2.2.3公式法（课件）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的公式法，核心知识点包括求根公式推导、用公式法解方程及根的判别式应用。课堂导入通过回顾配方法步骤，提出用配方法解一般形式方程的问题，搭建从配方法到公式法的学习支架，衔接前后知识。 其亮点在于注重数学思维与数学语言的培养，通过完整推导求根公式发展推理能力，结合例1、例2及“一化二定三算四代”步骤强化模型意识。课堂小结系统梳理判别式与根的关系，学生能提升逻辑推理和应用能力，教师可利用结构化资源提高教学效率。

北师大版数学9年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月4日 2.2.3公式法 第二章 一元二次方程 北师大版八年级数学2.2.3 公式法 同步讲义与习题 本节课在配方法基础上，推导出一元二次方程通用求根公式，学习根的判别式判断根的情况。公式法是解一元二次方程最通用、最稳定的方法，适用于所有有实数根的一元二次方程，是期中、期末必考核心考点。 一、核心知识点精讲 1. 求根公式推导来源 对任意一元二次方程 $$ax^2+bx+c=0\ (a eq0)$$，通过标准化配方法推导，最终得到通用求根公式。 2. 根的判别式（重中之重） 定义：$$\Delta=b^2-4ac$$ 判别式决定方程实数根的个数： - $$\Delta>0$$：方程有两个不相等的实数根 - $$\Delta=0$$：方程有两个相等的实数根 - $$\Delta<0$$：方程没有实数根 3. 一元二次方程求根公式 当 $$\Delta\ge0$$ 时： $$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ 4. 公式法标准解题四步骤 1. 化一般式：整理为 $$ax^2+bx+c=0$$，确定 $$a、b、c$$（带符号） 2. 算判别式：求出 $$\Delta=b^2-4ac$$，判断根的情况 3. 代入公式：将 $$a、b、\Delta$$ 代入求根公式 4. 化简结果：算出两根并最简化简 5. 高频易错点 - $$a、b、c$$ 必须连带符号取值，负数系数极易代错 - $$-b$$ 不要漏掉负号，$$b$$ 为负数时易错 - $$\Delta<0$$ 直接写“无实数根”，不能强行开方 二、经典例题示范（标准满分步骤） $$2x^2-4x-1=0$$例题：用公式法解方程 解：由方程得：$$a=2,\ b=-4,\ c=-1$$ $$\Delta=b^2-4ac=(-4)^2-4\times2\times(-1)=16+8=24>0$$ ∴方程有两个不相等的实数根 $$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{4\pm\sqrt{24}}{4}=\dfrac{4\pm2\sqrt{6}}{4}=\dfrac{2\pm\sqrt{6}}{2}$$ 即 $$x_1=\dfrac{2+\sqrt{6}}{2},\ \ x_2=\dfrac{2-\sqrt{6}}{2}$$ 三、同步练习题 （一）选择题（每题4分，共20分） 1. 一元二次方程 $$3x^2-2x+1=0$$ 的判别式 $$\Delta$$ 的值为（ ） A. -8 B. 8 C. -4 D. 4 2. 方程 $$x^2-6x+9=0$$ 的根的情况是（ ） A. 两个不等实根 B. 两个相等实根 C. 无实根 D. 无法判断 3. 用公式法解方程 $$2x^2+3x-1=0$$，其中 $$a、b、c$$ 取值正确的是（ ） A. 2、3、-1 B. 2、-3、1 C. 2、3、1 D. -2、3、-1 4. 若一元二次方程 $$ax^2+bx+c=0$$ 满足 $$\Delta<0$$，则方程（ ） A. 有两个相等根 B. 有两个不等根 C. 无实数根 D. 一根为0 5. 求根公式 $$x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ 的适用条件是（ ） A. $$\Delta\ge0$$ B. $$\Delta>0$$ C. $$\Delta<0$$ D. 任意情况 （二）填空题（每空3分，共30分） 1. 根的判别式公式：$$\Delta=$$________。 2. 方程 $$x^2-5x+6=0$$ 的 $$\Delta=$$________，方程有________实数根。 3. 方程 $$2x^2+4x+2=0$$ 的根的情况是________。 4. 用公式法解方程首先要把方程化为________形式。 5. 当 $$\Delta=$$________时，一元二次方程有两个相等实数根。 （三）解答题（共50分，按步骤得分） 1.（16分）用公式法解方程：$$x^2-2x-8=0$$ 2.（16分）用公式法解方程：$$2x^2+2x-1=0$$ 3.（18分）判断方程 $$3x^2-4x+2=0$$ 根的情况，并说明理由。 四、参考答案与详细解析 （一）选择题 1.A 解析：$$\Delta=4-12=-8$$。 2.B 解析：$$\Delta=36-36=0$$，两个相等实数根。 3.A 解析：对应 $$a=2,b=3,c=-1$$，系数带符号。 4.C 解析：判别式小于0，无实数根。 5.A 解析：根号内非负，只有 $$\Delta\ge0$$ 可代入公式。 （二）填空题 1. $$b^2-4ac$$ 2. 1；两个不相等的 3. 有两个相等的实数根 4. 一般（$$ax^2+bx+c=0$$） 5. 0 （三）解答题 1. 解：$$a=1,b=-2,c=-8$$ $$\Delta=(-2)^2-4\times1\times(-8)=4+32=36>0$$ $$x=\dfrac{2\pm\sqrt{36}}{2}=\dfrac{2\pm6}{2}$$ 解得：$$x_1=4,\ \ x_2=-2$$ 2. 解：$$a=2,b=2,c=-1$$ $$\Delta=4+8=12>0$$ $$x=\dfrac{-2\pm\sqrt{12}}{4}=\dfrac{-2\pm2\sqrt{3}}{4}=\dfrac{-1\pm\sqrt{3}}{2}$$ 即 $$x_1=\dfrac{-1+\sqrt{3}}{2},\ \ x_2=\dfrac{-1-\sqrt{3}}{2}$$ 3. 解：$$a=3,b=-4,c=2$$ $$\Delta=(-4)^2-4\times3\times2=16-24=-8<0$$ ∴该一元二次方程没有实数根。 五、课时小结 1. 公式法万能通用，步骤固定：化一般式→求判别式→代公式→化简； 2. $$\Delta$$三根情况必须熟记，是选择、填空高频考点； 3. 解题最大陷阱：$$a、b、c$$ 看错符号、$$-b$$ 漏负号、根号不化简。 1.经历求根公式的推导过程。 2.会用公式法解简单系数的一元二次方程。 3.理解并会计算一元二次方程根的判别式。 4.会用判别式判断一元二次方程的根的情况。 学习目标 2 我们发现，利用配方法解一元二次方程的基本步骤是相同的。 一化；二配；三移；四开；五解。 如果能用配方法解一般形式的一元二次方程ax²+bx+c=0，得到根的一般表达式，那么在解具体的一元二次方程时，就会方便简捷得多。 3 你能用配方法解方程ax²+bx+c=0(a≠0)吗? 因为二次项系数a≠0，所以方程两边都除以a， 得 x²+x+=0。 配方，得 x²+x+()² - ()²+=0， ()² - =0。 移项，得 ()²=。 知识点1 用公式法解一元二次方程 接下来能用直接开平方解吗？ 你能用配方法解方程ax²+bx+c=0(a≠0)吗? 因为a≠0，所以4a²>0。当b²-4ac≥0时， 是一个非负数， 此时两边开平方，得 =±， 即 =±， =。 知识点1 用公式法解一元二次方程 一元二次方程的求根公式： 对于一元二次方程ax²+bx+c=0，当b²-4ac≥0时，它的根是 =。 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。 知识点1 用公式法解一元二次方程 解方程： (1)x²-7x-18=0； (2)4x²+1=4x。 解：(1)这里a=1，b=-7，c=-18。 因为 b²-4ac=(-7)²-4×1×(-18)=121>0， 所以 x= = 即x1=9，x2=-2。 例1 知识点1 用公式法解一元二次方程 解方程： (1)x²-7x-18=0； (2)4x²+1=4x。 解：(2)将原方程化成一般形式，得 4x²-4x+1=0。 这里a=4，b=-4，c=1。 因为b²-4ac=(-4)²-4×4×1=0， 所以 x= = 即 x1=x2=。 例1 知识点1 用公式法解一元二次方程 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 一般步骤 示例(2x²+x=2) 一化 二定   三算 四解   b²-4ac=1²-4×2×(-2)= 17>0。 a=2，b=1，c=-2。 2x²+x-2=0。 x=，即x1=，x2= 将一元二次方程化为ax²+bx+c=0。 计算b²-4ac的值。 确定a，b，c的值。 若b²-4ac≥0，则将a，b，c的值代入求根公式=。 知识点1 用公式法解一元二次方程 跟踪训练 一元二次方程x2－px＋q＝0(p2－4q>0)的两个根是( ) A. B. C. D. 知识点1 用公式法解一元二次方程 A 思考 你能解一元二次方程x²-2x+3=0吗? 这里的a=1，b=-2，c=3。 因为b²-4ac=(-2)²-4×1×3=-8<0， 所以原方程没有实数根。 知识点1 用公式法解一元二次方程 思考 对于一元二次方程ax²+bx+c=0，当b²-4ac<0时，它的根的情况是怎样的? 方程没有实数根。 知识点1 用公式法解一元二次方程 对于一元二次方程ax²+bx+c=0， 当b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根； 当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根； 当b²-4ac<0时，方程没有实数根。 由此可知，一元二次方程ax²+bx+c=0的根的情况可由b²-4ac来判定。 我们把b²-4ac叫作一元二次方程ax²+bx+c=0的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示（即 Δ=b2-4ac）。 知识点1 用公式法解一元二次方程 下列方程中，有两个不相等的实数根的是( ) A.x²+1=0 B.x²-2x+1=0 C.x²+x+1=0 D.x²+x=1 解析：选项A，这里a=1，b=0，c=1，故Δ =b²-4ac=0²-4×1×1=-4<0， 所以该方程无实数根； 选项B，这里a=1，b=-2，c=1，故Δ =b²-4ac=(-2)²-4×1×1=0， 所以该方程有两个相等的实数根； 选项C，这里a=1，b=1，c=1，故Δ =b²-4ac=1²-4×1×1=-3<0， 所以该方程无实数根； 选项D，移项，得x²+x-1=0，这里a=1，b=1，c=-1，故Δ =b²-4ac=1²-4×1×(-1)=5>0，所以该方程有两个不相等的实数根。 例2 知识点1 用公式法解一元二次方程 D 1.不解方程，判断下列方程的根的情况： (1)2x²+5=7x； (2)4x(x-1)+3=0； (3)4(y²+0.09)=2.4y。 . . 解：(1)原方程可变形为2x²-7x+5=0。 这里a=2，b=-7，c=5。 ∵b²-4ac=(-7)²-4×2×5=9>0， ∴原方程有两个不相等的实数根。 1.不解方程，判断下列方程的根的情况： (1)2x²+5=7x； (2)4x(x-1)+3=0； (3)4(y²+0.09)=2.4y。 . . 解：(2)原方程可变形为4x²-4x+3=0。 这里a=4，b=-4，c=3。 ∵b²-4ac=(-4)²-4×4×3=-32<0， ∴原方程没有实数根。 知识点1 一元二次方程的求根公式 1. 一元二次方程 在用求根公式 求解时,,, 的值分别是( ) D A. 3,, B. ,,3 C. ,3,1 D. ,3, 2. 下列一元二次方程的根是 的是( ) B A. B. C. D. 返回 考试考法 17 知识点2 用公式法解一元二次方程 3. 用公式法解方程 ，得到方程的两根为 ，，且，则 的值是( ) D A. B. C. D. 返回 考试考法 18 4. 有一个正数，与1的和乘与1的差仍得，则 ( ) B A. B. C. D. 或 【点拨】由题意，得 ，整理得 ， .又， . 返回 考试考法 19 5. 用公式法解下列方程： （1） ； 【解】这里,, . ， . ， . 考试考法 20 （2） ； 整理，得 . 这里,, . ， . ， . 考试考法 21 （3） ； 整理，得 . 这里，， . ， . ， . 考试考法 22 （4） . 整理,得 . 这里,, . ， . , . 返回 考试考法 23 一元二次方程的解法 根的判别式Δ=b²-4ac Δ>0，方程有两个不相等的实数根 Δ=0，方程有两个相等的实数根 Δ<0，方程没有实数根 公式法 = 课堂小结 $