暑期专项——长方体和正方体（专项训练）2025-2026学年五年级下册数学人教版

**基本信息** 以题载法系统构建长方体和正方体知识网络，融合概念辨析、空间想象与实际应用，培养空间观念与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|选择/判断（5+5题）|正方体展开图类型判断、容积与体积区分|从立体图形特征到概念本质，建立几何直观| |计算应用|填空/计算（9+1题）|单位换算进率法、切割表面积增减规律|由公式推导（V=abh/S=2(ab+ah+bh)）到变式计算| |实际问题|解答题（7题）|无盖表面积计算、排水法求体积|从生活情境（游泳池、礼盒捆扎）抽象数学模型，发展应用意识|

暑期专项——长方体和正方体（专项训练）2025-2026学年五年级下册人教版 学校:___________姓名：___________班级：___________学号：___________ 一、选择题 1．下面图形中，（    ）是正方体的表面展开图。 A． B． C． D． 2．一瓶沐浴露瓶子上印有“净含量1L”的字样，这里的“1L”是指（    ）。 A．沐浴露瓶子的体积 B．瓶内沐浴露的质量 C．瓶内沐浴露的体积 D．沐浴露瓶子的容积 3．一个长方体的底面是一个正方形，它的侧面展开图正好是一个面积为64平方分米的正方形。这个长方体一个底面的面积是（    ）平方分米。 A．64 B．16 C．8 D．4 4．若一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，则下面说法正确的是（    ）。 A．表面积扩大到原来的2倍 B．棱长总和扩大到原来的2倍 C．体积扩大到原来的2倍 D．体积扩大到原来的6倍 5．用棱长为1cm的小正方体木块拼成长7cm，宽6cm，高5cm的长方体，一共要用（    ）个这样的小正方体木块。 A．30 B．42 C．240 D．210 二、填空题 6．520立方厘米＝( )毫升＝( )升   8.3立方米＝( )立方分米＝( )升 7．在括号里填上合适的容积单位或体积单位。 一本数学书的体积约是200( )    一个热水瓶大约能盛水2( ) 一瓶洗手液的净含量约250( )    我们教室的空间大约是160( ) 8．有7个棱长为5cm的正方体放在墙角处（如图）。一共有( )个面露在外面，露在外面的面积是( )cm2。 9．如图，把一根长120cm，横截面面积是25cm2的长方体木料，平均截成2段，表面积增加( )cm2，原来木料的体积是( )cm3。 10．一根长12m的长方体木料，横截面面积是0.6m2，木料的体积是( )m3． 11．把两个相同的小正方体拼成一个长方体，表面积减少了50cm2，每个小正方体的表面积是( )cm2，拼成的长方体的表面积是( )cm2。 12．作一个长6dm，宽4dm，高3dm的无盖鱼缸，用角钢作的框架，至少要用钢( )dm，至少需要玻璃( )，最多可装水( )． 13．如图中正方体木块的表面积是36平方分米．把它沿虚线截成体积相等的8个小正方体木块，这时表面积增加( )平方分米． 14．一个棱长是6dm的正方体水瓶中装有半瓶水，现把一块石头完全浸没在水中，水面上升了5cm，这块石头的体积是( )dm3． 三、判断题 15．游泳馆游泳池容积为150L．   ( ) 16．容积是200mL的保温杯，它的体积一定比200cm3大。( ) 17．形状不规则的物体也能求出它们的体积．                 ( ) 18．表面积的正方体被分成了体积相等的两份，每份的表面积一定是。( ) 19．下图可以表示正方体和长方体的关系。( ) 四、计算题 20．计算下列图形的体积和表面积（单位：cm） 五、解答题 21．学校要粉刷一间教室的四壁和天花板，已知教室的长是8米，宽6米，高4米，门窗的面积25平方米除外，如果每平方米需要5元的涂料费。粉刷这间教室花费多少钱？ 22．一个游泳池，长25米，宽10米，深2米，在游泳池的四周和池底砌瓷砖，如果瓷砖的边长是2分米的正方形，那么至少需要这种瓷砖多少块？ 23．用下面5块玻璃（单位：分米）可以拼接成一个无盖的长方体玻璃容器（接头处忽略不计）。 （1）这个长方体玻璃容器的容积是多少升？ （2）现将500升水倒入这个容器中，水面高多少分米？ 24．中秋节是我国传统节日，有赏月、吃月饼等民俗。丽丽给爷爷买了盒月饼并用一根丝带捆扎礼盒（如图），如果打结处的丝带长20厘米，求这根丝带的长度。 25．做如图这样一个灯笼（上、下都是空的），至少需要多少绸布？ 26．世界上最小的城是汉桑城。从整体来看，形似一个长方体，城墙南北大约7米，东西宽约4.5米，高约3米。 （1）“两节一会”到了，“汉桑城公园”工作人员要在城墙的四周装上彩灯，（地面四边不装），至少需要准备多长的彩灯线？ （2）汉桑城的占地面积是多少平方米？ （3）为吸引更多游客，工作人员打算在汉桑城的四壁上（扣除门和壁画约10平方米的面积）刷上绿色涂料，如果每平方米需涂料0.25千克，一共需要多少千克涂料？ 27．如图是全运会济南赛区奥体中心游泳馆的主游泳池，它长50米、宽25米、深2米。 （1）建造奥体中心游泳池至少需要挖土多少立方米？ （2）如果要给这个游泳池注1.8米深的水，已知每小时能注水150立方米。需要几小时注完？ 参考答案 1．B 【分析】根据正方体展开图的类型，1－4－1型，2－3－1型，2－2－2型，3－3型，据此判断解答即可。 【详解】A．不属于正方体展开图类型，不能拼成正方体； B．属于1－4－1型，是正方体展开图类型，能拼成正方体； C．不属于正方体展开图类型，不能拼成正方体； D．不属于正方体展开图类型，不能拼成正方体； 故答案为：B 【点睛】解决此题的关键是记住正方体展开图的基本类型。 2．C 【分析】先根据单位L判断其属于体积或容积单位，排除质量单位；其次理解“净含量”的定义，是指除去包装容器后内装商品的量；最后区分瓶子的体积、瓶子的容积与瓶内沐浴露体积的区别。瓶子的体积包含瓶壁材料，瓶子的容积是最大容纳量，净含量指实际内装液体的体积。 【详解】A．沐浴露瓶子的体积是指瓶子本身所占空间的大小，包含瓶壁材料的体积，不是净含量，此选项错误； B．瓶内沐浴露的质量是指沐浴露的轻重，单位应为质量单位，而L是体积单位，此选项错误； C．瓶内沐浴露的体积是指瓶子里面沐浴露所占空间的大小，符合净含量的定义，此选项正确； D．沐浴露瓶子的容积是指瓶子内部所能容纳物体的最大体积，通常大于或等于净含量，不完全等同于净含量，此选项错误。 3．D 【分析】根据题意，长方体的的侧面展开图正好是一个面积为64平方分米的正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，可推导出侧面展开图的边长是8分米，也就是长方体的底面周长和高都是8分米； 已知长方体的底面是一个正方形，根据正方形的周长＝边长×4，那么正方形的边长＝周长÷4；再根据正方形的面积＝边长×边长，求出这个长方体的底面积。 【详解】因为64＝8×8，所以长方体的底面周长是8分米，高是8分米； 底面边长：8÷4＝2（分米） 底面积：2×2＝4（平方分米） 这个长方体一个底面的面积是4平方分米。 故答案为：D 4．B 【分析】根据正方体的表面积公式S＝6a2，正方体的体积公式V＝a3，正方体的棱长总和＝棱长×12，以及积的变化规律可知，一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，表面积扩大到原来的（2×2）倍，体积扩大到原来的（2×2×2）倍，棱长总和扩大到原来的2倍。 积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几或除以几（0除外），积也乘（或除以）几。 【详解】若一个正方体的棱长扩大到原来的2倍，那么： A．2×2＝4 表面积扩大到原来的4倍，原题说法错误； B．棱长总和扩大到原来的2倍，原题说法正确； C．2×2×2＝8 体积扩大到原来的8倍，原题说法错误； D．2×2×2＝8 体积扩大到原来的8倍，原题说法错误。 故答案为：B 5．D 【分析】根据题意，先用除法求出长方体的长、宽、高分别可以放几个小正方体，再根据长方体的体积＝长×宽×高，把各边放的小正方个数相乘即可。 【详解】7÷1＝7（个） 6÷1＝6（个） 5÷1＝5（个） 7×6×5 ＝42×5 ＝210（个） 一共要用210个这样的小正方体木块。 故答案为：D 【点睛】先求出每条棱上需要的小正方体的个数，再利用长方体的体积公式解答。 6． 520 0.52/ 8300 8300 【分析】1升＝1000毫升＝1000立方厘米，1立方米＝1000立方分米＝1000升。高级单位换算成低级单位，需要乘进率；低级单位换算成高级单位，需要除以进率。 【详解】因为1立方厘米＝1毫升，520÷1000＝0.52，所以520立方厘米＝520毫升＝0.52升； 因为1立方分米＝1升，8.3×1000＝8300，所以8.3立方米＝8300立方分米＝8300升。 7． 立方厘米/cm3 升/L 毫升/mL 立方米/m3 【分析】1立方厘米大约是一个骰子的大小，计量数学书的体积用立方厘米作单位比较合适； 1升大约是一大瓶矿泉水的容量，计量热水瓶的容量用升做单位比较合适； 1毫升大约是十几滴水，结合数据，计量洗手液的净含量用毫升作单位比较合适； 1立方米大约是一台冰箱的体积，计量教室的空间大小用立方米做单位比较合适。 【详解】一本数学书的体积约是200立方厘米； 一个热水瓶大约能盛水2升； 一瓶洗手液的净含量约250毫升； 我们教室的空间大约是160立方米。 8． 13 325 【分析】正面有5个面外露，右面有5个面外露，上面有3个面外露，由此得共有13个面外露．根据正方形的面积公式：S＝a2，把数据代入公式求出正方体的一个面的面积，然后乘13即可；据此解答。 【详解】正面有5个面外露，右面有5个面外露，上面有3个面外露，一共有5＋5＋3＝13个面露在外面。 露在外面的面积是： 5×5×13 ＝25×13 ＝325（平方厘米） 【点睛】正确数出露在外面面的个数是解题的关键。 9． 50 3000 【分析】根据题意，平均截成2段，增加2个截面的面积，用25×2，求出增加的面积；再根据长方体体积＝截面积×高，用25×120解答。 【详解】25×2＝50（cm2） 25×120＝3000（cm3） 把一根长120cm，横裁面面积是25cm2的长方体木料，平均截成2段，表面职增加50cm2，原来木料的体积是3000cm3。 10．7.2 【详解】略 11． 150 250 【分析】两个相同的小正方体拼成一个长方体，表面积和减少了2个正方形的面，减少的表面积÷2＝正方体一个面的面积，正方体表面积＝一个面的面积×6；拼成的长方体表面有10个正方形，一个正方形的面积×10＝拼成的长方体表面积。 【详解】50÷2×6＝150（cm2） 50÷2×10＝250（cm2） 【点睛】关键是具有一定的空间想象能力，掌握并灵活运用正方体表面积公式。 12． 52 84dm2 72升 【详解】（6+4+3）×4＝13×4＝52（dm） 6×4+6×3×2+4×3×2＝24+36+24＝84（dm2） 6×4×3＝72（dm3） 72dm3＝72升 答：至少要用钢52dm，至少需要玻璃84dm2，最多可装水72升． 故答案为52，84dm2，72升． 13．36 【详解】试题分析：观察图形可知，沿虚线截成体积相等的8个小正方体木块，需要切割3次，每切割1次，就增加2个大正方体的面，所以一共增加了6个大正方体的面，即增加的表面积正好等于这个大正方体的表面积，由此即可解答． 解：沿虚线截成体积相等的8个小正方体木块，需要切割3次，每切割1次，就增加2个大正方体的面， 所以一共增加了3×2=6个面，是增加了36平方分米． 答：此时表面积增加了36平方分米． 故答案为36． 点评：抓住切割特点，得出每切割一次增加两个大正方体的面，切割3次正好增加了6个面是解题的关键． 14．18 【详解】略 15．× 【详解】略 16．√ 【分析】物体所点空间的大小叫做物体的体积，物体所能容纳物体的体积叫做物体的容积，从概念上看这是两个完全不同的概念，从测量看，体积是外面度量的，容积是里面度量的。 【详解】由分析可知： 200mL＝200cm3 容积是200mL的保温杯，它的体积一定比200cm3大。所以原题干说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题是考查体积和容积的意义，这是两个不同的概念和，要区分开．一个容器的壁再薄也有厚度，容积要小于它的体积。 17．√ 【分析】由于一些物体的形状不规则，所以用排水转化的方法，即水面上升的体积就等于不规则物体的体积；据此进行解答. 【详解】形状不规则的物体也能求出它们的体积，如排水法等。说法正确 故答案为：√ 【点睛】此题考查了某些实物体积的测量方法，通常通过排水法进行测量 18．√ 【分析】把表面积的正方体被分成了体积相等的两份，每份的表面积等于这个正方体的表面积的一半加上一个切面的面积。根据正方体的表面积公式：，那么正方体的一个面的面积表面积，据此求出每份的表面积，然后与4平方厘米进行比较。 【详解】6÷6＝1（立方米） 6÷2＋1 ＝3＋1 ＝4（平方米） 所以每份的表面积一定是4平方米。 因此，题干中的结果是正确的。 故答案为：√ 【点睛】此题考查的目的是理解掌握正方体表面积的意义及应用。 19．× 【分析】长方体和正方体都有12条棱，正方体12条棱长都相等，则长宽高都相等的长方体是正方体，长方体的长、宽、高可以不相等，长方体最多有8条棱长都相等。正方体符合长方体的全部条件，因此正方体是长方体的一种，但并不是所有的长方体都是正方体。 【详解】长方体包含正方体，则它们之间的关系可以用下图表示： 故答案为：× 20．长方体：105cm3；142cm2 正方体：0.512cm3；3.84cm2 【详解】长方体体积：7×5×3=105cm3 表面积：（7×5+7×3+5×3）×2=142cm2 正方体体积：0.8×0.8×0.8=0.512cm3 表面积：0.8×0.8×6=3.84cm2 21．675元 【分析】先求出粉刷教室的面积，就是求这个长方体教室的5个面的面积和，再减去门窗的面积；根据长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出5个面积的面积和，再减去门窗面积，求出要粉刷的面积，再乘5，即可解答。 【详解】8×6＋（8×4＋6×4）×2 ＝48＋（32＋24）×2 ＝48＋56×2 ＝48＋112 ＝160（平方米） （160－25）×5 ＝135×5 ＝675（元） 答：粉刷这间教室花费675元。 22．9750块 【分析】根据题意，在游泳池的四周和池底砌瓷砖，即砌瓷砖的是长方体的下面、前后面、左右面共5个面；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”求出这5个面的面积之和，即是贴瓷砖的面积。 已知瓷砖的边长是2分米的正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，求出一块瓷砖的面积；再用需贴瓷砖的面积除以每块瓷砖的面积，求出至少需要这种瓷砖的块数。注意单位的换算：1平方米＝100平方分米。 【详解】25×10＋25×2×2＋10×2×2 ＝250＋100＋40 ＝390（平方米） 390平方米＝39000平方分米 2×2＝4（平方分米） 39000÷4＝9750（块） 答：至少需要这种瓷砖9750块。 23．（1）1000升 （2）5分米 【分析】（1）由题意可知，这个无盖的长方体玻璃容器的长为20分米，宽为5分米，高为10分米，再根据长方体的容积公式：V＝abh，据此代入数值进行计算即可； （2）根据长方体的体积公式：V＝abh，即h＝V÷a÷b，据此进行计算即可。 【详解】（1）20×5×10 ＝100×10 ＝1000（立方分米） ＝1000（升） 答：这个长方体玻璃容器的容积是1000升。 （2）500升＝500立方分米 500÷20÷5 ＝25÷5 ＝5（分米） 答：水面高5分米。 24．106厘米 【分析】观察图形可知，丝带的长度由两部分组成：一部分是长方体不同的棱长的长度之和（包括两条长，两条宽和四条高），另一部分是打结处所用丝带的长度，把两部分加在一起即为这根丝带的长度。 【详解】12×2＋15×2＋8×4＋20 ＝24＋30＋32＋20 ＝54＋32＋20 ＝86＋20 ＝106（厘米） 答：这根丝带的长度是106厘米。 25．80平方分米 【分析】观察图形可知，灯笼的表面积＝前面、后面、左面和右面的面积和，已知长4分米、宽4分米、高5分米，则用（4×5＋4×5）×2即可求出灯笼的表面积。 【详解】（4×5＋4×5）×2 ＝（20＋20）×2 ＝40×2 ＝80（平方分米） 答：至少需要80平方分米绸布。 【点睛】本题考查了考查了长方体表面积的灵活应用。 26． （1）35米 （2）31.5平方米 （3）14.75千克 【分析】（1）求工作人员至少需要准备多长的彩灯线，就是求4个高、2个长和2个宽的和，把数据代入计算即可解答。 （2）汉桑城的占地面积＝长×宽，据此解答即可。 （3）需要涂色的面积就是用汉桑城的四壁的面积减去门和壁画的面积，利用汉桑城四壁的面积＝（长×高+宽×高）×2即可求解，再用需要涂色的面积乘每平方米用的涂料的质量，就是一共需要多少千克涂料。 【详解】（1）彩灯线长： （米） 答：至少需要准备35米长的彩灯线。 （2）（平方米） 答：汉桑城的占地面积是31.5平方米。 （3）涂色面积： （平方米） 涂料：（千克） 答：一共需要14.75千克涂料。 【点睛】本题考查长方体的棱长和、表面积，解答本题的关键是掌握长方体的棱长和与表面积计算公式。 27．（1）2500立方米 （2）15小时 【分析】（1）要求建造奥体中心游泳池至少需要挖土多少立方米，把这个中心游泳池看作一个无盖的长方体，相当于求这个长方体的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数值计算即可解答。 （2）根据长方体的体积公式，求出注入的水的总体积，再除以150，所得结果即为需要几小时注完。 【详解】（1）50×25×2＝2500（立方米） 答：建造奥体中心游泳池至少需要挖土2500立方米。 （2）50×25×1.8÷150 ＝2250÷150 ＝15（小时） 答：需要15小时注完。 学科网（北京）股份有限公司 $