5.2 一次函数的概念(讲义，2大知识8大题型+刷好题)数学新教材苏科版八年级上册

本讲义聚焦一次函数概念这一核心知识点，系统梳理从一次函数与正比例函数定义辨析（含自变量、因变量、系数及k≠0条件），到待定系数法求解析式，再到实际问题中列函数关系式的完整学习支架。 资料以题型分层（基础通关、素养提升、迁移创新）和典例+变式巩固为特色，通过行李费、商品售价等实际情境培养数学眼光，解题贴士引导逻辑推理发展数学思维，实际问题建模强化数学语言表达，课中辅助教学，课后助力学生查漏补缺。

第五章 一次函数 5.2 一次函数的概念 课标要点 1.结合实际情境列出函数关系式，认识一次函数、正比例函数概念，能写出标准形式，区分自变量、因变量与系数。 2.根据等量关系列一次函数表达式，区分正比例、一次、反比例函数，建立 “整式、一元、最高次数 1” 判定逻辑。 3.利用函数定义代入求值，逆向求解参数，结合实际判断自变量取值范围合理性。 学习重难点 重点： 1.一次函数、正比例函数定义辨析，规范书写一般形式。 2.根据实际问题列一次函数关系式，识别 k、b 的含义。 3.函数值代入计算，简单判断函数类型。 难点： 1.理解隐含条件k≠0，含参解析式利用定义求参数取值。 2.化简代数式后判断函数类别，区分易混淆函数。 3.从实际问题提取等量关系，建立一次函数模型并限定自变量范围。 知识点一 一次函数的概念 一次函数的定义：一般地，形如的函数，叫做一次函数.特别地，当b=0时， 叫做x的正比例函数. 特别提醒 一般地，一次函数中自变量x的取值范围是任意实数，但在实际问题中x的取值范围要根据具体问题的实际意义来确定. 即学即练 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）下列函数表达式中，关于是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数． 根据正比例函数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A选项不符合的形式，不符合正比例函数定义； B选项符合（）的形式，是正比例函数； C选项不符合的形式，不符合正比例函数定义； D选项不符合的形式，不符合正比例函数定义； 故选：B． 2．（2025八年级上·江苏南京·专题练习）下列是关于的函数，其中是一次函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的识别，解题的关键是掌握一次函数的定义：形如（、是常数，）的函数是一次函数；一次函数的一般形式的结构特征：，的次数是，常数可以为任意实数．据此判断各选项即可． 【详解】解：A．中的次数不是，则该函数不是一次函数，故此选项不符合题意； B．中的次数不是，则该函数不是一次函数，故此选项不符合题意； C．该函数是一次函数，故此选项符合题意； D．中的次数不是，则该函数不是一次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 3．（23-24八年级下·湖北十堰·期中）若函数是一次函数，则m的值为（   ） A．1 B． C． D．0 【答案】A 【分析】此题考查了一次函数的定义，熟练掌握一次函数定义是解题的关键．由一次函数的定义可知且，从而可求得m的值． 【详解】解：是一次函数， 且， 解得且， 故选：A． 知识点二 待定系数法求一次函数解析式 待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法. 用待定系数法确定一次函数解析式的一般步骤： 1）设：设一次函数的解析式为； 2）列：将已知条件代入解析式，列出关于k、b的二元一次方程组； 3）解：解二元一次方程组，求出k、b； 4）代：将k、b的值代回所设的函数解析式中. 即学即练 1．（25-26八年级上·江苏·期末）已知一次函数的图像过点，则的值为________． 【答案】1 【分析】本题考查了一次函数的性质． 将点代入一次函数解析式中，求解的值即可． 【详解】解：将代入， 得， 即， 解得． 故答案为：1． 2．（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知一次函数（，为常数）自变量与函数值的部分对应值如下表： 则________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，由表可知，当时，，当时，，然后代入求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由表可知，当时，，当时，， ∴， 得，， 解得：， 故答案为 ：． 3．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）把二元一次方程化为一次函数的形式____________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程与一次函数的转换；运用等式的性质变形即可． 通过移项和系数化简，将二元一次方程变形为一次函数形式． 【详解】解：由原方程， 移项得：， 两边同时除以得：， 即． 故答案为． 题型01 正比例函数的识别 解题贴士 正比例函数解析式需满足以下几个条件：1）自变量的指数为1；2）比例系数不为0. 典｜例｜精｜析 例1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）下列函数中，是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数的定义，掌握相关知识点是解题的关键． 根据形如（为常数且）的函数是正比例函数，逐一判断选项即可． 【详解】解：根据正比例函数的定义为形如（是常数，且）的函数，可知， A、含常数项，不符合的形式，不是正比例函数，不符合题目要求； B、中的次数是，不符合的形式，不是正比例函数，不符合题目要求； C、可化为，不符合的形式，不是正比例函数，不符合题目要求； D、符合（）的形式，是正比例函数，符合题目要求． 故选：D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·安徽宿州·阶段检测）若是正比例函数，则的值是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的定义，掌握“正比例函数的表达式常数项为” 是解题的关键． 正比例函数的形式为，无常数项，故需使常数项为零即可． 【详解】解：是正比例函数， 常数项， ． 故选：C． 2．（25-26八年级上·河南周口·期中）下列函数中，属于正比例函数的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，掌握形式为是正比例函数成为解题的关键． 根据正比例函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：正比例函数定义为 ，则 A．有常数项1，不是正比例函数，不符合题意； B．是反比例函数，不是正比例函数，不符合题意； C．符合形式，且 k = -3 ≠ 0，是正比例函数，符合题意； D．是二次函数，不是正比例函数，不符合题意． 故选C． 3．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）有下列式子：①；②；③；④；其中表示y是x的正比例函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数．需逐一判断各选项是否符合条件． 【详解】解：①：，符合的形式，其中，是正比例函数． ②：，符合的形式，其中，是正比例函数． ③：，含项，次数不为1，不符合正比例函数的定义． ④：，无法整理为的形式，故不是正比例函数． 故选B． 题型02 一次函数的识别 解题贴士 判断一个函数是不是一次函数，就是判定它能不能化成的形式，其特征为：1）k≠0；2）x的次数为1；3）常数b可以取任意实数. 典｜例｜精｜析 例2．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义，解题的关键是掌握一次函数的一般形式（、为常数，）． 根据一次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、，其中的次数是2，不是一次函数，不符合题意； B、，符合一次函数的一般形式，是一次函数，符合题意； C、，分母中含有自变量是，不是一次函数，不符合题意； D、，分母中含有自变量是，不是一次函数，不符合题意． 故选：B． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）函数①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义，形如（、为常数，）的函数是一次函数，逐一判断各函数即可，熟练掌握一次函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：①中，未指定，故不一定是一次函数； ②，符合形式，，是一次函数； ③中分母含有，不是整式，故不是一次函数； ④，符合形式，，是一次函数； ⑤，是二次函数，不是一次函数； ∴是一次函数的有②和④，共2个， 故选：B． 2．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）下列函数∶ ①， ②， ③，④，其中是一次函数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义． 根据一次函数的定义（形如（）的函数）判断每个函数是否是一次函数即可． 【详解】解：①是形式，且，是一次函数； ②是常数函数，无项，不是一次函数； ③中的最高次数为2，不是一次函数； ④可化为，是形式，且，是一次函数； 一次函数有①和④，共2个． 故选：B． 3．（24-25九年级上·天津蓟州·阶段检测）有下列函数：①，②，③，④，⑤；其中是一次函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的识别，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做一次函数．由此逐个判断可． 【详解】解：①是一次函数； ②中x在分母位置，不是一次函数； ③是一次函数； ④，当时不是一次函数； ⑤中x的次数不是1，不是一次函数； 综上可知，一次函数有2个， 故选C． 题型03 根据正比例函数的定义求参数 典｜例｜精｜析 例3．（23-24八年级上·甘肃张掖·阶段检测）如果是正比例函数，则a的值是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的定义，解题关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数的定义条件是：k为常数且，自变量次数为1．根据正比例函数的定义得到即可求解． 【详解】解：是正比例函数， ， 解得：， 故选：A． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）在探究正比例函数（k为常数，）的图象时，小红列表如下，其中m的值为_________． x … 0 1 2 … y … 0 m … 【答案】 【分析】本题主要考查正比例函数，熟练掌握正比例函数是解题的关键；根据正比例函数的定义，利用已知点求比例系数，再代入x的值求即可． 【详解】解：由表格，当时，，代入得，解得， 所以函数关系式为； ∴当时，； 故答案为． 2．（25-26八年级上·广东深圳·期中）若是正比例函数，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，代数式求值． 根据正比例函数的定义，函数形式应为 （），因此 的指数为1，系数不为0，常数项为0． 【详解】解：∵是正比例函数， ∴ 解得 ， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知是正比例函数，则______． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的常数项为0是解题的关键． 根据正比例函数的定义可得，即可求得结果． 【详解】解：∵一次函数是正比例函数， ∴， 解得：， 故答案为：． 题型04 根据一次函数的定义求参数 解题贴士 注意比例系数不能为0 典｜例｜精｜析 例4．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）是一次函数，则m的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数定义得一次项的系数不为零，由此可得出答案． 【详解】解：是一次函数， ， ， 故答案为：． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）已知．当m，n满足条件____________时，是的一次函数；当m，n满足条件____________时，是的正比例函数． 【答案】 ，n为任意实数 【分析】本题主要考查了通过一次函数和正比例函数求参数，解题的关键是掌握一次函数和正比例函数的定义． 根据一次函数和正比例函数的定义，分别要求指数为1、系数不为零，且正比例函数还需常数项为零，进行求解即可． 【详解】解：①当函数为一次函数时，且系数为任意实数， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：，n为任意实数； ②当函数为正比例函数时，、系数，且常数项， 解得或（舍去），， ∴，， 故答案为：． 2．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）已知函数+4是关于x的一次函数，则m的值是_________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，利用平方根解方程等知识．熟练掌握一次函数的定义，利用平方根解方程是解题的关键． 由题意可得，，，计算求解即可． 【详解】解：∵函数是关于的一次函数， ∴且． 由，得，解得． 由，得． ∴． 故答案为：． 3．（25-26七年级上·山东淄博·阶段检测）已知函数． (1)m的取值满足什么条件时，y是x的一次函数？ (2)m，n的取值满足什么条件时，y是x的正比例函数？ 【答案】(1) (2)、 【分析】本题主要考查了一次函数和正比例函数的知识, （1）根据一次函数的定义可得且，求解即可获得答案； （2）根据正比例函数的定义可得且，且，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：由题意得且， 解，可得， ∴或， 解，可得， ∴当时函数是一次函数； （2）由题意得且，且， 解，可得， ∴或， 解，可得， 解，可得， 综上所述，当、时，函数是正比例函数． 题型05 求一次函数的自变量/函数值 典｜例｜精｜析 例5．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）下列各点，在函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，将各选项的横坐标代入函数解析式，计算出对应的纵坐标，与选项中的纵坐标对比即可判断点是否在函数图象上． 【详解】解：∵对于函数 A、当时，，∴点不在函数图象上． B、当时，，∴点不在函数图象上． C、当时，，∴点不在函数图象上． D、当时，，∴点在函数图象上． 故选：D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）若点在函数的图象上，则_________． 【答案】2022 【分析】本题考查的是一次函数的性质及代数式求值，利用点在函数图象上的条件，将n用m表示，代入所求式子进行化简计算． 【详解】解：因为点在函数的图象上， 所以． 代入，得． 故答案为：2022． 2．（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知y是关于x的一次函数，如表是部分x与y的对应值，则m的值为_________． x … 0 2 3 … y … 2 m … 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用待定系数法求一次函数解析式，再代入求值． 【详解】解：设一次函数解析式为，代入点，得： ， 解得， ∴一次函数解析式为． 当时，． 故答案为：． 3．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知y是关于x的一次函数，x、y的部分对应数据如下表： x m 0 y 0 2 求出这个一次函数的表达式及m的值． 【答案】； 【分析】代入已知的两组x，y，先通过待定系数法求出一次函数表达式，再代入时，y所对应的值，即可求出m． 【详解】解：设这个一次函数的表达式为， 由表格可知，当时，； 当时，， ∴ 解得 ∴， 当时，， 此时，即． 题型06 求一次函数解析式 解题贴士 可利用待定系数法求解，因为两点确定一条直线，将已知两点的坐标代入解析式，得，求解关于k，b的方程组，就可以求出解析式.简称：一设二代三求解. 典｜例｜精｜析 例7．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）某长途汽车客运公司规定旅客可免费携带一定质量的行李，当行李的质量超过规定时，需付的行李费y（元）与行李质量之间满足一次函数关系，部分对应值如下表： … 30 40 50 … y（元） … 4 6 8 … 则需付的行李费y（元）与行李质量满足的函数关系是________． 【答案】（） 【分析】本题考查待定系数法求解析式．根据需付的行李费y（元）与行李质量之间满足一次函数关系，则设，由表格可知，当时，；当时，，分别代入解析式，求出k，b的值，即可解答． 【详解】解：∵需付的行李费y（元）与行李质量之间满足一次函数关系， ∴设， ∵由表格可知，当时，；当时，， ∴， 解得， ∴． 令，解得， ∴当时，需付的行李费y（元）与行李质量满足的函数关系是， 故答案为：（）． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）下表是某商品的数量x（个）与售价y（元）的对应关系，根据表中提供的信息可知y与x之间的关系式是_______． 数量x（个） 1 2 3 4 5 售价y（元） 10 18 26 34 42 【答案】 【分析】本题考查求一次函数解析式；观察表格数据，随的增加而均匀增加，判断为一次函数关系，利用待定系数法求解即可. 【详解】解：设与的关系式为， 由表格数据可知，当每增加，增加， ∴， 将点代入得，解得， ∴关系式为， 经验证其他点均符合， 故答案为：. 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）一次函数的图象经过点和，则该函数解析式为________． 【答案】/ 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键． 将两点坐标代入一次函数解析式，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：将点和代入， 得， 解得， 故函数解析式为． 故答案为：． 题型07 列一次该函数解析式并求值 典｜例｜精｜析 例7．（2022·江苏南通·一模）下表中记录了一次试验中时间和温度的数据．若温度的变化是均匀的，则18分钟时的温度是______ °C． 时间/分钟 0 5 10 15 20 25 温度/°C 10 25 40 55 70 85 【答案】64 【分析】根据表格中的数据可知温度随时间的增加而上升，且每分钟上升，写出函数关系式，进而把代入计算即可． 【详解】解：根据表格中的数据可知温度随时间的增加而上升，且每分钟上升， 则关系式为：， 当时，． 故分钟时的温度是． 故答案为：64． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是分析表格得出温度与时间的关系式． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级上·山西晋城·阶段检测）鞋码代表鞋子的大小，中国鞋码与脚长之间呈现一定的规律．在网购时，人们可以根据自己的脚长对照中国鞋码，从而选择合脚的鞋子．脚长（单位：）与中国鞋码的部分对照如下表： 脚长 … 23 23.5 24 24.5 … 中国鞋码 … 36 37 38 39 … 小陈的脚长为，则他在网购时选择的中国鞋码为________（用含的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查了从实际数据中识别规律并建立代数模型的能力，以及求一次函数解析式；解题的关键是观察表格中脚长与鞋码的对应关系，发现两者呈线性变化，并通过代入已知点求解线性表达式；取两点，用待定系数法，求解析式，即可得解． 【详解】解：设脚长为，鞋码为；取点， 设， 解得 故 当脚长为时，鞋码为． 故答案为． 2．（24-25九年级上·山东东营·阶段检测）利用20米长的墙围成两个矩形花圃．花圃的一边利用墙，其它边用总长为30米的篱笆围成．围成的花圃是如图所示的矩形和矩形．设边的长为米．边长为米．写出与之间的函数关系式及自变量的取值范围：____________； 【答案】 【分析】设边的长为米．边长为米．利用两宽加上一长等于30即可得出函数关系即可；本题考查了一次函数的实际应用，解不等式组，根据题目的条件，利用矩形的面积计算方法列出公式，即可作答． 【详解】解：依题意，设边的长为米．边长为米． 根据题意得：， 整理得：， ∵且， ∴， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·福建宁德·期中）某电信公司手机的A套餐收费标准为：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费18元，另外，通话费按元/计；B套餐收费标准为：不收月租费，但通话费用按元/计． (1)写出两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间x（）之间的关系； (2)若每月平均通话时间为，你选择哪种套餐？并说明理由． 【答案】(1)A套餐：，B套餐： (2)选B套餐，理由见解析 【分析】本题主要考查列函数关系式、代数式求值等知识点，正确列出关系式是解题关键． （1）根据题意直接写两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间之间的关系式即可； （2）将分别代入两个关系式求得话费，然后比较大小即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：A套餐，B套餐， 所以A、B两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间之间的关系分别为：，． （2）解：当时， A套餐：（元）， B套餐：（元）， 因为， 所以选B套餐更优惠． 4．（22-23八年级上·辽宁锦州·期中）某公交公司的16路公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数（人与这趟公交车每月的利润（利润收入费用支出费用）（元的变化关系如表所示（每位乘客乘一次公交的票价是固定不变的） （人 500 1000 1500 2000 2500 3000 （元 0 1000 2000 请回答下列问题： (1)自变量为　　，因变量为　　； (2)与之间的关系式是 　　； (3)当每月乘车人数为4000人时，每月利润为多少元？ 【答案】(1)每月的乘车人数，公交车每月的利润 (2) (3)当每月乘车人数为4000人时，每月利润为4000元 【分析】（1）根据表格中的数量变化可得答案； （2）根据乘坐人数与每月的利润的变化关系可求出每位乘客坐一次车需要的钱数，进而得出函数关系式； （3）把x=4000代入函数关系式求出y的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知： 自变量是：每月的乘车人数，因变量是：公交车每月的利润． 故答案为∶ 每月的乘车人数，公交车每月的利润． （2）解：从表格中数据变化可知，每月乘车人数每增加500人，其每月的利润就增加1000元， 每位乘客坐一次车需要（元， 即函数关系式为： ． （3）解：当时， （元． 答：当每月乘车人数为4000人时，每月利润为4000元． 【点睛】本题考查常量与变量，函数关系式，理解表格中两个变量的变化关系是正确解答的关键． 题型08 已知正比例函数关系求解析式 典｜例｜精｜析 例8．（25-26八年级下·全国·课后作业）如果与成正比例关系，且当时，，那么关于的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据“与成正比例”设出函数关系式，再代入已知条件求出比例系数，进而得到关于的函数解析式． 【详解】解：∵与成正比例， ∴设． 当时，，代入得：，解得． 因此，整理得． 逐一分析选项： A、，整理得，与推导结果不符，不符合题意； B、，与推导结果不符，不符合题意； C、，与推导结果一致，符合题意； D、，整理得，与推导结果不符，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了正比例函数的定义及待定系数法求函数解析式，解题关键是根据“与成正比例”正确设出函数关系式，再代入已知条件求解． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）已知与成正比例函数关系，且当时，，与之间的函数表达式是______． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．根据正比例函数定义，设，再利用已知条件代入求比例常数，即可得到函数表达式． 【详解】解：设， 当时，，代入得， 即， 解得， 所以与之间的函数表达式为． 故答案为：． 2．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段检测）已知y与x成正比例关系，且当时，． (1)求y与x之间的函数解析式． (2)若点在这个函数的图象上，求a的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正比例函数的定义、解析式求解方法以及函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据正比例函数的形式设出解析式，利用已知x、y的值求出比例系数k，再结合点在函数图象上时横纵坐标满足函数解析式的性质求解参数． （1）根据正比例函数“”的定义设出函数解析式；将已知、代入解析式，构建关于k的方程；求解方程得到k的值，进而确定函数解析式； （2）利用“点在函数图象上则其坐标满足函数解析式”的性质，将代入（1）中所求解析式，构建关于a的方程；求解方程得到a的值． 【详解】（1）解：设y与x的函数解析式为 ∵当时， ∴ 解得 ∴y与x的函数解析式为 （2）解：∵点在的图象上 解得． 3．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知一次函数． (1)试说明与成正比例函数关系； (2)当一次函数经过点、时，求出函数表达式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了待定系数法确定一次函数关系式，正比例函数的定义； （1）将解析式写成正比例函数形式，进而即可求解； （2）待定系数法求解析式，即可求解． 【详解】（1）解： 即 ∴与成正比例函数关系； （2）解：将、代入，则 ∴ ∴ 基础通关 1．（24-25八年级下·河北衡水·阶段检测）若函数是正比例函数，则关于m，n的值，下列正确的是（      ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查正比例函数的定义，根据正比例函数的定义可得，，再计算即可． 【详解】解：函数是正比例函数， ，， 解得：，， 故选：A． 2．（24-25八年级下·江苏南通·阶段检测）若正比例函数的图象经过，则这个图象必经过（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义以及正比例函数上点的特点，设正比例函数为：，把代入求出正比例函数，然后根据选项一一验证即可． 【详解】解：设正比例函数为：， ∵正比例函数的图象经过 ∴， 解得：． ∴． ．把代入可得出，左边等于右边，则这个图象必经过点，故该选项符合题意； ．把代入可得出，左边不等于右边，则这个图象不经过点，故该选项不符合题意； ．把代入可得出，左边不等于右边，则这个图象不经过点，故该选项不符合题意； ．把代入可得出，左边不等于右边，则这个图象不经过点，故该选项不符合题意； 故选：A． 3．（22-23八年级下·江苏南通·阶段检测）若关于的函数是正比例函数，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，一般地，形如的函数叫做正比例函数，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的函数是正比例函数, ∴，， ∴， 故选：B． 4．（25-26八年级上·江苏南京·期末）下列用表格表示的变量关系中，y是x的一次函数的是（　　） A． x … 1 2 3 4 … y … 8 6 6 8 … B． x … 1 2 3 4 … y … 12 10 7 3 … C． x … 1 2 3 4 … y … … D． x … 1 2 3 4 … y … … 【答案】D 【分析】本题中每次增加1，只需判断的变化量是否一致即可． 【详解】解：对于一次函数，当每增加1时，的变化量始终相等， 分别计算各选项的变化量： 选项：从1到2，变化量为，从2到3，变化量为，变化量不相等，因此不是的一次函数，不符合题意； 选项：从1到2，变化量为，从2到3，变化量为，变化量不相等，因此不是的一次函数，不符合题意； 选项：从1到2，变化量为，从2到3，变化量为，变化量不相等，因此不是的一次函数，不符合题意. D选项：从1到2，变化量为，从2到3，变化量为，从3到4，变化量为，变化量恒定相等，因此是的一次函数，符合题意． 5．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数，形如的函数是一次函数，据此判断即可求解，掌握一次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、是一次函数，符合题意； 、不是一次函数，不符合题意； 、不是一次函数，不符合题意； 、不是一次函数，不符合题意； 故选：． 6．（25-26八年级上·广东梅州·期中）已知函数是关于的一次函数，则的值是（　　） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义，在函数中，的指数必须为，且系数不为零，所以且，据此求出的值． 【详解】解：函数是一次函数， 指数满足，且系数满足， 由得，， 由得， ， 故选：． 7．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）小明在学习画一次函数的图像时，列表如下： … 0 1 2 … … 7 2 … 小红看了之后说小明把其中一个函数值算错了，这个算错的函数值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象，根据表格数据，前三对数据中，的值每增加1，函数值减小5，进而得到时，，进行判断即可． 【详解】解：由表格数据，前三对数据中，的值每增加1，函数值减小5， ∴当时，， 当时，， 故算错的函数值为； 故选：C． 8．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）在中，若是的正比例函数，则值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，根据正比例函数的定义，函数表达式中的常数项必须为零，且比例系数不为零即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：因为是的正比例函数， 所以， 由得或， 又因为， 所以， 因此， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·辽宁锦州·阶段检测）下列说法正确的是________（填序号） ①正比例函数一定是一次函数；②一次函数一定是正比例函数；③若与成正比例，则是的一次函数；④若，则是的一次函数． 【答案】①③ 【分析】本题主要考查一次函数和正比例函数的定义，根据一次函数和正比例函数的定义进行判断． 【详解】解：正比例函数的形式为，它是一次函数当时的特殊情况，因此①正确； 一次函数中，当时不是正比例函数，因此②错误； 若与成正比例，则，即，符合一次函数的形式，因此③正确； 若，当时，为常数函数，不是一次函数，因此④错误， 故答案为：①③． 10．（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知点在一次函数的图象上，则代数式的值为________． 【答案】1 【分析】本题考查一次函数的图象性质及代数式求值：由点A在函数图象上，可得n与m的关系式，变形代入所求代数式即可． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 素养提升 1．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知点，在一次函数的图象上，则k的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，点和点在一次函数图象上，则，，两个式子相减得出关于的方程，解方程得到的值，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点，在一次函数的图象上， ∴，， 由可得：， 解得：， 故答案为：． 2．（河南省郑州市中原区2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷）定义为一次函数的特征数，例如为一次函数的特征数，若特征数为的一次函数为正比例函数，则k的值为______． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一次函数的定义、正比例函数的定义等知识点，掌握当一次函数的常数项为零时为正比例函数是解题的关键． 根据特征数的定义以及一次函数为正比例函数时，常数项为0且一次项系数不为0，据此列式求解即可． 【详解】解：∵特征数为， ∴对应一次函数． ∵该函数为正比例函数， ∴一次项系数：且常数项， ∴． 故答案为：3． 3．（江苏省南京一中明发滨江分校2025-2026学年上学期八年级12月月考数学试卷）一次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则n的值为（   ） x … m … y … 4 2 n … A． B．1 C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，把点代入，得出，求出即可． 【详解】解：把点代入得： ， 整理得：， 把②代入①得：， 解得：， 把，代入③得：， 解得：． 故选：D． 4．（江苏省无锡市夏港中学2025-2026学年八年级上学期12月作业反馈数学试卷）如图，一束光线从点出发，经y轴上点C的反射后，经过点，则点C的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，待定系数法求一次函数解析式，综合性较强，将知识综合运用是本题的关键． 延长交x轴于点D，利用反射原理，推出等角，从而证明得出，得到，得到，设的直线的解析式为，待定系数法求出解析式，并求出直线与y轴的交点坐标，即C点坐标． 【详解】解：延长交x轴于点D，如图所示： ∵由反射可知：， 又∵， ∴， 在和中， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵，设的直线的解析式为， ∴， 解得， ∴的直线的解析式为， ∴当时，， ∴． 故答案为：． 5．（福建省宁德市2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题）已知直线经过点，其中，则的值可能是（　　） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征． 利用一次函数图象上点的坐标特征得到，由题意可知，解得，故k的值可能是，即可求解． 【详解】解：∵直线经过点， ∴， ∵， ∴， ∴或， 解得， ∴k的值可能是． 故选：D． 迁移创新 1．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．函数与函数的“对偶值”为___________． 【答案】 【分析】本题考查关于y轴对称点坐标特点，一次函数的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据“对偶关系”的定义，点P在函数上，点Q在函数上，且P与Q关于y轴对称，因此它们的横坐标互为相反数，纵坐标相等．通过设点P的横坐标，代入两个函数表达式并令纵坐标相等，解方程即可求得对偶值． 【详解】解：设点P的坐标为， 由于点P与点Q关于y轴对称，则点Q的坐标为， 又点Q在函数上， ∴， 即， 解方程得， 则对偶值为． 故答案为． 2．（25-26八年级上·江苏·期末）新定义：为函数（a，b，c为实数）的“关联数”．若“关联数”为的函数为一次函数，试求m的值． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，一次函数的定义，根据“关联数”的定义得，再结合一次函数的定义，得出且，即可解得． 【详解】解：根据题意，得， ∵是一次函数， ∴且， ∴． 3．（2024·江苏南京·中考真题）已知点与点关于轴对称，将点向左平移3个单位长度得到点．若两点都在函数的图象上，求点的坐标． 【答案】点的坐标为 【分析】本题考查一次函数图象上点坐标的特征，根据点与点关于轴对称，将点向左平移3个单位长度得到点，可得，代入可解得，故点的坐标为． 【详解】解：∵点与点关于轴对称，将点向左平移3个单位长度得到点， ∴， ∵两点都在函数的图象上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一次函数 5.2 一次函数的概念 课标要点 1.结合实际情境列出函数关系式，认识一次函数、正比例函数概念，能写出标准形式，区分自变量、因变量与系数。 2.根据等量关系列一次函数表达式，区分正比例、一次、反比例函数，建立 “整式、一元、最高次数 1” 判定逻辑。 3.利用函数定义代入求值，逆向求解参数，结合实际判断自变量取值范围合理性。 学习重难点 重点： 1.一次函数、正比例函数定义辨析，规范书写一般形式。 2.根据实际问题列一次函数关系式，识别 k、b 的含义。 3.函数值代入计算，简单判断函数类型。 难点： 1.理解隐含条件k≠0，含参解析式利用定义求参数取值。 2.化简代数式后判断函数类别，区分易混淆函数。 3.从实际问题提取等量关系，建立一次函数模型并限定自变量范围。 知识点一 一次函数的概念 一次函数的定义：一般地，形如的函数，叫做一次函数.特别地，当b=0时， 叫做x的正比例函数. 特别提醒 一般地，一次函数中自变量x的取值范围是任意实数，但在实际问题中x的取值范围要根据具体问题的实际意义来确定. 即学即练 1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）下列函数表达式中，关于是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025八年级上·江苏南京·专题练习）下列是关于的函数，其中是一次函数的为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·湖北十堰·期中）若函数是一次函数，则m的值为（   ） A．1 B． C． D．0 知识点二 待定系数法求一次函数解析式 待定系数法：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法. 用待定系数法确定一次函数解析式的一般步骤： 1）设：设一次函数的解析式为； 2）列：将已知条件代入解析式，列出关于k、b的二元一次方程组； 3）解：解二元一次方程组，求出k、b； 4）代：将k、b的值代回所设的函数解析式中. 即学即练 1．（25-26八年级上·江苏·期末）已知一次函数的图像过点，则的值为________． 2．（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知一次函数（，为常数）自变量与函数值的部分对应值如下表： 则________． 3．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）把二元一次方程化为一次函数的形式____________． 题型01 正比例函数的识别 解题贴士 正比例函数解析式需满足以下几个条件：1）自变量的指数为1；2）比例系数不为0. 典｜例｜精｜析 例1．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）下列函数中，是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·安徽宿州·阶段检测）若是正比例函数，则的值是（   ）． A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南周口·期中）下列函数中，属于正比例函数的是（  ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·河北廊坊·期末）有下列式子：①；②；③；④；其中表示y是x的正比例函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型02 一次函数的识别 解题贴士 判断一个函数是不是一次函数，就是判定它能不能化成的形式，其特征为：1）k≠0；2）x的次数为1；3）常数b可以取任意实数. 典｜例｜精｜析 例2．（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）函数①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）下列函数∶ ①， ②， ③，④，其中是一次函数的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25九年级上·天津蓟州·阶段检测）有下列函数：①，②，③，④，⑤；其中是一次函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型03 根据正比例函数的定义求参数 典｜例｜精｜析 例3．（23-24八年级上·甘肃张掖·阶段检测）如果是正比例函数，则a的值是（   ） A． B．0 C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）在探究正比例函数（k为常数，）的图象时，小红列表如下，其中m的值为_________． x … 0 1 2 … y … 0 m … 2．（25-26八年级上·广东深圳·期中）若是正比例函数，则的值是______． 3．（24-25八年级上·四川成都·期中）已知是正比例函数，则______． 题型04 根据一次函数的定义求参数 解题贴士 注意比例系数不能为0 典｜例｜精｜析 例4．（25-26八年级上·江苏镇江·期末）是一次函数，则m的取值范围为______． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏徐州·阶段检测）已知．当m，n满足条件____________时，是的一次函数；当m，n满足条件____________时，是的正比例函数． 2．（25-26八年级上·四川成都·阶段检测）已知函数+4是关于x的一次函数，则m的值是_________． 3．（25-26七年级上·山东淄博·阶段检测）已知函数． (1)m的取值满足什么条件时，y是x的一次函数？ (2)m，n的取值满足什么条件时，y是x的正比例函数？ 题型05 求一次函数的自变量/函数值 典｜例｜精｜析 例5．（25-26八年级上·江苏淮安·期末）下列各点，在函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）若点在函数的图象上，则_________． 2．（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知y是关于x的一次函数，如表是部分x与y的对应值，则m的值为_________． x … 0 2 3 … y … 2 m … 3．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）已知y是关于x的一次函数，x、y的部分对应数据如下表： x m 0 y 0 2 求出这个一次函数的表达式及m的值． 题型06 求一次函数解析式 解题贴士可利用待定系数法求解，因为两点确定一条直线，将已知两点的坐标代入解析式，得，求解关于k，b的方程组，就可以求出解析式.简称：一设二代三求解. 典｜例｜精｜析 例7．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）某长途汽车客运公司规定旅客可免费携带一定质量的行李，当行李的质量超过规定时，需付的行李费y（元）与行李质量之间满足一次函数关系，部分对应值如下表： … 30 40 50 … y（元） … 4 6 8 … 则需付的行李费y（元）与行李质量满足的函数关系是________． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）下表是某商品的数量x（个）与售价y（元）的对应关系，根据表中提供的信息可知y与x之间的关系式是_______． 数量x（个） 1 2 3 4 5 售价y（元） 10 18 26 34 42 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）一次函数的图象经过点和，则该函数解析式为________． 题型07 列一次该函数解析式并求值 典｜例｜精｜析 例7．（2022·江苏南通·一模）下表中记录了一次试验中时间和温度的数据．若温度的变化是均匀的，则18分钟时的温度是______ °C． 时间/分钟 0 5 10 15 20 25 温度/°C 10 25 40 55 70 85 变｜式｜巩｜固 1．（25-26七年级上·山西晋城·阶段检测）鞋码代表鞋子的大小，中国鞋码与脚长之间呈现一定的规律．在网购时，人们可以根据自己的脚长对照中国鞋码，从而选择合脚的鞋子．脚长（单位：）与中国鞋码的部分对照如下表： 脚长 … 23 23.5 24 24.5 … 中国鞋码 … 36 37 38 39 … 小陈的脚长为，则他在网购时选择的中国鞋码为________（用含的代数式表示）． 2．（24-25九年级上·山东东营·阶段检测）利用20米长的墙围成两个矩形花圃．花圃的一边利用墙，其它边用总长为30米的篱笆围成．围成的花圃是如图所示的矩形和矩形．设边的长为米．边长为米．写出与之间的函数关系式及自变量的取值范围：____________； 3．（24-25八年级上·福建宁德·期中）某电信公司手机的A套餐收费标准为：不管通话时间多长，每部手机每月必须缴月租费18元，另外，通话费按元/计；B套餐收费标准为：不收月租费，但通话费用按元/计． (1)写出两种套餐收费标准的每月应缴费用y（元）与通话时间x（）之间的关系； (2)若每月平均通话时间为，你选择哪种套餐？并说明理由． 4．（22-23八年级上·辽宁锦州·期中）某公交公司的16路公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数（人与这趟公交车每月的利润（利润收入费用支出费用）（元的变化关系如表所示（每位乘客乘一次公交的票价是固定不变的） （人 500 1000 1500 2000 2500 3000 （元 0 1000 2000 请回答下列问题： (1)自变量为　　，因变量为　　； (2)与之间的关系式是 　　； (3)当每月乘车人数为4000人时，每月利润为多少元？ 题型08 已知正比例函数关系求解析式 典｜例｜精｜析 例8．（25-26八年级下·全国·课后作业）如果与成正比例关系，且当时，，那么关于的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（25-26八年级上·江苏盐城·阶段检测）已知与成正比例函数关系，且当时，，与之间的函数表达式是______． 2．（23-24八年级下·安徽芜湖·阶段检测）已知y与x成正比例关系，且当时，． (1)求y与x之间的函数解析式． (2)若点在这个函数的图象上，求a的值． 3．（23-24八年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知一次函数． (1)试说明与成正比例函数关系； (2)当一次函数经过点、时，求出函数表达式． 基础通关 1．（24-25八年级下·河北衡水·阶段检测）若函数是正比例函数，则关于m，n的值，下列正确的是（      ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25八年级下·江苏南通·阶段检测）若正比例函数的图象经过，则这个图象必经过（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·江苏南通·阶段检测）若关于的函数是正比例函数，则的值为（    ） A．1 B． C． D．2 4．（25-26八年级上·江苏南京·期末）下列用表格表示的变量关系中，y是x的一次函数的是（　　） A． x … 1 2 3 4 … y … 8 6 6 8 … B． x … 1 2 3 4 … y … 12 10 7 3 … C． x … 1 2 3 4 … y … … D． x … 1 2 3 4 … y … … 5．（25-26八年级上·江苏连云港·阶段检测）下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·广东梅州·期中）已知函数是关于的一次函数，则的值是（　　） A． B．3 C． D．9 7．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）小明在学习画一次函数的图像时，列表如下： … 0 1 2 … … 7 2 … 小红看了之后说小明把其中一个函数值算错了，这个算错的函数值是（    ） A．2 B． C． D． 8．（25-26八年级上·江苏无锡·阶段检测）在中，若是的正比例函数，则值为______． 9．（25-26八年级上·辽宁锦州·阶段检测）下列说法正确的是________（填序号） ①正比例函数一定是一次函数；②一次函数一定是正比例函数；③若与成正比例，则是的一次函数；④若，则是的一次函数． 10．（25-26八年级上·江苏南京·期末）已知点在一次函数的图象上，则代数式的值为________． 素养提升 1．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）已知点，在一次函数的图象上，则k的值为______． 2．（河南省郑州市中原区2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷）定义为一次函数的特征数，例如为一次函数的特征数，若特征数为的一次函数为正比例函数，则k的值为______． 3．（江苏省南京一中明发滨江分校2025-2026学年上学期八年级12月月考数学试卷）一次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则n的值为（   ） x … m … y … 4 2 n … A． B．1 C．2 D． 4．（江苏省无锡市夏港中学2025-2026学年八年级上学期12月作业反馈数学试卷）如图，一束光线从点出发，经y轴上点C的反射后，经过点，则点C的坐标为______． 5．（福建省宁德市2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题）已知直线经过点，其中，则的值可能是（　　） A．1 B．2 C． D． 迁移创新 1．（25-26八年级上·江苏南京·阶段检测）若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．函数与函数的“对偶值”为___________． 2．（25-26八年级上·江苏·期末）新定义：为函数（a，b，c为实数）的“关联数”．若“关联数”为的函数为一次函数，试求m的值． 3．（2024·江苏南京·中考真题）已知点与点关于轴对称，将点向左平移3个单位长度得到点．若两点都在函数的图象上，求点的坐标． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $