专题 5.3 一次函数的图象与性质（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）-2025-2026学年苏科版八年级数学上册基础知识专项突破讲练2025-2026学年八年级数学上册

本讲义聚焦一次函数的图象与性质核心知识点，从正比例函数的图象、性质切入，进阶到一次函数的平移规律、位置特征、增减性分析，再延伸至与一元一次方程的关系，构建从基础到综合的学习支架，系统梳理知识点与分类题型。 资料以★（基础）、★★（综合）、★★★（压轴）标注题型分层，例题结合变式题强化理解，融入几何综合题（如等边三角形、网格问题）培养几何直观与推理意识。同步练习分基础巩固与能力提升，课中助力教师分层教学，课后帮助学生查漏补缺，提升运算能力与模型意识。

专题 5.3 一次函数的图象与性质 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 【★题型1】正比例函数图象与性质 2 【★★题型2】正比例函数性质与几何综合 3 【知识点二】一次函数的图象与性质 6 【★题型3】一次函数的平移求解析式 6 【★题型4】利用一次函数的平移求值 7 【★题型5】一次函数的图位置 10 【★题型6】一次函数的增减性 12 【知识点三】一次函数与坐标轴交点 14 【★题型7】一次函数图象与坐标轴交点 14 【★题型8】一次函数与几何综合 15 二．同步练习​ 22 【基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 22 【能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 32 一.知识梳理与题型分类精析 题号带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【知识点一】正比例函数的图象与性质 y=kx 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0 一、三 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＜0 二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 【★题型1】正比例函数图象与性质 【例题1】（25-26八年级上·宁夏银川·期中）关于正比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象必经过点 B．图象经过第一、三象限 C．随的增大而增大 D．随的增大而减小 【答案】D 【分析】本题主要考查了正比例函数图象的性质， 根据正比例函数中，则图象经过第二、四象限，判断B；再将代入关系式判断 A；然后根据，函数值 y 随 x 的增大而减小，判断C、D即可． 解：∵正比例函数中， ∴图象经过第二、四象限，故B错误； 当时，， ∴图象经过点，故A错误； ∵， ∴ y 随 x 的增大而减小， 故C错误，D正确． 故选：D． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知正比例函数的图象经过点． （1）求这个函数表达式； （2）判断点，点是否在这个函数图象上； （3）图象上的两点，如果，比较的大小． 【答案】（1）；（2）点不在函数图象上，点在函数图象上；（3） 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，涉及待定系数法求解析式，一次函数的性质与系数的关系，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． （1）利用待定系数法求解析式即可； （2）将点A或点横坐标代入函数解析式，求出纵坐标，即可判断点A或点是否在这个函数图象上； （3）根据正比例函数的增减性，即可比较，的大小． 解：（1）解：将点代入， 得， 解得， ∴这个函数解析式为； （2）解：当时，， ∴点不在这个函数图象上； 当时，， ∴点在这个函数图象上； （3）解：∵， ∴y随着x增大而减小， ∵图象上的两点，，且， ∴． 【变式2】（24-25八年级下·湖南湘潭·期末）已知正比例函数． （1）若它的图象经过第二、四象限，求k的取值范围． （2）若点在它的图象上，求它的解析式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． （1）根据函数图象经过第二、四象限，可得，即可求解； （2）将点代入函数解析式中，待定系数法求解析式即可求解． 解：（1）解：函数图象经过第二、四象限 ∴，即k的取值范围是； （2）将点代入函数解析式中，得：， 解得：， 所以正比例函数解析式为． 【★★题型2】正比例函数性质与几何综合 【例题2】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的边长为4． （1）求点A的坐标； （2）求所在直线的表达式． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是等边三角形的性质，勾股定理的应用，化为最简二次根式，求解正比例函数解析式． （1）过点A作轴于点D，求解，，进一步可得． （2）设直线的表达式是，把点A的坐标代入，进一步求解即可． 解：（1）解：如图，过点A作轴于点D， ∵是边长为4的等边三角形， ∴，， 在中，， ∴． （2）解：设直线的表达式是， 把点A的坐标代入，得， 解得， ∴直线的表达式是． 【变式1】将的正方形网格如图放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是1，正方形的顶点都在格点上．若直线与正方形有公共点，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的性质．分别确定点A和点C的坐标，代入正比例函数的解析式即可求得k的取值范围． 解：由题意得：点A的坐标为，点C的坐标为， ∵当正比例函数经过点A时，，当经过点C时， ， ∴直线与正方形有公共点，k的取值范围是， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，点都在轴上，点在直线上，，都是等腰直角三角形，如果，则点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由得到点的坐标，然后利用等腰直角三角形的性质得到点的坐标，进而得到点的坐标，然后找出规律得到点的坐标． 解： 点的坐标为， 是等腰直角三角形， ， 是等腰直角三角形， ， 为等腰直角三角形， ， ， 同理可得， 故选B． 【点拨】本题考查了点坐标给绿探究，正比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是通过等腰直角三角形的性质依次求出系列点B的坐标找出规律． 【知识点二】一次函数的图象与性质 1.一次函数图象的平移 一次函数向左平移m个单位后的解析式为； 一次函数向右平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为. 【★题型3】一次函数的平移求解析式 【例题3】（25-26九年级上·新疆·开学考试）把的图象沿轴向下平移5个单位后所得图象的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的平移，根据一次函数图象平移的规律，沿y轴向下平移时，函数关系式中的常数项减去平移单位即可． 解：∵原函数为 ，沿y轴向下平移5个单位， ∴新函数为 ． 故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·四川眉山·期末）将平面直角坐标系中的直线向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得的直线解析式是 ． 【答案】 【分析】根据“左加右减，上加下减”的规律写出函数解析式即可． 本题考查了一次函数图象与几何变换，掌握“左加右减，上加下减”直线平移的规律，属于基础题，中考常考题型． 解：将直线向左平移个单位，再向下平移个单位后，得到直线，即， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）将直线平移得到直线，则移动方法为（   ） A．向左平移3个单位 B．向右平移3个单位 C．向上平移3个单位 D．向下平移3个单位 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象的平移规律，关键掌握“上加下减”的垂直平移规律，通过比较原函数与目标函数的常数项变化，即可确定平移方向． 解：∵直线平移得到直线， ∴将原直线向下平移3个单位得到直线， 故选：D． 【★题型4】利用一次函数的平移求值 【例题4】（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）如图所示的是一次函数的图象，与x轴，y轴分别交于A，B两点 （1）若，，用待定系数法求直线l的解析式； （2）若将直线l向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，发现图象回到l的位置，求k的值． 【答案】（1）；（2）2 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换及一次函数图象与系数的关系，掌握平移规律是解题的关键． （1）把，代入解析式解答即可． （2）根据平移规律列出关于k的方程，求出k的值即可． 解：（1）解：把，代入解析式得， ， 解得， ∴； （2）解：将直线l先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度后得到的直线解析式为． 所以， 解得． 【变式1】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期末）在平面直角坐标系中，直线（为常数）与轴交于点A，将该直线沿轴向左平移6个单位长度后，与轴交于点．若点与A关于原点对称，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换——平移，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握图象平移规律“横坐标左加右减”，“纵坐标上加下减”，是解题的关键 根据平移的规律求得平移后的直线解析式，然后根据x轴上点的坐标特征求得A、的坐标，由题意可知，解得． 解：∵直线（m为常数）与x轴交于点A， ∴当时，， 解得， ∴， ∵将该直线沿x轴向左平移6个单位长度， ∴平移得到， ∵将该直线沿x轴向左平移6个单位长度后与x轴交于点， ∴当时，， 解得， ∴， ∵点与A关于原点O对称， ∴， 解得， 故答案为：3． 【变式2】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，线段两个端点的坐标分别为，，一次函数的图像经过点和． （1）求一次函数的解析式； （2）将直线向上平移个单位长度，使平移后的直线经过线段的中点，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，灵活运用所学知识解决问题并认真计算是解题的关键． （1）把和代入可求得解析式； （2）设平移后的直线的解析式为，可得，，求出的中点坐标，代入可求解； 解：（1）解：把和代入可得， ， 解得， ∴这个一次函数的解析式为：； （2）解：设平移后的直线的解析式为， ∵，， ∴线段的中点坐标为， 把代入， 得， 解得：． 2. 一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质： y=kx+b 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0，b＞0 一、二、三 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＞0，b＜0 ] 一、三、四 k＜0，b＞0 一、二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 k＜0，b＜0 二、三、四 3. 、对一次函数的图象和性质的影响： 决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限． 【★题型5】一次函数的图位置 【例题4】（25-26八年级上·广东深圳·期中）一次函数的图像如图所示，则一次函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数的图像得，，由一次函数的性质判断经过象限，即可求解． 解：由一次函数的图像得：， ， 一次函数的图像经过第一、三、四象限， 故选：A． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）一次函数的图象如图所示，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，化简绝对值，解题的关键是掌握一次函数的性质进行解题． 由题意可知，得出，化简绝对值即可得到答案． 解：由题图可得，， 所以， 所以． 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·湖南衡阳·开学考试）一次函数的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，由函数的图象经过第一、二、三象限，利用一次函数图象与系数的关系可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围． 解：∵函数的图象经过第一、二、三象限， ∴， 解得． 故答案为：． 【★题型6】一次函数的增减性 【例题4】（25-26八年级上·山东枣庄·期中）对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．它的图象与轴交于点 B．随的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，与坐标轴的交点问题以及与不等式的关系，根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案． 解：A.当时，，即一次函数的图象与y轴交于点，说法正确； B.由于，则随x的增大而增大，原说法错误； C.当时，则，且随x的增大而增大，故当时，，原说法错误； D.一次函数的图象经过第一、三、四象限，原说法错误； 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·安徽池州·期中）关于的一次函数，若随的增大而减小，且图象与轴的交点在轴下方，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性和图象与坐标轴的交点特征是解题的关键．根据一次函数的增减性得到，再根据图象与轴的交点的位置得到，进而求出实数的取值范围． 解：随的增大而减小， ，即． 图象与轴的交点在轴下方， 当时，，即． 的取值范围是且，即． 故选：． 【变式2】（25-26八年级上·山西运城·期中）已知点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质．根据自变量系数，判断出在一次函数中，y随x的增大而减小，据此作答即可． 解：∵在一次函数中，自变量系数， ∴在一次函数中，y随x的增大而减小， ∵点在一次函数的图象上，且， ∴， 故选：A． 【变式3】（24-25八年级下·湖南湘潭·期末）已知一次函数，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，由，可得出y随x的增大而减小，结合，即可求出y的最小值． 解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最小值，此时． 故答案为：． 【知识点三】一次函数与坐标轴交点 一次函数（，为常数）.当函数时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 　　从图象上看，这相当于已知直线（，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值. 【★题型7】一次函数图象与坐标轴交点 【例题8】（25-26八年级上·重庆南岸·期中）已知一次函数图象经过点，． （1）求这个一次函数解析式； （2）求出图象与两个坐标轴的交点坐标． 【答案】（1）；（2）、 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，一次函数图象与坐标轴交点的坐标的特点，求出函数解析式是解本题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）分别令x、y等于0，求出y与x的值，即可得到图象与y轴和x轴的交点． 解：（1）解：设一次函数解析式为， 把点，分别代入解析式得，， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）解：当时，， 当时，， 解得：， ∴与坐标轴的交点为、． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）一元一次方程的解是，则函数的图象与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程，先明确方程的解与对应函数图象和轴交点的关系，根据已知方程的解确定交点坐标即可． 解：函数的图象与轴有交点， 此时的， 即， 一元一次方程的解是， 即为该交点的横坐标， 函数的图象与轴的交点坐标是， 故选：B． 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数的图象与直线没有交点，且与轴交点的纵坐标为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，及一次函数与坐标轴的交点问题，由与轴交点的纵坐标为，求得，由与给定直线无交点，求得，代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 解：∵ 一次函数 的图象与y轴交点的纵坐标为， ∴ 当时，，即， 又∵ 一次函数的图象与直线没有交点， ∴直线与直线平行， ∴， ∴， 故答案为：． 【★题型8】一次函数与几何综合 【例题8】（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，点A在x轴负半轴上，直线与x轴、y轴分别相交于点B，C，且． (1)求直线的表达式； (2)点P，Q分别为直线上一点，连接，设点P的横坐标为t． ①当点P在线段 上且轴时，请用含t的代数式表示点Q的坐标； ②当点Q是的中点且时，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查了一次函与几何综合，全等三角形的性质与判定，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）先求出点B和点C的坐标，再求出的长，进而得到的长，则可求出点A的坐标，最后利用待定系数法求解即可； （2）①先求出点P的纵坐标，根据轴得到点Q的纵坐标，再由点Q在直线上列式求解即可；②分点P在点C下方和点P在点C上方两种情况，利用“一线三垂直”模型构成全等三角形求解即可． （1）解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 设直线的表达式为， ∴， ∴， ∴直线的表达式为； （2）解：①∵点P的横坐标为t，且点P在直线上， ∴点P的坐标为， ∵轴， ∴点Q的纵坐标为， ∵点Q在直线上， ∴， ∴， ∴点Q的坐标为； ②如图所示，当点P在点C下方时，过点Q作交直线于D，过点Q作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为点E和点F， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵点Q为的中点，且 ∴， ∵， ∴， ∴ ，即， ∵点D在直线上， ∴， 解得； 如图所示，当点P在点C上方时，过点Q作交直线于D，过点Q作轴，过点分别作的垂线，垂足分别为点E和点F， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵点Q为的中点，且 ∴， ∵， ∴， ∴ ，即， ∵点D在直线上， ∴， 解得； 综上所述，或． 【变式1】（25-26八年级上·江西九江·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，且点从点出发，向右运动，当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或或 【分析】确定，，得，，然后分三种情况：①当时；②当时；③当时，分别求解即可． 解：∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， 当时，；当时，， ∴，， ∴，， 当为等腰三角形时，分三种情况： ①当时，如图， ∴， 在中，， ∴， ∴； ②当时，如图， 在中，，， ∴， ∴； ③当时，如图， ∵轴与轴互相垂直，即， ∴， ∴， 综上所述，的长为或或． 【点拨】本题考查一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形，勾股定理，等腰三角形的性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 【变式2】（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，把直线绕点A顺时针旋转45度得到的新的直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的旋转，利用旋转的性质求出点的坐标是解题的关键； 首先分别令，，求出点A与点B的坐标，进而得到；然后利用旋转不变性，旋转前后的对应线段相等即可求得点的横坐标与纵坐标，进而得到线段中点的坐标，运用待定系数法求出直线的解析式． 解：把绕点A顺时针旋转得到，连接，设线段交绕点A顺时针旋转45度得到的直线于E， 则，， ∴， ∴， ∵， ∴E为线段的中点， ∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴令，则， 解得， 故. 令，则， 故点， ∴. ∵由旋转知，， ∴， ∵， ∴， ∴轴， ∴点 ∵，点E是点的中点， ∴， 设直线的解析式为， 把代入中， 得， 解得， ∴直线的解析式为． 故答案为：． 二．同步练习​ 【基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）若一次函数（k、b是常数）的图象经过一、二、三象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象，点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据一次函数图象经过象限的特征，可知确定且，从而判断点所在象限． 解：∵ 函数的图象经过第一、二、三象限， ∴ 且， ∴ ， ∴ 点中，，， ∴点在第四象限， 故选：D． 2．（25-26八年级上·广西百色·期中）一次函数的图象经过点（   ） A． B． C． D．以上都正确 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，通过将各点坐标代入函数解析式，验证是否满足方程 ． 解：当时， 可得：， 点 在图象上， 故A选项符合题意； 当， 可得：， 点 不在图象上， 故B选项不符合题意； 当时， 可得：， 点 不在图象上， 故C选项不符合题意． 综上，只有选项 A 正确， 故D选项不符合题意． 故选：A． 3．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）将如图的直线向上平移3个单位长度，得到一个一次函数的图象，则这个一次函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的解析式，平移的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先设直线的解析式为，把代入，求出，即直线的解析式为，然后结合将直线向上平移3个单位长度，进行分析，即可作答． 解：观察函数，得出直线经过原点， 故设直线的解析式为， 把代入，得，解得 即直线的解析式为， ∵将直线向上平移3个单位长度， ∴得到一个一次函数的解析式为， 故选：B 4．（25-26八年级上·重庆·期中）下列表示一次函数与正比例函数（其中k，b为常数且）的图像正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数图像和正比例函数图像，熟练掌握一次函数图像和正比例函数图像的性质是解题的关键． 根据分析一次函数的图像确定和符号，通过分析图像确定一次函数和正比例函数的常数符号是否一致，据此逐项判断即可． 解：选项A、由一次函数图像可知、；观察正比例函数图像可知，与一次函数矛盾，不符合题意； 选项B、由一次函数图像可知、；观察正比例函数图像可知，与一次函数矛盾，不符合题意； 选项C、由一次函数图像可知、；观察正比例函数图像可知，与一次函数一致，符合题意； 选项D、由一次函数图像可知、；观察正比例函数图像可知，与一次函数矛盾，不符合题意； 故选：C． 5．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知一次函数（）的图象经过点，且随的增大而增大．若点在该函数的图象上，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象与性质，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． 现将代入解析式，得到，则得到一次函数为，再根据随的增大而增大得，将选项中各点代入函数解析式，验证是否满足即可得到答案． 解：一次函数（）的图象经过点， ∴，即， 又∵随的增大而增大， ∴， 则一次函数为， A、将代入得，解得，不符合题意； B、将代入得，解得，符合题意； C、将代入得，解得，不符合题意； D 、将代入得，解得，不符合题意； 故选：B． 6．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与不等式，数形结合是解题的关键；根据函数图象即可求解． 解：观察图象知，不等式的解集为， 故选：A． 二、填空题 7．（25-26八年级上·安徽六安·期中）一个正比例函数图象经过点，则其函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式．根据待定系数法，可得函数解析式． 解：设函数解析式为，将代入函数解析式，得 ． 函数解析式为， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·吉林延边·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过的象限是 ． 【答案】第四象限 【分析】本题考查了一次函数与系数的关系：由于与轴交于，当时，在轴的正半轴上，直线与轴交于正半轴；当时，在轴的负半轴，直线与轴交于负半轴．当，的图象在一、二、三象限；，的图象在一、三、四象限；，的图象在一、二、四象限；，的图象在二、三、四象限．根据一次函数的解析式可得，，进而即可求解． 解：∵，，， ∴一次函数的图象不经过的象限是第四象限， 故答案为：第四象限． 9．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）将一次函数的图象以y轴为对称轴翻折，翻折后的图象函数表达式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，坐标与图形变化—轴对称，设点为翻折后的函数图象上一点，则点是一次函数的图象上一点，再把代入中求出n关于m的函数关系式即可得到答案． 解：设点为翻折后的函数图象上一点，则点是一次函数的图象上一点， ∴， ∴翻折后的图象函数表达式是， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·福建漳州·期中）已知点和点是函数的图象上的两点，则 （填“>”，“<”或“=”） 【答案】< 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质， 根据一次函数的性质，当时，函数随x增大而增大，由于点A的横坐标小于点B的横坐标，可得答案． 解：∵一次函数中， ∴函数值y随x增大而增大． ∵， ∴． 故答案为：． 11．（25-26九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于A，B两点，把绕点逆时针旋转后得到，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数与几何图形结合在一起的应用，旋转前后对应边长度不变是解题的关键．先根据函数图象分别求出、的长度，再通过旋转之后对应边相等可求出点的坐标． 解：令时，则；令时，则，解得：； ∴， ， 由旋转的性质可知：， ∴的横坐标为6，纵坐标为， ∴点的坐标是． 故答案为． 12．（24-25八年级下·甘肃白银·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴于点，作等腰直角三角形（与原点O重合），再以为腰作等腰直角三角形，以为腰作等腰直角三角形；按照这样的规律进行下去，那么的坐标为 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质以及规律型中点的坐标，由题意可得点在x轴上，且，求出，，，得出规律，即可得解． 解：由题意可得：点在x轴上，且， ∵在直线上， ∴， ∴， ∴直线为， ∴，，， …， ∴， ∴的坐标为， 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）已知是的一次函数，且当时，；当时，．求： （1）此一次函数的表达式； （2）当时，自变量的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设此一次函数的表达式为，将时，；时，代入即可求解； （2）当时，，解一元一次不等式即可． 解：（1）解：设此一次函数的表达式为， 将时，；时，代入得， 得， 将其代入，则， ， ； （2）解：当时， ， 即， 当时，自变量的取值范围为． 【点拨】本题考查的知识点是待定系数法求一次函数表达式、一次函数与一元一次不等式，解题关键是熟练掌握待定系数法求一次函数表达式． 14．（25-26八年级上·江西吉安·期中）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点． （1）求点，的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为；（2） 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式． （1）根据、两点分别在、轴上，令求出的值；再令求出的值即可得出结论； （2）直接根据三角形的面积公式即可得出结论． 解：（1）解：依题意得，对于直线， 当时，，解得，则点的坐标为， 当时，，则点的坐标为． （2）点的坐标为，点的坐标为， ，． ． 15．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知与成正比例，且当时，． （1）写出与之间的函数关系式； （2）若点在这个函数的图象上，求的值； （3）若的取值范围为，求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】题目主要考查正比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题关键． （1）根据题意设，然后利用待定系数法代入求解即可； （2）将点代入求解即可； （3）根据正比例函数的性质求解即可． 解：（1）解：由题意，设， 将代入，得， 解得， 所以，即． （2）解：将点代入， 得， 解得． （3）在中， 因为， 所以随的增大而增大， 所以当取最小值时，值最小． 当时，， 解得， 所以的最小值为． 16．（24-25八年级下·河南·阶段练习）如图，直线的函数表达式为交轴于点．直线的函数表达式为，且分别交轴、直线于点、，已知点坐标为． （1）求、的值； （2）求的面积； （3）结合函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1），；（2）6；（3） 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，一次函数与不等式（组）的关系，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）利用一次函数图象上点的坐标特征求解； （2）先求出A，C，D三点的坐标，再由求面积； （3）结合图象，利用一次函数与不等式的关系求解． 解：（1）对于直线： ， 当时，，解得，故； 当时，，即，故； 将点代入，可得，解得， ，． （2）由（1）知，，，直线的函数表达式为， 由解得，故， ， ． （3）直线与直线的交点为， 当时直线的图象在的上方， 当时，即， 不等式的解集． 【能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26八年级上·安徽六安·阶段练习）已知直线经过点和，其中，则k的值可能为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征． 利用一次函数图象上点的坐标特征得到，由题意可知，解得，故k的值可能是． 解：∵直线经过点和， ∴， ∵， ∴， ∴或， 解得， ∴k的值可能是． 故选：B． 2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知一次函数（，是常数，且），若，则该一次函数的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，由条件可得，根据一次函数图象的性质，若点在图象上，则，将选项中的点代入函数，验证是否满足即可确定答案，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 解：∵， ∴， A、点，代入函数得，与条件完全一致，故必经过该点，符合题意； B、点，代入得，若满足，需解方程组，解得，，但若取，（满足），此时，故不必然经过该点，不符合题意； C、点，代入得，若满足，需解方程组，解得，，但若取，，此时，故不必然经过该点，不符合题意； D、点代入得，显然矛盾，故不可能经过该点， 故选：A． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线对应的函数表达式为，将直线向上平移得到，与轴、轴分别交于点、点，若，则直线的解析式（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的平移性质及坐标轴上点的坐标特征，解题的关键是掌握一次函数平移时的规律． 根据直线平移性质设直线的解析式为；由及是与轴交点，确定点坐标为；将点坐标代入解析式求出的值，进而得到的解析式． 解：∵ 直线由直线向上平移得到， ∴ 设直线的解析式为． ∵ 直线与轴交于点，且， ∴ 点的坐标为． 将代入，得，解得． ∴ 直线的解析式为． 故选：C． 4．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知点和点在一次函数的图象上，且，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的单调性；当，随的增大而增大；当，随的增大而减小，熟记一次函数的性质是解题关键．由，，知即可解答． 解：∵一次函数中， ∴随的增大而减小， ∵，且点，点， ∴， ∴的值可能为． 故选：A． 5．（2024·安徽·模拟预测）由点的坐标判断函数图象，已知点在如图所示的一次函数图象上，则一次函数的图象不可能是    （    ） A．A B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象上的点的坐标特点，一次函数的图象，掌握相关知识是解题的关键． 根据题意得到点在第一、二、三象限，从而不存在的情况，因此得到一次函数的图象不可能经过第一、三、四象限，即可解答． 解：∵点在如图所示的一次函数图象上， ∴点在第一、二、三象限， ∴当时，；当时，或或， ∴不存在的情况， ∴一次函数的图象不可能经过第一、三、四象限． 故选：D 6．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）已知一次函数的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A．随的增大而减小 B．图象经过第一、二、四象限 C．图象可由直线向上平移4个单位长度得到 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查求一次函数的解析式，一次函数的图象与性质，一次函数与不等式的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．先通过代入已知点坐标求出一次函数的解析式，再根据解析式逐一分析每个选项． 解：∵ 的图象经过点 ，代入得： 解得： ∴一次函数的解析式为 ， ∵ ， ∴ 随 的增大而增大，并非减小，故选项A错误； 在一次函数 中，，， 函数图象经过第一、二、三象限，并非第一、二、四象限，故选项B错误； 直线 向上平移4个单位长度，得到的函数解析式应为 ，与求出的 不一致，故选项C错误； 令 ，即 ， 解得： ∴当 时，，故选项D正确。 故选：D． 二、填空题 7．（25-26八年级上·山西运城·期中）平面直角坐标系第三象限内有一点P，它到x轴的距离为2，到y轴的距离为6，则直线的表达式为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征及正比例函数表达式的求解，解题的关键是根据点所在象限与点到坐标轴的距离确定点P的坐标，再用待定系数法求直线的表达式． 由第三象限点的横、纵坐标均为负，结合点到x轴、y轴的距离确定点P的坐标；设直线的表达式为，将点P坐标代入求出的值，进而得到表达式． 解：∵点P在第三象限，到x轴的距离为2，到y轴的距离为6， ∴点P的坐标为． 设直线的表达式为， 将代入得：， 解得， ∴直线的表达式为． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·陕西西安·期中）直线（为常数）与轴交于点，与轴交于点，将该直线沿轴向左平移6个单位长度后与轴交于点．若点与关于原点对称，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点、图象平移规律以及关于原点对称的点坐标特征，通过求交点坐标，利用平移规律得到平移后的解析式，再根据对称关系求出参数m，进而得到点B的坐标． 解：直线与x轴交于点A，令，得，解得，故， 与y轴交于点B，令，得，故； 将直线沿x轴向左平移6个单位长度后，解析式为，与x轴交于点，令，得，解得，故， ∵点与关于原点对称， ∴， 解得， ∴点B坐标为； 故答案为． 9．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）已知一次函数，当时，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数的增减性问题，当时，y随x增大而增大，则当时，，当时，，当时，y随x增大而减小，则当时，，当时，，据此利用待定系数法求解即可． 解：当时，y随x增大而增大， ∵当时，， ∴当时，，当时，， ∴， 解得； 当时，y随x增大而减小， ∵当时，， ∴当时，，当时，， ∴， 解得； 综上所述，的值是， 故答案为：． 10．（2025·广东佛山·三模）已知，两点都在关于x的一次函数的图象上，则a，b的大小关系为 ． 【答案】 【分析】根据所给一次函数解析式，得出y随x的增大而减小，再结合A，B两点纵坐标的大小关系，得出横坐标的大小关系即可解决问题． 本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 解：因为一次函数的解析式为， 所以y随x的增大而减小． 又因为， 所以 故答案为： 11．（24-25八年级上·江西抚州·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，在x轴上作一点C，使得是以为腰作等腰三角形，则点C的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理以及等腰三角形的性质，分为腰及为腰两种情况求出点C的坐标是解题的关键． 利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出，OB的长，结合勾股定理，可求出的长，分为腰及为腰两种情况考虑，根据等腰三角形的性质，可求出或的值，进而可得出点C的坐标． 解：当时，， 解得：， 点A的坐标为， ； 当时，， 点B的坐标为， ， 当为腰时，， 点C的坐标为或； 当为腰时，， 点C的坐标为 综上所述，点C的坐标为或或 故答案为：或或 12．（20-21八年级下·贵州贵阳·期中）一次函数（k，b为常数）的图象如图所示，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式． 根据图象即可得不等式的解集． 解：由图可知，当时，一次函数的图象在直线的下方， ∴不等式的解集是． 故答案为：． 三、解答题 13．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，直线与轴、轴分别交于点，． （1）求的值； （2）若点是直线上一点，且的面积为2，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）点的坐标为或 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）将点坐标代入计算，求出的值即可； （2）先求出点的坐标，再结合的面积为2，求出点坐标即可． 解：（1）解：将点代入，得， 解得 （2）由（1）知，直线的函数表达式为 将代入，得，所以点的坐标为， 设点的坐标为 的面积为2， ，解得， ①将代入，得， 所以点的坐标为； ②将代入，得， 所以点的坐标为， 综上，点的坐标为或． 14．（25-26八年级上·福建宁德·期中）如图，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，过点的直线交轴负半轴于点，且． （1）点的坐标为_____________，点的坐标为____________； （2）将沿直线翻折得到，点的对应点为点，求点的坐标． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题主要考查了求一次函数关系式，求函数值或自变量的值等，确定各点与函数关系式之间的关系是解题的关键． （1）分别令和，即可求解； （2）由折叠的性质可得，，从而得到，即可求解． 解：（1）解：对于， 当时，，当时，， ∴点，点，即， ∵， ∴， ∴点； 故答案为：， （2）解：由（1）得，，， ， ∵将沿直线翻折得到， ∴，， ∴， ． 15．（20-21八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点、点，点的坐标为，点A的坐标为． （1）求一次函数的解析式； （2）若点是线段（不与点、重合）上的一点，试写出的面积与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）在（2）的条件下探究：当点在什么位置时，的面积为，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；；（3）当的坐标为时，的面积为，见分析 【分析】（1）把点E的坐标为（-8，0）代入求出k即可解决问题； （2）△OPA是以OA长度6为底边，P点的纵坐标为高的三角形，根据 列出函数关系式即可； （3）利用（2）的结论，列出方程即可解决问题； 解：（1）把代入中 有 ∴ ∴一次函数解析式为 （2）如图： ∵是以为底边，点的纵坐标为高的三角形 ∵ ∴ ∴ 自变量的取值范围： （3）当的面积为时，有 解得 把代入一次函数中，得 ∴当的坐标为时，的面积为 【点拨】本题考查一次函数综合题、三角形的面积、一元一次方程等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法确定函数解析式，学会构建一次函数或方程解决实际问题． 16．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）【模型建立】 如图1，等腰中，，，直线ED经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E． （1）求证：． 【模型应用】 （2）如图2，在图1中建立平面直角坐标系，使点E与坐标原点O重合，ED和EB所在直线分别为x轴、y轴，若，，请解答下列问题： ①点C的坐标是______，点A的坐标是______； ②在x轴上存在点M，使得以O，A，B，M为顶点的四边形的面积为4，请直接写出点M的坐标：______； （3）如图3，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作直线，使，求直线的函数表达式． 【答案】（1）见分析；（2）①，，②或；（3） 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，涉及全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点． （1）利用证明即可； （2）①根据即可得到点C的坐标，根据全等三角形的性质即可得到，，从而得到，即可得到点A的坐标； ②分M在原点右侧和在原点左侧两种情况讨论求解即可； （3）设直线与轴交于点，设，先求出，，根据，在中利用勾股定理建立方程求出的坐标，再由待定系数法求解函数解析式． 解：（1）证明：①∵，， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：①∵，，， ∴，， ∴点C的坐标为， ∴， ∴点A的坐标为， 故答案为：，； ②如图所示，当点M在原点右边时，连接，， 由题意得， ∴ ∴， ∴点M的坐标为； 如图所示，当点M在原点左侧时，连接，， ∴ ， ∴， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或； （3）解：设直线与轴交于点，设， 对于直线：，当；，， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 设直线，代入，， 则， 解得， ∴直线． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5.3 一次函数的图象与性质 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 【知识点一】正比例函数的图象与性质 1 【★题型1】正比例函数图象与性质 2 【★★题型2】正比例函数性质与几何综合 2 【知识点二】一次函数的图象与性质 3 【★题型3】一次函数的平移求解析式 3 【★题型4】利用一次函数的平移求值 3 【★题型5】一次函数的图位置 5 【★题型6】一次函数的增减性 6 【知识点三】一次函数与一元一次方程的关系 6 【★题型7】一次函数图象与坐标轴交点 6 【★题型8】一次函数与几何综合 7 二．同步练习​ 8 【基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 8 【能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 11 一.知识梳理与题型分类精析 题号带“★”表示基础题，带“★★”表示综合题，带“★★★”表示压轴题 【知识点一】正比例函数的图象与性质 y=kx 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0 一、三 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＜0 二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 【★题型1】正比例函数图象与性质 【例题1】（25-26八年级上·宁夏银川·期中）关于正比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象必经过点 B．图象经过第一、三象限 C．随的增大而增大 D．随的增大而减小 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知正比例函数的图象经过点． （1）求这个函数表达式； （2）判断点，点是否在这个函数图象上； （3）图象上的两点，如果，比较的大小． 【变式2】（24-25八年级下·湖南湘潭·期末）已知正比例函数． （1）若它的图象经过第二、四象限，求k的取值范围． （2）若点在它的图象上，求它的解析式． 【★★题型2】正比例函数性质与几何综合 【例题2】（25-26八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，等边三角形的边长为4． （1）求点A的坐标； （2）求所在直线的表达式． 【变式1】将的正方形网格如图放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是1，正方形的顶点都在格点上．若直线与正方形有公共点，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，点都在轴上，点在直线上，，都是等腰直角三角形，如果，则点坐标是（    ） A． B． C． D． 【知识点二】一次函数的图象与性质 1.一次函数图象的平移 一次函数向左平移m个单位后的解析式为； 一次函数向右平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为； 一次函数向上平移m个单位后的解析式为. 【★题型3】一次函数的平移求解析式 【例题3】（25-26九年级上·新疆·开学考试）把的图象沿轴向下平移5个单位后所得图象的关系式是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·四川眉山·期末）将平面直角坐标系中的直线向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得的直线解析式是 ． 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）将直线平移得到直线，则移动方法为（   ） A．向左平移3个单位 B．向右平移3个单位 C．向上平移3个单位 D．向下平移3个单位 【★题型4】利用一次函数的平移求值 【例题4】（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）如图所示的是一次函数的图象，与x轴，y轴分别交于A，B两点 （1）若，，用待定系数法求直线l的解析式； （2）若将直线l向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，发现图象回到l的位置，求k的值． 【变式1】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期末）在平面直角坐标系中，直线（为常数）与轴交于点A，将该直线沿轴向左平移6个单位长度后，与轴交于点．若点与A关于原点对称，则的值为 ． 【变式2】（25-26九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，线段两个端点的坐标分别为，，一次函数的图像经过点和． （1）求一次函数的解析式； （2）将直线向上平移个单位长度，使平移后的直线经过线段的中点，求的值． 2. 一次函数（、为常数，且≠0）的图象与性质： y=kx+b 图像 经过象限 升降趋势 增减性 k＞0，b＞0 一、二、三 从左向右上升 y随着x的增大而增大 k＞0，b＜0 ] 一、三、四 k＜0，b＞0 一、二、四 从左向右下降 y随着x的增大而减小 k＜0，b＜0 二、三、四 3. 、对一次函数的图象和性质的影响： 决定直线从左向右的趋势，决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限． 【★题型5】一次函数的图位置 【例题4】（25-26八年级上·广东深圳·期中）一次函数的图像如图所示，则一次函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）一次函数的图象如图所示，化简： ． 【变式2】（25-26九年级上·湖南衡阳·开学考试）一次函数的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是 ． 【★题型6】一次函数的增减性 【例题4】（25-26八年级上·山东枣庄·期中）对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．它的图象与轴交于点 B．随的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 【变式1】（25-26八年级上·安徽池州·期中）关于的一次函数，若随的增大而减小，且图象与轴的交点在轴下方，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山西运城·期中）已知点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级下·湖南湘潭·期末）已知一次函数，若，则的最小值为 ． 【知识点三】一次函数与一元一次方程的关系 一次函数（，为常数）.当函数时，就得到了一元一次方程，此时自变量的值就是方程的解.所以解一元一次方程就可以转化为：当某一个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值. 　　从图象上看，这相当于已知直线（，为常数），确定它与轴交点的横坐标的值. 【★题型7】一次函数图象与坐标轴交点 【例题8】（25-26八年级上·重庆南岸·期中）已知一次函数图象经过点，． （1）求这个一次函数解析式； （2）求出图象与两个坐标轴的交点坐标． 【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）一元一次方程的解是，则函数的图象与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知一次函数的图象与直线没有交点，且与轴交点的纵坐标为，则 ． 【★题型8】一次函数与几何综合 【例题8】（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，点A在x轴负半轴上，直线与x轴、y轴分别相交于点B，C，且． (1)求直线的表达式； (2)点P，Q分别为直线上一点，连接，设点P的横坐标为t． ①当点P在线段 上且轴时，请用含t的代数式表示点Q的坐标； ②当点Q是的中点且时，请直接写出t的值． 【变式1】（25-26八年级上·江西九江·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，且点从点出发，向右运动，当为等腰三角形时，的长为 ． 【变式2】（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，把直线绕点A顺时针旋转45度得到的新的直线的解析式为 ． 二．同步练习​ 【基础巩固（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）若一次函数（k、b是常数）的图象经过一、二、三象限，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（25-26八年级上·广西百色·期中）一次函数的图象经过点（   ） A． B． C． D．以上都正确 3．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）将如图的直线向上平移3个单位长度，得到一个一次函数的图象，则这个一次函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·重庆·期中）下列表示一次函数与正比例函数（其中k，b为常数且）的图像正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知一次函数（）的图象经过点，且随的增大而增大．若点在该函数的图象上，则点的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26八年级上·安徽六安·期中）一个正比例函数图象经过点，则其函数表达式为 ． 8．（23-24八年级下·吉林延边·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过的象限是 ． 9．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）将一次函数的图象以y轴为对称轴翻折，翻折后的图象函数表达式是 ． 10．（25-26八年级上·福建漳州·期中）已知点和点是函数的图象上的两点，则 （填“>”，“<”或“=”） 11．（25-26九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于A，B两点，把绕点逆时针旋转后得到，则点的坐标是 ． 12．（24-25八年级下·甘肃白银·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴于点，作等腰直角三角形（与原点O重合），再以为腰作等腰直角三角形，以为腰作等腰直角三角形；按照这样的规律进行下去，那么的坐标为 三、解答题 13．（25-26八年级上·江苏盐城·期中）已知是的一次函数，且当时，；当时，．求： （1）此一次函数的表达式； （2）当时，自变量的取值范围． 14．（25-26八年级上·江西吉安·期中）如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点． （1）求点，的坐标； （2）求的面积． 15．（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知与成正比例，且当时，． （1）写出与之间的函数关系式； （2）若点在这个函数的图象上，求的值； （3）若的取值范围为，求的最小值． 16．（24-25八年级下·河南·阶段练习）如图，直线的函数表达式为交轴于点．直线的函数表达式为，且分别交轴、直线于点、，已知点坐标为． （1）求、的值； （2）求的面积； （3）结合函数图象，直接写出不等式的解集． 【能力提升（选择题6题，填空题6题，解答题4题）】 一、单选题 1．（25-26八年级上·安徽六安·阶段练习）已知直线经过点和，其中，则k的值可能为（    ） A． B． C．1 D．2 2．（2024·陕西西安·模拟预测）已知一次函数（，是常数，且），若，则该一次函数的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线对应的函数表达式为，将直线向上平移得到，与轴、轴分别交于点、点，若，则直线的解析式（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·陕西西安·期中）已知点和点在一次函数的图象上，且，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·安徽·模拟预测）由点的坐标判断函数图象，已知点在如图所示的一次函数图象上，则一次函数的图象不可能是    （    ） A．A B． C． D． 6．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）已知一次函数的图象经过点，则下列说法正确的是（    ） A．随的增大而减小 B．图象经过第一、二、四象限 C．图象可由直线向上平移4个单位长度得到 D．当时， 二、填空题 7．（25-26八年级上·山西运城·期中）平面直角坐标系第三象限内有一点P，它到x轴的距离为2，到y轴的距离为6，则直线的表达式为 ． 8．（25-26八年级上·陕西西安·期中）直线（为常数）与轴交于点，与轴交于点，将该直线沿轴向左平移6个单位长度后与轴交于点．若点与关于原点对称，则点坐标为 ． 9．（24-25八年级下·辽宁大连·期末）已知一次函数，当时，，则的值是 ． 10．（2025·广东佛山·三模）已知，两点都在关于x的一次函数的图象上，则a，b的大小关系为 ． 11．（24-25八年级上·江西抚州·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，在x轴上作一点C，使得是以为腰作等腰三角形，则点C的坐标为 ． 12．（20-21八年级下·贵州贵阳·期中）一次函数（k，b为常数）的图象如图所示，则不等式的解集是 ． 三、解答题 13．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，直线与轴、轴分别交于点，． （1）求的值； （2）若点是直线上一点，且的面积为2，求点的坐标． 14．（25-26八年级上·福建宁德·期中）如图，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，过点的直线交轴负半轴于点，且． （1）点的坐标为_____________，点的坐标为____________； （2）将沿直线翻折得到，点的对应点为点，求点的坐标． 15．（20-21八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，直线与轴、轴分别交于点、点，点的坐标为，点A的坐标为． （1）求一次函数的解析式； （2）若点是线段（不与点、重合）上的一点，试写出的面积与的函数关系式，并写出自变量的取值范围； （3）在（2）的条件下探究：当点在什么位置时，的面积为，并说明理由． 16．（25-26八年级上·辽宁沈阳·期中）【模型建立】 如图1，等腰中，，，直线ED经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E． （1）求证：． 【模型应用】 （2）如图2，在图1中建立平面直角坐标系，使点E与坐标原点O重合，ED和EB所在直线分别为x轴、y轴，若，，请解答下列问题： ①点C的坐标是______，点A的坐标是______； ②在x轴上存在点M，使得以O，A，B，M为顶点的四边形的面积为4，请直接写出点M的坐标：______； （3）如图3，已知直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B作直线，使，求直线的函数表达式． 2 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