第02讲 一次函数的图像和性质（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年八年级数学上册《知识解读•题型专练》（苏科版新教材）

本讲义聚焦初中数学一次函数的图像和性质，以正比例函数定义为基础，延伸至一次函数定义、图像性质（增减性、象限、交点）、平移规律及解析式求解，构建连贯的知识学习支架。 资料采用“定义-题型-典例-变式”分层设计，通过实例抽象概念培养抽象能力（数学眼光），题型训练提升推理意识（数学思维），表格概括性质、口诀简化平移规律强化数学语言表达。课中助力教师分层授课，课后变式练习与综合题帮助学生查漏补缺。

第02讲 一次函数的图像和性质 知识点1：正比例的定义 知识点2：一次函数的定义 知识点3：一次函数的图像和性质 知识点4：一次函数的平移 知识点5：求一次函数的解析式 一般地，形如y=kx(k≠0）函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 【题型1 正比例函数的定义】 【典例1】下列关系式中，表示是的正比例函数的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】下列函数中，是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】若函数是正比例函数，则的值是 ． 【变式3】若函数是正比例函数，则m的值是 ． 如果 y=kx+b（k，b是常数，k ≠0 ）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。 注意：当b=0时，一次函数y=kx+b 变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。 【题型2 一次函数的识别】 【典例2】下列四个函数中属于一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列函数中是一次函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】下列函数中是一次函数但不是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】下列函数：①；②；③；④．其中一次函数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型3 根据一次函数的定义求参数】 【典例3】若函数是关于x的一次函数，则 ． 【变式1】表示一次函数，则m等于 ． 【变式2】已知直线（a为不等于1的常数）与直线平行，则 ． 【变式3】已知是一次函数，则 ． 【题型4 求一次函数自变量或函数值】 【典例4】下列各点中在直线上的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列各点中，在直线上的点是（） A． B． C． D． 【变式2】对于一次函数（k，b为常数），下表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中恰好有一个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（    ） A．5 B．8 C．12 D．14 【变式3】若点在直线上，则（    ） A．15 B．9 C．5 D． 【题型5 列一次函数解析式并求值】 【典例5】将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设张白纸粘合后的总长度为，则与之间的函数关系式为 ． 【变式1】函数的图象，经过点，则 ． 【变式2】点在直线上，则代数式的值是 ． 【变式3】已知． (1)若把y看成是x的函数关系式，求出其函数关系式； (2)当或时，求函数值； (3)当时，求自变量x的值． 一次函数图象与性质用表格概括下： 增减性 k＞0 k＜0 从左向右看图像呈上升趋势，y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势，y随x的增大而较少 图像（草图） b＞0 b=0 b＜0 b＜0 b=0 b＜0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴的交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0,交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 【提分要点】： 1. 若两直线平行，则； 2. 若两直线垂直，则 【题型6判断一次函数图像所在象限】 【典例6】直线y＝﹣x+3经过的象限是(    ) A．第一、二、四象限 B．第一、二、三象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 【变式1】对于直线y＝2x﹣3，下列说法正确的是（    ） A．经过第一、二、三象限 B．经过第二、三、四象限 C．经过第一、二、四象限 D．经过第一、三、四象限 【变式2】若正比例函数中随的增大而增大，则一次函数的图象经过（　　） A．第一、第三、第四象限 B．第一、第二、第三象限 C．第一、第二、第四象限 D．第二、第三、第四象限 【变式3】直线经过一、二、三象限，则直线的图象可能是图中的（    ） A．B．C．D． 【题型7根据函数经过的象限求参数】 【典例7】若一次函数的图象经过第一、第二、第四象限，则的取值范围是 ． 【变式1】已知一次函数图象不经过第一象限，则的取值范围为 ． 【变式2】已知一次函数的图像经过第二、三、四象限，那么的取值范围是 ． 【变式3】如果一次函数的图象经过原点，则 ． 【题型8一次函数图象与坐标轴的交点问题】 【典例8】直线与轴交于点，则点的坐标为 ． 【变式1】直线与轴的交点坐标是 ． 【变式2】一次函数的图象向上平移3个单位长度后，与轴的交点坐标为 【变式3】一次函数的图象与y轴的交点坐标是 ． 【题型9根据一次函数增减性求含参取值范围】 【典例9】若函数是关于的一次函数，随增大而增大，则的取值范围是 ． 【变式1】在一次函数中，y随x的增大而减小，则a的取值范围是_____． 【变式2】已知一次函数，y的值随x的值的增大而增大，那么m的取值范围是 ． 【变式3】一次函数，如果函数值随自变量的值增大而减小，那么的取值范围是 ． 【题型10比较一次函数值的大小】 【典例10】点都在直线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知点，，都在直线上，且，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式2】若点，，是一次函数图象上两点，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式3】点都在一次函数的图象上，则的大小关系是 ． 【题型11 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 【典例11】下列图形中，表示一次函数与正比例函数(k，b为常数，且)的图象是（　　） A． B． C． D． 【变式1】在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知正比例函数的函数值y随x的增大而减小，则一次函数的图象大致是（   ） A．B．C． D． 【变式3】两直线与在同一坐标系内的图象可能是（   ） A．B．C． D． 1、 一次函数图像在x轴上的左右平移。向左平移n个单位，解析式y=kx+b变化为y=k（x+n）+b；向右平移n个单位解析式y=kx+b变化为y=k（x-n）+b。 口诀：左加右减（对于y=kx+b来说，对括号内x符号的增减）（此处n为正整数）。 2、 一次函数图像在y轴上的上下平移。向上平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b+m；向下平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b-m。 口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）（此处m为正整数） 【题型12 一次函数的平移问题】 【典例12】将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度后经过点，则的值为（    ） A．5 B．6 C． D． 【变式1】将一次函数的图象向上平移5个单位长度，所得直线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【变式2】将直线向下平移个单位长度，所得的图象恰好过点，则m的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】在平面直角坐标系中，将直线向上平移个单位长度后，得到的新的直线经过点，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 用待定系数法求一次函数解析式的步骤： 基本步骤：设、列、解、写 ⑴设：设一般式y=kx+b ⑵列：根据已知条件，列出关于k、b的方程（组） ⑶解：解出k、b； ⑷写：写出一次函数式 【题型13 求一次函数解析式】 【典例13】已知关于x的一次函数． (1)当y随x的增大而减小时，求m的取值范围； (2)当该函数图象经过第一、三、四象限时，求m的取值范围． 【变式1】已知关于的一次函数． (1)如果函数图像经过原点，求的值； (2)如果的值随的值的增大而增大，求的取值范围． 【变式2】已知与成正比，且时，． (1)求关于的函数表达式； (2)当时，求的值； (3)将所得函数的图象平移，使它过点，求平移后图象的表达式． 【变式3】在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点和． (1)求一次函数的关系式； (2)直线与轴相交于点，与轴相交于点，求的面积． 1．下列函数中，是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 2．已知直线经过点，则k的值为（    ） A．-2 B．2 C． D． 3．对于一次函数，下列说法错误的是（   ） A．图象是经过两点，的一条直线 B．图象不经过第一象限 C．的值随着的值增大而减小 D．图象与轴的交点坐标为 4．点，在一次函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 5．与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 6．在平面直角坐标系中，经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 7．将一次函数与的图象画在同一坐标系中，它们的图象可能是（   ） A．B．C．D． 8．如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 9．若一次函数的图象经过第四象限，则的取值范围是 ． 10．如图，点是一次函数图象上的一点，则方程的解是 ． 11．一次函数的图象向下平移6个单位长度后，得到一个新的一次函数的图象，则这个新的一次函数的表达式为 ． 12．若直线经过点，则的值为 ． 13．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，则的面积为 ． 14．已知一次函数(a为常数,且)，若当时，函数有最大值5，则a的值为 ． 15．在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)试判断点是否在直线上，并说明理由． 16．某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究．探究过程如下： (1)自变量x的取值范围是全体实数，表格是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 m 2 1 0 1 2 3 … 其中，m＝ ； (2)如图，在平面直角坐标系中，画出了该函数的图象，请根据图象回答以下问题： ①该函数图象的最低点的坐标是 ； ②当y随x的增大而减小时，x的取值范围是 ；（包括端点） ③关于x的方程的解是 ． 17．如图，直线与轴、轴分别交于点，． (1)求的值； (2)点是第一象限内直线上的一个动点，当点运动到什么位置时，的面积为2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 一次函数的图像和性质 知识点1：正比例的定义 知识点2：一次函数的定义 知识点3：一次函数的图像和性质 知识点4：一次函数的平移 知识点5：求一次函数的解析式 一般地，形如y=kx(k≠0）函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 【题型1 正比例函数的定义】 【典例1】下列关系式中，表示是的正比例函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数的定义，一般地，形如(是常数，且)的函数叫做正比例函数，根据正比例函数的定义判断即可求解，掌握正比例函数的定义是解题的关键． 【详解】解：、不是正比例函数，该选项不合题意； 、是正比例函数，该选项符合题意； 、是一次函数，该选项不合题意； 、不是正比例函数，该选项不合题意； 故选：． 【变式1】下列函数中，是的正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是正比例函数的定义，根据正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A、，该函数包含一次项和常数项，属于一次函数，但不符合正比例函数无常数项的要求，故本选项不符合题意； B、，该函数符合的形式，其中，满足正比例函数的定义，因此是正比例函数；故本选项符合题意； C、，该函数中的次数为2，不符合正比例函数中次数为1的要求，故本选项不符合题意； D、，该函数可写为，不符合正比例函数的形式，故排本选项不符合题意； 故选：B． 【变式2】若函数是正比例函数，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了正比例函数的定义，解答本题的关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数的定义条件是：为常数且，自变量次数为1． 根据正比例函数的定义可得关于的方程，解出即可得出答案． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴， ∴， 故答案为：2． 【变式3】若函数是正比例函数，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，关键是掌握①正比例系数不等于零，②自变量次数为1． 根据正比例函数的定义，令，且求出即可． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ，且， ，且， ∴． 故答案为：． 如果 y=kx+b（k，b是常数，k ≠0 ）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。 注意：当b=0时，一次函数y=kx+b 变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。 【题型2 一次函数的识别】 【典例2】下列四个函数中属于一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的定义，掌握定义是解题关键．即一般地，形如，为常数，则是的一次函数，由一次函数的定义可得答案． 【详解】解：A、不是一次函数，故不符合题意； B、是一次函数，故符合题意； C、不是一次函数，故不符合题意； D、不是一次函数，故不符合题意； 故选：B． 【变式1】下列函数中是一次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 根据一次函数的定义逐一验证即可． 【详解】解：A：，该函数含分式，不符合一次函数的形式，故该选项不符合题意； B：，未明确，故该选项不符合题意； C：，该函数符合一次函数的标准形式，故该选项符合题意； D：，该函数最高次数为2，不符合一次函数的定义，故该选项不符合题意． 故选：C． 【变式2】下列函数中是一次函数但不是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数的定义，（，为常数，），当时，函数为正比例函数，据此进行逐项分析，即可作答．本题考查了一次函数的定义，正比例函数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：A、是正比例函数，故该选项不符合题意； B、不是一次函数，故该选项不符合题意； C、不是一次函数，故该选项不符合题意； D、是一次函数但不是正比例函数，故该选项符合题意； 故选：D 【变式3】下列函数：①；②；③；④．其中一次函数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的定义，理解和掌握一次函数的定义及表示形式是解题的关键． 一般地，形如是常数，且的函数，叫做一次函数，其中是自变量，当时，一次函数也叫正比例函数，仍是一次函数，由此即可求解． 【详解】解：根据一次函数的定义得，①是正比例函数；②，③，是一次函数， ④不是一次函数， 故一次函数共有3个， 故选：C． 【题型3 根据一次函数的定义求参数】 【典例3】若函数是关于x的一次函数，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数的定义．形如（）的函数是一次函数，熟记定义是解题的关键． 由一次函数定义得到, ，即可求出答案． 【详解】解：∵是关于x的一次函数， ∴, , 解得． 故答案为：． 【变式1】表示一次函数，则m等于 ． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数的定义：形如的函数是一次函数，熟记定义是解题的关键． 根据一次函数的定义解答． 【详解】解：∵表示一次函数， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式2】已知直线（a为不等于1的常数）与直线平行，则 ． 【答案】0或2或 【分析】本题主要考查了两条直线平行问题，乘方结果为1的问题，解题的关键是考虑全面的值． 根据两直线平行得出，根据乘方的结果为1，分情况讨论的取值即可． 【详解】解：∵直线（a为不等于1的常数）与直线平行， ∴， 当时，，符合题意； 当时，，此时为偶数，符合题意； 当时，，此时，符合题意； ∴或或． 故答案为：0或2或． 【变式3】已知是一次函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数，根据一次函数的定义可得，解不等式即可求解，掌握一次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是一次函数， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型4 求一次函数自变量或函数值】 【典例4】下列各点中在直线上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征.理解一次函数图像上的点的坐标一定满足关系式是解答关键． 通过将各点的坐标代入直线方程 ，计算对应的值，并与点的坐标比较，判断点是否在直线上． 【详解】解： A、时，，在直线上，故此项符合题意； B、时，，不在直线上，故此项不符合题意； C、时，，不在直线上，故此项不符合题意； D、时，，不在直线上，故此项不符合题意. 故选：A． 【变式1】下列各点中，在直线上的点是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的自变量与函数值，掌握知识点是解题的关键． 通过将每个点的坐标代入直线方程进行验证，计算右边值是否等于y值． 【详解】解：∵点是否在直线上需满足方程， 对于选项A：， 计算， ∴点不在直线上． 对于选项B：， 计算， ∴点不在直线上． 对于选项C：， 计算， ∴点不在直线上． 对于选项D：， 计算， 且， ∴点在直线上． 故选D． 【变式2】对于一次函数（k，b为常数），下表中给出5组自变量及其对应的函数值，其中恰好有一个函数值计算有误，则这个错误的函数值是（    ） A．5 B．8 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数，根据一次函数的性质解答是解题的关键．根据一次函数的性质即可解答． 【详解】解：从表中可以看出，自变量每增加1个单位，函数值的前3个都是增加3，只有第4个是增加了4，导致第5个只增加了2． 第4个应是增加了3，即为11． 这样函数值随自变量是均匀增加，因而满足一次函数关系． ∴这个计算有误的函数值是12， 故选：C． 【变式3】若点在直线上，则（    ） A．15 B．9 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，将点代入，得到关于的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， 解得：， 故选：C． 【题型5 列一次函数解析式并求值】 【典例5】将长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为．设张白纸粘合后的总长度为，则与之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列一次函数，解题关键是找准等量关系． 根据题中等量关系列出一次函数解析式． 【详解】解：设张白纸粘合后的总长度为， ∵长为，宽为的长方形白纸，按照如图所示的方法粘合起来，粘合部分宽为， 可得 ∴， 故答案为：． 【变式1】函数的图象，经过点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图像上的点的特征，熟练一次函数知识点是解题的关键．将点代入，再解方程即可． 【详解】解：∵函数的图象，经过点， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式2】点在直线上，则代数式的值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特点，代数式求值，把点代入直线解析式推出，再根据进行求解即可． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 【变式3】已知． (1)若把y看成是x的函数关系式，求出其函数关系式； (2)当或时，求函数值； (3)当时，求自变量x的值． 【答案】(1) (2)1或 (3)7 【分析】本题主要考查了求一次函数关系式，求自变量的值，求函数值， 对于（1），用含有x的代数式表示y即可； 对于（2），将，分别代入关系式，求出答案； 对于（3），将代入关系式，求出结果即可． 【详解】（1）解：移项，得， 两边都除以2，得； （2）解：当时，； 当时，； （3）解：当时，， 解得． 一次函数图象与性质用表格概括下： 增减性 k＞0 k＜0 从左向右看图像呈上升趋势，y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势，y随x的增大而较少 图像（草图） b＞0 b=0 b＜0 b＜0 b=0 b＜0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴的交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0,交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 【提分要点】： 1. 若两直线平行，则； 2. 若两直线垂直，则 【题型6判断一次函数图像所在象限】 【典例6】直线y＝﹣x+3经过的象限是(    ) A．第一、二、四象限 B．第一、二、三象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 【答案】A 【分析】根据当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限即可解答. 【详解】解：∵k=-1＜0，b=3＞0， ∴直线y=-x+3经过第一，二，四象限； 故答案为：A． 【点睛】本题考查了一次函数图象的性质，熟练掌握是解题的关键. 【变式1】对于直线y＝2x﹣3，下列说法正确的是（    ） A．经过第一、二、三象限 B．经过第二、三、四象限 C．经过第一、二、四象限 D．经过第一、三、四象限 【答案】D 【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】解：直线y＝2x﹣3中，k＝2＞0，b＝﹣3＜0， ∴该函数图象经过第一、三、四象限， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 【变式2】若正比例函数中随的增大而增大，则一次函数的图象经过（　　） A．第一、第三、第四象限 B．第一、第二、第三象限 C．第一、第二、第四象限 D．第二、第三、第四象限 【答案】A 【分析】先根据正比例函数的增减性得到，再根据一次函数图象与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵正比例函数中随的增大而增大， ∴，即， ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限， 故选A． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟知对于一次函数，当时，一次函数经过第一、二、三象限，当时，一次函数经过第一、三、四象限， 当时，一次函数经过第一、二、四象限，当时，一次函数经过第二、三、四象限是解题的关键． 【变式3】直线经过一、二、三象限，则直线的图象可能是图中的（    ） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】根据直线y＝kx﹣b经过一、二、三象限，可知k＞0，﹣b＞0，即可判断的图象． 【详解】解：∵直线y＝kx﹣b经过一、二、三象限， ∴k＞0，﹣b＞0， ∴b＜0，k＞0， ∴直线的图象经过第一、二、四象限， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，通过经过的象限推出k和b的值是解决本题的关键． 【题型7根据函数经过的象限求参数】 【典例7】若一次函数的图象经过第一、第二、第四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，由一次函数的图象经过第一、第二、第四象限可得，解不等式组即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、第二、第四象限， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式1】已知一次函数图象不经过第一象限，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象与系数的关系．对于一次函数，当时，图象必过一、三象限；当时，图象必过二、四象限；当时，图象必过一、二象限；当时，图象必过三、四象限；熟记相关结论即可求解． 【详解】解：∵一次函数图象不经过第一象限， ∴图象与轴的交点在轴负半轴或过原点， ∴， 故答案为： 【变式2】已知一次函数的图像经过第二、三、四象限，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与性质，对于一次函数 (，k，b为常数），当，图象经过第一，三象限，y随x的增大而增大；当，图象经过第二，四象限，y随x的增大而减小；当，图象与y轴的交点在x轴的上方；当，图象过坐标原点；当，图象与y轴的交点在x轴的下方． 根据图像经过第二、三、四象限得到，据此得到一元一次不等式组，再求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图像经过第二、三、四象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式3】如果一次函数的图象经过原点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了由经过已知点求参数，由经过原点得，即可求解；理解图象经过原点的意义是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 故答案为：． 【题型8一次函数图象与坐标轴的交点问题】 【典例8】直线与轴交于点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查求一次函数与坐标轴的交点坐标，解题关键是熟练掌握“轴上的点纵坐标为0，轴上的点横坐标为0”． 由与轴交于点，直接令即可求解． 【详解】解：∵直线与轴交于点， ∴令，得， 解得， ∴． 故答案为：． 【变式1】直线与轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与坐标轴交点坐标，掌握坐标轴上点坐标特征是解题的关键． 令，求得y的值即可． 【详解】解：当时，， 所以直线与y轴的交点坐标是． 故答案为：． 【变式2】一次函数的图象向上平移3个单位长度后，与轴的交点坐标为 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象的平移，一次函数图象与坐标轴的交点问题，根据平移规则，求出平移后的解析式，令，求出值，即可得解． 【详解】解：由题意，平移后的解析式为：， 当时，； ∴与轴的交点坐标为； 故答案为：． 【变式3】一次函数的图象与y轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一次函数与y轴的交点坐标，求出自变量的值为0时的函数值即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， ∴一次函数的图象与y轴的交点坐标是， 故答案为：． 【题型9根据一次函数增减性求含参取值范围】 【典例9】若函数是关于的一次函数，随增大而增大，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图象性质，根据一次函数的图象性质可得，解得k的取值范围即可． 【详解】解：若函数是关于的一次函数，随增大而增大， 则， 解得：， 故答案为：． 【变式1】在一次函数中，y随x的增大而减小，则a的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与性质，一元一次不等式，掌握这些是解题的关键． 根据一次函数性质，当时，y随x的增大而减小，列出一元一次不等式，解答即可． 【详解】解：中y随的增大而减小， ， ． 故答案为： 【变式2】已知一次函数，y的值随x的值的增大而增大，那么m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质.根据一次函数，当时，y的值随x的值的增大而增大；当时，y的值随x的值的增大而减小解答即可． 【详解】解：∵一次函数，y的值随x的值的增大而增大， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式3】一次函数，如果函数值随自变量的值增大而减小，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的相关知识是解题的关键．根据一次函数的性质分析即可． 【详解】解： ，函数值随的增大而减小，则， 解得：． 故答案为：． 【题型10比较一次函数值的大小】 【典例10】点都在直线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，先根据直线判断出函数图象的增减性，再根据点的横坐标的大小进行判断即可． 【详解】解：∵直线中，， ∴y随x的增大而减小， 又， ∴， 故选：B． 【变式1】已知点，，都在直线上，且，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的图象与系数的关系是解题的关键． 先根据题意判断出函数的增减性，进而可得出结论． 【详解】解：一次函数中，， 随的增大而增大， ， ． 故选：D． 【变式2】若点，，是一次函数图象上两点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键．由，利用一次函数的性质可得y随x的增大而减小，再结合，即可得出． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， 又∵， ∴， ∴． 故选：A． 【变式3】点都在一次函数的图象上，则的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的增减性． 根据判断即可． 【详解】解：∵， ∴一次函数的图象y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 【题型11 根据一次函数解析式判断其经过的象限】 【典例11】下列图形中，表示一次函数与正比例函数(k，b为常数，且)的图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了一次函数图象与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得k、b的符号，再由的图象可得的符号，比较可得答案． 【详解】解：A、由一次函数图象可知，，，由正比例函数的图象可知，故此选项正确； 、由一次函数图象可知，，即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项错误；； 、由一次函数图象可知，，即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项错误 、由一次函数图象可知，，即，由正比例函数的图象可知，矛盾，故此选项错误． 故选：A． 【变式1】在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用正比例函数和一次函数的性质解答． 根据正比例函数和一次函数的性质，可以得到函数和的图象经过哪几个象限，本题得以解决． 【详解】解∶当时，函数是经过原点的直线，经过第一、三象限，函数是经过第一、二、三象限的直线，没有符合题意的选项∶ 当时，函数是经过原点的直线，经过第二、四象限，函数是经过第一、三、四象限的直线，选项C符合题意； 故选∶ C． 【变式2】已知正比例函数的函数值y随x的增大而减小，则一次函数的图象大致是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象是解决本题的关键． 先根据正比例函数的性质确定的取值范围，再根据一次函数的性质判断一次函数的图象特征． 【详解】解：∵正比例函数的函数值y随x的增大而减小， ∴， 对于一次函数，其中一次项系数， ∴一次函数随的增大而增大， 即函数图象从左到右上升， ∵， ∴一次函数图象与轴的交点在轴负半轴上， 综合以上分析，一次函数的图象过第一、三、四象限． 故选：B． 【变式3】两直线与在同一坐标系内的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数的图象与性质逐一排除即可，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：、如果过第一、二、四象限的图象是，由的图象可知，，；由的图象可知，，，两结论不矛盾，故正确； 、如果过第一、二、四象限的图象是，由的图象可知，，；由的图象可知，，，两结论矛盾，故错误； 、如果过第一、三、四象限的图象是，由的图象可知，，；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故错误； 、如果过第二、三、四象限的图象是，由的图象可知，，；由的图象可知，，，两结论相矛盾，故错误； 故选：． 1、 一次函数图像在x轴上的左右平移。向左平移n个单位，解析式y=kx+b变化为y=k（x+n）+b；向右平移n个单位解析式y=kx+b变化为y=k（x-n）+b。 口诀：左加右减（对于y=kx+b来说，对括号内x符号的增减）（此处n为正整数）。 2、 一次函数图像在y轴上的上下平移。向上平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b+m；向下平移m个单位解析式y=kx+b变化为y=kx+b-m。 口诀：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）（此处m为正整数） 【题型12 一次函数的平移问题】 【典例12】将一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度后经过点，则的值为（    ） A．5 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，先求出函数平移后的解析式，再把点代入求出的值即可． 【详解】解：一次函数的图象沿轴向上平移个单位长度， 平移后的解析式为， 平移后经过点， ， 解得． 故选：B． 【变式1】将一次函数的图象向上平移5个单位长度，所得直线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象与几何变换，掌握平移中解析式的变化规律是：左加右减；上加下减是解题的关键．根据函数图象上加下减的规律，可得答案． 【详解】解：将一次函数的图象向上平移5个单位长度，所得直线的解析式为．即． 故选：D． 【变式2】将直线向下平移个单位长度，所得的图象恰好过点，则m的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象平移的规律和解析式中参数的求解方法，解题关键是掌握平移规则．将直线向下平移个单位后，解析式变为，代入点即可求解． 【详解】解：将直线向下平移个单位后，得到， 平移后的图象经过点， ， 解得， 故选：C． 【变式3】在平面直角坐标系中，将直线向上平移个单位长度后，得到的新的直线经过点，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图像及其平移变换，以及代入法求解未知数，解题的关键在于理解直线平移后方程的变化规律．根据平移规律，向上平移m个单位，解析式加上m，再将已知点坐标代入新方程求解m的值即可． 【详解】解：设平移后的解析式为： ， 将点，代入方程得 ， 解得： ， 故选：C． 用待定系数法求一次函数解析式的步骤： 基本步骤：设、列、解、写 ⑴设：设一般式y=kx+b ⑵列：根据已知条件，列出关于k、b的方程（组） ⑶解：解出k、b； ⑷写：写出一次函数式 【题型13 求一次函数解析式】 【典例13】已知关于x的一次函数． (1)当y随x的增大而减小时，求m的取值范围； (2)当该函数图象经过第一、三、四象限时，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数的图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，解一元一次不等式组，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． （1）根据一次函数的性质可得当时，函数值y随x的增大而减小，求解即可； （2）根据一次函数的图象经过第一、三、四象限，列出关于m的不等式组，求出m的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵y随x的增大而减小 ∴ ∴； （2）∵该函数图象经过第一、三、四象限 ∴ ∴． 【变式1】已知关于的一次函数． (1)如果函数图像经过原点，求的值； (2)如果的值随的值的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1)5 (2) 【分析】此题考查了一次函数的图像和性质，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键． （1）根据函数图像过原点得到，即可求出m的值； （2）根据函数图像的性质得到，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵函数图像经过原点， ∴ 可得； （2）∵的值随的值的增大而增大， ∴ 可得． 【变式2】已知与成正比，且时，． (1)求关于的函数表达式； (2)当时，求的值； (3)将所得函数的图象平移，使它过点，求平移后图象的表达式． 【答案】(1)关于的函数表达式为； (2)； (3)平移后图象的表达式为． 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数的平移， （1）根据题意设；然后利用待定系数法求一次函数解析式； （2）把代入一次函数解析式可求得； （3）设平移后直线的解析式为，把点代入求出b的值，即可求出平移后直线的解析式． 【详解】（1）解：依题意设 ∵时，， ∴，解得 ∴关于的函数表达式为； （2）解：当时，； （3）解：将函数平移的表达式设为 因为平移后的函数的图象经过点， 所以， 解得 因此，平移后图象的表达式为． 【变式3】在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点和． (1)求一次函数的关系式； (2)直线与轴相交于点，与轴相交于点，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，三角形的面积，掌握数形结合思想解题是解题的关键． （）利用待定系数法解答即可； （）根据（）所得函数解析式，求出点坐标，进而求出的长度，最后根据三角形面积公式计算即可； 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点和， ∴， 解得， ∴一次函数的关系式为； （2）解：当时，， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴． 1．下列函数中，是一次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】此题考查一次函数的定义，根据一次函数的定义（形如）进行判断即可 【分析】∵一次函数需满足， A：，x在分母，不符合； B：，x次数为2，不符合； C：，符合； D：，为常数函数，，不符合; 故选C 2．已知直线经过点，则k的值为（    ） A．-2 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，将点代入解析式列方程求解是解题的关键．将点代入解析式列方程求解即可． 【详解】解：将点代入得， ，解得, 故选： ． 3．对于一次函数，下列说法错误的是（   ） A．图象是经过两点，的一条直线 B．图象不经过第一象限 C．的值随着的值增大而减小 D．图象与轴的交点坐标为 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质． 根据一次函数的性质，判断各选项的正误即可． 【详解】解：当时，，点在图像上；当时，，点在图像上，故A正确； 点在图像上，故B错误； ∵，∴ y随x增大而减小，故C正确； 令，得，解得，∴与x轴交点为，故D正确； 故选：B． 4．点，在一次函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据时，随的增大而增大即可判断求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵在一次函数中，， ∴随的增大而增大， ∵点，在一次函数的图象上，且， ∴， 故选：． 5．与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质， 两条直线平行的条件是k值相等，给定直线，只需比较各选项可得答案． 【详解】解：∵一次函数中， 选项A：一次函数中，； 选项B：一次函数中，，符合； 选项C：一次函数中，； 选项D：一次函数中，， ∴与给定直线平行的是选项B． 故选：B． 6．在平面直角坐标系中，经过（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的性质．根据一次函数的性质，当且时，图象经过第一、二、四象限，即可求解． 【详解】解：∵ ，， ∴ 图象经过第一、二、四象限． 故选 B． 7．将一次函数与的图象画在同一坐标系中，它们的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的图象性质，解题的关键是根据两个函数的系数关系（与的符号），判断图象特征是否一致（正比例函数过象限由符号决定，一次函数过象限由的增减性和的截距符号决定）． 先根据正比例函数的图象判断的符号（确定与异号或同号）；再根据该符号关系，判断一次函数的增减性（的符号）和轴截距（的符号），验证是否与选项中一次函数的图象特征一致；同时排除正比例函数不经过原点的选项． 【详解】解：∵ 是正比例函数，图象必过原点， ∴ 选项C中正比例函数不经过原点，此选项不符合题意； 剩余选项中，正比例函数均经过第二、四象限，故，即与异号（一正一负）． A、一次函数过第二、三、四象限，说明（函数递减）且（截距在轴负半轴），则与同号，与矛盾，此选项不符合题意； B、一次函数过第一、三、四象限，说明（函数递增）且（截距在轴负半轴），则与异号，与一致，此选项符合题意； D、一次函数过第一、二、三象限，说明（函数递增）且（截距在 轴正半轴），则与同号，与矛盾，此选项不符合题意； 故选：B． 8．如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，根据题意可求出点，将点代入一次函数得，则关于的方程的解是． 【详解】解：一次函数与的图象相交于点， ， 解得， 点， 将点代入一次函数得， 关于的方程的解是， 故选：C． 9．若一次函数的图象经过第四象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系．根据一次函数的图象与系数的关系即可得出结论． 【详解】解：一次函数的图象与轴的交点坐标为，且图象经过第四象限， 函数的图象必经过第一、二、四象限， ， 故答案为：． 10．如图，点是一次函数图象上的一点，则方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，掌握数形结合的数学思想是解题的关键．根据一次函数的性质判断即可． 【详解】解：根据题意，当时，， ∴方程的解是． 故答案为：． 11．一次函数的图象向下平移6个单位长度后，得到一个新的一次函数的图象，则这个新的一次函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数图象的平移；利用一次函数图象平移规律：上加下减，即可求解． 【详解】解：∵将函数的图象向下平移6个单位长度， ∴新函数表达式为． 故答案为：． 12．若直线经过点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代数式求值．由点P在直线上，代入直线方程可得n与m的关系式，再代入所求表达式进行化简计算． 【详解】解：∵点在直线上， ∴， ∴, 故答案为：． 13．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，根据坐标轴上点的坐标特征求A点和B点坐标是解题的关键． 先根据坐标轴上点的坐标特征求得A点和B点的坐标，易得，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， ∴当时，，则，即；当时，，则，即； ∴的面积为． 故答案为：3． 14．已知一次函数(a为常数,且)，若当时，函数有最大值5，则a的值为 ． 【答案】2或 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可分当时和当时，进而分类求解即可． 【详解】解：当时，一次函数的增减性为y随x的增大而增大， ∴当时，一次函数有最大值5，即，解得：； 当时，一次函数的增减性为y随x的增大而减小， ∴当时，一次函数有最大值5，即，解得：； 故答案为2或． 15．在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)试判断点是否在直线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在直线上，理由见解析 【分析】本题考查了坐标轴上点的坐标特点、一次函数的图象的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）令点的纵坐标为即可解题； （2）将点的坐标代入解析式验证即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，且点在轴上， ， 解得：， ； （2）解：点在直线上，理由如下： 当时，， ∴点在直线上． 16．某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了探究．探究过程如下： (1)自变量x的取值范围是全体实数，表格是y与x的几组对应值： x … 0 1 2 3 4 5 … y … 5 4 m 2 1 0 1 2 3 … 其中，m＝ ； (2)如图，在平面直角坐标系中，画出了该函数的图象，请根据图象回答以下问题： ①该函数图象的最低点的坐标是 ； ②当y随x的增大而减小时，x的取值范围是 ；（包括端点） ③关于x的方程的解是 ． 【答案】(1)3 (2)①；②；③， 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将代入函数计算求解即可； （2）①由图象可知，当时，是函数图象的最低点，令代入计算求解即可； ②函数可以改写成，当y随x的增大而减小时，满足函数解析式，则x的取值范围是； ③根据题意得，令或，解方程即可． 【详解】（1）解：令，则，即 故答案为：； （2）①解：在平面直角坐标系中，函数的图象为两段直线组成， 由图象可知，令，则 因此，该函数图象的最低点的坐标是 故答案为：； ②根据题意得， 观察图象可知，当y随x的增大而减小时，满足函数解析式， 则x的取值范围是， 故答案为：； ③根据题意得，， 则或 解得或 故答案为：，． 17．如图，直线与轴、轴分别交于点，． (1)求的值； (2)点是第一象限内直线上的一个动点，当点运动到什么位置时，的面积为2． 【答案】(1) (2)当移动到点时，的面积为2 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）把代入解析式进行求解即可； （2）求出点坐标，根据三角形的面积公式求出点的坐标即可． 【详解】（1）解：把，代入，得：， ∴； （2）由（1）知：， ∴当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当时，； ∴当移动到点时，的面积为2． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $