1.2.4绝对值（讲义）数学新教材人教版七年级上册

本讲义聚焦“绝对值”核心知识点，系统梳理其代数定义（数轴上点到原点距离）与几何意义，详解性质（非负性、正负0的绝对值特点、相反数绝对值关系等），涵盖求绝对值、已知绝对值求原数、非负性应用、最值问题、实际应用及与数轴相反数的综合应用，作为有理数学习的关键支架，连接数轴与相反数知识，为后续运算奠定基础。 该资料以几何直观培养数学眼光，通过分题型例题（如求绝对值、非负性应用）和解题贴士发展推理意识与运算能力，实际问题（如产品质量检测）强化应用意识。课中辅助教师分层教学，课后通过基础到创新的练习帮助学生查漏补缺，有效提升综合素养。

第一章 有理数 1.2.4绝对值 课标要点 1. 理解绝对值的代数定义与几何意义； 2. 会求任意有理数的绝对值； 3. 借助绝对值认识数轴上点到原点的距离。 学习重难点 重点： 绝对值概念，求有理数的绝对值。 难点： 理解绝对值非负性；已知绝对值反求原数。 知识点 绝对值 ◆1、绝对值的定义：一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作 | a |，读作“a的绝对值”. 【注意】任何数都有绝对值，并且只有一个，数 a 的绝对值是数轴上表示它的点到原点的距离，因为距离不可能是负数，所以数 a 的绝对值 | a |为非负数，即 | a |≥0. ◆2、绝对值的性质： （1）一个正数的绝对值是正数；一个负数的绝对值是正数； 0 的绝对值是 0. （2）字母 a 表示一个有理数，则 （3）在数轴上，表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值越小；离原点越远，这个数的绝对值越大. （4）互为相反数的两个数的绝对值相等；绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数. （5）几个非负式的和为 0，则这几个式子都为 0. 随学随练 1．（24-25七年级上·新疆和田·阶段检测）的相反数是________，的绝对值是________，绝对值是的数是________． 【答案】 或 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的性质，只有符号不同的两个数互为相反数，负数的绝对值等于它的相反数，据此进行逐个分析，即可作答． 【详解】解：的相反数是，的绝对值是，绝对值是的数是或， 故答案为：，，或 2．已知数轴上A、B两点间的距离为5，若点A表示的数为，则点B表示的数为（    ） A．3 B． C．3或 D． 【答案】C 【分析】根据在数轴上的点表示有理数以及绝对值的意义，即可求得点B表示的数． 【详解】设点B表示的数为，根据题意得， 则或 解得或 故选C 【点睛】本题考查了数轴上两点的距离，绝对值方程，数形结合是解题的关键． 题型一 求一个数的绝对值 ▌例1 （2026·浙江杭州·三模）的绝对值是（     ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 解题贴士 利用绝对值的性质求一个数的绝对值，一个正数的绝对值是正数；一个负数的绝对值是正数； 0 的绝对值是 0. ▌对点练1-1 等于（     ） A．2027 B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． ▌对点练1-2 的绝对值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：是正数，即，根据绝对值的性质：正数的绝对值是它本身， ． ▌对点练1-3（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）化简： ___________________ 【答案】 【分析】本题主要考查了化简多重符号和计算绝对值，先化简多重符号，再计算绝对值即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． ▌对点练1-4 化简_______． 【答案】 【分析】本题考查了化简多重符号，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义化简多重符号即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 题型二 已知绝对值求数 ▌例2（2026·山东青岛·三模）绝对值等于2026的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据绝对值的定义，求解绝对值等于给定正数的数即可． 【详解】因为绝对值为正数的数有两个，且这两个数互为相反数， 所以绝对值等于2026的数是． 解题贴士 若绝对值等于正数，解为正负两数； 若绝对值等于 0，解只有 0； ▌对点练2-1 （25-26七年级上·湖南常德·期中）若，则的相反数是（   ） A．5 B． C．5或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的概念，求相反数． 根据绝对值的概念求出或，求出的相反数，进而作答即可． 【详解】解：∵， ∴或． ∵的相反数是， ∴的相反数是5或． 故选：C． ▌对点练2-2 一个数的绝对值是4，则这个数是______． 【答案】4和﹣4． 【详解】解：一个数的绝对值是4，根据绝对值的意义，这个数是：4和﹣4. 故答案为4和﹣4． ▌对点练2-3 一个数的绝对值是，则这个数是_____． 【答案】±. 【分析】根据绝对值的性质得，||=，|-|=，故求得绝对值等于的数． 【详解】||=， |−|=， 所以一个数的绝对值是,则这个数是±. 故答案为±. 【点睛】此题考查负数的意义及其应用，解题关键在于掌握绝对值的性质. ▌对点练2-4 （26-27七年级·全国·暑假作业）如果，则______，如果，则______．化简：______． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的定义与化简，根据绝对值的性质求解即可. 绝对值等于一个正数的数有两个，且互为相反数，化简绝对值需先判断绝对值内代数式的正负，再根据绝对值的性质去绝对值符号． 【详解】解：根据绝对值的定义，若，则. 当时， 解得． 当时， 由， 故， 因此． 因为，所以， 根据“负数的绝对值是它的相反数”，可得： ． 题型三 绝对值非负性的应用 ▌例3 已知|x﹣2|+|y﹣6|＝0，则xy＝　 　． 【答案】12． 【分析】根据绝对值的非负性求出x、y的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵|x﹣2|+|y﹣6|＝0，而|x﹣2|≥0，|y﹣6|≥0， ∴x﹣2＝0，y﹣6＝0， ∴x＝2，y＝6， ∴xy＝12， 故答案为：12． 【点睛】本题考查绝对值，理解绝对值的非负性，是解决问题的关键． 解题贴士 1、数a 的绝对值 | a |为非负数，即 | a |≥0. 2、几个非负式的和为 0，则这几个式子都为 0. ▌对点练3-1 （24-25七年级上·湖南长沙·期末），则a和b各为（    ） A．， B．1，3 C．1， D．，3 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的非负性，先根据，得，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． ▌对点练3-2 若|a﹣1|+|b﹣3|＝0，则b﹣a的值是（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．﹣1 D．1 【答案】D． 【分析】利用非负数的性质得出a，b的值，代入计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意，得 a﹣1＝0，b﹣3＝0， 解得：a＝1，b＝3， ∴b﹣a3﹣11， ∴b﹣a的值是1． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了非负数的性质，正确把握相关定义是解题的关键． ▌对点练3-3（26-27七年级·浙江·暑假作业）（1）若，则______， _______． （2）若，则_____， _____． 【答案】 0 0 6 0 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴ ∴． ▌对点练3-4 若有理数a，b满足|a﹣20|+|b+19|＝0，则|a|﹣|b|＝　 　． 【答案】1． 【分析】由绝对值的非负性，求出a＝20，b＝﹣19，然后代入计算，即可得到答案． 【详解】解：∵|a﹣20|+|b+19|＝0， ∴a﹣20＝0，b+19＝0， ∴a＝20，b＝﹣19， ∴|a|﹣|b| ＝|20|﹣|﹣19| ＝20﹣19 ＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，掌握绝对值的非负性是关键． 题型四 利用绝对值求最值 ▌例4 （26-27七年级·浙江·暑假作业）代数式的最小值是_____，的最小值是_____． 【答案】 0 3 【分析】根据绝对值的非负性求解即可． 【详解】解：∵， ∴的最小值为0； ∵， ∴， ∴的最小值是3． 解题贴士 主要是利用绝对值的非负性，求最值. 含+|A|：代数式有最小值，令A=0求得； 含-|A|：代数式有最大值，令(A=0)求得。 ▌对点练4-1 （26-27七年级·全国·小升初衔接）代数式的最小值是（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值的非负性，利用绝对值的非负性，求表达式的最小值即可． 【详解】解：∵， ∴，当时，等号成立， ∴最小值为， 故选：B． ▌对点练4-2 （2025七年级上·全国·专题练习）如果为有理数，代数式存在最大值，这个最大值是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的非负性及代数式最值的求法． 由于绝对值非负，代数式在绝对值最小时取得最大值，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当时，即，代数式取得最大值． 故选：C． ▌对点练4-3（23-24七年级上·四川绵阳·阶段检测）若a是有理数，则的最小值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据绝对值的非负性即可求解． 【详解】解：∵a是有理数 ∴可为正数、负数、零 由绝对值的非负性可知： ∴ 即：的最小值是 故选：C 【点睛】本题考查绝对值的非负性．熟记相关结论即可． ▌对点练4-4（26-27七年级·浙江·暑假作业）回答下列问题 (1)代数式的最小值是_____ (2)有最__值是_____ 【答案】(1)0 (2)大，6 【详解】（1）解：，故代数式的最小值是； （2）解：因为是个非负数，有最小值为0， 所以代数式有最大值是6． 题型五 利用绝对值解决实际问题 ▌例5 （2026·辽宁鞍山·一模）超市对销售的装大米进行抽检，如表记录了其中4种不同品牌被抽检大米的重量，则最符合标准重量的品牌编号是（   ） 品牌编号 ① ② ③ ④ 超出标准的重量（千克） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】最符合标准重量的大米，是与标准重量偏差最小的大米，偏差的大小可通过偏差的绝对值比较，计算各偏差的绝对值，比较大小即可得到结果． 【详解】解：最符合标准重量，即与标准重量的偏差最小，对应偏差的绝对值最小， ，，，， ， 品牌②的偏差绝对值最小，最符合标准重量． 解题贴士 本题中用绝对值的大小表示产品直径与标准直径的接近程度，由绝对值的几何意义，可知一个数的绝对值越小，其在数轴上对应的点距离原点越近，在这个实际问题中，绝对值越小表示产品直径的尺寸与标准直径的尺寸偏差越小. ▌对点练5-1 （2026·吉林长春·一模）中考所用排球的重量有严格标准，现有四个排球，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最接近标准质量即偏差的绝对值最小确定即可． 【详解】解： ，，，， 最接近标准质量． ▌对点练5-2 （25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）在11月16日第十五届全运会女子铅球决赛中，36岁的老将巩立姣以绝对优势成功夺冠，书写了全运会女子铅球五连冠的传奇！女子铅球的标准质量是，以为标准，超过的质量记为正，不足的记为负，下列质量的铅球中最接近标准的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正负数的应用，绝对值的意义．计算每个选项与标准质量的偏差的绝对值，绝对值最小的最接近标准，即可作答． 【详解】解：∵标准质量为， 则， ∵ ∴最接近标准， 故选：A ▌对点练5-3 （25-26七年级上·全国·期末）检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/ (1)几号篮球最接近标准质量？ (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ 【答案】(1)3号篮球最接近标准质量 (2)的篮球的质量好一些 【分析】本题主要考查正负数，绝对值的运用，理解题意是关键． （1） 利用绝对值比较大小，值越小，越接近； （2）利用绝对值比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴3号篮球最接近标准质量． （2）解：∵， ∴结果为的篮球的质量好一些． ▌对点练5-4已知某零件的标准直径是，超过规定直径长度的数量记作正数，不足规定直径长度的数量记作负数，检验员某次抽查了五件样品，检查的结果如下： 序号 1 2 3 4 5 直径长度/mm (1)试指出哪件样品的大小最符合要求? (2)如果规定误差的绝对值在之内是正品，误差的绝对值在之间的是次品，误差的绝对值超过的是废品，那么上述五件样品分别属于哪类产品? 【答案】(1)第4件样品最符合标准 (2)第1件、第2件和第4件属于正品，第3件是次品，第5件是废品 【分析】（1）表中的数据是零件的误差数，所以这些数据中绝对值小的零件较好，因为绝对值越小，与规定直径的偏差越小．比较各个数据的绝对值即可得解； （2）每件样品所对应的结果的绝对值，即为该零件的误差的绝对值，看绝对值的结果在哪个范围内，即可确定该零件是正品、次品还是废品． 本题考查了有理数的实际应用，以及绝对值的意义．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：∵ ， ∴第4件样品的大小最符合要求； （2）解：∵，， ∴第1，2，4件样品是正品； ∵，， ∴第3件样品为次品； ∵， ∴第5件样品为废品． 题型六 数轴、相反数、绝对值的综合应用 ▌例6 我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为 ，结果是 ； (2)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； (3)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； 【答案】(1)， (2)在数轴上表示数a的点和表示数3的点之间的距离，5或1 (3)在数轴上表示数a的点和表示数的点之间的距离，或 【分析】根据数轴上两点之间的距离公式直接计算或者列方程，结合绝对值的几何意义解方程即可． 【详解】（1）解：数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为或，或，故结果是8； （2）解：表示：在数轴上表示数a的点和表示数3的点之间的距离， 若，则或； （3）解：表示：在数轴上表示数a的点和表示数的点之间的距离，若，则或． 解题贴士 1、相反数所对应的点在原点的两侧，到原点的距离的相等，绝对值表示数轴上点到原点距离； 2、|a-b | 代表数轴 a、b 两点间距； 3、求最值：定点分区间分段判断； ▌对点练6-1 （25-26七年级上·全国·单元测试）如图，在数轴上有，，三个点． (1)，，这三个点表示的数分别是多少？ (2)，两点间的距离是多少？，两点间的距离是多少？ (3)若将点向右移动个单位长度后，则，，这三个点所表示的数谁最大？表示的数最大的点与表示的数最小的点的距离是多少？ 【答案】(1)，，这三个点表示的数分别是，， (2)； (3)点表示的数最大，表示的数最大的点与表示的数最小的点的距离是 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点距离计算，有理数比较大小，数轴上点的平移，解题的关键是理解数轴上两点之间的距离的计算方法，以及数轴上点的平移规律． （1）根据数轴直接解答即可． （2）根据数轴上两点距离公式直接解答即可． （3）根据点移动的规律求出点移动后表示的数，利用有理数的大小比较法则比较大小，然后计算两点之间的距离即可． 【详解】（1）解：观察数轴可知，，，这三个点表示的数分别是，，． （2）解：根据数轴可知；． （3）解：将点向右移动个单位长度后，点表示的数是（如图所示的点），此时点表示的数是，点表示的数是， ， 点表示的数最大，点表示的数最小， ，即表示的数最大的点与表示的数最小的点的距离是． ▌对点练6-2 已知下列有理数：－4，－2，4，－1，2.5，3 (1)在给定的数轴上表示这些数： (2)这些数中是否存在互为相反数的两个数？若存在，请指出来，并写出这两个数之间所有的整数； (3)这些数在数轴上表示的点中是否存在两点之间的距离等于7的两个数？若存在，请指出来． 【答案】(1)见解析 (2)存在，和互为相反数，这两个数之间所有的整数有：－2，－1，0，1，2 (3)存在；－4和3；和 【分析】（1）将已知数表示在数轴上即可； （2）根据相反数的定义，找出互为相反数的两个数，并写出这两个数之间的所有整数即可； （3）根据数轴上两点的距离等于7，即可求得． 【详解】（1）解：将－4，，，－1，2.5，3表示在数轴上，如图所示： （2）存在，和互为相反数，这两个数之间所有的整数有：－2，－1，0，1，2． （3）存在； ∵，， ∴两点之间的距离等于7的有：－4和3，和． 【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，相反数的定义，数轴上两点间的距离，进行数形结合是解题的关键． ▌对点练6-3（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段检测）阅读下列材料，回答问题． 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究： (1) 表示数轴上 与 所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数x所对应的点与 所对应的两点之间的距离；表示数轴上有理数x所对应的点与 所对应的两点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得． 【答案】(1)， (2)， (3)这样的整数x有，，0，1，2 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，绝对值的意义等知识，掌握两点间的距离公式，是解题的关键． （1）根据两点间的距离公式，进行作答即可； （2）根据两点间的距离公式，进行作答即可； （3）根据两点间的距离，由可得到x在到2之间，即可得出结论． 【详解】（1）解：表示数轴上与所对应的两点之间的距离； 故答案为：，； （2）解：表示数轴上有理数x所对应的点到3所对应的点之间的距离； 表示数轴上有理数x所对应的点到所对应的点之间的距离； 故答案为：，． （3）解：表示x到之间的距离与x到2之间的距离的和为4， ∵到2之间的距离为4， ∴x在到2之间， ∴这样的整数x有，，0，1，2． ▌对点练6-4观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离，与，与，与，与，并回答下列各题： (1)若数轴上的点表示的数为，点表示的数为，则与两点间的距离是________； (2)若数轴上的点表示的数为，点表示的数为，则与两点间的距离可以表示为_____（用含的代数式表示）； (3)若数轴上的点表示的数为，结合数轴可求得的最小值为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式即可解答； （2）根据数轴上两点之间的距离公式即可解答； （3）根据数轴上两点之间的距离公式即可解答． 【详解】（1）解：∵数轴上的点表示的数为，点表示的数为， ∴与两点间的距离是：， 故答案为； （2）解：∵数轴上的点表示的数为，点表示的数为， ∴与两点间的距离：， 故答案为； （3）解：∵数轴上的点表示的数为， ∴是与之间的距离，是与之间的距离， 如图，若的值最小，则必须在与之间， ∴的最小值为， 故答案为．    【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离公式，熟记数轴上两点之间的距离公式是解题的关键． 基础通关 1．（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）下列计算结果为4的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了化简多重符号和求一个数的绝对值，去括号时，若括号前后的符号相同，则去括号的结果为正，若括号前后的符号不同，则去括号的结果为负，据此可判断A、B、C，根据负数的绝对值是它的相反数可判断D． 【详解】解：A、，故此选项符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）如图所示的数轴，字母a表示的数的绝对值可能是（     ） A．2.3 B．1.7 C．1 D．0.8 【答案】B 【分析】根据字母a在数轴上的位置，得出，从而得出，从而得出答案． 【详解】解：根据数轴可得：， ∴， ∴可能是1.7． 3．（23-24七年级上·湖南邵阳·期中）如图，数轴的单位长度为1，如果点A，B表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是（    ）    A． B． C．0 D．3 【答案】B 【分析】点A、B表示的数的绝对值相等，就是点A、点B到原点的距离相等，即原点为中点，从而可确定点A所表示的数． 【详解】解：由点A、B在数轴上的位置可知，， 又∵点A、B表示的数的绝对值相等，且点A在点B的左边， ∴点A所表示的数为，点B所表示的数为3， 故选：B． 4．（22-23七年级上·广东汕头·期中）下列各对数中，互为相反数的是（    ） A．2与 B．和 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查相反数的判定，解题思路为先化简各选项中的数，再根据相反数的定义判断即可． 【详解】解：相反数定义：只有符号不同的两个数互为相反数， A 、两个数为与，符号相同，互为倒数，不是相反数； B 、，，两数相等、符号相同， 不是相反数； C、 ，，和只有符号不同，符合相反数定义， 二者互为相反数； D、 ，，两数相等、符号相同， 不是相反数； 故选：C． 5．（25-26七年级上·全国·阶段检测）数轴上点 表示的数是 ，点 表示的数是，若、 两点间的距离为 ，则 的值为（    ） A． B． C． 或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，根据、 两点间的距离为 ，可得方程，解方程求出的值即可． 【详解】解： 、 两点间的距离为 ， ， 整理得：， ， 当时，， 当时，， 的值为或． 故选：C． 6．（新疆维吾尔自治区阿克苏地区温宿县第二中学2024-2025学年第一学期七年级数学学情自测试卷）已知，，则x的值为______，y的值为______． 【答案】 【分析】若一个数的绝对值为正数，则这个数为． 【详解】解：已知，可得． 已知，可得． 7．（24-25七年级上·四川巴中·阶段检测）小红做作业的时候不小心在作业本上滴上了墨水（如图），现在知道A点表示的数是，若B点表示的数为b，则____________．    【答案】 【分析】A点表示的数是，从A点到1平均分了3份，据此可推出从A到0也是3份，可知从0到1一共平均分了6份，B点到原点是2份，即：，由此得到点B表示的数，再求出绝对值即可． 【详解】解：原点位置如图，    点B表示的数为：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查数轴和绝对值，关键是熟悉数轴的单位长度的意义． 素养提升 8．（2026·内蒙古通辽·二模）如果，那么的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，负数和的绝对值是它的相反数，根据绝对值性质确定的取值范围，再结合选项即可得到答案． 【详解】解：∵ ，即为非正数， A、，正数，不符合题意； B、，正数，不符合题意； C、，负数，符合题意； D、，正数，不符合题意． 9．（2025七年级上·四川南充·专题练习）下列说法中不正确的有（    ） ①1是绝对值最小的数；②0既不是正数，也不是负数； ③0的相反数是0；④绝对值等于本身的数是正数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查绝对值、相反数、正负数的定义，熟练掌握绝对值、相反数、正负数的定义是解题的关键． 根据绝对值、相反数、正负数的定义判断各说法的正误即可． 【详解】对于①：绝对值最小的数是0，不是1，∴①不正确； 对于②：0既不是正数也不是负数，∴②正确； 对于③：0的相反数是0，∴③正确； 对于④：绝对值等于本身的数是非负数（包括0和正数），不一定是正数，∴④不正确； ∴不正确的有①和④，共2个， 故选：B． 10．（26-27七年级·全国·暑假作业）若x为任意有理数，表示在数轴上表示的点到原点的距离，表示在数轴上表示的点到表示的点的距离，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据绝对值的几何意义，表示数轴上与对应点之间的距离，由可知在数轴上表示的点到表示的点与表示的点的距离之和，当位于和之间时，距离之和取得最小值，最小值为两点之间的距离． 【详解】解：∵表示数轴上与两数对应的点之间的距离， ∴，即在数轴上表示的点到表示的点与表示的点的距离之和， 当时，有最小值，为． 11．（25-26七年级上·辽宁营口·阶段检测）已知、是有理数，，，且，用数轴上的点来表示，，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的性质及数轴上点的表示，关键是根据绝对值的性质确定、的符号以及它们到原点的距离关系．首先，根据且，可判断出是负数，即在原点左侧；根据且，可判断出是正数，即在原点右侧；再由可知，到原点的距离大于到原点的距离，据此对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵，且， ∴，即表示的点在原点左侧； ∵，且， ∴，即表示的点在原点右侧； 又∵， ∴表示的点到原点的距离大于表示的点到原点的距离． A、B选项中在原点左侧，与矛盾，错误； C选项中在原点左侧，在原点右侧，且到原点的距离大于到原点的距离，符合所有条件，正确； D选项中到原点的距离小于到原点的距离，与矛盾，错误． 故选：C． 12．写出下列各数的相反数及绝对值，然后在数轴上标出下列各数： ，，，，6，， 【答案】答案见解析，画图见解析 【分析】根据相反数与绝对值的含义先分别写出各数的相反数与绝对值，再根据数轴上点对应的数的分别特点在数轴上表示原数即可． 【详解】解：，，，，6，，的相反数分别是： ，，，，，，， ，，，，6，，的绝对值分别是： ，，，，，，， ，，，，6，，在数轴上表示如下：    【点睛】本题考查的是相反数的含义，绝对值的含义，在数轴上表示有理数，掌握以上基础知识是解本题的关键． 迁移创新 13．（25-26七年级上·广东惠州·期中）已知数轴上的点A、B、C、D分别表示， (1)请在数轴上标出A、B、C、D四个点； (2)B、C两点之间的距离是 ； (3)如果把数轴的原点取在点B处，其余条件都不变，那么点D表示的数是 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，数轴上两点的距离，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）在数轴上描出四个点的位置即可； （2）根据两点之间的距离公式可求B、C两点的距离； （3）原点取在B处，相当于将原数加上，从而计算即可． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：∵B、C分别表示 ∴ 故答案为：． （3）解：∵原点取在B处， ∴相当于将原数加上， 点D：． 14．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）数学课上，老师讲解了绝对值的几何意义，表示与的差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理可变形为，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．根据这一原理，请解答如下问题． (1)求的值； (2)若，求的值； (3)请你找出所有符合条件的整数，使得． 【答案】(1)8 (2)或 (3)、、、、、 【分析】本题主要考查了绝对值的几何意义，熟练掌握“绝对值表示数轴上两点之间的距离”是解题的关键． （1）根据绝对值的几何意义，计算与在数轴上的距离； （2）将变形为，结合距离的意义列方程求解； （3）根据的几何意义（到和的距离和），分析的取值范围后确定整数解． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴或， 即或， ∴或； （3）解：∵表示到和的距离和，且与在数轴上的距离为， ∴在到之间（含和）． ∴符合条件的整数为：，，，，，． 15．（25-26七年级上·黑龙江七台河·期中）（1）数轴上点A，B对应的数分别是a，b，则，若点A在数轴上表示3，点B在数轴上表示1，那么 ； （2）在数轴上表示x的点与的距离是3，那么 ； （3）在数轴上表示a的点位于和3之间（包含两端），求的值； （4）对于任意有理数x，则的最小值是 ． 【答案】（1）2（2）或2；（3）7；（4）3 【分析】本题考查了数轴上两点间距离公式，绝对值的几何意义，理解绝对值的几何意义是解题的关键． （1）根据数轴上两点间距离公式计算即可； （2）根据数轴上两点间距离公式解答即可； （3）由绝对值的几何意义可知式子表示a对应的点分别到、3对应的点的距离之和，进而利用数轴上两点间距离公式解答即可求解； （4）由绝对值的几何意义可知式子表示x对应的点分别到3、6对应的点的距离之和，当表示x的点位于3和6之间（包含两端），距离之和最小，据此解答即可求解． 【详解】解：（1）数轴上点A，B对应的数分别是a，b，则， 由题意得，， 故答案为：2； （2）由题意得，， 即， 解得或， 故答案为：或2； （3）在数轴上表示a的点位于和3之间（包含两端）， ∵， ∴式子表示a对应的点分别到、3对应的点的距离之和， 当表示a的点位于和3之间（包含两端）时，距离之和为， 即的值为7； （4）式子表示x对应的点分别到3、6对应的点的距离之和， 当表示x的点位于3和6之间（包含两端）时，距离之和最小， 此时最小值为， 故答案为：3． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 有理数 1.2.4绝对值 课标要点 1. 理解绝对值的代数定义与几何意义； 2. 会求任意有理数的绝对值； 3. 借助绝对值认识数轴上点到原点的距离。 学习重难点 重点： 绝对值概念，求有理数的绝对值。 难点： 理解绝对值非负性；已知绝对值反求原数。 知识点 绝对值 ◆1、绝对值的定义：一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作 | a |，读作“a的绝对值”. 【注意】任何数都有绝对值，并且只有一个，数 a 的绝对值是数轴上表示它的点到原点的距离，因为距离不可能是负数，所以数 a 的绝对值 | a |为非负数，即 | a |≥0. ◆2、绝对值的性质： （1）一个正数的绝对值是正数；一个负数的绝对值是正数； 0 的绝对值是 0. （2）字母 a 表示一个有理数，则 （3）在数轴上，表示一个数的点离原点越近，这个数的绝对值越小；离原点越远，这个数的绝对值越大. （4）互为相反数的两个数的绝对值相等；绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数. （5）几个非负式的和为 0，则这几个式子都为 0. 随学随练 1．（24-25七年级上·新疆和田·阶段检测）的相反数是________，的绝对值是________，绝对值是的数是________． 2．已知数轴上A、B两点间的距离为5，若点A表示的数为，则点B表示的数为（    ） A．3 B． C．3或 D． 题型一 求一个数的绝对值 ▌例1 （2026·浙江杭州·三模）的绝对值是（     ） A．3 B． C． D． 解题贴士 利用绝对值的性质求一个数的绝对值，一个正数的绝对值是正数；一个负数的绝对值是正数； 0 的绝对值是 0. ▌对点练1-1 等于（     ） A．2027 B． C． D． ▌对点练1-2 的绝对值是（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-3（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）化简： ___________________ ▌对点练1-4 化简_______． 题型二 已知绝对值求数 ▌例2（2026·山东青岛·三模）绝对值等于2026的数是（     ） A． B． C． D． 解题贴士 若绝对值等于正数，解为正负两数； 若绝对值等于 0，解只有 0； ▌对点练2-1 （25-26七年级上·湖南常德·期中）若，则的相反数是（   ） A．5 B． C．5或 D． ▌对点练2-2 一个数的绝对值是4，则这个数是______． ▌对点练2-3 一个数的绝对值是，则这个数是_____． ▌对点练2-4 （26-27七年级·全国·暑假作业）如果，则______，如果，则______．化简：______． 题型三 绝对值非负性的应用 ▌例3 已知|x﹣2|+|y﹣6|＝0，则xy＝　 　． 解题贴士 1、数a 的绝对值 | a |为非负数，即 | a |≥0. 2、几个非负式的和为 0，则这几个式子都为 0. ▌对点练3-1 （24-25七年级上·湖南长沙·期末），则a和b各为（    ） A．， B．1，3 C．1， D．，3 ▌对点练3-2 若|a﹣1|+|b﹣3|＝0，则b﹣a的值是（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．﹣1 D．1 ▌对点练3-3（26-27七年级·浙江·暑假作业）（1）若，则______， _______． （2）若，则_____， _____． ▌对点练3-4 若有理数a，b满足|a﹣20|+|b+19|＝0，则|a|﹣|b|＝　 　． 题型四 利用绝对值求最值 ▌例4 （26-27七年级·浙江·暑假作业）代数式的最小值是_____，的最小值是_____． 解题贴士 主要是利用绝对值的非负性，求最值. 含+|A|：代数式有最小值，令A=0求得； 含-|A|：代数式有最大值，令(A=0)求得。 ▌对点练4-1 （26-27七年级·全国·小升初衔接）代数式的最小值是（    ） A．0 B． C．1 D．2 ▌对点练4-2 （2025七年级上·全国·专题练习）如果为有理数，代数式存在最大值，这个最大值是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 ▌对点练4-3（23-24七年级上·四川绵阳·阶段检测）若a是有理数，则的最小值是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 ▌对点练4-4（26-27七年级·浙江·暑假作业）回答下列问题 (1)代数式的最小值是_____ (2)有最__值是_____ 题型五 利用绝对值解决实际问题 ▌例5 （2026·辽宁鞍山·一模）超市对销售的装大米进行抽检，如表记录了其中4种不同品牌被抽检大米的重量，则最符合标准重量的品牌编号是（   ） 品牌编号 ① ② ③ ④ 超出标准的重量（千克） A．① B．② C．③ D．④ 解题贴士 本题中用绝对值的大小表示产品直径与标准直径的接近程度，由绝对值的几何意义，可知一个数的绝对值越小，其在数轴上对应的点距离原点越近，在这个实际问题中，绝对值越小表示产品直径的尺寸与标准直径的尺寸偏差越小. ▌对点练5-1 （2026·吉林长春·一模）中考所用排球的重量有严格标准，现有四个排球，超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，其中最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练5-2 （25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）在11月16日第十五届全运会女子铅球决赛中，36岁的老将巩立姣以绝对优势成功夺冠，书写了全运会女子铅球五连冠的传奇！女子铅球的标准质量是，以为标准，超过的质量记为正，不足的记为负，下列质量的铅球中最接近标准的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练5-3 （25-26七年级上·全国·期末）检查5个篮球的质量，把超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，检查的结果如下表： 篮球编号 1 2 3 4 5 与标准质量的差/ (1)几号篮球最接近标准质量？ (2)如果对两个篮球作上述检查，检查的结果分别为和，请利用学过的绝对值的知识指出哪个篮球的质量好一些？ ▌对点练5-4已知某零件的标准直径是，超过规定直径长度的数量记作正数，不足规定直径长度的数量记作负数，检验员某次抽查了五件样品，检查的结果如下： 序号 1 2 3 4 5 直径长度/mm (1)试指出哪件样品的大小最符合要求? (2)如果规定误差的绝对值在之内是正品，误差的绝对值在之间的是次品，误差的绝对值超过的是废品，那么上述五件样品分别属于哪类产品? 题型六 数轴、相反数、绝对值的综合应用 ▌例6 我们知道，可以理解为，它表示：数轴上表示数a的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义，进一步地，数轴上的两个点A，B，分别用数a，b表示，那么A，B两点之间的距离为，反过来，式子的几何意义是：数轴上表示数a的点和表示数b的点之间的距离，利用此结论，回答以下问题： (1)数轴上表示数的点和表示数3的点之间的距离可用绝对值表示为 ，结果是 ； (2)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； (3)数轴上点A用数a表示，则表示 ；若，则 ； 解题贴士 1、相反数所对应的点在原点的两侧，到原点的距离的相等，绝对值表示数轴上点到原点距离； 2、|a-b | 代表数轴 a、b 两点间距； 3、求最值：定点分区间分段判断； ▌对点练6-1 （25-26七年级上·全国·单元测试）如图，在数轴上有，，三个点． (1)，，这三个点表示的数分别是多少？ (2)，两点间的距离是多少？，两点间的距离是多少？ (3)若将点向右移动个单位长度后，则，，这三个点所表示的数谁最大？表示的数最大的点与表示的数最小的点的距离是多少？ ▌对点练6-2 已知下列有理数：－4，－2，4，－1，2.5，3 (1)在给定的数轴上表示这些数： (2)这些数中是否存在互为相反数的两个数？若存在，请指出来，并写出这两个数之间所有的整数； (3)这些数在数轴上表示的点中是否存在两点之间的距离等于7的两个数？若存在，请指出来． ▌对点练6-3（24-25七年级上·湖南湘潭·阶段检测）阅读下列材料，回答问题． 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离，我们可以把这称之为绝对值的几何意义．同理，可以表示5与之差的绝对值，也可以表示5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．试探究： (1) 表示数轴上 与 所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数x所对应的点与 所对应的两点之间的距离；表示数轴上有理数x所对应的点与 所对应的两点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出所有符合条件的整数x，使得． ▌对点练6-4观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离，与，与，与，与，并回答下列各题： (1)若数轴上的点表示的数为，点表示的数为，则与两点间的距离是________； (2)若数轴上的点表示的数为，点表示的数为，则与两点间的距离可以表示为_____（用含的代数式表示）； (3)若数轴上的点表示的数为，结合数轴可求得的最小值为______． 基础通关 1．（25-26七年级上·湖南长沙·阶段检测）下列计算结果为4的是（   ） A． B． C． D． 2．（26-27七年级·江苏·小升初衔接）如图所示的数轴，字母a表示的数的绝对值可能是（     ） A．2.3 B．1.7 C．1 D．0.8 3．（23-24七年级上·湖南邵阳·期中）如图，数轴的单位长度为1，如果点A，B表示的数的绝对值相等，那么点A表示的数是（    ）    A． B． C．0 D．3 4．（22-23七年级上·广东汕头·期中）下列各对数中，互为相反数的是（    ） A．2与 B．和 C．与 D．与 5．（25-26七年级上·全国·阶段检测）数轴上点 表示的数是 ，点 表示的数是，若、 两点间的距离为 ，则 的值为（    ） A． B． C． 或 D．无法确定 6．（新疆维吾尔自治区阿克苏地区温宿县第二中学2024-2025学年第一学期七年级数学学情自测试卷）已知，，则x的值为______，y的值为______． 7．（24-25七年级上·四川巴中·阶段检测）小红做作业的时候不小心在作业本上滴上了墨水（如图），现在知道A点表示的数是，若B点表示的数为b，则____________．    素养提升 8．（2026·内蒙古通辽·二模）如果，那么的值可以是（    ） A． B． C． D． 9．（2025七年级上·四川南充·专题练习）下列说法中不正确的有（    ） ①1是绝对值最小的数；②0既不是正数，也不是负数； ③0的相反数是0；④绝对值等于本身的数是正数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（26-27七年级·全国·暑假作业）若x为任意有理数，表示在数轴上表示的点到原点的距离，表示在数轴上表示的点到表示的点的距离，则的最小值为______． 11．（25-26七年级上·辽宁营口·阶段检测）已知、是有理数，，，且，用数轴上的点来表示，，正确的是（  ） A． B． C． D． 12．写出下列各数的相反数及绝对值，然后在数轴上标出下列各数： ，，，，6，， 迁移创新 13．（25-26七年级上·广东惠州·期中）已知数轴上的点A、B、C、D分别表示， (1)请在数轴上标出A、B、C、D四个点； (2)B、C两点之间的距离是 ； (3)如果把数轴的原点取在点B处，其余条件都不变，那么点D表示的数是 ． 14．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）数学课上，老师讲解了绝对值的几何意义，表示与的差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理可变形为，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．根据这一原理，请解答如下问题． (1)求的值； (2)若，求的值； (3)请你找出所有符合条件的整数，使得． 15．（25-26七年级上·黑龙江七台河·期中）（1）数轴上点A，B对应的数分别是a，b，则，若点A在数轴上表示3，点B在数轴上表示1，那么 ； （2）在数轴上表示x的点与的距离是3，那么 ； （3）在数轴上表示a的点位于和3之间（包含两端），求的值； （4）对于任意有理数x，则的最小值是 ． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $