安徽芜湖市安徽师范大学附属中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

2025一2026学年度第二学期期末考试（供选用） 高二年级数学试题卷 本试题卷共4页，19小题，满分150分，考说用时120分劳： 注意事项： 1,答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、考场/座位号、班级、准考证号填写在答题答上，落奈 形码横贴在答题卷右上角“条形码粘贴处”。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卷上对应题目远页的答袁信息点涂 黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区拔内： 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求 作答无效。 4.考生必须保证答题卷的整洁，考试结束后，将试题卷和答题卷一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的， 1.在平面直角坐标系中，过A(0,2),B(-1,0)两点的直线的斜率为() A B.1 c D.2 2.函数f)=-1的导函数f)=() A.2x-0 1 B2x+ D+ 3an,当n为奇数， 3.已知数列{a)满足a,=1,an+1=了2 当为偶数 则a,=() 4号 B.1 C.2 D.3 4.空间中两个非零向量a和b满足1al=2Ibl,且a在b方向上的投形向量为。b,则a与b夹角的氽 弦值为( ) B封 0.③ 2 0.4 高二数学试题卷第1页（共4页） ▣▣ CS扫描全能王 问3亿人都在用的扫描APp 5.已知箱圆C后+云=1a>b0)的左右焦点分伪R,人，过F,且斜率为V疗的直线与脑圆 C的一个交点为P,PF,的垂直平分线过点F,则椭圆C的离心率为() A.3 B时 C.V5-1 D.V2-1 2 6.已知随机变量X服从标准正态分布N(0,1),设函数f(x)=P(x-1≤X≤x)(即f(x)表示X落 在区间[x-1,x]上的概率)，则() A.f(0)>0.5 B.f(0)=f(1) C.f(2)>f(1) D.f(x)的图象关于x=1对称 7.数学学习小组的五位同学被邀请参加数学知识竞赛，若至少有一人参加，且其中甲和乙要么 都参加，要么都不参加，则选派方案种数为() A.10 B.12 C.15 D.17 8.已知抛物线Gy2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=k(x-号)与抛物线C交于点A,B,HB1= 2 3,x轴上一点P满足PAl=PBl=V3,则p的值为( ) A B.1 c D.2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.芜湖市将汽车产业作为首位产业全力推进，其中新能源汽车产业发展迅猛.下表统计了“某 品牌汽车2021-2025年研发投人x(单位：十亿元)与新能源汽车业务营收y(单位：十亿元)” 的对应数据： 年份 2021 2022 2023 2024 2025 x(研发投人) 3 4 7 11 12 y(业务营收) 5 12 8 59 98 根据上表数据，求得y关于x的线性回归方程为了=9x+ā，下列说法正确的有( ) A变量x与y呈正线性相关关系 B.回归直线=9x+a必过点(7.4,36.4) C.若2026年研发投人提升至13（十亿元），则新能源营收一定达到86.8（十亿元） D.当x=4时，残差为6.2（十亿元） 10.已知圆C1:x2+y2=a2,圆C2:(x-2)2+y2=4a2,u≠0，则() A.若圆C,过点(1.0)，则圆C,过原点 B.当a=2时，两圆有三条公切线 C若两圆相交，相交弦所在直线过点(-号，1)，则a=号 D.P为平面内一动点，若以P,C,C,为顶点的三角形为等腰三角形，则P到2，点距离 的最小值为匀 高二数学试题卷第2页（共4页） ▣▣ CS扫描全能王 问3亿人都在用的扫描APp 2 11.已知函数∫(x)=a(x-1)x2(a≠0)，则下列说法正确的是() A.x=0是函数f(x)的极值点 B.若函数g(x)=∫(x)-m有两个零点t,和2，则b,+b2=1 C.若x=0不是函数h(x)=∫(x)(e-b)的极值点，则b=1 D.若A(x1∫(x),B(x2∫(x2),C(x∫(x)满足x,+x2+x1=1,则A,B,C三点必在一条直 线上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知函数f(x)=alnx(a∈R),曲线y=f(x)在(1,0)处的切线与直线y=x平行，则a的值 为 13.在空间直角坐标系中，已知A(-1,0,1),B(0,0,3),C(-1,1,2),若点P(1,1,z)在平面 ABC内，则z= 14.现需设计一组有盖的底面半径为1+V互的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）：第1个容器 能放人1个半径为V2的实心球，最小高度为h,;第2个容器能放人2个半径为√互的实心 球，最小高度为h2;；第n个容器能放人n个半径为√的实心球，最小高度为 aGM若5，一2，则使得3.≤180成立的最大的正整数的值为】 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知数列(a)的前n项和为Sn,若Sn=2a。-2. (1)求数列(a,)的通项公式； (2)求数列(an+log2(S。+2)的前n项和T. 16.(15分) 2027年1月4日起，羽毛球全球国际赛事全面启用每局15分制新规，先得15分者获 胜，但当比赛双方14平后，必须一方净胜两分才能获胜（如16比14、17比15…），同时规 定21分封顶，即比分为20比20时，先得21分者获胜.假设比赛中甲、乙比分为14比14， 且甲，乙实力相当，可认为每一回合双方得分的概率均为)，每回合得分结果相互独立. 设A=“接下来两个回合比赛结束”，B=“接下来的第一个回合甲胜” (1)求P(A)； (2)判断事件A与B是否相互独立，并说明理由： (3)记X为14平到比赛结束时进行的回合数，求X的分布列及其数学期望 高二数学试题卷第3页（共4页） ▣口 CS扫描全能王 问3亿人都在用的扫描APp 3 17.(15分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD,四边形ABCD为菱形，∠DAB=60', PD=AD=2,E是棱PB上一点 (1)若BP=4BE,求证：PB⊥平面AEC; (2)若PD∥平面AEC,求二面角D-AE-C的余弦值. 18.(17分) 已知函数f(x)=(x-1)e-aCOSx,(a∈R) (1)当a=1时，求函数y=∫(x)在[0，π]上的最小值； (2)若函数y=∫(x)在[0，π]上单调递增，求实数a的取值范围； (3)若函数y=f(x)的导函数为y=(x),且函数y=∫(x)与函数y=f(x)在(0，π)内分别存 在极小值点x1,x2,求证：x,<2x2 19.(17分) x2y2 已知双曲线C:。~怎=1(a>0,6>0)的左、右焦点分别为F,F,焦距为4，且其-条 渐近线过点(V3,1),点P(xo,y)为双曲线C上一动点，过P的直线l分别与双曲线C的两条 渐近线交于点M,N(M,N在y轴同侧). (1)求双曲线C的方程； (2)(1)求证：点P到两条渐近线的距离的乘积为定值； (ⅱ)求PM·PM的最小值； (3)求证：当三角形OMN面积取最小值时，M,N,F,F,四点共圆. 高二数学试题卷第4页（共4页） CS扫描全能王 可：3亿人都在用的扫描ApP 4-数学试题参考答案 、 单选题 1 2 3 4 5 6 个 8 0 心 A D B B C A 二、 多选题 9 10 11 ABD AD ACD 三、填空题 12.1 13.6 14.12 四、解答题 15.解析：(1)由Sn=2a-2得，当n≥2时，Sn-1=2an-1-2. 两式作差得a,=2an-2a-1,即a=2a-1(n≥2，n∈N"). 当n=1时，S1=2a1-2,故a41=2. 所以数列{a}是以2为首项，2为公比的等比数列，a,=2” (2)由Sn=2a,-2得Sn+2=2an=2m+1，所以an+log2(Sm+2)=2”+n+1. 故数列a,+1og,(S+2》的前n项和T,=21-2++D+n=2+心+30-2. 2 22 16解折：①P团-分 2)计算得P8=片，P4B)=片P4B)= 2 4 因为P4)-P(0,所以事件A与B相互独立 或因为P(AB)=P(A)P(B),得事件A与B相互独立. (2)X的可能取值为：2,4,6,8,10,12,13 P(X-2) X=4,即双方交替得一分后一方连赢两回合，所以P(X=4=2X24 1.11 1111 X=6,即双方交替得两分后一方连赢两回合，所以P(X=6)=二×二×士 2228 以t类指计家可得P(X=约=GX=10=2PX=1四=4 当双方交替得分直至20比20时，下一局必定比赛结束，所以P(X=13)= 64 X的分布列为： 6 8 10 12 13 1 1 8 16 32 64 64 E(X)= 253 64 17.解析：(1)证明：连接BD,与AC交于点O,连接OE,取PB中点F,连接DF. 由四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，得△ABD为等边三角形，O为BD中点，故BD=AD=PD. 因为F为BP中点，所以DF⊥PB 又由BB=BP=BP,得E为BF的中点，所以OE∥DF,放OB⊥PB. 4 2 因为PD⊥平面ABCD,所以PD⊥AC 又因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC」 因为PD∩BD=D,PDC平面PBD,BDC平面PBD,所以AC⊥平面PBD,故AC⊥PB 因为OE∩AC=O,OEC平面AEC,ACC平面AEC,所以PB⊥平面AEC. (2)因为PD∥平面AEC,PDc平面PBD,平面PBD∩平面AEC=EO,所以PD∥EO 又因为O为BD中点，所以E为BP中点 以D为坐标原点，DC,DP为y,z轴建立空间直角坐标系，则 D00.0,A3.-10co,20叭s2小 故通--10延-(5西-(9c-(0 设平面ADE的一个法向量为m=（x,y,),则 AD.m=0 「V3x-y=0 即 3.1 ,令x=1得y=√3，=-√3即m=1,√3，-√5). DE·m=0 y+2=0 2 设平面AEC的一个法向量为n=（x,y,),则 AE.n=0 53 x+二y+二=0 ,即2 21 ,令x=√3得y=1,==0即n=(W3,1,0) AC.n=0 -V3.x+3y=0 cos<m,n>=- n √3+V3√2 mllnl7x2 7, 由图可知二面角D-AE-C为锐角，所以二面角D-AB-C的余弦值为2 C D 18.【解析】(1)当a=1时，f(c)=(x-1)e-cosx,xe[0,π].f'(x)=xe+sinx≥0 所以函数y=fx)在[0，]上单调递增，所以f(x)mn=f0)=-2. (2)若函数y=f(x)在[0，元]上单调递增， 则y=f'(x)=xe+asinx≥0在[0，元]上恒成立， 记g(x)=f(x)=xe+asinv,x∈[0，]，go)=0,g'e)=(x+l)e+aCOSx, 当a≥0时，g(x)=f'(x)=xe+asir≥0，符合题意： 当-1≤a<0时，g'(x)=(x+1k+acosx, 由于xe[0,元]，所以(x+1)e≥l,acosx≤1， 所以，g'(x)=(x+1)ex+acosx≥0， 所以y=g(x)在[0，元]上单调递增，所以g(x)≥g(O)=0,符合题意； 当a<-1时，g'(x)=(x+1e+acosx,g"(x)=(x+2e-asinx≥0， 所以y=g'(x)在[0，元]上单调递增， 又因为0-1-a0,g到周传10， 所以存在唯一0引使得g化，)上0， 且当x∈(0，x)时，g(x)<0,所以y=g(x)在(0，x)上单调递减， 所以g(x)<g(0)=0,不符合题意. 综上所述：实数a的取值范围为[1，+o). (3)由(2)知：当a≥-1时，y=f(x)在[0，元]上单调递增， 所以y=(x)在(0，元)上无极值点，不合题意， 当a<-1时，y=g(x)在(0，x)上单调递减，在(x,元)上单调递增， 则y=g(x)在(0，)上存在唯一的极小值点，故x=x, 又g0)=0,所以g(x)<0,g(π)=元e>0 所以存在唯一m∈(x,π)，使得g(m)=0, 且x∈(O,m)时，f(x)=gx)<0，xe(m,)时，f"(x)=g(x)>0, 所以m为y=fy)的极小值点，即￥=m,0<<x<元，且<2x<π， g(2x2)=2xe2+asin2x2=2xe+2asinxacosx2 =2x,e2-2(x+1 csinx=2e5k,es-(3+1s小imx,]， 令(x)=ex-x-l,xe(0,元)则h(x)=ex-1>0, 所以h(x)=e-x-1>0,即e>x+1>0, 令(x)=x-sinx,x∈(0，π)，则k(x)=1-cosx>0, 所以(x)=x-sinx>0,即k(x)=x>sinx>0, 所以xe>(x+1sinx>0, 所以g(2x)=2e5c,c-(k+1)小sinx,>0, 所以g(2x)>g(x),又因为y=gx)在(x,)上单调递增， 所以2x3>x· 19解析1)由腰可得2c=4,1=5.,c=2+62,解得：a=V5,b=1, 厅以双曲线C的方程为{y=1:(3分】 (2)(i)由(1)得渐近线方程为√3y=±x,设P到两条渐近线的距离分别为d,d, 由点到直线距离公式可得：44=出-V5,1+v5l5-3 2 2 4 又P6)为双曲线c上一动点，则-=1，即号-3=3，所以4d=:(7分) 3 (i)设∠OM=0,则∠ONP=2-0,则 3 IPM IPNI=d.d, 3 sm0smr号-)2co29-3+ 又6e(0,),所以当6=时，1 M-PNI=1:(11分) 3 (3)不妨设M(V3x,),NW(V3x,-x), 则oM2xoN2s.a=号OM-O60r=5xl, 又M,P,N三点共线，则PM/PN, 所以2W3x5=x(-V3%)+x(x。+V3), 又M,P,N在y轴同侧，则52>0，x(s-V3)>0,x(+5%)>0, 由基本不等式可得：2V3x5=x(-V3%)+(+5%)≥2Vx(2-3)=2VBx, 所以：51，当且仅当5-5+32,5=伍+2时取等号。 3 此时SOMN最小且|OM|ON=4. 设点M关于y轴的对称点为M',则M',O,N三点共线，且|OM'|OW曰OrOF=4, 所以M',N,F,F四点共圆，结合对称性可得M,N,F,F四点共圆.(17分)