1.4 线段垂直平分线与角平分线 一课一练 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、中档应用、提升探究三层设计，实现线段垂直平分线与角平分线从概念理解到综合应用的递进，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|垂直平分线/角平分线交点性质|单选题1-5直接考查定义，如“到三顶点距离相等的点”强化概念辨析| |中档层|性质应用与简单计算|填空题13-16结合图形计算角度、面积，如“角平分线分线段比”培养运算能力| |提升层|综合证明与探究|解答题19-21涉及性质综合证明，如“外角平分线性质探究”发展推理与创新意识|

苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 2026-2027学年苏科版新教材八年级数学上册 第一章三角形1.4线段垂直平分线与角平分线一课一 练 学校： 姓名： 班级： 考号： 一、单选题 1.在布置校园艺术节的场地时，工作人员要在表演场地△ABC内部放置一个音响，为了让 音响的声音均匀覆盖三个顶点处的表演区域，要求音响到三个顶点的距离相等，则这个音 响应放在△ABC的() B A.三条中线的交点处 B.三条高线的交点处 C.三条角平分线的交点处 D.三条边的垂直平分线的交点处 2.如图，点P是∠AOB的角平分线上一点，PE⊥OA于点E,点F是射线OB上任意一点， 则() B A.PF>PEB.PF≥PE C.PF<PE D.PF≤PE 3,到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的() A.三条中线的交点 B.三条高的交点 C.三条边的垂直平分线的交点 D.三条角平分线的交点 4.如图，直线I与线段AB交于点O,点P在直线I上，且PA=PB.小明说：“直线I是 AB的垂直平分线.”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确。”下列判断错 误的是() 试卷第1页，共19页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 A.小明说得不对 B.小亮说得对，可添条件为“∠A=∠B” C.小亮说得对，可添条件为“PO⊥AB”D.小亮说得对，可添条件为“PO平分 ∠APB” 5.如图，四边形ABCD中，若AB=AD,CB=CD,则称四边形ABCD为筝形.筝形一定 具有的性质是() A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直 C.两组对边分别平行 D.两组对边分别相等 6.如图，在△ABC中，AB=9,BC=7,AC=4,直线m是△ABC中BC边的垂直平分线， 点P是直线上一动点，△ACP周长的最小值为() m B A.11 B.13 C.14 D.16 7.折叠三角形纸片，使其两个顶点重合，折痕一定() A.是该三角形的一条中线 B.是该三角形的一条角平分线 C.是该三角形的一条高线 D.垂直平分该三角形的一条边 8.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB于E,点F在 AC上，点G在AB上，BE=CF,FD平分∠CFG,下列结论中正确的个数()， 试卷第2页，共19页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 B ①DC=DE:②GD平分∠FGE,③∠CAB+2∠FDG=180°：④∠ADF=∠GDE:⑤ SFDG =SCDF+SDEG A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 9.如图，△ABC的内角∠ABC与外角∠ACF的平分线交于点D,连接AD,若 ∠CAE=110°，则∠CAD=() E A F A.70° B.65° C.60° D.55 10.如图，点A,C分别为∠EBF两边上的点，∠ABC,∠EAC的平分线BP,AP交于点 P,过点P分别作PM⊥BE于点M,PN⊥BF于点N,连接PC,若AC=12,AM=8,则 CN的长为() CNF A.10 B.8 C.6 D.4 1L.计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路MN∥P№，小路AB与MN,PO均 相交.若要在小路MN上修建一个凉亭O,使其到小路AB,PQ的距离相等，关于如图所 示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是() 试卷第3页，共19页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 M B B 甲方案 乙方案 A.只有甲对 B.只有乙对 C.甲、乙均对 D.甲、乙均不对 12.如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得AB=12cm,C恰好 是AB的中点.当CD⊥AB,且射线DB恰好是∠CDE的平分线时，此时点B到直线DE的 距离是() B D E 图1 图2 A.4cm B.6cm C.8cm D.12cm 二、填空题 13.如图，P是∠AOB内射线OC上的一点，PD⊥OA,PE⊥OB,且PD=PE,若 ∠A0C=24°，则∠B0C的度数是 D P C E B 14.如图，己知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC,交CD于点E, BC=5,DE=2,则△BCE的面积等于 试卷第4页，共19页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 15.如图，在△ABC中，D是BC上一点，已知BC=AD+CD,则点D在线段 的垂直平分线上。 D 16.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm,△ABD的周长为l3Cm, 则△ABC的周长为cm. 三、解答题 17.如图，已知△ABC,∠B=90°。 B (1)尺规作图：作∠A的平分线，交BC于D.(不写作法，保留作图痕迹)· ②)在第（山）题的前提下，若4C=8,Sc=12求 12,求BD的长 18.如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交边AB于点D,交边BC于点E. 试卷第5页，共19页 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 (I)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，在线段BC上作点E(要求：不写作法，保留作 图痕迹)： (2)连接AE,如果BC=12,AC=10,求△AEC的周长. 19.如图，点D在边BC的延长线上，∠ACE=28°，∠ABC的平分线交AD于点E,过点 E作EH⊥BD于点H,且∠CEH=62°. F (I)证明：AE平分∠CAF； (2)若AB=8.CD=10AC=6 S.ABE =16 且 ，求aACD 的面积. 20.如图，AD与BC相交于点O,AB=CD,∠A=∠C,BE=DE. E (I)求证：△ABO≌△CD0. (2)求证：OE垂直平分BD」 21.如图，聪明好学的小海同学看到课本第60页第14题： 拓广探索- 14.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，求证S△4BD:S△4CD=AB:AC. 试卷第6页，共19页 苟有恒，何必三更眠五更起：最无益，莫过一日曝十日寒。 因危光乡笔 E B D 图1 经过简单的整理，小海同学由这道题，得出一个结论：三角形一个内角平分线分对边得到 的两线段的比，等于这个角的两邻边的比 过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F,过点A作AH⊥CD于点H. :AD平分LBAC,且DE⊥AB点E,DF⊥AC于点F, S△ABD= ABXDE 1 :.S△AcD 1 x ACxDF 2 1 -x BDX AH S。ABD= 2 又：S.4cD xCDXAH AB BD AC CD' (1)请你补全小海同学的证明过程； (2)如图2，小海同学又进行了深度思考，如果将“内角的平分线”换成“外角的角平分 线”，是否仍成立？请你根据提供的图形帮助小海同学完成该命题的证明！ G A B 图2 试卷第7页，共19页苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 苟有恒，何必三更眠五更起；最无益，莫过一日曝十日寒。 · 2026-2027学年苏科版新教材八年级数学上册 · 第一章三角形1.4线段垂直平分线与角平分线一课一练 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．在布置校园艺术节的场地时，工作人员要在表演场地内部放置一个音响，为了让音响的声音均匀覆盖三个顶点处的表演区域，要求音响到三个顶点的距离相等，则这个音响应放在的（     ） A．三条中线的交点处 B．三条高线的交点处 C．三条角平分线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质 【详解】解：∵要在内部区域放置一个音响，且要求音响到三个顶点的距离相等， ∴三条边的垂直平分线的交点处，故选项D符合题意． 2．如图，点P是的角平分线上一点，于点E，点F是射线上任意一点，则（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】垂线段最短、角平分线的性质定理 【分析】先结合角平分线的性质得点到的距离，又因为垂线段最短得出，即可作答． 【详解】解：∵点P是的角平分线上一点，于点E， ∴点到的距离， ∵点F是射线上任意一点， ∴． 3．到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（     ） A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条边的垂直平分线的交点 D．三条角平分线的交点 【答案】D 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得出结论． 【详解】解：∵角平分线上的点到角的两边的距离相等， ∴三角形三个内角的角平分线的交点到三角形三条边的距离都相等， 因此到三角形三条边距离都相等的点是这个三角形的三条角平分线的交点． 4．如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．小明说：“直线是的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断错误的是（   ） A．小明说得不对 B．小亮说得对，可添条件为“” C．小亮说得对，可添条件为“” D．小亮说得对，可添条件为“平分” 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的判定 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，根据线段垂直平分线的判定进行判断即可． 【详解】解：A、可添条件为“”才能说：“直线是的垂直平分线．”，故小明说的不对，该选项正确； B、添条件为“”，则，不能证明，故该选项错误； C、添条件为“”，在和中，，则， ， 直线是的垂直平分，故该选项正确； D、添条件为“平分”， 在和中，，则， ， 直线是的垂直平分，故该选项正确； 故选：B． 5．如图，四边形中，若，则称四边形为筝形．筝形一定具有的性质是（     ） A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直 C．两组对边分别平行 D．两组对边分别相等 【答案】B 【知识点】线段垂直平分线的判定 【分析】连接，交于点，利用线段垂直平分线的判定定理即可得出结论. 【详解】解：连接，交于点， ∵， ∴， ∴正确，错误. 6．如图，在中，，，，直线是中边的垂直平分线，点是直线上一动点，周长的最小值为（     ） A．11 B．13 C．14 D．16 【答案】B 【知识点】两点之间线段最短、线段垂直平分线的性质 【分析】连接，由垂直平分线的性质可得，则周长为，因此当、、三点共线时，周长取得最小值． 【详解】解：如图，连接， ∵直线是中边的垂直平分线， ∴， ∴周长为， ∴当、、三点共线时，周长取得最小值． 7．折叠三角形纸片，使其两个顶点重合，折痕一定（   ） A．是该三角形的一条中线 B．是该三角形的一条角平分线 C．是该三角形的一条高线 D．垂直平分该三角形的一条边 【答案】D 【知识点】线段垂直平分线的性质、折叠问题 【分析】本题考查折叠的性质与垂直平分线的判定，根据折叠后两点重合的性质推导折痕的特征，即可判断各选项． 【详解】解：折叠三角形纸片使两个顶点重合，折痕上任意一点到这两个顶点的距离相等，根据垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上， 折痕是这两个顶点连线的垂直平分线，即三角形的一条边的垂直平分线，即折痕一定垂直平分该三角形的一条边． 中线、角平分线、高线都要求折痕经过三角形第三个顶点，仅当第三个顶点在折痕上时才成立，不是一定成立， 故选：D． 8．如图，在中，，平分交于D，于E，点F在上，点G在上，，平分，下列结论中正确的个数（   ）． ①；②平分，③；④；⑤． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、角平分线的判定定理 【分析】本题考查角平分线的性质与判定，三角形内角和定理，直角三角形全等的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 根据角平分线的性质定理可判断①正确；过点D作于点H，则，结合可得，根据角平分线的判定定理可判断②正确；由角平分线的定义及三角形内角和定理可判断③正确；证明，可得，根据题意，无法得到与的大小关系，可判断④错误；证明，，可判断⑤正确． 【详解】解：①∵平分，，， ∴，故结论①正确； ②过点D作于点H，如图所示： ∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴点D在的平分线上， ∴平分，故结论②正确； ③∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴，故结论③正确； ④在和中， ， ∴， ∴， 根据题意，无法得到与的大小关系， ∴无法得到和的大小关系，故结论④错误； ⑤在和中， ， ∴， ∴， 同理证明：， ∴， ∴， 即，故结论⑤正确， 综上所述：正确的结论是①②③⑤，共4个． 故选：C． 9．如图，的内角与外角的平分线交于点，连接，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】角平分线的判定定理、角平分线的性质定理 【分析】根据角平分线的性质，可得，从而得是的平分线，计算即可求解． 【详解】如图，过点作，，，垂足分别为，，， 是的平分线，，， ， 同理可得， ， ，， 是的平分线， ． 10．如图，点A，C分别为两边上的点，，的平分线，交于点P，过点P分别作于点M，于点N，连接，若，，则的长为（   ） A． B．8 C．6 D．4 【答案】D 【知识点】角平分线的性质定理、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】此题重点考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．作于点F，由平分、平分，且于点M，于点N，得，，所以，则平分，再证明，同理，所以，，由 可算出的长度． 【详解】解：作于点F， ∵、的角平分线、交于点P，于点M，于点N， ∴，，， ∴， ∴点P在的平分线上， ∴平分， 在和中， ， ∴， 同理， ∴，， ∴， ∵，，， ∴． 故选：D． 11．计划在滹沱河某个绿化区增设3条漫步小路，小路，小路与，均相交．若要在小路上修建一个凉亭O，使其到小路，的距离相等，关于如图所示的甲、乙两个方案，下列判断正确的是（    ） A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 【答案】B 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线的性质定理．角平分线上的点到角两边的距离相等，由此即可判断． 【详解】解：甲方案：O在的垂直平分线上，O到A、B的距离相等，O不一定到和的距离相等， 乙方案：平分，由角平分线的性质定理得到O到小路，的距离相等． ∴甲、乙两个方案，只有乙对． 故选：B． 12．如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 如图：过点作，垂足为点F，根据C是的中点可求的长度，再根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：如图：过点作，垂足为点F， ∵C是的中点，， ∴， ∵，，射线是的平分线， ． 故选：B． 二、填空题 13．如图，P是内射线上的一点，，，且，若，则的度数是________． 【答案】 【知识点】角平分线的判定定理 【分析】根据角的平分线的判定，得到射线是的平分线，继而得到，解答即可． 本题考查了角的平分线的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，且， ∴射线是的平分线， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14．如图，已知在中，是边上的高线，平分，交于点E，，，则的面积等于__________． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】作于F，根据角平分线的性质定理得到，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过E作于F， ∵是边上的高线，平分， ∴， ∵， ∴的面积为， 15．如图，在中，是上一点，已知，则点在线段__________的垂直平分线上． 【答案】/ 【知识点】线段垂直平分线的判定 【分析】根据已知得出，根据线段垂直平分线定理得出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴D在的垂直平分线上， 16．如图，在 中， 是的垂直平分线，，的周长为，则 的周长为______． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】由是的垂直平分线，可得，，的周长为，将代入，得，即可求出的周长． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ， ， 已知的周长为，即， 将 代入，得， 的周长． 三、解答题 17．如图，已知，． (1)尺规作图：作的平分线，交于D．（不写作法，保留作图痕迹）． (2)在第（1）题的前提下，若，，求的长． 【答案】(1)的平分线如图所示： (2)3 【知识点】作角平分线(尺规作图)、角平分线的性质定理 【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法和步骤解答即可； （2）作于点E，如图，根据角平分线的性质可得，再根据三角形的面积公式求出即可. 【详解】（1）略； （2）解：作于点E，如图， ∵平分，， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴. 18．如图，在中，的垂直平分线交边于点，交边于点． (1)尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作点（要求：不写作法，保留作图痕迹）； (2)连接，如果，，求的周长． 【答案】(1) (2)22 【知识点】作已知线段的垂直平分线、线段垂直平分线的性质 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作线段的垂直平分线，交边于点，交边于点，则点即为所求． （2）由垂直平分线的性质得，从而可求出的周长． 【详解】（1）略 （2）解：由作图得：是的垂直平分线， ∴， ∵，， ∴的周长． 19．如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且． (1)证明：平分； (2)若，，，且，求的面积． 【答案】(1)详见解析 (2)32 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、角平分线的判定定理、角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的性质与判定、直角三角形两锐角互余、三角形的面积，掌握角平分线的性质与判定定理是解题的关键． （1）过点作于于，根据角平分线的性质定理以及角平分线的定义可得、，即可得到，根据角平分线的判定定理即可解答； （2）根据结合已知条件可得的长，最后运用即可解答． 【详解】（1）解：证明：过点作于于， 平分， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：，且， ， ， ， ， 的面积为32． 20．如图，与相交于点，，，． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】线段垂直平分线的判定、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，证明是本题的关键． （1）根据定理即可证得； （2）由，可得，且，可得垂直平分． 【详解】（1）证明：，， 在与中， ， ， （2）证明：， ， ， 点与点在线段的垂直平分线上， 垂直平分． 21．如图，聪明好学的小海同学看到课本第页第题： 经过简单的整理，小海同学由这道题，得出一个结论：三角形一个内角平分线分对边得到的两线段的比，等于这个角的两邻边的比． 过点作于点于点，过点作于点． 平分，且点，于点， ∴___________， ∴___________， 又∵___________， ∴． (1)请你补全小海同学的证明过程； (2)如图2，小海同学又进行了深度思考，如果将“内角的平分线”换成“外角的角平分线”，是否仍成立？请你根据提供的图形帮助小海同学完成该命题的证明！ 【答案】(1)，， (2)成立，证明见解析 【知识点】角平分线的性质定理、角平分线性质的实际应用 【分析】本题考查角平分线性质、三角形面积公式等知识，数形结合，分别表示出是解决问题的关键． （1）由角平分线的性质得到，再由即可得到答案； （2）根据题意，将“内角的平分线”换成“外角的角平分线”，由角平分线的性质得到，再由即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作于点于点，过点作于点，如图所示： 平分，且于点，于点， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：，，； （2）解：成立． 已知：如图，在中，平分一个外角，交所在直线于点． 求证：． 证明：过点作于点于点，过点作于点，如图所示： 平分，，， ∴， ∴， 又∵， ∴＝． 试卷第2页，共19页 试卷第19页，共19页 学科网（北京）股份有限公司 $