟果实并完成采摘，是现代农业的好伙伴。 现代农业的科技助手： 开动脑筋想一想：不同工作时长能摘多少苹果？ 2小时：100×2=200kg；3小时：100×3=300kg 观察发现：采摘的总质量与工作时间的比值总是一定的（等于每小时采摘量100千克）。 因此，苹果采摘的总质量与工作时间是成正比例的量，随着工作时间增加，总质量也随之增加，二者成正比例关系。 1.7.2013 好了，让我们通过一个有趣的例子来开启今天的新知识。大家看，这是一个神奇的苹果采摘机器人！它每小时能采摘100千克苹果。现在请大家开动小脑筋想一想：如果它工作2小时，能摘多少？3小时呢？如果工作时间不断增加，采摘的苹果总质量会发生什么样的变化呢？ ‹#› 问题 某品牌苹果采摘机器人机器人 t s 能识别的范围是 5t m2. 这说明机器人能识别的范围与所用的时间具有什么样的关系？ 机器人能识别的范围与所用的时间的比值总是一定的，因此机器人能识别的范围与所用的时间是成正比例关系的量，它们成正比例关系. 一般地，对于工程问题，当工作效率保持不变，工作量与工作时间是成正比例的量，它们成正比例关系. 如果工作量保持不变，工作时间与工作效率之间的关系是什么呢？ 新知探究 我们来填一填，找规律！ 我们来帮这个机器人记录一下它的工作成果吧！已知机器人“每小时采摘100千克”苹果，请同学们根据这个工作效率信息，完成下面的表格，观察并思考：工作时间和采摘苹果的质量之间存在什么联系？ 思考：当工作效率固定时，工作时间越长，采摘的总量会怎样变化呢？ 工作时间（时） 1 2 3 4 5 采摘质量（千克） 100 200 300 400 500 1.7.2013 非常好！现在，我们来动手填一填这个表格。表格里已经告诉我们工作1小时能采摘100千克苹果。那么2小时、3小时、4小时、5小时分别能采摘多少呢？请大家快速计算并填写在表格里，看看能不能发现什么规律。 ‹#› 规律探究 工作时间（时） 1 2 3 ... 采摘质量（千克） 100 200 300 ... 质量变化 ～ 时间变化 发现一：相关联的量变化一致！工作时间扩大，采摘苹果的质量也跟着扩大；时间缩小，质量也跟着缩小，二者是相关联的量。 发现二：比值恒定不变！计算每组数据的商：100÷1=100，200÷2=100，300÷3=100…… 这个不变的比值“100”，代表的就是机器人的工作效率。 1.7.2013 大家都填对了吗？我们一起来看大屏幕。观察这个表格，你们发现了什么？首先，工作时间在增加，采摘的质量也在增加。这说明时间和质量是有关系的。更重要的是，我们用每一组的质量除以时间，会发现得到的结果都是100！这个不变的商，就是我们所说的比值。 ‹#› 概念归纳 正比例关系 像这样，两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的比值一定，这两个量就叫做成正比例的量，它们之间的关系叫做正比例关系． 一般地，对于工程问题，当工作效率保持不变，工作量与工作时间是成正比例的量，它们成正比例关系． 新知探索 下面我们来讨论，如果工作量保持不变，工作时间与工作效率之间的关系．先看一个实际问题． 问题：北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市．在冬季奥运会前，某赛场计划造雪 260000 m3．解答下列问题： 【合作探究】 问题 北京是全球首个既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市，在冬季奥运会前，某赛场计划造雪 260 000 m3. 解答下列问题： (1) 根据每天造雪量，计算所需的造雪天数，填写表 每天造雪量/m3 造雪天数 5 000 5 200 6 500 ··· ··· 探究点：列代数式 每天造雪量/m3 造雪天数 5 000 5 200 6 500 ··· 提示：这个问题有哪些量？它们之间什么关系？ 每天造雪量 造雪总量 造雪天数＝ 有三个量：造雪总量，造雪天数，每天造雪量 ① ② ③ ② ③ ① 52 50 40 ··· 探究点：列代数式 (2) 每天造雪量和造雪天数这两个量是怎样变化的?它们之间有什么关系? 每天造雪量/m3 造雪天数 5 000 5 200 6 500 ··· 52 50 40 ··· 造雪总量 260 000 260 000 260 000 1. 造雪天数随着每天造雪量的变大而变小. 2. 造雪天数与每天造雪量的乘积一定，总是 260 000. 探究点：列代数式 新知探究：冬奥会的秘密 精彩的冬奥会滑雪比赛，离不开皑皑白雪的加持。如果自然降雪量不足，我们就可以通过人工造雪来补足！ 假设为了举办一场滑雪赛事，我们需要提前准备600立方米的雪。造雪机的工作效率各不相同，完成造雪任务所需要的时间也会发生变化。 大家一起来思考： ① 若造雪机每小时造雪200立方米，完成600立方米的任务需要几小时？如果效率提升到每小时300立方米，又需要几小时呢？ ② 观察这些数据，当造雪的总工作量固定时，如果造雪速度越来越快，所需的工作时间会发生怎样的变化？这其中藏着什么规律？ 1.7.2013 认识了正比例，我们再来看看它的“兄弟”——反比例。这次我们把场景换到壮观的冬奥会。为了比赛，我们需要准备600立方米的雪。大家想一想，如果造雪机的效率不一样，需要的时间会一样吗？如果造雪速度越来越快，需要的时间会变长还是变短呢？ ‹#› 新知探究 再次填表，寻找新规律！ 总雪量是固定的600立方米。我们来看看不同的造雪效率，分别需要多少时间。请大家根据造雪效率，计算出对应的所需时间并填写表格，观察其中的变化规律。 思考： 造雪效率(米³/时) 100 150 200 300 需要的时间(时) 6 4 3 2 1.7.2013 同样，我们来通过一个表格来寻找规律。总雪量是固定的600立方米。表格里给出了不同的造雪效率，请同学们计算出对应的需要时间，并填在表格里。看看这次又会发现什么有趣的现象。 ‹#› 规律探究 造雪效率(m³/时) 100 150 200 300 所需时间(时) … 6 4 3 所需时间 总雪量(积) 造雪效率 ＝ 可以发现，造雪所需的时间随着造雪效率的提高而缩短，二者变化方向相反，但乘积始终保持不变，都是600立方米。 验证计算：100×6=600，150×4=600，200×3=600...这个不变的乘积“600”，就是我们需要准备的总雪量，也是连接效率与时间的关键量。 1.7.2013 我们来对一下答案。大家看，这次的规律和刚才不一样了！造雪效率在提高，但需要的时间却在减少。它们的变化方向是相反的。那它们之间有没有什么不变的量呢？我们来算一算每组效率和时间的乘积，你会惊奇地发现，它们的积都是600！这个不变的积，就是我们要找的新规律。 ‹#› 新知探索 此问题包含三个量：造雪总量、每天造雪量和造雪天数，根据它们之间的关系 新知探索 每天造雪量/m3 5000 5200 6500 … 造雪天数 … 52 50 40 新知探索 （2）每天造雪量和造雪天数这两个量是怎样变化的？它们之间有什么关系？ 解：由（1）得 每天造雪量/m3 5000 5200 6500 … 造雪天数 52 50 40 … 可以发现，造雪天数随着每天造雪量的变大而变小，而且造雪天数与每天造雪量的乘积一定，总是 260000． 例如，5000×52=5200×50= 6500×40= 260000． 【归纳总结】 两个相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且这两个量中的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系. 探究点：列代数式 如果用字母 x 和 y 表示两个相关联的量，用 k 表示它们的积（k 是一个确定的值，且 k≠0 ），反比例关系可以用下面的式子表示： x y＝k （一定） 或 其中 k 叫作比例系数. 【归纳总结】 探究点：列代数式 新知讲解 就像造雪的例子一样，我们生活中存在着这样两种相关联的量——造雪效率和需要的时间。当造雪效率发生变化时，所需的时间也会跟着变化，但是无论这两个量如何变化，它们相乘的结果，也就是乘积始终保持不变。这正是反比例关系最核心的特征。 我们就可以得出结论：造雪效率和需要的时间是成反比例的量，它们之间的关系是反比例关系。若用字母x和y表示这两种量，用k表示它们的乘积（k为非零定值），则关系可表示为：xy = k（一定）。 1.7.2013 没错！这个新规律就是我们今天的第二个主角——反比例关系。当两种相关联的量，一种变化，另一种也跟着变化，但这次是它们相乘的结果，也就是乘积，总是一个固定的数时，我们就说这两种量成反比例关系。 ‹#› 新知讲解 如果我们用字母y表示完成造雪需要的时间，用字母x表示造雪的效率，用字母k表示那个固定不变的乘积——也就是总雪量。这三个量之间存在着紧密的关联，其中效率和时间是两个相关联的量，效率变化，时间也会随之变化，而它们的乘积（总雪量）始终保持不变。 由此我们可以推导出反比例关系的核心数学表达式：x · y = k（其中k是固定不变的非零常数）。我们也可以将其转化为更直观的分式形式：y = k / x，这就是反比例关系最标准的数学语言呈现。 1.7.2013 反比例关系同样可以用数学语言来表达。如果用y表示时间，x表示效率，那个不变的乘积k，我们就可以得到关系式 x·y = k，或者写成 y = k/x。这就是反比例关系的标准数学表达式。大家对比一下，它和正比例的表达式有什么不同呢？ ‹#› 概念归纳 反比例关系 像这样，两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫做成反比例的量，它们之间的关系叫做反比例关系． 如果用字母 x 和 y 表示两个相关联的量，用 k 表示它们的积（ k是一个确定的值，且k≠0)，反比例关系可以用 xy=k 来表示. 正比例关系怎么用字母表示呢？ 概念归纳 区分正比例关系和反比例关系 如果用字母 x 和 y 表示两个相关联的量，用 k 表示它们的比例（ k 是一个确定的值，且k≠0)，正比例关系可以表示为 反比例函数：xy=k； 两个量变化趋势相反，如 x 变大，y 变小； x 变小，y 变大. 正比例：两个量变化趋势相同，如 x 变大，y 也变大； x 变小，y 也变小. 例1 如图，四个圆柱形容器内部的底面分别为 10 cm2，20 cm2，30 cm2，60 cm2，分别在 这四个容器中注入 300 cm3 的水. (1) 四个容器中水的高度分别是多少厘米？ 提示：这个问题有哪些量？它们之间有什么关系？ 有三个量：圆柱的体积、底面积和高 圆柱的体积＝底面积×高 底面积 圆柱的体积 高＝ 探究点：列代数式 (1) 四个容器中水的高度分别是多少厘米？ (2) 分别用 x (单位：cm2 )和 y (单位：cm)“表示容器内部的底面积与水的高度，用式子表示 y 与 x 的关系， y 与 x 成什么比例关系? (cm)， (cm)， 解：(1) 四个容器中水的高度分别为： (cm)， (cm). (2) xy＝300 或 ，y 与 x 成反比例关系. 探究点：列代数式 典例分析 例：一个圆柱形的容器，需要注入体积为50立方米的水，我们记录下不同容器底面积对应的水面高度数据如下： 容器底面积 S（平方米）：5 、10 、20 、25 、... 水面高度 h（米）：　　10、 5 、2.5、 2 、... 思考：容器的底面积 S 和水面高度 h 成什么比例关系？请结合数据说明原因。 提示：可以结合圆柱体积公式 V = S × h 进行分析，观察 S 与 h 的乘积或比值是否为定值。 图示：不同底面积的圆柱容器注水示意图，底面积越小，水面高度越高。 1.7.2013 接下来，我们来看一个经典的例子。往一个圆柱容器里注水，水的总体积是50立方米。表格记录了不同容器底面积对应的水面高度。请大家思考一下，容器的底面积S和水面高度h，它们成什么比例关系呢？为什么？ ‹#› 思路：判断两个量成什么比例，核心看它们的“比值是否一定”或“乘积是否一定”。结合圆柱体积公式，我们来分析底面积与高的关系。 第一步：明确公式圆柱体积 = 底面积 × 高，即 V = S × h 第二步：锁定定量 题目中注入水的体积固定为50立方米，即V = 50（立方米）是定值。代入公式可得：S × h = 50（一定），说明底面积S与高h的乘积始终保持不变。 第三步：得出结论因为底面积S和水面高度h的乘积是固定值，符合反比例关系的定义，所以底面积S与水面高度h成反比例关系。 典例分析 1.7.2013 我们来一步步分析。首先，回忆圆柱体积公式：体积等于底面积乘以高。然后，题目告诉我们水的体积是固定的50立方米。这就意味着，底面积S和高h的乘积是一个固定的数50。既然是乘积一定，那么我们就可以下结论了：底面积S和水面高度h成反比例关系。 ‹#› 例题练习 （1）四个容器中水的高度分别是多少厘米？ 例题练习 课堂小结 01. 正比例关系： 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。其核心特征是比值（商）始终保持不变。若用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（k为定值且k≠0），则正比例关系的关系式可表示为：y/x = k (一定) 或 y = kx。 02. 反比例关系： 同样是两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化。但它的核心特征是两种量相对应的数的乘积始终保持不变。若用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的乘积（k为定值且k≠0），则反比例关系的关系式可表示为：x·y = k (一定) 或 y = k/x。 1.7.2013 好了，一节课很快就过去了。我们来回顾一下今天的主要内容。我们学习了正比例和反比例关系。记住它们的核心区别：正比例是比值一定，关系式是y=kx；反比例是乘积一定，关系式是xy=k。希望大家都能牢牢掌握！ ‹#› 两个相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，且这两个量的乘积一定，这两个量就叫作成反比例的量，它们之间的关系叫作反比例关系. 用 xy = k 或 来表示，其中 k 叫作比例系数. $