5.4一元一次方程的解法（讲义，3个知识点5大题型）数学新教材浙教版七年级上册

本讲义聚焦一元一次方程的解法这一核心知识点，系统梳理从移项、去括号到去分母的完整五步流程，明确每步变形依据为等式基本性质，构建从基础操作到含参数方程求解的递进式学习支架。 资料通过分层设计突破重难点，结合易错提醒（如去分母漏乘常数项）和随学随练强化规范运算，以绝对值方程、参数问题等题型培养推理意识与创新意识。课中辅助教师高效教学，课后帮助学生巩固知识、查漏补缺，提升数学思维与应用能力。

第五章 一元一次方程 5.4 一元一次方程的解法 课标要点 1.熟练掌握解一元一次方程完整五步流程：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，理解每一步变形依据为等式基本性质。 2.规范每一步运算书写格式，能处理含整数、分数、小数系数的一元一次方程，规避去分母漏乘常数项、去括号漏变号等常见错误。 3.掌握移项法则，分清移项与等式同侧交换项的区别，牢记移项必须变号。 4.会对分母为小数的方程先化整再求解，灵活简化计算步骤；解完后代入原式检验方程的解。 5.能结合含参数一元一次方程求解，根据方程解的情况求字母取值，提升方程变形与推理能力。 学习重难点 重点：1.解一元一次方程的标准步骤，熟练完整求解各类基础一元一次方程。 2.去分母、移项、系数化为1的规范运算操作。 难点：1.去分母时漏乘不含分母的常数项，分子为多项式忘记添加括号。 2.括号前为负系数去括号，多重符号处理易出错。 3.小数分母转化整数、含参数一元一次方程逆向求解参数。 知识点 移项解一元一次方程（重点） 1.定义：把方程中的某一项改变符号后，从方程一边移到另一边，这种变形叫移项。 2.依据：等式基本性质1。 示例：3x-5=x+1，移项得3x-x=1+5。 易错提醒 移项必须变号；只在同一侧交换项的位置不属于移项，不用变号。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江台州·期末）关于的方程的解为，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 2．（25-26七年级上·浙江绍兴·开学考试）解方程 (1) (2) 知识点 去括号解一元一次方程（重点） 1.步骤：先去括号，再移项、合并同类项、系数化为1。 2.依据：乘法分配律。 特别提醒 括号前是负号时，去括号后括号内每一项都要变号。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江舟山·期末）方程去括号，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）方程去括号变形正确的是（   ） A． B． C． D． 知识点 去分母解一元一次方程（难点） 1.方法：方程两边同时乘所有分母的最小公倍数，消去分母。 2.完整解题五步：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。 易错提醒 不含分母的常数项也要同乘最小公倍数；分子为多项式时，去分母后整体加括号。 随学随练 1．（2026·浙江杭州·一模）以下是小程同学解一元一次方程的解题过程，请认真阅读并完成任务：解方程：． 小程的解题过程：解：步骤①：去分母，得 步骤②：去括号，得 步骤③：移项，得 步骤④：合并同类项，得 步骤⑤：系数化为1，得 (1)小程的解题过程从第___________步开始出现错误，错误原因是___________； (2)请写出该一元一次方程正确的解答过程． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 题型 解一元一次方程 ▌例1 （2026·浙江湖州·一模）小江解方程的过程如下： 解：去分母，得…………第一步 去括号，得…………第二步 合并同类项，得…………第三步 移项，得…………第四步 合并同类项，得…………第五步 (1)小江的解题过程有错误，他从第______步开始出现错误； (2)写出正确的解答过程． 解题贴士 去分母核心：等式每一项都要乘最小公分母，不含分母的常数项不能漏乘。 ▌对点练1-1 （25-26七年级上·浙江宁波·期末）解方程： (1)； (2)． ▌对点练1-2 （25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）解方程： (1)； (2)； (3)． ▌对点练1-3 （25-26七年级上·浙江宁波·期末）解方程： (1)； (2)． 题型 绝对值方程 ▌例2 （25-26九年级上·浙江杭州·期中）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为，在数轴上A，B两点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上数x到原点的距离为3，x可能在原点左边3个单位，此时x的值为______，x也可能在原点右边3个单位，此时x的值为______． (2)x与4之间的距离表示为______，结合上面的理解，若，则x=______ (3)若点A表示的数，点B与点A的距离是5，且点B在点A的右侧，动点P、Q分别从A、B同时出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后．（请写出必要的求解过程） 解题贴士 1.数轴两点距离公式：两点表示数m、n，距离=|m-n|； 2.绝对值方程|A|=k(k>0)等价于A=k或A=-k。 ▌对点练2-1 （26-27七年级·浙江·暑假作业）在教材中，我们曾经学习过绝对值的概念：在数轴上，表示一个数a的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作． 实际上，数轴上表示数的点与原点的距离可记做；数轴上表示数的点与表示数2的点的距离可记做，也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为a，B点表示的数记为b，那么A，B两点间的距离就可记作． 回答下列问题： (1)数轴上表示2和4的两点之间的距离可记做 ，数轴上表示1和的两点之间的距离可记做 ； (2)数轴上表示x与的两点A和B之间的距离可记做 ；如果这两点之间的距离为2，那么x为 ； (3) 表示 ，结果等于 ▌对点练2-2 （25-26七年级上·浙江宁波·期中）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离， 例如：数轴上表示与的两点间的距离；而，所以表示与两点间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示1和的两点之间的距离是_____． (2)若数轴上表示点的数满足，那么_____． (3)的最小值为_____． (4)，则的值为_____． (5)的最小值为____． 题型 利用平方根解方程 ▌例3 （26-27七年级·浙江·暑假作业）解下列方程 (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 解题贴士 两边同时开平方，结果带正负号。 ▌对点练3-1 （25-26七年级上·浙江·期末）已知正数的平方根为和，若，则的值为_______ ▌对点练3-2 （25-26七年级上·浙江宁波·期中）解方程 (1)； (2)； (3)． 题型 已知一元一次方程的解求参数 ▌例4 （25-26七年级上·浙江金华·期末）关于的方程与的解相同，则的值为___________． 解题贴士 两个方程解相同，先求出不含参数方程的解，再将解代入含参数的方程，转化为关于参数的一元一次方程求解。 ▌对点练4-1 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知是关于的一元一次方程的解，则的值为___________． ▌对点练4-2 （25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）已知关于x的方程的解是，其中，则代数式______． 题型 一元一次方程解的关系 ▌例5 （25-26七年级上·浙江宁波·期末）若关于x的方程与方程的解互为相反数，则m的值为（    ） A．4 B． C．3 D． 解题贴士 1.先解不含参数的简单方程，得到一个解； 2.利用“互为相反数”求出第二个方程的解； 3.将解代入含参数方程，解出参数。 ▌对点练5-1 （25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为_______． ▌对点练5-2 （25-26七年级上·浙江台州·期末）关于的一元一次方程的解是，则关于的一元一次方程的解是___________． 基础通关 1．（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）方程移项后正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）将方程去分母，应在方程的两边同乘（   ） A．4 B．6 C．12 D．10 3．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）方程 去分母后，正确的是（   ）． A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·浙江·阶段检测）若关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·浙江金华·期中）若是关于x的一元一次方程，则m等于______． 6．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知数轴上点表示的数是，若数轴上另一点与点之间的距离为，则点表示的数是___________． 7．（25-26七年级上·浙江台州·期末）若是关于的一元一次方程的解，则的值为___________． 8．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知关于的方程的解与方程的解相同，则的值为__________． 9．（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）解方程： (1)． (2) 10．（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）下面方程的解法对吗？若不对，请改正． 解方程： 解：去分母，得 去括号，得 移项，得 则，解得． 11．（25-26七年级上·浙江·单元复习）求下列式子中的x的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 素养提升 12．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）多项式和（为实数，）的值由的取值决定．如表是当取不同值时多项式对应的值，由此可知，关于的方程的解是（    ） 1 3 4 2 4 A． B． C． D． 13．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为_______． 14．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）对于有理数a、b定义一种新运算，如，；若，则________． 15．（2026·浙江温州·三模）将四个数、、、排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成．若定义，则中的值为______． 16．（25-26七年级上·浙江湖州·期中）（1）如图1，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．求大正方形的边长； （2）如图2，某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，求小长方形的对角线的长度． 迁移创新 17．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）我们规定：对于任意有理数a，b，定义新运算“”为：． 请根据定义完成下列问题： (1)计算：______；______．______；______． (2)观察（1）的结果，请判断在有理数的“”运算中交换律和结合律是否仍适用？若适用，请说明理由； (3)若，求有理数x的值． 18．（25-26七年级上·浙江台州·期末）我们规定一种新运算“”，对于任意有理数a，b，满足以下运算规则： ①若（a，b同号），则； ②若（a，b异号），则； ③若（a，b至少一个为0），则． 请根据以上运算规则完成下列问题： (1)填空：①___________；②___________；③___________；④___________； (2)已知是有理数，且，求的值； (3)探究：如果对于任意有理数m，n，满足，那么m，n应满足什么条件，请直接写出结论． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 一元一次方程 5.4 一元一次方程的解法 课标要点 1.熟练掌握解一元一次方程完整五步流程：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，理解每一步变形依据为等式基本性质。 2.规范每一步运算书写格式，能处理含整数、分数、小数系数的一元一次方程，规避去分母漏乘常数项、去括号漏变号等常见错误。 3.掌握移项法则，分清移项与等式同侧交换项的区别，牢记移项必须变号。 4.会对分母为小数的方程先化整再求解，灵活简化计算步骤；解完后代入原式检验方程的解。 5.能结合含参数一元一次方程求解，根据方程解的情况求字母取值，提升方程变形与推理能力。 学习重难点 重点：1.解一元一次方程的标准步骤，熟练完整求解各类基础一元一次方程。 2.去分母、移项、系数化为1的规范运算操作。 难点：1.去分母时漏乘不含分母的常数项，分子为多项式忘记添加括号。 2.括号前为负系数去括号，多重符号处理易出错。 3.小数分母转化整数、含参数一元一次方程逆向求解参数。 知识点 移项解一元一次方程（重点） 1.定义：把方程中的某一项改变符号后，从方程一边移到另一边，这种变形叫移项。 2.依据：等式基本性质1。 示例：3x-5=x+1，移项得3x-x=1+5。 易错提醒 移项必须变号；只在同一侧交换项的位置不属于移项，不用变号。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江台州·期末）关于的方程的解为，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的解及其解法，先将代入已知方程中得到关于a的方程，然后解方程可得答案． 【详解】解：∵关于的方程的解为， ∴，解得． 故选：A． 2．（25-26七年级上·浙江绍兴·开学考试）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ． 知识点 去括号解一元一次方程（重点） 1.步骤：先去括号，再移项、合并同类项、系数化为1。 2.依据：乘法分配律。 特别提醒 括号前是负号时，去括号后括号内每一项都要变号。 随学随练 1．（25-26七年级上·浙江舟山·期末）方程去括号，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用去括号法则化简得出答案即可． 本题主要考查了解一元一次方程，正确掌握去括号法则是解题关键． 【详解】解：， 去括号得：． 故选：D 2．（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）方程去括号变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程，根据去括号法则可得结果．熟练掌握去括号法则是解题的关键． 【详解】解：， 去括号得， 故选：B． 知识点 去分母解一元一次方程（难点） 1.方法：方程两边同时乘所有分母的最小公倍数，消去分母。 2.完整解题五步：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1。 易错提醒 不含分母的常数项也要同乘最小公倍数；分子为多项式时，去分母后整体加括号。 随学随练 1．（2026·浙江杭州·一模）以下是小程同学解一元一次方程的解题过程，请认真阅读并完成任务：解方程：． 小程的解题过程：解：步骤①：去分母，得 步骤②：去括号，得 步骤③：移项，得 步骤④：合并同类项，得 步骤⑤：系数化为1，得 (1)小程的解题过程从第___________步开始出现错误，错误原因是___________； (2)请写出该一元一次方程正确的解答过程． 【答案】(1)①，方程右边未同时乘6 (2)解答过程见详解 【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤，逐一检查，即可找出第①步错误及其原因； （2）根据解一元一次方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项及系数化为1，逐一求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，小程在解题过程中第①步开始出现问题，虽然方程左边同时乘上分母的最小公倍数6，但是方程右边未同时乘6，导致接下来的步骤出现错误． （2）解：步骤①：去分母，得 步骤②：去括号，得 步骤③：移项，得 步骤④：合并同类项，得 步骤⑤：系数化为1，得． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按照解一元一次方程的一般步骤：去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化成1，进行解答即可； （2）按照解一元一次方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化成1，进行解答即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 题型 解一元一次方程 ▌例1 （2026·浙江湖州·一模）小江解方程的过程如下： 解：去分母，得…………第一步 去括号，得…………第二步 合并同类项，得…………第三步 移项，得…………第四步 合并同类项，得…………第五步 (1)小江的解题过程有错误，他从第______步开始出现错误； (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)一 (2) 解： ， 去分母，得， 去括号，得 ， 移项，得 合并同类项，得 ， 系数化为1，得． 【详解】（1）解：他从第一步开始出现错误； （2）略 解题贴士 去分母核心：等式每一项都要乘最小公分母，不含分母的常数项不能漏乘。 ▌对点练1-1 （25-26七年级上·浙江宁波·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是关键． （1）去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解； （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得：； （2）解：， ， ， ， 解得： ▌对点练1-2 （25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用移项、合并同类项、系数化为1解方程即可； （2）利用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解方程即可； （3）先将分母变形为整数，再利用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解方程即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：， 去分母，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 移项、合并，得， 系数化为1，得； （3）解：， 方程变形为， 化简得：， ​ 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并，得， 系数化为1，得． ▌对点练1-3 （25-26七年级上·浙江宁波·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的求解． （1）先去括号，再移项、合并同类项，最后将系数化为1即可； （2）先去分母，再去括号、移项、合并同类项，最后将系数化为1即可． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ． 题型 绝对值方程 ▌例2 （25-26九年级上·浙江杭州·期中）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a，b，A，B两点之间的距离表示为，在数轴上A，B两点之间的距离，利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上数x到原点的距离为3，x可能在原点左边3个单位，此时x的值为______，x也可能在原点右边3个单位，此时x的值为______． (2)x与4之间的距离表示为______，结合上面的理解，若，则x=______ (3)若点A表示的数，点B与点A的距离是5，且点B在点A的右侧，动点P、Q分别从A、B同时出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后．（请写出必要的求解过程） 【答案】(1)，3 (2)， 6或2 (3)或 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离即可解决； （2）x与4之间的距离表示为，即x与4之间的距离为2，据此解答即可； （3）先分别表达出P， B，Q所表示的数，再根据根据两点间的距离公式列方程求解即可 【详解】（1）解：数轴上数x到原点的距离为3，x可能在原点左边3个单位，此时x的值为，x也可能在原点右边3个单位，此时x的值为3； 故答案为： ，3； （2）解：x与4之间的距离表示为； 即x与4之间的距离为2， 或， 则x表示的数为6或2， 故答案为：，6或2； （3）解：B表示的数为， 由题意， ∵， ∴ 或 或 或． 【点睛】本题考查数轴与有理数，数轴上两点间的距离，绝对值的几何意义，有理数的计算，绝对值方程，掌握相关知识是解决问题的关键． 解题贴士 1.数轴两点距离公式：两点表示数m、n，距离=|m-n|； 2.绝对值方程|A|=k(k>0)等价于A=k或A=-k。 ▌对点练2-1 （26-27七年级·浙江·暑假作业）在教材中，我们曾经学习过绝对值的概念：在数轴上，表示一个数a的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作． 实际上，数轴上表示数的点与原点的距离可记做；数轴上表示数的点与表示数2的点的距离可记做，也就是说，在数轴上，如果A点表示的数记为a，B点表示的数记为b，那么A，B两点间的距离就可记作． 回答下列问题： (1)数轴上表示2和4的两点之间的距离可记做 ，数轴上表示1和的两点之间的距离可记做 ； (2)数轴上表示x与的两点A和B之间的距离可记做 ；如果这两点之间的距离为2，那么x为 ； (3) 表示 ，结果等于 【答案】(1)或；或 (2)或；1或 (3)在数轴上表示的点与表示3的点之间的距离，5 【分析】根据数轴上两点之间的距离公式列式或列方程计算即可． 【详解】（1）解：数轴上表示2和4的两点之间的距离可记做或，数轴上表示1和的两点之间的距离可记做或； （2）解：数轴上表示x与的两点A和B之间的距离可记做或； ∵这两点之间的距离为2， ∴或， ∴， ∴或； （3）解：表示：在数轴上表示的点与表示3的点之间的距离，，故结果等于5． ▌对点练2-2 （25-26七年级上·浙江宁波·期中）点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离， 例如：数轴上表示与的两点间的距离；而，所以表示与两点间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示1和的两点之间的距离是_____． (2)若数轴上表示点的数满足，那么_____． (3)的最小值为_____． (4)，则的值为_____． (5)的最小值为____． 【答案】(1)6 (2)4或 (3)2026 (4)或 (5)7 【分析】本题考查了数轴，绝对值的几何意义，两点间的距离公式，线段上的点到线段的两端点的距离的和等于线段的距离． 运用了数形结合和分类讨论的思想．理解和掌握求数轴上两点的距离是解题的关键． （1）根据题中结论解答即可； （2）的意义为：在数轴上表示x和表示1的两点的距离为3，据此解答可得； （3）表示x与两点的距离与x与2025两点的距离之和， 再分x在和2025之间和x不在和2025之间分别求解，综合可得结果； （4）由（3）的结论确定表示x的点在的左侧或在2025的右侧，再分类求解即可； （5）根据绝对值的几何意义，写出的含义，再根据2在和之间， 且和的距离等于，得出当时，的值最小，最小值等于7． 【详解】（1）解：由题得，， 数轴上表示1和的两点之间的距离是6． 故答案为：6． （2）解：由得，数轴上表示x和1的两点之间的距离是3． 或． 故答案为：4或． （3）解：表示x与两点的距离与x与2025两点的距离之和， 当x在和2025之间时，； 当x不在和2025之间，的值大于与2025两点的距离，又， 当x不在和2025之间，的值大于2026； 综上可知，当x在和2025之间时，的值最小，最小值为2026． 故答案为：2026． （4）解：由（3）知，若， 则数x在的左侧或在2025的右侧，即或， 当时，， 由，解得； 当时，， 由，解得； 综上可知，的值为或． （5）解：表示x与两点间的距离与x与2两点间的距离的2倍与x与3两点间的距离之和， 因为2在和之间，且和的距离等于， 所以当时，的值最小，最小值等于7． 故答案为：7． 题型 利用平方根解方程 ▌例3 （26-27七年级·浙江·暑假作业）解下列方程 (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：∵ ， ∴； （2）解：∵ ， ∴； （3）解：∵ ∴， ∵， ∴， （4）解： ∵， ∴． 解题贴士 两边同时开平方，结果带正负号。 ▌对点练3-1 （25-26七年级上·浙江·期末）已知正数的平方根为和，若，则的值为_______ 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义，根据平方根的定义，正数的两个平方根互为相反数，且平方根的平方等于原数．利用这一性质，将已知方程中的项用表示，进而求解． 【详解】解：∵正数的平方根为和， 故，． 将，代入， 得， 即， 解得， ∵， 故的值为． 故答案为：． ▌对点练3-2 （25-26七年级上·浙江宁波·期中）解方程 (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题主要考查了解一元一次方程、运用平方根解方程等知识点，灵活运用平方根解方程是解题的关键． （1）按照“移项、合并同类项、系数化为1”的步骤解答即可； （2）按照“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的步骤解答即可； （3）先整理方程可得，运用平方根可得，进而完成解答． 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ． （3）解：， ， ， ， ， ， 或， 所以，． 题型 已知一元一次方程的解求参数 ▌例4 （25-26七年级上·浙江金华·期末）关于的方程与的解相同，则的值为___________． 【答案】5 【分析】本题考查了一元一次方程同解问题．先解方程得到，再将代入方程中即可求解． 【详解】解：解，得， ∵关于的方程与的解相同， ∴把代入方程得，， 解得，， 故答案为：5． 解题贴士 两个方程解相同，先求出不含参数方程的解，再将解代入含参数的方程，转化为关于参数的一元一次方程求解。 ▌对点练4-1 （25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知是关于的一元一次方程的解，则的值为___________． 【答案】2030 【分析】本题考查方程的解，代数式求值，把代入，得到，再利用整体代入法，进行计算即可． 【详解】解：把代入，得， ∴； ∴； 故答案为：2030 ▌对点练4-2 （25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）已知关于x的方程的解是，其中，则代数式______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解； 将代入方程，得到关于和的等式，通过化简求出和的值，再计算代数式的值． 【详解】解：将代入方程，得， 整理得：， 所以， 即，， 因此， 故答案为：． 题型 一元一次方程解的关系 ▌例5 （25-26七年级上·浙江宁波·期末）若关于x的方程与方程的解互为相反数，则m的值为（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，以及方程解的关系． 先求出方程的解，根据两方程解互为相反数得到方程的解，再代入该方程计算出的值． 【详解】解： 移项得 合并同类项得 系数化为1得 又∵两个方程的解互为相反数 ∴方程的解为 将代入中 得 即 移项得 ∴ 故选C 解题贴士 1.先解不含参数的简单方程，得到一个解； 2.利用“互为相反数”求出第二个方程的解； 3.将解代入含参数方程，解出参数。 ▌对点练5-1 （25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为_______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握整体法，是解题的关键． 将第一个方程变形得到，第二个方程变形得到，从而建立等式，代入求解． 【详解】由，移项得，即． 由，移项得． 因此，即． 代入，得，所以． 故答案为：． ▌对点练5-2 （25-26七年级上·浙江台州·期末）关于的一元一次方程的解是，则关于的一元一次方程的解是___________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解的关系． 将化为，可知，求解即可． 【详解】解：∵可化为， ∴方程与方程的结构相同， 即， 解得． 故答案为：． 基础通关 1．（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）方程移项后正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据解一元一次方程的移项的步骤求解即可． 本题主要考查了解一元一次方程，熟知移项的步骤是解题的关键． 【详解】解：， 移项，得 ． 故选：C． 2．（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）将方程去分母，应在方程的两边同乘（   ） A．4 B．6 C．12 D．10 【答案】C 【分析】找出方程中分母的最小公倍数即可得解． 本题考查解含有分母的一元一次方程的解题步骤问题，关键会找公分母，会求各分母的最小公倍数，会利用等式性质将分母化去． 【详解】∵分母4和6的最小公倍数为12， ∴应在方程两边同乘以12． 故选：C 3．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）方程 去分母后，正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程去分母的法则，关键是找到分母的最小公倍数；需给方程两边同时乘以各分母的最小公倍数，注意分子为多项式时要加括号，且每一项都要乘最小公倍数． 【详解】解：∵方程两边同时乘以各分母的最小公倍数， ∴ ∴， 故选：C． 4．（25-26七年级上·浙江·阶段检测）若关于x的一元一次方程的解为，那么关于y的一元一次方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查换元法解一元一次方程，根据题意，易得中，进行求解即可． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为， ∴中； ∴． 故选：C． 5．（25-26七年级上·浙江金华·期中）若是关于x的一元一次方程，则m等于______． 【答案】2或1 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，绝对值方程，根据一元一次方程的定义，未知数x的指数必须为1，因此，解此绝对值方程可得m的值． 【详解】解：是关于x的一元一次方程， 或， 解得或， 故答案为：2或1． 6．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）已知数轴上点表示的数是，若数轴上另一点与点之间的距离为，则点表示的数是___________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了数轴上两点间的距离与绝对值的关系，以及含绝对值的一元一次方程的解法．根据数轴上两点距离公式，设点表示的数为，则，解绝对值方程即可． 【详解】设点表示的数为，则点与点之间的距离为， 当时，， 当时，， 所以点表示的数是或， 故答案为：或． 7．（25-26七年级上·浙江台州·期末）若是关于的一元一次方程的解，则的值为___________． 【答案】5 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，代数式求值，把代入原方程中可得，再把所求式子变形为，据此求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解， ∴， ∴， 故答案为：5． 8．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）已知关于的方程的解与方程的解相同，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解法以及方程的解的定义，先解方程，得到，再将代入方程，求解的值． 【详解】解：解方程， 两边同时乘以2，得， 解得． 由于两个方程的解相同， 将代入， 得，即， 解得． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）解方程： (1)． (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程， 对于（1），根据去括号，移项，合并同类项，系数化为1解答； 对于（2），根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1解答． 【详解】（1）解：去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化为1，得． 10．（25-26七年级上·浙江温州·阶段检测）下面方程的解法对吗？若不对，请改正． 解方程： 解：去分母，得 去括号，得 移项，得 则，解得． 【答案】不对，正确解答过程见解析 【分析】本题考查解一元一次方程，原解法在多个环节出现计算疏漏，导致结果错误．正确解法应严格按照步骤执行，避免跳步导致错误．本题需要正确去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1． 【详解】解：不对， 正确的解答过程如下： 去分母，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 11．（25-26七年级上·浙江·单元复习）求下列式子中的x的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】此题主要考查了利用平方根和立方根解方程，正确化简各数是解题关键． （1）直接利用平方根的定义计算得出答案； （2）直接利用立方根的定义计算得出答案． （3）直接利用平方根的定义计算得出答案； （4）直接利用立方根的定义计算得出答案． 【详解】（1） 解得； （2） 解得； （3） 解得或； （4） 解得． 素养提升 12．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段检测）多项式和（为实数，）的值由的取值决定．如表是当取不同值时多项式对应的值，由此可知，关于的方程的解是（    ） 1 3 4 2 4 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了解一元一次方程，以及一元一次方程的解，弄清表格中的数据是解本题的关键根据表格确定出方程的解即可． 【详解】解：观察表格可知当时，，， ∴， ∴当时， 则关于x的方程的解是， 故选C． 13．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为_______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的同解问题． 通过变量代换，将关于的方程转化为关于的方程的形式，利用已知解求解即可． 【详解】解：设， 则方程化为， 此方程与已知方程同解， 已知解为， 故， 即， 解得． 故答案为：． 14．（25-26七年级上·浙江金华·阶段检测）对于有理数a、b定义一种新运算，如，；若，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据新运算的定义，分两种情况讨论：当时，；当时，；分别解方程即可得到答案． 【详解】解：当时， ∵， ∴， 解得，不符合题意； 当时， ∵， ∴， 解得，符合题意； 综上所述，， 故答案为：． 15．（2026·浙江温州·三模）将四个数、、、排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成．若定义，则中的值为______． 【答案】5 【详解】解：根据题意得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 16．（25-26七年级上·浙江湖州·期中）（1）如图1，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．求大正方形的边长； （2）如图2，某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，求小长方形的对角线的长度． 【答案】（1）4；（2） 【分析】本题主要考查算术平方根的应用． （1）根据拼接前后的面积相等建立方程求解可得答案． （2）设小长方形的对角线的长度为m，利用面积关系建立方程即可． 【详解】解：（1）设大正方形的边长为x， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 答：大正方形的边长为4； （2）设小长方形的对角线的长度为m， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 答：小长方形的对角线的长度为． 迁移创新 17．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）我们规定：对于任意有理数a，b，定义新运算“”为：． 请根据定义完成下列问题： (1)计算：______；______．______；______． (2)观察（1）的结果，请判断在有理数的“”运算中交换律和结合律是否仍适用？若适用，请说明理由； (3)若，求有理数x的值． 【答案】(1)3，3，19，9 (2)“”运算中交换律仍适用，结合律不一定适用，理由见详解 (3) 【分析】（1）依次根据题目中的定义新运算的规则进行计算即可； （2）根据题目中的定义新运算的规则分别计算和可得；和不一定相等．因此“”运算中交换律仍适用，结合律不一定适用． （3）根据题目中的定义新运算的规则可得，由此可得方程，解方程即可． 【详解】（1）解：； ； ； ． 故答案为：3，3，19，9 （2）解：“”运算中交换律仍适用，结合律不一定适用，理由如下： 由题意得，， ∵， ∴， ∴“”运算中交换律仍适用； ∵ ， ． 当时，，即， 当时，，即， ∴“”运算中结合律不一定适用． （3）解：由题意得， 又∵， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查定义新运算，整式的运算，以及一元一次方程，掌握新运算的运算法则是解题的关键． 18．（25-26七年级上·浙江台州·期末）我们规定一种新运算“”，对于任意有理数a，b，满足以下运算规则： ①若（a，b同号），则； ②若（a，b异号），则； ③若（a，b至少一个为0），则． 请根据以上运算规则完成下列问题： (1)填空：①___________；②___________；③___________；④___________； (2)已知是有理数，且，求的值； (3)探究：如果对于任意有理数m，n，满足，那么m，n应满足什么条件，请直接写出结论． 【答案】(1)，，， (2)的值为或 (3)当或时，满足 【分析】本题主要考查含有字母的绝对值的化简，一元一次方程的运用． （1）根据材料提示方法求解即可； （2）根据材料规定的计算方法，分类讨论即可求解； （3）根据材料规定的计算方法进行验证即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， （2）解：当时，即， ∴， ∴， 解得，； 当时，即， ∴，不符合题意，舍去； 当时，即， ∴， ∴， 解得，； 综上所述，的值为或； （3）解：当同号时，，，则； 当异号时，，， 若，则， 解得，，即互为相反数； 当至少一个为0时，，，则； 例如：，； ，； ，， ，，，， 综上所述，当或时，满足． 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $