精品解析：安徽芜湖市安徽师范大学附属中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

2025—2026学年度第二学期期末考试（供选用） 高二年级数学试题卷 本试题卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、考场/座位号、班级、准考证号填写在答题卷上，将条形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试题卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效. 4.考生必须保证答题卷的整洁，考试结束后，将试题卷和答题卷一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在平面直角坐标系中，过，两点的直线的斜率为（ ） A. B. 1 C. D. 2 2. 函数的导函数（ ） A. B. C. D. 3. 已知数列满足，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 4. 空间中两个非零向量和满足，且在方向上的投影的数量为，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆C的一个交点为P，的垂直平分线过点，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知随机变量X服从标准正态分布，设函数（即表示X落在区间上的概率），则（ ） A. B. C. D. 的图象关于对称 7. 数学学习小组的五位同学被邀请参加数学知识竞赛，若至少有一人参加，且其中甲和乙要么都参加，要么都不参加，则选派方案种数为（ ） A. 10 B. 12 C. 15 D. 17 8. 已知抛物线C：（）的焦点为F，直线与抛物线C交于点A，B，，x轴上一点P满足，则p的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 芜湖市将汽车产业作为首位产业全力推进，其中新能源汽车产业发展迅猛.下表统计了“某品牌汽车2021-2025年研发投入x（单位：十亿元）与新能源汽车业务营收y（单位：十亿元）”的对应数据： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 x（研发投入） 3 4 7 11 12 y（业务营收） 5 12 8 59 98 根据上表数据，求得y关于x的线性回归方程为，下列说法正确的有（ ） A. 变量x与y呈正线性相关关系 B. 回归直线必过点 C. 若2026年研发投入提升至13（十亿元），则新能源营收一定达到86.8（十亿元） D. 当时，残差为6.2（十亿元） 10. 已知圆：，圆：，，则（ ） A. 若圆过点，则圆过原点 B. 当时，两圆有三条公切线 C. 若两圆相交，相交弦所在直线过点，则 D. P为平面内一动点，若以P，，为顶点的三角形为等腰三角形，则P到点距离的最小值为 11. 已知函数（），则下列说法正确的是（ ） A. 是函数的极值点 B. 若函数有两个零点和，则 C. 若不是函数的极值点，则 D. 若，，满足，则A，B，C三点必在一条直线上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数（），曲线在处的切线与直线平行，则a的值为_____. 13. 在空间直角坐标系中，已知，，，若点在平面ABC内，则__________. 14. 现需设计一组有盖的底面半径为的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）：第1个容器能放入1个半径为的实心球，最小高度为；第2个容器能放入2个半径为的实心球，最小高度为；…；第n个容器能放入n个半径为的实心球，最小高度为（）.若，则使得成立的最大的正整数n的值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和为，若. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和. 16. 2027年1月4日起，羽毛球全球国际赛事全面启用每局15分制新规，先得15分者获胜，但当比赛双方14平后，必须一方净胜两分才能获胜（如16比14、17比15…），同时规定21分封顶，即比分为20比20时，先得21分者获胜.假设比赛中甲、乙比分为14比14，且甲、乙实力相当，可认为每一回合双方得分的概率均为，每回合得分结果相互独立.设“接下来两个回合比赛结束”，“接下来的第一个回合甲胜”. （1）求； （2）判断事件A与B是否相互独立，并说明理由； （3）记X为14平到比赛结束时进行的回合数，求X的分布列及其数学期望. 17. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，E是棱PB上一点. （1）若，求证：平面AEC； （2）若平面，求二面角的余弦值. 18. 已知函数，（） （1）当时，求函数在上的最小值； （2）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围； （3）若函数的导函数为，且函数与函数在内分别存在极小值点，求证：. 19. 已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，焦距为4，且其一条渐近线过点，点为双曲线C上一动点，过P的直线l分别与双曲线C的两条渐近线交于点M，N（M，N在y轴同侧）. （1）求双曲线C的方程； （2）（ⅰ）求证：点P到两条渐近线的距离的乘积为定值； （ⅱ）求的最小值； （3）求证：当三角形OMN面积取最小值时，M，N，，四点共圆. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期末考试（供选用） 高二年级数学试题卷 本试题卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、考场/座位号、班级、准考证号填写在答题卷上，将条形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试题卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答无效. 4.考生必须保证答题卷的整洁，考试结束后，将试题卷和答题卷一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在平面直角坐标系中，过，两点的直线的斜率为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】. 2. 函数的导函数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】． 3. 已知数列满足，，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【详解】，，，，， 4. 空间中两个非零向量和满足，且在方向上的投影的数量为，则与夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设与的夹角为，则在方向上的投影的数量为, 由题意，又因为， 代入得，即. 5. 已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆C的一个交点为P，的垂直平分线过点，则椭圆C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义结合已知条件得出，利用余弦定理构造方程得出，联立得出，进而求出离心率． 【详解】设椭圆焦距为，离心率，已知的垂直平分线过点，则 ， 是椭圆上的点，由椭圆定义， 故， 直线斜率为，故倾斜角为，在中，， ， 代入可得，解得， 故，解得， 故． 6. 已知随机变量X服从标准正态分布，设函数（即表示X落在区间上的概率），则（ ） A. B. C. D. 的图象关于对称 【答案】B 【解析】 【详解】已知 ，标准正态分布密度曲线关于 对称，结合标准正态分布密度曲线图像， 选项 A：，A 错误； 选项 B：, 由对称性得，B 正确；； 选项 C：，，由图可知，，C 错误； 选项 D：，即，所以 的图象不关于 对称，D 错误. 7. 数学学习小组的五位同学被邀请参加数学知识竞赛，若至少有一人参加，且其中甲和乙要么都参加，要么都不参加，则选派方案种数为（ ） A. 10 B. 12 C. 15 D. 17 【答案】C 【解析】 【分析】分两种情况，结合组合知识进行求解 【详解】若甲和乙均参加，剩余同学可选，可不选，则选派方案有种； 若甲和乙均不参加，剩余同学至少选1人，则选派方案有种； 综上，选派方案种数为. 8. 已知抛物线C：（）的焦点为F，直线与抛物线C交于点A，B，，x轴上一点P满足，则p的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】设，联立得到，由得到，又由题可知点P在线段垂直平分线上，设线段中点为，则，进而得到点，再求出，结合两点距离公式可得，再由求出． 【详解】设， ，， ，， 即， 又，则点P在线段垂直平分线上，设线段中点为， ，， 则直线的方程为， ， 又， 所以，即， 整理得， ，解得， 代入得，解得． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 芜湖市将汽车产业作为首位产业全力推进，其中新能源汽车产业发展迅猛.下表统计了“某品牌汽车2021-2025年研发投入x（单位：十亿元）与新能源汽车业务营收y（单位：十亿元）”的对应数据： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 x（研发投入） 3 4 7 11 12 y（业务营收） 5 12 8 59 98 根据上表数据，求得y关于x的线性回归方程为，下列说法正确的有（ ） A. 变量x与y呈正线性相关关系 B. 回归直线必过点 C. 若2026年研发投入提升至13（十亿元），则新能源营收一定达到86.8（十亿元） D. 当时，残差为6.2（十亿元） 【答案】ABD 【解析】 【详解】由线性回归方程为可知变量x与y呈正线性相关关系，所以A正确； 可知，所以样本中心点为，所以B正确； 由回归直线过点，可得，解得，得， 当时，，由回归直线概念可知（十亿元）为预测值，不一定能达到，所以C错误； 当时，（十亿元），残差为（十亿元），所以D正确. 10. 已知圆：，圆：，，则（ ） A. 若圆过点，则圆过原点 B. 当时，两圆有三条公切线 C. 若两圆相交，相交弦所在直线过点，则 D. P为平面内一动点，若以P，，为顶点的三角形为等腰三角形，则P到点距离的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】求出判断A；确定两圆位置判断B；求出公共弦所在直线方程判断C；分类求出点的轨迹求解判断D. 【详解】圆圆心，半径，圆圆心，半径，， 对于A，由圆过点，得，圆：过原点，A正确； 对于B，当时，，圆内切于圆，两圆有一条公切线，B错误； 对于C，当圆与圆相交时，，即，两圆公共弦所在直线方程为， 由相交弦所在直线过点，得，解得，C错误； 对于D，由以P，，为顶点的三角形为等腰三角形，得或或， 当时，点的轨迹为，P到点距离的最小值为1， 当时，点的轨迹为，P到点距离的最小值为， 当时，点的轨迹为，P到点距离的最小值为， 因此P到点距离的最小值为，D正确. 11. 已知函数（），则下列说法正确的是（ ） A. 是函数的极值点 B. 若函数有两个零点和，则 C. 若不是函数的极值点，则 D. 若，，满足，则A，B，C三点必在一条直线上 【答案】ACD 【解析】 【分析】求导得到，判断两侧导数符号求解A，分析的根，取特殊情况验证求解B；求，结合题意并分类讨论判断是否为极值点判断C，利用三次函数中心对称性质证明三点共线判断D即可. 【详解】对于A，由题意得，. 当时，，故与 同号； 当 时，，故与异号. 因此在两侧变号，是极值点，故A正确， 对于B，取，得到， 当时，可得，解得或， 此时两根之和为，故B错误. 对于C，由题意得，因为， 且，，所以， 当时，，且， 其中，，故与异号；而与同号. 因此在两侧异号，故不是极值点. 当时，在附近趋近于，故的符号由决定， 即与异号，两侧同号，故为极值点， 因此不是极值点等价于，故C正确. 对于D项，设直线过点和，则有三个根. 由于， 其二次项系数为，首项系数为，由韦达定理三根之和为. 已知，故，即点也在直线上，三点共线，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数（），曲线在处的切线与直线平行，则a的值为_____. 【答案】1 【解析】 【详解】对函数 求导得，， 若曲线在处的切线与直线平行，则应有， 因此. 13. 在空间直角坐标系中，已知，，，若点在平面ABC内，则__________. 【答案】6 【解析】 【详解】由题意知，，，， 而，为不共线向量，因此根据共面向量定理，应存在唯一一对实数，， 使得， 则应有，解得，，． 14. 现需设计一组有盖的底面半径为的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）：第1个容器能放入1个半径为的实心球，最小高度为；第2个容器能放入2个半径为的实心球，最小高度为；…；第n个容器能放入n个半径为的实心球，最小高度为（）.若，则使得成立的最大的正整数n的值为__________. 【答案】12 【解析】 【分析】分析，，，使用等差数列的通项公式与前项和公式表示，转化为函数的最值求解. 【详解】由题意可知， 若小球个数大于1，下面分析两个相切小球之间球心的竖直高度差， 单个小球球心到圆柱底面中心的水平距离最大为1，任意两个相切小球的球心间距为：， 任意两个相切小球之间球心的水平距离最大为， 则此时任意两个相切小球之间球心的竖直高度差的最小值：， 所以，，， 则， 令，即，， 令，在上单调递增， ，， 所以使得成立的最大的正整数n的值为：12 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和为，若. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用与的关系式得到，得到结论； （2）分组求和，结合等差和等比数列的求和公式，得到答案 【小问1详解】 由得，当时，. 两式作差得，即（，）. 当时，，故. 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，. 【小问2详解】 由得，所以. 其中，， 故数列的前n项和. 16. 2027年1月4日起，羽毛球全球国际赛事全面启用每局15分制新规，先得15分者获胜，但当比赛双方14平后，必须一方净胜两分才能获胜（如16比14、17比15…），同时规定21分封顶，即比分为20比20时，先得21分者获胜.假设比赛中甲、乙比分为14比14，且甲、乙实力相当，可认为每一回合双方得分的概率均为，每回合得分结果相互独立.设“接下来两个回合比赛结束”，“接下来的第一个回合甲胜”. （1）求； （2）判断事件A与B是否相互独立，并说明理由； （3）记X为14平到比赛结束时进行的回合数，求X的分布列及其数学期望. 【答案】（1） （2）计算得，，， 因为，所以事件A与B相互独立. 或因为，得事件A与B相互独立. （3） 2 4 6 8 10 12 13 【解析】 【小问1详解】 “接下来两个回合比赛结束”，包含“接下来两个回合甲连胜”和“接下来两个回合乙连胜”两个事件，且这两个事件互斥。 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 X的可能取值为：2，4，6，8，10，12，13. ； ，即双方交替得一分后一方连赢两回合，所以； ，即双方交替得两分后一方连赢两回合，所以； 以此类推计算可得，，； 当双方交替得分直至20比20时，下一局必定比赛结束，所以. X的分布列为： X 2 4 6 8 10 12 13 P . 17. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为菱形，，，E是棱PB上一点. （1）若，求证：平面AEC； （2）若平面，求二面角的余弦值. 【答案】（1）连接，与交于点O，连接，取中点F，连接. 由四边形为菱形，， 得为等边三角形，为中点，. 因为为中点，所以. 又由，得为的中点，所以，故. 因为平面，平面，所以. 又因为四边形为菱形，所以. 因为，平面，平面，所以平面， 因为平面，故. 因为，平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接，与交于点O，连接，取中点F，逐一求证平面，平面即可. （2）以为原点建系，利用法向量计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面AEC，平面PBD，平面平面，所以. 又因为O为BD中点，所以E为BP中点. 以D为坐标原点，为轴，垂直于所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 故，，，. 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得. 设平面的一个法向量为， 则，即，令，得. 则， 由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 18. 已知函数，（） （1）当时，求函数在上的最小值； （2）若函数在上单调递增，求实数a的取值范围； （3）若函数的导函数为，且函数与函数在内分别存在极小值点，求证：. 【答案】（1） （2） （3）由（2）知：当时，在上单调递增， 函数在上无极值点，不合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则在上存在唯一的极小值点，即，， 由，得，而，则存在唯一，使得， 且当时，，当时，， 因此为的极小值点，即，，且， 而，则 ， 令函数，求导得，函数在上单调递增， 则，即，， 令函数，求导得，函数在上单调递增， 则，即，，因此， 即，于是，而在上单调递增， 所以. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用导数求出最小值. （2）根据给定条件可得恒成立，再按分类，借助函数单调性推理求解. （3）由（2）确定的关系，求出并利用不等式，结合不等式性质可得，再利用单调性推理得证. 【小问1详解】 当时，，，求导得， 函数在上单调递增，所以. 【小问2详解】 由函数在上单调递增，得，恒成立， 当时，，符合题意； 当时，令函数，，求导得， 当时，，，函数，即在上单调递增， 因此，符合题意； 当时，令函数，求导得，函数，即在上单调递增， 而，，则存在唯一，使得， 且当时，，函数在上单调递减，此时，不符合题意， 所以实数a的取值范围为. 【小问3详解】 略 19. 已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，焦距为4，且其一条渐近线过点，点为双曲线C上一动点，过P的直线l分别与双曲线C的两条渐近线交于点M，N（M，N在y轴同侧）. （1）求双曲线C的方程； （2）（ⅰ）求证：点P到两条渐近线的距离的乘积为定值； （ⅱ）求的最小值； （3）求证：当三角形OMN面积取最小值时，M，N，，四点共圆. 【答案】（1） （2）（ⅰ）由（1）得渐近线方程为，设P到两条渐近线的距离分别为，， 由点到直线距离公式可得：， 又为双曲线C上一动点，则，即，所以； （ⅱ）1 （3）不妨设，， 则，，， 又M，P，N三点共线，则， 所以， 又M，P，N在y轴同侧，则，，， 由基本不等式可得：， 所以：，当且仅当，即，时取等号， 此时最小且. 设点M关于y轴的对称点为M＇，则M＇，O，N三点共线，且， 所以，N，，四点共圆，结合对称性可得M，N，，四点共圆． 【解析】 【分析】（1）因为焦距为4，所以可得c的值，结合双曲线中的关系，再利用渐近线过已知点的条件，代入渐近线方程联立求解，即可得到a、b，进而得到双曲线方程； （2）（ⅰ）先写出两条渐近线的一般式方程，因为点P在双曲线上满足双曲线方程，所以用点到直线的距离公式写出两个距离后相乘，代入点P满足的双曲线方程化简即可证明为定值；（ⅱ），可设，表示成关于的函数，求最值即可； （3）先写出的面积表达式，找到面积取最小值时直线l满足的条件，利用相交弦定理证明四点共圆. 【小问1详解】 由题可得，，，解得：，， 所以双曲线C的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）设，则， 则， 又，所以当时，； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $