专题1.4线段垂直平分线与角平分线(知识梳理+5大题型+典题专练)2025-2026学年苏科版八年级数学上册

专题1.4线段垂直平分线与角平分线 题型梳理 [题型一 线段垂直平分线的性质]..................................................................................................3 [题型二 线段垂直平分线的判定].................................................................................................10 [题型三 角平分线的性质定理].....................................................................................................13 [题型四 角平分线的判定定理].....................................................................................................21 [题型五 角平分线性质的实际应用].............................................................................................25 一、知识框架总览 维度 线段垂直平分线 角平分线 核心定义 垂直且平分一条线段的直线 平分一个角且与角两边相交的射线 性质定理 线段外一点到线段两端距离相等 角平分线上的点到角两边距离相等 判定定理 到线段两端距离相等的点在线上 到角两边距离相等的点在角平分线上 核心考点 性质应用、判定证明、作图、综合计算 性质应用、判定证明、作图、综合计算 .易错点 忽略 "垂直" 或 "平分" 单一条件 混淆 "距离"（垂线段 二、详细知识点解析 （一）线段垂直平分线 1. 定义（文字 + 符号） 文字定义：经过线段中点且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线（简称中垂线）。 符号表示：若直线 l 经过线段 AB 的中点 O，且 l⊥AB，则 l 是 AB 的垂直平分线（即 AO=OB，l⊥AB）。 2. 性质定理（重点） 内容：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。 符号表示：若 P 在 AB 的垂直平分线 l 上，则 PA=PB。 应用场景：证明线段相等、构造等腰三角形、求距离最值。 示例：若 l 是 AB 的中垂线，P 在 l 上，PA=5，则 PB=5。 3. 判定定理（易错点） 内容：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 符号表示：若 PA=PB，则点 P 在 AB 的垂直平分线上。 注意：需满足 "到两个端点距离相等"，仅垂直或仅平分不成立。 拓展：三角形三边垂直平分线交于一点（外心），外心到三个顶点距离相等。 4. 作图步骤（必考） 已知线段 AB，以 A 为圆心，大于AB 的长度为半径画弧； 以 B 为圆心，相同半径画弧，两弧交于 C、D 两点； 连接 CD，直线 CD 即为 AB 的垂直平分线。 （二）角平分线 1. 定义（文字 + 符号） 文字定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 符号表示：若射线 OC 平分∠AOB，则∠AOC=∠COB=∠AOB。 2. 性质定理（重点） 内容：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 符号表示：若 OC 平分∠AOB，P 在 OC 上，PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E，则 PD=PE。 关键："距离" 指垂线段长度，需满足 "垂直" 条件。 应用场景：证明线段相等、求角的度数、构造全等三角形。 3. 判定定理（易错点） 内容：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 符号表示：若 PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，且 P 在∠AOB 内部，则 P 在 OC 上（OC 平分∠AOB）。 注意：必须强调 "在角的内部"，否则点可能在角的外角平分线上。 拓展：三角形三个内角平分线交于一点（内心），内心到三边距离相等。 4. 作图步骤（必考） 已知∠AOB，以 O 为圆心，任意长度为半径画弧，交 OA 于 D，交 OB 于 E； 分别以 D、E 为圆心，大于DE 的长度为半径画弧，两弧交于点 C； 连接 OC，射线 OC 即为∠AOB 的平分线。 三、重难点与易错点突破 1. 核心重难点 性质定理的灵活应用：两者均通过 "距离相等" 建立线段关系，是证明线段相等的重要工具。 综合证明题：常与全等三角形（SSS、SAS、HL）、等腰三角形性质结合考查。 作图规范：需明确作图痕迹（弧、垂直符号），并说明作图结果。 2. 常见易错点 **线段垂直平分线：忽略 "垂直" 或 "平分" 其中一个条件，误判直线为中垂线。 角平分线： **混淆 "点到边的距离" 与 "点到顶点的距离"； 判定时遗漏 "在角的内部" 这一条件； 作图时半径长度不当（未大于DE 或AB）。 （练习题） [题型一 线段垂直平分线的性质] 1．如图，在中，的垂直平分线交于，交于，连结，若，且的周长为30，则的长是（　　） A．5 B．10 C．12 D．13 【答案】D 【分析】本题考查垂直平分线的性质，先由的周长求出，再根据垂直平分线的性质即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴． 故选：D． 2．如图，是边的垂直平分线，若的周长是，则 ． 【答案】 【分析】本题考查垂直平分线的性质．根据是边的垂直平分线得，再根据的周长是即可得到答案． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为（）， 故答案为：． 3．现要在一块三角形草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（    ）． A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形三边的垂直平分线的性质．根据线段垂直平分线的性质定理解答即可． 【详解】解：的三边的垂直平分线交于一点，且这一交点到三角形三个顶点的距离相等． 故选：C． 4．如图△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB，D是AB的中点，DE交AC于E点，连结BE，BC＝10cm，△BEC的周长是24cm，那么AB的长是 ． 【答案】14cm 【分析】先根据D是AB的中点，DE⊥AB，得到DE是线段AB的垂直平分线，则AE=BE，然后求出BE+CE=14cm，则AB=AC=AE+CE=BE+CE=14cm． 【详解】解：∵D是AB的中点，DE⊥AB， ∴DE是线段AB的垂直平分线， ∴AE=BE， ∵△BEC的周长是24cm， ∴BE+BC+CE=24cm， 又∵BC=10cm， ∴BE+CE=14cm， ∴AB=AC=AE+CE=BE+CE=14cm， 故答案为：14cm． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线的性质是解题的关键． 5．如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接．若的周长为，，则的长是 ． 【答案】6 【分析】本题考查中垂线的性质，根据中垂线的性质，得到，推出，再根据的周长公式进行求解即可． 【详解】解：∵，且， ∴垂直平分， ∴， ∵垂直平分，， ∴，， ∴， ∴， ∵的周长， ∴； 故答案为：6． 6．如图，在等腰中，，的垂直平分线交于点 D交于点E，的周长为13，则（   ）    A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式可得，进而可知，即，即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵的周长为13， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 7．甲、乙两位同学分别用不同的尺规作图法作线段的垂直平分线l，如图所示，下列判断正确的是（    ） A．只有甲的作法正确 B．只有乙的作法正确 C．甲、乙的作法都不正确 D．甲、乙的作法都正确 【答案】D 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作图，线段垂直平分线的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 根据作图以及线段垂直平分线的性质与判定进行判断即可． 【详解】解：对于甲同学的作图可知：两弧的两个交点在线段的垂直平分线上， ∴直线l是的垂直平分线． 对于乙同学的作图可知：上面两弧的两个交点都在线段的垂直平分线上， ∴直线l是的垂直平分线． 两人的作法都正确． 故选：D． 8．如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线交于点E，连接，．若的周长为8，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题考查基本作图、线段垂直平分线的性质．由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，，可得，，根据的周长为8，可得，进而可得答案． 【详解】解：直线为线段的垂直平分线，， ∴，． ∵的周长为8， ∴， ∴． 故答案为：5． 9．对于所有直角三角形，我们都可以将其分割为两个等腰三角形； 例如：如图，已知，，作直角边AB的垂直平分线DE，分别交BC与AB于D，E两点，连接AD，则AD将分割成两个等腰三角形，． (1)请在以下证明过程中填入适当理由 证明：DE垂直平分AB （ ） （ ） 在中， ， （ ） 、是等腰三角形． (2)根据上述方法，将下面三角形分割成4个互不重叠的等腰三角形；（尺规作图，保留作图痕迹） (3)将下面的不等边三角形分割成5个互不重叠等腰三角形；（不要求尺规，准确作图并用相同的记号标出相等的线段） 【答案】(1)垂直平分线的性质；等边对等角；等角对等边 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，线段的垂直平分线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定填空即可求解． （2）过点作的垂线交于点，分别作、的垂直平分线分别交、于点、，连接、； （3）模仿例题，利用垂直平分线的性质解决问题即可． 【详解】（1）证明：垂直平分 （垂直平分线的性质） （等边对等角） 在中， ， （等角对等边） 、是等腰三角形． 故答案为：垂直平分线的性质；等边对等角；等角对等边 （2）解：如图所示， 过点作的垂线交于点，分别作、的垂直平分线分别交、于点、，连接、， 则、、、是等腰三角形； ； （3）解：如图所示， ． [题型二 线段垂直平分线的判定] 10．已知A、B是平面上的两定点，在平面上找一点C使为等腰直角三角形，且点C为直角顶点，这样的点C有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．无数 【答案】B 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定，要构造以C为直角顶点的等腰直角三角形，需满足且，则点C在线段的垂直平分线上，据此可得答案． 【详解】解：∵为等腰直角三角形，且点C为直角顶点， ∴， ∴点C在线段的垂直平分线上， ∴满足题意的点C有2个（这两个点分别在线段的两侧，且在线段的垂直平分线上）， 故选：B． 11．珠海市香洲区有三个小区、、，其所在位置构成，市政府打算修建一个大型体育公园，使得该体育公园到三个小区的距离相等，则点应设计在（   ） A．三角形三条高的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三边的垂直平分线的交点 D．三角形三条中线的交点 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的判定，熟练掌握垂直平分线的判定定理是解题的关键．根据点到三个小区、、的距离相等，可得是三边垂直平分线的交点，据此即可得答案． 【详解】解：∵点到、、的距离相等， ∴点是三边垂直平分线的交点， ∴点应位于三角形三边的垂直平分线的交点． 故选：C． 12．如图，A、B、C是某景区邻近的三座山的山顶，为了促进当地旅游发展，要在三个山顶组成的三角形平面内修建一个空中观景台，要使这个空中观景台到三个山顶的距离相等，应选择的位置是 ． 【答案】各边垂直平分线的交点 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，解题的关键是掌握到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上． 根据线段垂直平分线的判定，即可确定观景台的位置． 【详解】解：∵到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上， ∴要使这个空中观景台到三个山顶的距离相等，应选择的位置是各边垂直平分线的交点． 故答案为：各边垂直平分线的交点． 13．如图，在中，的垂直平分线分别交于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线交于点P．求证：点P在线段的垂直平分线上． 【答案】见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，熟练掌握相关知识是解题的关键；连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可． 【详解】证明：如图所示：连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上． 14．如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．小明说：“直线是的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断错误的是（   ） A．小明说得不对 B．小亮说得对，可添条件为“” C．小亮说得对，可添条件为“” D．小亮说得对，可添条件为“平分” 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定，根据线段垂直平分线的判定进行判断即可． 【详解】解：A、可添条件为“”才能说：“直线是的垂直平分线．”，故小明说的不对，该选项正确； B、添条件为“”，则，不能证明，故该选项错误； C、添条件为“”，在和中，，则， ， 直线是的垂直平分，故该选项正确； D、添条件为“平分”， 在和中，，则， ， 直线是的垂直平分，故该选项正确； 故选：B． 15．“风筝飞满天，笑语乐无边”，由喜闻乐见的风筝可以抽象得到一种特殊的四边形—筝形．如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．初步认识筝形后，数学活动小组的同学通过观察、测量、折纸等方法猜想筝形有什么性质，小明观察后认为垂直平分，请你帮助小明从几何证明的角度说明这一筝形性质． 已知：在四边形（筝形）中，__________，__________，求证：__________ （请把横线上的“已知”“求证”内容补充完成，并完成后续相应证明过程） 【答案】，，垂直平分，证明见解析 【分析】此题考查了垂直平分线的判定，根据，，得到点均在线段的垂直平分线上，即可证明结论成立． 【详解】已知：在四边形（筝形）中，，， 求证：垂直平分 证明：∵，， ∴点均在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分； 故答案为：，，垂直平分 [题型三 角平分线的性质定理] 16．如图，已知是的平分线，点D为上任意一点，且于点E，于点F，，则的长度是（    ）． A．2 B．4 C．5 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到该角的两边的距离相等，据此可得答案． 【详解】解：∵是的平分线，，， ∴， 故选：B． 17．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线交于点．若，，则的面积是（    ） A．24 B．12 C．10 D．11 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的作法和性质，解题的关键是掌握角平分线的性质． 过点作于点，利用角平分线的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，由作图可知，平分， ∴， ∴的面积是， 故选：B． 18．如图，，平分交于D，,，则点D到的距离为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键，过D作于E，根据角平分线的性质得出，求出即可． 【详解】解：过D作于E， ∵， ∴， ∵平分交于D，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即D到的距离为， 故答案为：3． 19．如图，中，，平分，延长至点E，使，连接．若，则 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、三角形面积公式，作于，于，利用角平分线的性质可得，再运用等高的两个三角形面积比等于底之比即可得出答案． 【详解】解：如图，作于，于， 平分，，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为15． 20．如图，在中，，角平分线交边于点D，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 过点作交于点，根据角平分线的性质和面积法进行解题． 【详解】解：如图，过点作交于点， ∵平分，，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故选：D ． 21．已知：如图，中，，点为的三条角平分线的交点，, , ,点、、分别是垂足，且, , ，则点到三边、和的距离分别等于（　　） A．2、、 B．3、、 C．4、、 D．2、、 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，等面积法的应用，熟知角平分线的性质是解题的关键． 连接，，，由角平分线的性质得到，再根据等面积法进行作答，即可求解． 【详解】解：连接，，，如图： ， ∴， 即， 解得：， 即， 即点到三边、和的距离分别等于，，， 故选：A． 22．已知中，I是角平分线交点，的面积为，的面积为，的面积为，且，则的值可能是（    ） A．3 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的性质，三角形的三边关系；角平分线上的点到角两边的距离相等，三角形的两边之和大于第三边；过I点分别作，，，可得，再由三角形面积公式和，可得，即可求解 【详解】解：过I点分别作，，，如图所示， ∵I是角平分线交点， ∴ 可设，， ∴，，， ∴ ∵ ∴ 即 ∵ ∴ ∴四个选项中只有D符合题意 故选：D 23．如图，在的边上分别取点M、N，连接，平分，平分.若的长为2，的面积为2，的面积为6，则的长为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了三角形角平分线的性质定理，面积关系的运用，掌握定理内容是关键；过点P分别作的垂线，垂足分别，连接；由角平分线的性质定理易得，再由的面积为2可求得，根据的面积为6可得四边形的面积，再由面积关系即可求解． 【详解】解：如图，过点P分别作的垂线，垂足分别为，连接； ∵平分，平分， ∴， ∴， ∵的面积为2，， ∴，即， ∴， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， 即， ∴， ∴， 故答案为：8． 24．如图，是的角平分线，于点，，，． (1)求点到的距离： (2)求长． 【答案】(1)2 (2)3 【分析】本题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键： （1）作于点，根据角平分线的性质，得到，即可得出结果； （2）利用，列式计算即可． 【详解】（1）解：作于点， ∵是的角平分线，于点， ∴， ∴点到的距离为2； （2）∵于点，，， ∴， ∵ ∴， 由（1）知：点到的距离为2， ∴， ∴． [题型四 角平分线的判定定理] 25．某校曾开展了“喜迎二十大，争做好少年”的数学知识应用能力竞赛活动，活动中小明同学用两把完全相同的直尺就作出一个角的平分线．如图，将一把直尺的边与射线重合，另一把直尺的边与射线重合，两把直尺的另一边在角的内部交于点，作射线，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（  ） A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 C．三角形的三条高交于一点 D．三角形三边的垂直平分线交于一点 【答案】A 【分析】本题考查的是角平分线的判定，如图，过点作于点，于点，再结合，从而可得结论． 【详解】解：如图，过点作于点，于点． 直尺的宽度相等， ， ，， 平分． 故选：A． 26．三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线判定定理的应用．根据“到角两边的距离相等的点在角的平分线上”，即可获得答案．理解到角两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 27．如图，为内部一点，且点到的距离与点到的距离相等，连接，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的判定，熟练掌握角平分线的判定方法：到角两边距离相等的点在角的角平分线上是解题的关键，利用角平分线的判定方法判定平分，即可求解． 【详解】解：∵为内部一点，且点到的距离与点到的距离相等， ∴平分， ∵， ∴， 故选：D． 28．如图，C为内部一点，且点C到的距离与点C到的距离相等，连接，若，则的度数为 【答案】/21度 【分析】本题考查角平分线的判定，熟练掌握角平分线的判定方法：到角两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 利用角平分线的判定方法判定平分，即可求解． 【详解】解：∵C为内部一点，且点C到的距离与点C到的距离相等， ∴平分， ∵， ∴， 故答案为：． 29．在中，，两个完全一样的三角尺按如图所示摆放，他们一组较短的直角边分别在上，另一组较长的对应边的顶点重合于点交于点，则下列结论不正确的是（    ）    A．平分 B． C．垂直平分 D． 【答案】D 【分析】先根据角平分线的判定定理得到平分，再根据等腰三角形三线合一的性质得到垂直平分，进而即可求解． 【详解】由题意得，， ∴平分， ∵， ∴垂直平分， 故选项A、B、C正确，不符合题意； 只有当是等边三角形时，才能得出， 故选项D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是角平分线的判定，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握到角的两边距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 30．如图，点P是中一点，于A，于B，连接，．    (1)求证：平分． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的判定，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握到角的两边距离相等的点在角的平分线上，以及等边对等角 （1）根据，得出，即可求证； （2）先求出，再利用三角形的内角和定理即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵于A，于B， ∴平分（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）； （2）解：∵，于A，于B，， ∴， ∵， ∴． [题型五 角平分线性质的实际应用] 31．王岗社区是由，，三条路围成的小型社区，社区准备修建一个电动车充电点现社区人员计划将充电点建设在到三条路的距离相等的位置，则充电点应该建在（ ） A．三个角的平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到该角两边的距离相等，而根据题意可得充电点到三条路的距离相等，故充电点应该建在三个角的角平分线的交点处． 【详解】解：∵充电点到三条路的距离相等， ∴充电点应该建在三个角的角平分线的交点处， 故选：A． 32．如图，直线，，表示三条公路的位置．若在这三条公路的旁边修建一个加油站，使得这个加油站到这三条公路的距离相等，这样的位置有（   ） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角的两边距离相等，分情况找加油站的位置即可． 【详解】解：①三角形两个内角平分线的交点，共一处； ②三个外角两两平分线的交点，共三处， ∴加油站可选择的点共有四处． 故选：D． 33．如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，现量得托板长，支撑板顶端的C恰好是托板的中点，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动．当，且射线恰好是的平分线时，此时点B到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 如图：过点作，垂足为点F，根据C是的中点可求的长度，再根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：如图：过点作，垂足为点F， ∵C是的中点，， ∴， ∵，，射线是的平分线， ． 故选：B． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4线段垂直平分线与角平分线 题型梳理 [题型一 线段垂直平分线的性质]..................................................................................................3 [题型二 线段垂直平分线的判定].................................................................................................10 [题型三 角平分线的性质定理].....................................................................................................13 [题型四 角平分线的判定定理].....................................................................................................21 [题型五 角平分线性质的实际应用].............................................................................................25 一、知识框架总览 维度 线段垂直平分线 角平分线 核心定义 垂直且平分一条线段的直线 平分一个角且与角两边相交的射线 性质定理 线段外一点到线段两端距离相等 角平分线上的点到角两边距离相等 判定定理 到线段两端距离相等的点在线上 到角两边距离相等的点在角平分线上 核心考点 性质应用、判定证明、作图、综合计算 性质应用、判定证明、作图、综合计算 .易错点 忽略 "垂直" 或 "平分" 单一条件 混淆 "距离"（垂线段 二、详细知识点解析 （一）线段垂直平分线 1. 定义（文字 + 符号） 文字定义：经过线段中点且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线（简称中垂线）。 符号表示：若直线 l 经过线段 AB 的中点 O，且 l⊥AB，则 l 是 AB 的垂直平分线（即 AO=OB，l⊥AB）。 2. 性质定理（重点） 内容：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。 符号表示：若 P 在 AB 的垂直平分线 l 上，则 PA=PB。 应用场景：证明线段相等、构造等腰三角形、求距离最值。 示例：若 l 是 AB 的中垂线，P 在 l 上，PA=5，则 PB=5。 3. 判定定理（易错点） 内容：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 符号表示：若 PA=PB，则点 P 在 AB 的垂直平分线上。 注意：需满足 "到两个端点距离相等"，仅垂直或仅平分不成立。 拓展：三角形三边垂直平分线交于一点（外心），外心到三个顶点距离相等。 4. 作图步骤（必考） 已知线段 AB，以 A 为圆心，大于AB 的长度为半径画弧； 以 B 为圆心，相同半径画弧，两弧交于 C、D 两点； 连接 CD，直线 CD 即为 AB 的垂直平分线。 （二）角平分线 1. 定义（文字 + 符号） 文字定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。 符号表示：若射线 OC 平分∠AOB，则∠AOC=∠COB=∠AOB。 2. 性质定理（重点） 内容：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 符号表示：若 OC 平分∠AOB，P 在 OC 上，PD⊥OA 于 D，PE⊥OB 于 E，则 PD=PE。 关键："距离" 指垂线段长度，需满足 "垂直" 条件。 应用场景：证明线段相等、求角的度数、构造全等三角形。 3. 判定定理（易错点） 内容：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 符号表示：若 PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，且 P 在∠AOB 内部，则 P 在 OC 上（OC 平分∠AOB）。 注意：必须强调 "在角的内部"，否则点可能在角的外角平分线上。 拓展：三角形三个内角平分线交于一点（内心），内心到三边距离相等。 4. 作图步骤（必考） 已知∠AOB，以 O 为圆心，任意长度为半径画弧，交 OA 于 D，交 OB 于 E； 分别以 D、E 为圆心，大于DE 的长度为半径画弧，两弧交于点 C； 连接 OC，射线 OC 即为∠AOB 的平分线。 三、重难点与易错点突破 1. 核心重难点 性质定理的灵活应用：两者均通过 "距离相等" 建立线段关系，是证明线段相等的重要工具。 综合证明题：常与全等三角形（SSS、SAS、HL）、等腰三角形性质结合考查。 作图规范：需明确作图痕迹（弧、垂直符号），并说明作图结果。 2. 常见易错点 **线段垂直平分线：忽略 "垂直" 或 "平分" 其中一个条件，误判直线为中垂线。 角平分线： **混淆 "点到边的距离" 与 "点到顶点的距离"； 判定时遗漏 "在角的内部" 这一条件； 作图时半径长度不当（未大于DE 或AB）。 （练习题） [题型一 线段垂直平分线的性质] 1．如图，在中，的垂直平分线交于，交于，连结，若，且的周长为30，则的长是（　　） A．5 B．10 C．12 D．13 2．如图，是边的垂直平分线，若的周长是，则 ． 3．现要在一块三角形草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（    ）． A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 4．如图△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB，D是AB的中点，DE交AC于E点，连结BE，BC＝10cm，△BEC的周长是24cm，那么AB的长是 ． 5．如图，中，，垂直平分，交于点，交于点，且，连接．若的周长为，，则的长是 ． 6．如图，在等腰中，，的垂直平分线交于点 D交于点E，的周长为13，则（   ）    A．5 B．6 C．7 D．8 7．甲、乙两位同学分别用不同的尺规作图法作线段的垂直平分线l，如图所示，下列判断正确的是（    ） A．只有甲的作法正确 B．只有乙的作法正确 C．甲、乙的作法都不正确 D．甲、乙的作法都正确 8．如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线交于点E，连接，．若的周长为8，，则的长为 ． 9．对于所有直角三角形，我们都可以将其分割为两个等腰三角形； 例如：如图，已知，，作直角边AB的垂直平分线DE，分别交BC与AB于D，E两点，连接AD，则AD将分割成两个等腰三角形，． (1)请在以下证明过程中填入适当理由 证明：DE垂直平分AB （ ） （ ） 在中， ， （ ） 、是等腰三角形． (2)根据上述方法，将下面三角形分割成4个互不重叠的等腰三角形；（尺规作图，保留作图痕迹） (3)将下面的不等边三角形分割成5个互不重叠等腰三角形；（不要求尺规，准确作图并用相同的记号标出相等的线段） [题型二 线段垂直平分线的判定] 10．已知A、B是平面上的两定点，在平面上找一点C使为等腰直角三角形，且点C为直角顶点，这样的点C有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．无数 11．珠海市香洲区有三个小区、、，其所在位置构成，市政府打算修建一个大型体育公园，使得该体育公园到三个小区的距离相等，则点应设计在（   ） A．三角形三条高的交点 B．三角形三条角平分线的交点 C．三角形三边的垂直平分线的交点 D．三角形三条中线的交点 12．如图，A、B、C是某景区邻近的三座山的山顶，为了促进当地旅游发展，要在三个山顶组成的三角形平面内修建一个空中观景台，要使这个空中观景台到三个山顶的距离相等，应选择的位置是 ． 13．如图，在中，的垂直平分线分别交于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线交于点P．求证：点P在线段的垂直平分线上． 14．如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．小明说：“直线是的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断错误的是（   ） A．小明说得不对 B．小亮说得对，可添条件为“” C．小亮说得对，可添条件为“” D．小亮说得对，可添条件为“平分” 15．“风筝飞满天，笑语乐无边”，由喜闻乐见的风筝可以抽象得到一种特殊的四边形—筝形．如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做筝形．初步认识筝形后，数学活动小组的同学通过观察、测量、折纸等方法猜想筝形有什么性质，小明观察后认为垂直平分，请你帮助小明从几何证明的角度说明这一筝形性质． 已知：在四边形（筝形）中，__________，__________，求证：__________ （请把横线上的“已知”“求证”内容补充完成，并完成后续相应证明过程） [题型三 角平分线的性质定理] 16．如图，已知是的平分线，点D为上任意一点，且于点E，于点F，，则的长度是（    ）． A．2 B．4 C．5 D．8 17．如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线交于点．若，，则的面积是（    ） A．24 B．12 C．10 D．11 18．如图，，平分交于D，,，则点D到的距离为 ． 19．如图，中，，平分，延长至点E，使，连接．若，则 ． 20．如图，在中，，角平分线交边于点D，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 21．已知：如图，中，，点为的三条角平分线的交点，, , ,点、、分别是垂足，且, , ，则点到三边、和的距离分别等于（　　） A．2、、 B．3、、 C．4、、 D．2、、 22．已知中，I是角平分线交点，的面积为，的面积为，的面积为，且，则的值可能是（    ） A．3 B．6 C．8 D．10 23．如图，在的边上分别取点M、N，连接，平分，平分.若的长为2，的面积为2，的面积为6，则的长为 ． 24．如图，是的角平分线，于点，，，． (1)求点到的距离： (2)求长． [题型四 角平分线的判定定理] 25．某校曾开展了“喜迎二十大，争做好少年”的数学知识应用能力竞赛活动，活动中小明同学用两把完全相同的直尺就作出一个角的平分线．如图，将一把直尺的边与射线重合，另一把直尺的边与射线重合，两把直尺的另一边在角的内部交于点，作射线，小明说：“射线就是的角平分线．”他这样做的依据是（  ） A．在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 C．三角形的三条高交于一点 D．三角形三边的垂直平分线交于一点 26．三条公路将、、三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（ ） A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 27．如图，为内部一点，且点到的距离与点到的距离相等，连接，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 28．如图，C为内部一点，且点C到的距离与点C到的距离相等，连接，若，则的度数为 29．在中，，两个完全一样的三角尺按如图所示摆放，他们一组较短的直角边分别在上，另一组较长的对应边的顶点重合于点交于点，则下列结论不正确的是（    ）    A．平分 B． C．垂直平分 D． 30．如图，点P是中一点，于A，于B，连接，．    (1)求证：平分． (2)若，求的度数． [题型五 角平分线性质的实际应用] 31．王岗社区是由，，三条路围成的小型社区，社区准备修建一个电动车充电点现社区人员计划将充电点建设在到三条路的距离相等的位置，则充电点应该建在（ ） A．三个角的平分线的交点处 B．三条中线的交点处 C．三条高线的交点处 D．三条边的垂直平分线的交点处 32．如图，直线，，表示三条公路的位置．若在这三条公路的旁边修建一个加油站，使得这个加油站到这三条公路的距离相等，这样的位置有（   ） A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 33．如图1，这是一个平板电脑支架，由托板、支撑板和底座构成，平板电脑放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，现量得托板长，支撑板顶端的C恰好是托板的中点，托板可绕点C转动，支撑板可绕点D转动．当，且射线恰好是的平分线时，此时点B到直线的距离是（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $