专题5.4 一元一次方程的应用（2大知识点12类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年七年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）（新教材）

专题5.4 一元一次方程的应用（2大知识点12类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1） 审题：弄清题意． （2） 找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系． （3） 设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，�然后利用已找出的等量关系列出方程． （4） 解方程：解所列的方程，求出未知数的值． （5） 检验、写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案． 【知识点2】题型等量关系分析 【题型1】日历中的方程(掌握日历或卡片中的规律) 数列相邻之间相差7，横排相邻之间相差1，右对角线相邻差8，左对角线相邻相差6 【题型2】等积变形问题。 此类问题的关键在“等积”上，是等量关系的所在，必须掌握常见几何图形的面积、体积公式。“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为：①形状面积变了，周长没变；②原料体积＝成品体积。 【题型3】数字问题 要正确区分“数”与“数字”两个概念，这类问题通常采用间接设法，常见的解题思路分析是抓住数字间或新数、原数之间的关系寻找等量关系。列方程的前提还必须正确地表示多位数的代数式：一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c．十位数可表示为10b+a， 百位数可表示为100c+10b+a．然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程. 【题型4】和、差、倍、分问题 （1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量． （2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 【题型5】调配问题。 　　从调配后的数量关系中找等量关系，常见是“和、差、倍、分”关系，要注意调配对象流动的方向和数量。这类问题要搞清人数的变化。 【题型6】利润率问题。 （1） (2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) (3) 实际售价＝标价×打折率 (4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 【题型7】工程问题 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式： （1）总工作量=工作效率×工作时间； （2）总工作量=各单位工作量之和． 【题型8】行程问题 （1） 三个基本量间的关系： 路程=速度×时间 　（2）基本类型有： 　 ①相遇问题： （a） 基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间; （b）寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题： （a）基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 （b）寻找相等关系：同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；同时不同地出发： （c）前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题： （a）基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度，顺水速度－逆水速度＝2×水速； （b）寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． （c）解此类题关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 【题型9】方案问题 选择设计方案的一般步骤： （1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况． （2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解值，比较两种方案优劣性后下结论． 题型目录 【题型1】日历问题...........................................................3 【题型2】等积（周）变形问题.................................................4 【题型3】数字问题...........................................................5 【题型4】和、差、倍、分问题.................................................6 【题型5】调配问题...........................................................6 【题型6】利润问题...........................................................7 【题型7】行程问题...........................................................8 【题型8】工程问题...........................................................8 【题型9】方案问题...........................................................9 【题型10】古代问题.........................................................10 【题型11】阶梯（电费、水费）问题...........................................10 【题型12】数轴上的动点问题.................................................11 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】日历问题 【例1】（24-25七年级上·北京东城·期中）如图是2023年10月的月历，观察月历，回答问题： (1)小明国庆假期外出旅行三天，三天日期之和是12，小明是星期几出发的？ (2)“型”这个阴影图形覆盖四个方格，设“型”阴影覆盖的最小数字为m，四个数字之和为S，2023年是建国74周年，的值能否等于74？若能，求的值；若不能，说明理由． 【变式1】（24-25七年级上·福建厦门·期中）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取某“H”型框中的7个数（表中阴影部分仅作“H”型框的例）．请你运用所学的数学知识分析任取的这7个数的和不可能是（   ） A．63 B．98 C．126 D．161 【变式2】（24-25七年级上·河北廊坊·期中）如图是2024年12月份的日历，如图中那样，用一个圈竖着圈住3个数，如果被圈住的三个数的和为54，则这三个数中最小一个所表示的日期为2024年12月 日． 【题型2】等积（周）变形问题 【例2】（23-24七年级下·全国·课后作业）已知两个底面直径分别为，高均为的量筒中装有相同高度的水，若将小量筒中的水全部倒入大量筒中，刚好可以将大量筒倒满，则倒入水之前大量筒中水的体积是多少？（量筒为圆柱形，结果保留） 【变式1】（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，正方形的一边长减少后，得到一个长方形（图中阴影部分），若长方形的周长为，求正方形的边长．设正方形的边长为，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·山东潍坊·期末）如图，小明受“乌鸦喝水”故事的启发，利用一只高48厘米的量桶（不考虑量筒厚度）和一些体积相同的小球进行如下实验．先阅读表格信息，再解答下列问题： 放入球个数x（个） 0 3 5 x 量桶内水面高度h（厘米） 30 36 ______ ______ (1)请根据题意，补全上表中的两个空： (2)当放入x个小球时，量桶内水面距离量筒口的高度为y（厘米），请写出变量y与x之间的表达式； (3)当水面刚好到达量桶口时，求放入小球的个数． 【题型3】数字问题 【例3】（23-24六年级下·上海·期中）一个两位数是一个一位数的3倍，如果把两位数放在一位数的右边，得到一个三位数，如果把两位数放在一位数的左边，得到另一个三位数，且后面的三位数比前面的三位数小360，则这个两位数是多少？ 【变式1】（24-25七年级上·辽宁·期末）有两个数，第一个数比第二个数的倍多，第二个数比第一个数的倍少，问这两个数是多少？设第二个数为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·江苏苏州·期中）定义：对于一个两位数x，如果x满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“相异数”，将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将这个新两位数与原两位数的求和，同除以11所得的商记为．若一个“相异数”y的十位数字是k，个位数字是，且，则“相异数” ． 【题型4】和、差、倍、分问题 【例4】（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在清冰雪工作中，某驻哈武警部队出动兵力600人参加三条街路的清冰雪劳动，其中A街路清冰雪的人数占此次出动兵力总人数的，余下的人参加B街路和C街路的清冰雪劳动，并且参加B街路清冰雪的人数是参加C街路的清冰雪人数的． (1)求参加A街路清冰雪劳动共有多少人？ (2)求参加B街路和C街路的清冰雪劳动各有多少人？ (3)在A街路清冰雪过程中，因有其它工作需要，调走了此处的兵力后，附近的居民主动参加劳动，此时在A街路清冰雪的武警官兵人数比居民人数的3倍少6人，求参加清冰雪劳动的居民有多少人？ 【变式1】（23-24七年级上·河北石家庄·期末）某快递分派站现有若干件包裹需快递员派送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，则分派站现有包裹为（    ） A．66件 B．67件 C．68件 D．72件 【变式2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）王芳出生时父亲33岁，现在父亲的年龄是王芳年龄的4倍，王芳现在的年龄是 岁． 【题型5】调配问题 【例5】（24-25七年级上·重庆·阶段练习）甲、乙两个家具厂生产同一规格的单人课桌、椅，由于甲、乙两厂特长不同，甲厂每月（天）用的时间生产课桌，的时间生产课椅，每个月可生产900套课桌椅；乙厂每月用的时间生产课桌，的时间生产课椅，每个月可生产1500套课桌椅，现在两厂联合生产，经过合理安排，尽量发挥各自特长．现在两厂每月比过去可多生产课桌椅多少套？ 【变式1】（2024·广东深圳·三模）粽子作为中国历史文化积淀最深厚的传统食品之一，传播甚远，最初是用来是祭祀祖先神灵的贡品．某家庭制作的粽子礼盒每份由6个蛋黄肉粽和4个碱水粽组成．用1千克糯米可做24个蛋黄肉粽或16个碱水粽，现要用6千克糯米制作粽子，设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，恰好使制作的蛋黄肉粽和碱水粽配套，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【变式2】（22-23七年级下·河南平顶山·期中）绍兴黄酒是中国名酒之一某黄酒厂的瓶酒车间的生产流程是先“灌装”：即将散装黄酒灌装成瓶装黄酒，再“装箱”：即将瓶装黄酒装箱出车间，该瓶酒车间“灌装”“装箱”生产线信息如表所示： “灌装”生产线 “装箱”生产线 生产线数量 条 条 每条生产线的生产效率 瓶/小时 瓶/小时 某日8时到11时，车间内的生产线全部投入生产，如图表示该时段内还没有装箱的瓶装黄酒存量随时间的变化情况，则 ． 【题型6】利润问题 【例6】（22-23六年级下·上海虹口·期中）某商场计划用元购进、两种新型节能台灯共盏，这两种台灯的进价、售价如表所示： 进价（元/盏） 售价（元/盏） 型 型 (1)求这两种台灯各购进多少盏？ (2)若商场销售完这批台灯时的盈利率是，求商场型台灯商场售价a． 【变式1】（24-25七年级上·全国·期末）随着时代和科技的快速发展，抖音电商利用自身的智能化推荐、定位、搜索等先进技术迅速占领线上购物市场．10月初，某抖音主播用11000元从厂家购进了A、B两种商品共500件，其中A商品每件进价40元，B商品每件进价10元． (1)求10月初购进A、B两种商品各多少件？ (2)该主播在抖音平台上出售10月初购进的A、B两种商品．A商品在进价的基础上加价50%出售，并全部售完：B商品的售价为30元/件，并以此价格售出后迎来了双“十一”促销活动，剩下的B商品在原来售价基础上打m折销售，并将剩下的商品全部售完．最后销售10月初购进的A、B两种商品一共获得的利润为9400元，求m的值． 【变式2】（24-25七年级上·云南曲靖·期中）已知一块A型纸板可以制成1个C型正方形纸板和2个D型长方形纸板，一块B型纸板可以制成2个C型正方形纸板和1个D型长方形纸板，现有A、B两种纸板共20块，设A型纸板有x块（x为正整数） (1)求总共可以制成多少个C型正方形纸板（用含有x的式子表示） (2)出售一个C型正方形纸板可以获利10元，出售1个D型长方形纸板可以获利12元．若将所制成的C型、D型纸板全部售出可以获利650元，求x的值 【题型7】行程问题 【例7】（2024七年级上·全国·专题练习）某军舰在静水中的速度为，有一天它顺水航行去钓鱼岛执行巡航任务，途中有一救生圈落入水中，发现时救生圈已距军舰，若水流速度为． (1)求从救生圈落水到被发现用了多长时间？ (2)发现后，舰长马上派摩托艇取回救生圈，摩托艇在静水中的速度为，军舰仍以原速前进，摩托艇拿到救生圈后马上返回军舰，求从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用多少h？ 【变式1】（24-25七年级上·吉林白城·阶段练习）一列火车匀速行驶，经过一条长的隧道需要的时间．隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是．设火车长，解答下列问题． (1)从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车所走的路程是______，这段时间内火车的速度是______．（用含的代数式表示） (2)从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车所走的路程是______，这段时间内火车的速度是______．（用含的代数式表示） (3)求这列火车的长度． 【变式2】（24-25七年级上·山东·期末）甲、乙两站间的路程为，一列快车从甲站开出，每小时行驶，一列慢车从乙站开出，每小时比快车少行驶． (1)两车同时开出，相向而行， 小时后相遇； (2)快车先开，两车相向而行，快车开出 小时后两车相遇； (3)两车同时同向开出，慢车在前，出发多长时间后快车追上慢车？ (4)慢车先开，两车同向而行，慢车在前，快车出发多长时间后追上慢车？ 【题型8】工程问题 【例8】（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）哈市有甲乙两个工程队，现有一小区需要进行小区改造，甲工程队单独完成这一项工程需要20天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多． (1)求乙队单独完成这项工程需要多少天？ (2)现在若甲工程队先做5天，剩余部分再由甲乙两队合作，还需要多少天才能完成？ (3)原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲､乙两工程队合作完成，若甲工程队工作的天数是乙工程队工作天数的，乙工程队每天施工费是甲工程队每天施工费的，最后甲､乙两队施工费共计7万元，求甲、乙工程队每天施工费多少万元？ 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）甲、乙两人共同承包一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做20天完成，合同规定15天完成，否则每超过1天罚款1000元． (1)在规定时间内，甲、乙两人能否完成这项工程？ (2)现两人合作了这项工程的，因别处有急事，必须调走1人．调走谁更合适？ 【变式2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨亚冬会的某个比赛场馆正在装修，装修后产生的建筑垃圾需要清理．计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要天，乙车队单独运完需要天．乙车队先运了天，然后甲、乙两车队合作运完剩下的垃圾． (1)甲、乙两车队合作还需要多少天运完垃圾？ (2)已知甲车队每天的租金元，比乙车队少元，运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金多少元？ 【题型9】方案问题 【例9】（2024七年级上·全国·专题练习）某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为万元；经粗加工后销售，每吨利润可达万元；经精加工后销售，每吨利润涨至万元．当地一家蔬菜公司收购这种蔬菜120吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工14吨：如果进行精加工，每天可加工5吨，但两种加工方式不能在同一天同时进行，受季节条件限制，公司必须在15天内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此，公司研制了三种可行方案： 方案一：将蔬菜全部进行粗加工． 方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜在市场上直接销售． 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成． 你认为哪种方案利润最大，为什么？ 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）环江牛角寨瀑布群景区和环江木论喀斯特生态旅游景区是国家级旅游景区，寒假期间拟定门票价格每张30元，团队票可选择两种购票优惠方案． 方案一：全体人员打8折； 方案二：有5人可以免票，剩下的人员打9折． (1)若某团队有100人，为节省购票费用，求该团队应该选择哪种购票方案？ (2)若某团队无论选择哪种方案购票，费用恰好一样，求该团队共有多少人？ 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）某工厂准备在劳动节期间组织员工观看最新电影，票价为每张40元，经车间主任沟通，针对40人以上的团体票，售票员提供了两种优惠方案： 方案一：全体人员打8折； 方案二：5人免票，其他人员打9折． (1)若工厂车间有50名工人，选择哪种方案更优惠? (2)车间主任说：“无论选择哪种方案，要付的钱都一样多．”则该工厂车间有多少名工人? 【题型10】古代问题 【例10】（23-24七年级上·全国·单元测试）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，房客共六三，大比小多二一．后半部分的意思是：房客共有63人，大人比小孩多21人． (1)求该房客大人，小孩各有多少人？ (2)假设店主李三公推出两种订房方案： 方案一：房客超过40人，超过的按原价八折优惠， 方案二：大人原价，小孩半价． 若诗中“众客”再次一起入住，他们选择哪种方案订房更合算？ 【变式1】（2024·安徽合肥·二模）我国古代重要的数学著作《孙子算经》中记载了这样一个问题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四五尺，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”意思是：“现有一根木头，不知道它的长短．用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺；将绳子对折后去量，则绳子比木头短1尺，问木头的长度是多少尺？”试计算木头的长度． 【变式2】（2024·陕西汉中·二模）《张丘建算经》是一部数学问题集，其中有一个在数学史上非常著名的“百鸡问题”．现稍作变形如下：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，公鸡的数量是母鸡的3倍，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ 【题型11】阶梯（电费、水费）问题 【例11】（24-25七年级上·四川成都·期中）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市民居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 超过17吨但不超过30吨的部分 b 超过30吨的部分 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量：②水费=自来水费用+污水处理费） 已知小王家2024年7月用水16吨，交水费元．8月份用水25吨，交水费元． (1)求a、b的值． (2)如果小王家9月份用水36吨，求小王家这个月上交水费多少元？ 【变式1】（21-22八年级·全国·假期作业）某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10立方米，按每立方米a元收费；用水超过10立方米的，超过部分加倍收费．某职工6月份缴水费16a元，则该职工6月份实际用水量为（　　） A．13立方米 B．14立方米 C．15立方米 D．16立方米 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）某市居民每月用水收费标准如下： 用水量/立方米 单价/元 a 超过10的部分 李阿姨家11月份用水5立方米，交水费11元．若李阿姨12月份交水费元，则李阿姨12月份的用水量是 ． 【题型12】数轴上的动点问题 【例11】（24-25七年级上·陕西西安·期中）已知，且，在数轴上对应的点分别是， (1)____________，____________ (2)数轴上有一点，且到，两点的距离之和为11，求点在数轴上对应的数 (3)若点、点同时沿数轴正方向运动，点到原点的距离记为线段，点到原点的距离记为线段，点的速度是点速度的2倍，3秒后满足，求点的速度 【变式1】（24-25七年级上·全国·期中）如图，已知两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动．点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发）．经过几秒，点、点分别到原点的距离相等？（    ） A．秒 B．秒或者秒 C．秒或秒 D．秒 【变式2】（24-25七年级上·安徽六安·期中）如图，它是一条可以折叠的数轴，点，，均在数轴上，其中点，表示的数分别是，3.以点为折点，将此数轴向右对折，折叠后点落在点右侧的数轴上，且，两点之间的距离为2，则点表示的数是 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.4 一元一次方程的应用（2大知识点12类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点1】列一元一次方程解应用题的一般步骤 （1） 审题：弄清题意． （2） 找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系． （3） 设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，�然后利用已找出的等量关系列出方程． （4） 解方程：解所列的方程，求出未知数的值． （5） 检验、写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案． 【知识点2】题型等量关系分析 【题型1】日历中的方程(掌握日历或卡片中的规律) 数列相邻之间相差7，横排相邻之间相差1，右对角线相邻差8，左对角线相邻相差6 【题型2】等积变形问题。 此类问题的关键在“等积”上，是等量关系的所在，必须掌握常见几何图形的面积、体积公式。“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。常用等量关系为：①形状面积变了，周长没变；②原料体积＝成品体积。 【题型3】数字问题 要正确区分“数”与“数字”两个概念，这类问题通常采用间接设法，常见的解题思路分析是抓住数字间或新数、原数之间的关系寻找等量关系。列方程的前提还必须正确地表示多位数的代数式：一般可设个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c．十位数可表示为10b+a， 百位数可表示为100c+10b+a．然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程. 【题型4】和、差、倍、分问题 （1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量-降低量． （2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 【题型5】调配问题。 　　从调配后的数量关系中找等量关系，常见是“和、差、倍、分”关系，要注意调配对象流动的方向和数量。这类问题要搞清人数的变化。 【题型6】利润率问题。 （1） (2) 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) (3) 实际售价＝标价×打折率 (4) 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 【题型7】工程问题 如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式： （1）总工作量=工作效率×工作时间； （2）总工作量=各单位工作量之和． 【题型8】行程问题 （1） 三个基本量间的关系： 路程=速度×时间 　（2）基本类型有： 　 ①相遇问题： （a） 基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间; （b）寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题： （a）基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间 （b）寻找相等关系：同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；同时不同地出发： （c）前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题： （a）基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度，顺水速度－逆水速度＝2×水速； （b）寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． （c）解此类题关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 【题型9】方案问题 选择设计方案的一般步骤： （1）运用一元一次方程解应用题的方法求解两种方案值相等的情况． （2）用特殊值试探法选择方案，取小于（或大于）一元一次方程解值，比较两种方案优劣性后下结论． 题型目录 【题型1】日历问题...........................................................3 【题型2】等积（周）变形问题.................................................6 【题型3】数字问题...........................................................8 【题型4】和、差、倍、分问题.................................................9 【题型5】调配问题..........................................................11 【题型6】利润问题..........................................................13 【题型7】行程问题..........................................................15 【题型8】工程问题..........................................................18 【题型9】方案问题..........................................................20 【题型10】古代问题.........................................................22 【题型11】阶梯（电费、水费）问题...........................................24 【题型12】数轴上的动点问题.................................................26 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】日历问题 【例1】（24-25七年级上·北京东城·期中）如图是2023年10月的月历，观察月历，回答问题： (1)小明国庆假期外出旅行三天，三天日期之和是12，小明是星期几出发的？ (2)“型”这个阴影图形覆盖四个方格，设“型”阴影覆盖的最小数字为m，四个数字之和为S，2023年是建国74周年，的值能否等于74？若能，求的值；若不能，说明理由． 【答案】(1)小明是星期二出发的 (2)的值不能等于，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用： （1）设小明出发的日期是，根据题意得一元一次方程，然后解方程即可； （2）根据月历的特点可得另外三个数为，，，则解方程得到，由于10月15日在第一列，故此时不能出现“S型”，据此可得结论． 解：（1）解：设小明出发的日期是，则另外两天的日期分别是，， 根据题意得：，解得：， 月日是星期二， 小明是星期二出发的； （2）解：的值不能等于，理由如下： 假设的值能等于， “型”阴影覆盖的最小数字为， “型”阴影覆盖的另外三个数字分别为，，， 根据题意得：， 解得：， 月日是星期日，在第一列， 不符合题意，舍去， 假设不成立，即的值不能等于． 【变式1】（24-25七年级上·福建厦门·期中）如图，表中给出的是某月的月历，任意选取某“H”型框中的7个数（表中阴影部分仅作“H”型框的例）．请你运用所学的数学知识分析任取的这7个数的和不可能是（   ） A．63 B．98 C．126 D．161 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，设最中间的数为x，根据题意列出方程求解即可判断， 解题的关键是正确找出题中的等量关系． 解：设最中间的数为x， ∴这7个数分别为、、、x、、、， ∴这7个数的和为：， 当时，此时， 当时，此时， 当时，此时， 当时，此时， 由图可知，当时，右面没有数字， ∴时不符合题意， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·河北廊坊·期中）如图是2024年12月份的日历，如图中那样，用一个圈竖着圈住3个数，如果被圈住的三个数的和为54，则这三个数中最小一个所表示的日期为2024年12月 日． 【答案】11 【分析】此题考查的知识点是数字的规律和一元一次方程的应用，其关键是先观察分析总结出规律，根据题意列方程求解． 此题要先观察任意圈出一个竖列上相邻的3个数的规律，通过观察可得到从上到下3个数依次大7，据此规律可设最上边一个数为，再表示出另外两个数，列出方程，求解． 解：设被圈出的三个数的和为54的3个数中最小的一个数为，则另外两个数依次为，， 根据题意列方程得： ， 解方程得：， 则这三个数为11，18，26 这三个数中最小一个所表示的日期为2024年12月11日． 故答案为：11． 【题型2】等积（周）变形问题 【例2】（23-24七年级下·全国·课后作业）已知两个底面直径分别为，高均为的量筒中装有相同高度的水，若将小量筒中的水全部倒入大量筒中，刚好可以将大量筒倒满，则倒入水之前大量筒中水的体积是多少？（量筒为圆柱形，结果保留） 【答案】倒入水之前大量筒中水的体积为 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用及圆柱体的体积公式，解题关键在于熟记该公式．设量筒中原来水的高度为，根据将小量筒中的水全部倒入大量筒中，刚好可以将大量筒倒满，求出量筒中原来水的高度，即可得出答案． 解：设量筒中原来水的高度为， 大量筒的底面半径为，底面积为， 小量筒的底面半径为，底面积为， 则由题意可得， 解得，经检验，符合题意， 量筒中原来水的高度为，倒入水之前大量筒中水的体积为． 答：倒入水之前大量筒中水的体积为． 【变式1】（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，正方形的一边长减少后，得到一个长方形（图中阴影部分），若长方形的周长为，求正方形的边长．设正方形的边长为，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一元一次方程解几何问题，根据长方形边长与正方形边长的关系列式即可求解，掌握一元一次方程的实际运用是解题的关键． 解：设正方形的边长为， ∴, 故选：C． 【变式2】（23-24七年级上·山东潍坊·期末）如图，小明受“乌鸦喝水”故事的启发，利用一只高48厘米的量桶（不考虑量筒厚度）和一些体积相同的小球进行如下实验．先阅读表格信息，再解答下列问题： 放入球个数x（个） 0 3 5 x 量桶内水面高度h（厘米） 30 36 ______ ______ (1)请根据题意，补全上表中的两个空： (2)当放入x个小球时，量桶内水面距离量筒口的高度为y（厘米），请写出变量y与x之间的表达式； (3)当水面刚好到达量桶口时，求放入小球的个数． 【答案】(1)40，； (2)； (3)放入小球的个数为9. 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程的应用： （1）放入3个小球时，水面高度上升厘米，则每放入1个小球，水面高度上升2厘米，由此可解； （2）放入x个小球时，量桶内水面距离量筒口的高度减少厘米，由此可解； （3）设放入小球的个数x个，此时量桶内水面距离量筒口的高度为0，由此列一元一次方程，解方程即可； 解：（1）由表可知，每放入1个小球，水面高度上升厘米， 因此放入5个小球时，，放入x个小球时，， 故答案为：40，； （2）由题意知，， 即y与x之间的表达式为：； （3）设当水面刚好到达量桶口时，求放入小球的个数为x． 则， 解得， 即当水面刚好到达量桶口时，求放入小球的个数为9． 【题型3】数字问题 【例3】（23-24六年级下·上海·期中）一个两位数是一个一位数的3倍，如果把两位数放在一位数的右边，得到一个三位数，如果把两位数放在一位数的左边，得到另一个三位数，且后面的三位数比前面的三位数小360，则这个两位数是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设一位数为，则这两位数为，再根据题意列式，然后计算，即可作答． 解：设一位数为，则这两位数为 ∵把两位数放在一位数的右边，得到一个三位数，把两位数放在一位数的左边，得到另一个三位数，且后面的三位数比前面的三位数小360， ∴， 解得， 则， ∴这个两位数是． 【变式1】（24-25七年级上·辽宁·期末）有两个数，第一个数比第二个数的倍多，第二个数比第一个数的倍少，问这两个数是多少？设第二个数为，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设第二个数为，则第一个数为，根据题意列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 解：设第二个数为，则第一个数为， 根据题意可列方程：， 故选：． 【变式2】（24-25七年级上·江苏苏州·期中）定义：对于一个两位数x，如果x满足个位数字与十位数字互不相同，且都不为零，那么称这个两位数为“相异数”，将一个“相异数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将这个新两位数与原两位数的求和，同除以11所得的商记为．若一个“相异数”y的十位数字是k，个位数字是，且，则“相异数” ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意得出关于的方程，求解即可，理解题意，正确列出方程是解此题的关键． 解：∵一个“相异数”y的十位数字是k，个位数字是，且， ∴， 解得：， ∴， ∴“相异数”， 故答案为：． 【题型4】和、差、倍、分问题 【例4】（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在清冰雪工作中，某驻哈武警部队出动兵力600人参加三条街路的清冰雪劳动，其中A街路清冰雪的人数占此次出动兵力总人数的，余下的人参加B街路和C街路的清冰雪劳动，并且参加B街路清冰雪的人数是参加C街路的清冰雪人数的． (1)求参加A街路清冰雪劳动共有多少人？ (2)求参加B街路和C街路的清冰雪劳动各有多少人？ (3)在A街路清冰雪过程中，因有其它工作需要，调走了此处的兵力后，附近的居民主动参加劳动，此时在A街路清冰雪的武警官兵人数比居民人数的3倍少6人，求参加清冰雪劳动的居民有多少人？ 【答案】(1)240人; (2)B街路：144人；C街路：216人; (3)72人。 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是理解题意，找出相等关系． （1）直接将计算即可； （2）设未知数，利用总人数为600列出方程即可； （3）根据在A街路清冰雪的武警官兵人数比居民人数的3倍少6人列出方程即可． 解：（1）（人）， ∴参加A街路清冰雪劳动共有240人； （2）设参加C街路的清冰雪劳动有x人， ， ， ∴参加B街路的清冰雪劳动有144人，C街路的清冰雪劳动有216人； （3）设参加清冰雪劳动的居民有y人， ， ， ∴参加清冰雪劳动的居民有72人． 【变式1】（23-24七年级上·河北石家庄·期末）某快递分派站现有若干件包裹需快递员派送，若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件，则分派站现有包裹为（    ） A．66件 B．67件 C．68件 D．72件 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设分派站现有包裹x件，根据“若每个快递员派送10件，还剩6件；若每个快递员派送12件，还差6件”，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 解：设分派站现有包裹x件， 依题意得：， 解得：， 故选：A． 【变式2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）王芳出生时父亲33岁，现在父亲的年龄是王芳年龄的4倍，王芳现在的年龄是 岁． 【答案】11 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据题意列出方程是解题的关键．由题意父亲比王芳大33岁，设王芳现在的年龄是x岁，则现在父亲的年龄为岁，列一元一次方程即可求解． 解：设王芳现在的年龄是x岁，则现在父亲的年龄为岁，由题意得： ， 解得，即王芳现在的年龄是11岁， 故答案为：11． 【题型5】调配问题 【例5】（24-25七年级上·重庆·阶段练习）甲、乙两个家具厂生产同一规格的单人课桌、椅，由于甲、乙两厂特长不同，甲厂每月（天）用的时间生产课桌，的时间生产课椅，每个月可生产900套课桌椅；乙厂每月用的时间生产课桌，的时间生产课椅，每个月可生产1500套课桌椅，现在两厂联合生产，经过合理安排，尽量发挥各自特长．现在两厂每月比过去可多生产课桌椅多少套？ 【答案】100套 【分析】根据题干，一个月按30天计算，由此可以分别求得甲乙两厂生产课桌椅的工作效率，由题干分析可得可知：乙厂生产椅子的效益高，那么我们尽量的让乙厂多生产椅子，由甲厂来生产桌子，为了使生产的桌椅正好配套，所以乙生产足够数量的椅子后就转生产桌子，这里可以设乙生产天椅子后转生产桌子，正好与甲厂生产的桌子合起来桌椅配套，由此即可列出方程解决问题．根据题干分别求得甲乙两厂生产课桌椅的工作效率，找出它们各自擅长的工作，进行合理安排，即可解决问题，本题考查了一元一次方程的配套问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 解：甲厂每天生产课桌：（张）， 椅子：（张）； 乙厂每天生产课桌：（张）， 椅子：（张）； 设乙生产天椅子后转生产桌子，正好与甲厂生产的桌子合起来桌椅配套． 根据题意可得方程： ， ， ， ； （套）， （套）， 答：现在两厂每月比过去可多生产课桌椅100套． 【变式1】（2024·广东深圳·三模）粽子作为中国历史文化积淀最深厚的传统食品之一，传播甚远，最初是用来是祭祀祖先神灵的贡品．某家庭制作的粽子礼盒每份由6个蛋黄肉粽和4个碱水粽组成．用1千克糯米可做24个蛋黄肉粽或16个碱水粽，现要用6千克糯米制作粽子，设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，恰好使制作的蛋黄肉粽和碱水粽配套，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、找准等量关系成为解题的关键． 设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，则用千克糯米制作碱水粽，然后根据“粽子礼盒每份由6个蛋黄肉粽和4个碱水粽组成．用1千克糯米可做24个蛋黄肉粽或16个碱水粽”列方程即可． 解：设用x千克糯米制作蛋黄肉粽，则用千克糯米制作碱水粽， 根据题意得．故选：B． 【变式2】（22-23七年级下·河南平顶山·期中）绍兴黄酒是中国名酒之一某黄酒厂的瓶酒车间的生产流程是先“灌装”：即将散装黄酒灌装成瓶装黄酒，再“装箱”：即将瓶装黄酒装箱出车间，该瓶酒车间“灌装”“装箱”生产线信息如表所示： “灌装”生产线 “装箱”生产线 生产线数量 条 条 每条生产线的生产效率 瓶/小时 瓶/小时 某日8时到11时，车间内的生产线全部投入生产，如图表示该时段内还没有装箱的瓶装黄酒存量随时间的变化情况，则 ． 【答案】 【分析】根据车间内的瓶装黄酒存量8时时为400瓶，到11时为700瓶，列一元一次方程，求解即可． 解：根据题意，得， 解这个方程，得：． 故答案为：14． 【点拨】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【题型6】利润问题 【例6】（22-23六年级下·上海虹口·期中）某商场计划用元购进、两种新型节能台灯共盏，这两种台灯的进价、售价如表所示： 进价（元/盏） 售价（元/盏） 型 型 (1)求这两种台灯各购进多少盏？ (2)若商场销售完这批台灯时的盈利率是，求商场型台灯商场售价a． 【答案】(1)购进型节能台灯盏，购进型节能台灯盏 (2)元/盏 【分析】本题考查一元一次方程的应用， （1）设购进型节能台灯盏，则购进型节能台灯盏，根据“商场计划用元购进、两种新型节能台灯共盏”列出方程求解即可； （2）根据销售一盏型节能台灯盈利元，销售一盏型节能台灯盈利元，根据“商场销售完这批台灯时的盈利率是”列出方程求解即可； 找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 解：（1）设购进型节能台灯盏，则购进型节能台灯盏， 依题意，得：， 解得：， 则， 答：购进型节能台灯盏，购进型节能台灯盏； （2）销售一盏型节能台灯盈利元，销售一盏型节能台灯盈利元， 依题意，得：， 解得：， 答：商场型台灯商场售价元/盏． 【变式1】（24-25七年级上·全国·期末）随着时代和科技的快速发展，抖音电商利用自身的智能化推荐、定位、搜索等先进技术迅速占领线上购物市场．10月初，某抖音主播用11000元从厂家购进了A、B两种商品共500件，其中A商品每件进价40元，B商品每件进价10元． (1)求10月初购进A、B两种商品各多少件？ (2)该主播在抖音平台上出售10月初购进的A、B两种商品．A商品在进价的基础上加价50%出售，并全部售完：B商品的售价为30元/件，并以此价格售出后迎来了双“十一”促销活动，剩下的B商品在原来售价基础上打m折销售，并将剩下的商品全部售完．最后销售10月初购进的A、B两种商品一共获得的利润为9400元，求m的值． 【答案】(1)10月初购进200件A商品，300件B商品； (2)m的值为9． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用． （1）设10月初购进x件A商品，则购进件B商品，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解； （2）根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解． 解：（1）设10月初购进x件A商品，则购进件B商品， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：10月初购进200件A商品，300件B商品； （2）根据题意得： ， 解得：． 答：m的值为9． 【变式2】（24-25七年级上·云南曲靖·期中）已知一块A型纸板可以制成1个C型正方形纸板和2个D型长方形纸板，一块B型纸板可以制成2个C型正方形纸板和1个D型长方形纸板，现有A、B两种纸板共20块，设A型纸板有x块（x为正整数） (1)求总共可以制成多少个C型正方形纸板（用含有x的式子表示） (2)出售一个C型正方形纸板可以获利10元，出售1个D型长方形纸板可以获利12元．若将所制成的C型、D型纸板全部售出可以获利650元，求x的值 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查列代数式和解一元一次方程， （1）根据题意即可求得B型纸板数，进一步即可求得C型正方形纸板； （2）首先求得C型正方形纸板和D型长方形纸板数，根据获利列出方程求解即可． 解：（1）根据题意得，B型纸板为块， 则总共可以制成C型正方形纸板个数为： ； （2）根据题意，列方程得： 化简得： ， 答：x的值为5． 【题型7】行程问题 【例7】（2024七年级上·全国·专题练习）某军舰在静水中的速度为，有一天它顺水航行去钓鱼岛执行巡航任务，途中有一救生圈落入水中，发现时救生圈已距军舰，若水流速度为． (1)求从救生圈落水到被发现用了多长时间？ (2)发现后，舰长马上派摩托艇取回救生圈，摩托艇在静水中的速度为，军舰仍以原速前进，摩托艇拿到救生圈后马上返回军舰，求从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用多少h？ 【答案】(1)从救生圈落水到被发现用了； (2)从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，水流航行问题（顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度）． （1）根据时间=路程÷军舰静水中的速度，列出算式计算即可求解； （2）设从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用，根据时间的等量关系列出方程求解即可． 解：（1）． 答：从救生圈落水到被发现用了； （2）设从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用，依题意有 ， 解得, 答：从救生圈落水到摩托艇返回军舰共用． 【变式1】（24-25七年级上·吉林白城·阶段练习）一列火车匀速行驶，经过一条长的隧道需要的时间．隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是．设火车长，解答下列问题． (1)从车头经过灯下到车尾经过灯下，火车所走的路程是______，这段时间内火车的速度是______．（用含的代数式表示） (2)从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车所走的路程是______，这段时间内火车的速度是______．（用含的代数式表示） (3)求这列火车的长度． 【答案】(1)， (2)， (3)这列火车的长度是 【分析】本题考查了代数式，一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程． （1）根据火车长度为，根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出代数式即可； （3）根据速度相等列出方程，求出方程的解即可得到结果． 解：（1）根据题意得：从车头经过灯下到车尾经过灯下火车所走的路程，这段时间内火车的平均速度为； 故答案为：，； （2）从车头进入隧道到车尾离开隧道火车，走的路程为隧道的长度+火车长度， ∴所走的路程为， ∵经过一条长的隧道需要的时间， ∴这段时间内火车的平均速度为； 故答案为：，； （3）设火车长，根据题意得： 解得：， 答：这列火车的长度． 【变式2】（24-25七年级上·山东·期末）甲、乙两站间的路程为，一列快车从甲站开出，每小时行驶，一列慢车从乙站开出，每小时比快车少行驶． (1)两车同时开出，相向而行， 小时后相遇； (2)快车先开，两车相向而行，快车开出 小时后两车相遇； (3)两车同时同向开出，慢车在前，出发多长时间后快车追上慢车？ (4)慢车先开，两车同向而行，慢车在前，快车出发多长时间后追上慢车？ 【答案】(1)3 (2) (3)15小时 (4)16小时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握行程问题中的等量关系是解题的关键． （1）设两车行驶t小时相遇，根据相遇时两车行驶路程之和为建立方程求解； （2）设快车行驶t小时两车相遇，根据两车行驶路程之和为建立方程求解 （3）设t小时快车追上慢车，根据快车比慢车多行驶建立方程求解； （4）设快车行驶t小时两车相遇，根据快车比慢车多行驶建立方程求解． 解：（1）设两车行驶t小时相遇， 根据题意，得， 解得， 答：开出3小时后两车相遇， 故答案为：3； （2）设快车行驶t小时两车相遇， 根据题意，得， 解得， 答：快车开出小时后两车相遇， 故答案为：； （3）设t小时快车追上慢车， 根据题意，得， 解得， 答：出发15小时后快车追上慢车； （4）设快车行驶t小时两车相遇， 根据题意，得， 解得． 答：快车出发16小时后追上慢车． 【题型8】工程问题 【例8】（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）哈市有甲乙两个工程队，现有一小区需要进行小区改造，甲工程队单独完成这一项工程需要20天，乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多． (1)求乙队单独完成这项工程需要多少天？ (2)现在若甲工程队先做5天，剩余部分再由甲乙两队合作，还需要多少天才能完成？ (3)原计划由乙工程队单独完成这项工程，乙工程队工作几天后接到通知要缩短工期，后期工程由甲､乙两工程队合作完成，若甲工程队工作的天数是乙工程队工作天数的，乙工程队每天施工费是甲工程队每天施工费的，最后甲､乙两队施工费共计7万元，求甲、乙工程队每天施工费多少万元？ 【答案】(1)30天 (2)9天 (3)， 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及有理数的混合运算． （1）由乙工程队单独完成这项工程所需的时间比甲工程队多，可求出乙队单独完成这项工程所需的天数； （2）设还需要x天才能完成，根据甲工程队完成的工程量+乙工程队完成的工程量=总工程量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）设乙工程队工作的天数为y天，则甲工程队工作的天数为，根据甲工程队完成的工程量+乙工程队完成的工程量=总工程量，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y的值，设甲工程队每天施工费为m万元，则乙工程队每天施工费为万元，根据总费用=每天的施工费×施工天数，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 解：（1）根据题意可得：（天），所以乙队单独完成这项工程需要30天． （2）设还需要x天完成，依题意，得：， 解得：，所以还需要9天才能完成． （3）设乙工程队工作的天数为y天，则甲工程队工作的天数为天， 依题意，得：，解得， 所以， 设甲工程队每天施工费为m万元，则乙工程队每天施工费为万元， 依题意，得：， 解得：， 所以． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）甲、乙两人共同承包一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做20天完成，合同规定15天完成，否则每超过1天罚款1000元． (1)在规定时间内，甲、乙两人能否完成这项工程？ (2)现两人合作了这项工程的，因别处有急事，必须调走1人．调走谁更合适？ 【答案】(1)在规定时间内，甲、乙两人能完成这项工程 (2)调走甲更合适 【分析】本题考查了一元一次方程的应用－工程问题． （1）设甲乙合作需要x天完成，建立方程求出合作时间，再与15进行比较可以得出结论； （2）先求出完成需要的时间，再求出完成剩余工作量所用的时间及完成剩余工作量的工作效率，然后与甲、乙独自完成这项工作的工作效率进行比较，可以求出结论． 解：（1）设甲、乙两人合作完成此项工程需x天． 则，解得． 因为， 所以在规定时间内，甲、乙两人能完成这项工程； （2）设两人合作a天完成工程的． 则 解得． 若调走甲，则乙还需（天）； 若调走乙，侧甲还需（天）． 因为（天）天， （天）天， 所以调走甲更合适． 【变式2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨亚冬会的某个比赛场馆正在装修，装修后产生的建筑垃圾需要清理．计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要天，乙车队单独运完需要天．乙车队先运了天，然后甲、乙两车队合作运完剩下的垃圾． (1)甲、乙两车队合作还需要多少天运完垃圾？ (2)已知甲车队每天的租金元，比乙车队少元，运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金多少元？ 【答案】(1)天 (2)元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系并列出方程是解题关键； （1）根据题意首先可以得知甲车效率为每天运送，乙车效率为每天运送，据此设甲、乙两车合作还需要天运完垃圾，然后进一步列出方程求解即可； （2）根据甲车队每天的租金元，比乙车队少元，计算求解即可； 解：（1）设甲、乙两车合作还需要天运完垃圾， 根据题意得：， 解得：， 答：甲、乙两车合作还需要天运完垃圾． （2）乙队一共工作了天，甲队一共工作了天， ， 答：运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金元． 【题型9】方案问题 【例9】（2024七年级上·全国·专题练习）某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为万元；经粗加工后销售，每吨利润可达万元；经精加工后销售，每吨利润涨至万元．当地一家蔬菜公司收购这种蔬菜120吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工14吨：如果进行精加工，每天可加工5吨，但两种加工方式不能在同一天同时进行，受季节条件限制，公司必须在15天内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此，公司研制了三种可行方案： 方案一：将蔬菜全部进行粗加工． 方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜在市场上直接销售． 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好15天完成． 你认为哪种方案利润最大，为什么？ 【答案】方案三获得利润最大，最大利润为75万元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，方案选择问题，本题的关键是设未知数，通过方程计算出精加工和粗加工的天数，从而算出利润解题．由条件可知全部蔬菜均可进行粗加工，计算可得到方案一的利润；由条件可知15天可精加工蔬菜75吨，计算可得到方案二的利润；设用天精加工蔬菜，则用天粗加工蔬菜，列方程求出的值，得精加工蔬菜50吨，粗加工蔬菜70吨，计算可得到方案三的利润，对比即可得到结果． 解：方案三获得利润最大，理由如下： 方案一：由条件可知全部蔬菜均可进行粗加工， （万元）， 将蔬菜全部进行粗加工再销售，可获得利润60万元； 方案二：由条件可知15天可精加工蔬菜（吨）， 则剩下（吨）在市场上直接销售， （万元）， 尽可能多的对蔬菜进行精加工，没来得及进行加工的蔬菜在市场上直接销售，可获得利润万元； 方案三：设用天精加工蔬菜，则用天粗加工蔬菜， 依题意得，， 解得， 得精加工蔬菜（吨），粗加工蔬菜（吨）， （万元）， ， 方案三获得利润最大，最大利润为75万元． 【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）环江牛角寨瀑布群景区和环江木论喀斯特生态旅游景区是国家级旅游景区，寒假期间拟定门票价格每张30元，团队票可选择两种购票优惠方案． 方案一：全体人员打8折； 方案二：有5人可以免票，剩下的人员打9折． (1)若某团队有100人，为节省购票费用，求该团队应该选择哪种购票方案？ (2)若某团队无论选择哪种方案购票，费用恰好一样，求该团队共有多少人？ 【答案】(1)该团队应该选择方案一 (2)该团队有45人 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是明确方案一和方案二的收费方式，再列出方程解题． （1）分别计算出方案一和方案二的费用，再比较哪种更划算即可； （2）设团队有人，根据题意，可以列出方程，再求解即可． 解：（1）由题意可得： 方案一的花费为：（元， 方案二的花费为：（元， ， 答：该团队应该选择方案一． （2）设团队有人， 根据题意得：， 解得：， 答：该团队有45人． 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）某工厂准备在劳动节期间组织员工观看最新电影，票价为每张40元，经车间主任沟通，针对40人以上的团体票，售票员提供了两种优惠方案： 方案一：全体人员打8折； 方案二：5人免票，其他人员打9折． (1)若工厂车间有50名工人，选择哪种方案更优惠? (2)车间主任说：“无论选择哪种方案，要付的钱都一样多．”则该工厂车间有多少名工人? 【答案】(1)方案一 (2)该工厂车间有45名工人． 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，读懂题意并根据已知得出关于x的方程是解题的关键． （1）根据题意分别计算出方案一和方案二的花费，然后比较大小即可解答本题； （2）由题意设该工厂车间有名工人，根据已知得出两种方案费用一样，进而列出方程求解即可． 解：（1）根据题意，得 方案一的花费为（元）； 方案二的花费为（元）． 因为，所以选择方案一更优惠； （2）设该工厂车间有名工人， 根据题意，得， 解得． 答：该工厂车间有45名工人． 【题型10】古代问题 【例10】（23-24七年级上·全国·单元测试）某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，房客共六三，大比小多二一．后半部分的意思是：房客共有63人，大人比小孩多21人． (1)求该房客大人，小孩各有多少人？ (2)假设店主李三公推出两种订房方案： 方案一：房客超过40人，超过的按原价八折优惠， 方案二：大人原价，小孩半价． 若诗中“众客”再次一起入住，他们选择哪种方案订房更合算？ 【答案】(1)房客中大人有人，小孩有人 (2)方案二 【分析】本题考查一元一次方程解实际应用题，最优方案选择等知识，读懂题意，列出方程求解，进而由方案计算费用比较大小是解决问题的关键． （1）设房客中小孩有人，则大人有人，由总人数为人列一元一次方程求解即可得到答案； （2）设每人收费相同，为元，根据两种方案，求出费用比较大小即可得到答案． 解：（1）设房客中小孩有人，则大人有人， ，解得， 则， 答：房客中大人有人，小孩有人； （2）设每人收费相同，为元， 方案一费用：元； 方案二费用：元； ， 若诗中“众客”再次一起入住，他们选择方案二订房更合算． 【变式1】（2024·安徽合肥·二模）我国古代重要的数学著作《孙子算经》中记载了这样一个问题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四五尺，屈绳量之，不足一尺，问木长几何？”意思是：“现有一根木头，不知道它的长短．用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺；将绳子对折后去量，则绳子比木头短1尺，问木头的长度是多少尺？”试计算木头的长度． 【答案】6.5尺 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设木头长x尺，根据“用整条绳子去量木头，绳子比木头长4.5尺；将绳子对折后去量，则绳子比木头短1尺”列方程即可作答． 解：设木头长x尺，由题意可知：， 解得 答：木头的长度是6.5尺． 【变式2】（2024·陕西汉中·二模）《张丘建算经》是一部数学问题集，其中有一个在数学史上非常著名的“百鸡问题”．现稍作变形如下：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，公鸡的数量是母鸡的3倍，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ 【答案】公鸡、母鸡、小鸡分别有12只、4只、84只 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题的关键． 设母鸡有x只，则公鸡有只，根据用一百文钱买一百只鸡，列出方程，求解即可． 解：设母鸡有x只，则公鸡有只，小鸡有（只）， 根据题意列方程为：． 解得， ∴，， ∴公鸡、母鸡、小鸡分别有12只、4只、84只． 【题型11】阶梯（电费、水费）问题 【例11】（24-25七年级上·四川成都·期中）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市民居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息： 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 17吨及以下 a 超过17吨但不超过30吨的部分 b 超过30吨的部分 （说明：①每户产生的污水量等于该户自来水用水量：②水费=自来水费用+污水处理费） 已知小王家2024年7月用水16吨，交水费元．8月份用水25吨，交水费元． (1)求a、b的值． (2)如果小王家9月份用水36吨，求小王家这个月上交水费多少元？ 【答案】(1)；(2)上交水费元 【分析】本题考查了列代数式的应用—分段计费问题，有理数的运算，理解题意正确列出代数式是关键； （1）当用水16吨时，水费为元，根据水费为，则列式可求得a的值；当用水25吨时，由所求a的值，可计算出基本水费与超过部分水费，等于元减去污水处理费，由此列式计算求得b的值； （2）根据（1）所求a与b的值，直接计算出基本部分水费、超过部分水费、污水处理费，相加即可求解． 解：（1）当用水16吨时，水费为元，则， 则（元）； 当用水25吨时，17吨水的费用为（元），（元）， 所以， 得：； （2）（元）； 答：小王家9月份用水36吨，应上交水费元． 【变式1】（21-22八年级·全国·假期作业）某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10立方米，按每立方米a元收费；用水超过10立方米的，超过部分加倍收费．某职工6月份缴水费16a元，则该职工6月份实际用水量为（　　） A．13立方米 B．14立方米 C．15立方米 D．16立方米 【答案】A 【分析】此题要注意分段考虑，从缴水费16a元，可以确定此职工用水超了10立方米，所以设该职工6月份实际用水量为x立方米，则10立方米部分缴水费为10a元，（x﹣10）立方米部分缴水费2a（x﹣10）元，由共缴水费16a元，列方程即可求解． 解：设该职工6月份实际用水量为x立方米， 10a+2a（x﹣10）＝16a， 解得：x＝13， 故选：A． 【点拨】此题考查了含有参数的一元一次方程，与学生生活联系密切．抓住各阶段的收费不同，分段分析就能求解是解题的关键． 【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）某市居民每月用水收费标准如下： 用水量/立方米 单价/元 a 超过10的部分 李阿姨家11月份用水5立方米，交水费11元．若李阿姨12月份交水费元，则李阿姨12月份的用水量是 ． 【答案】16立方米 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键．根据李阿姨家11月份用水5立方米，交水费11元，可知，根据李阿姨12月份交水费元，可知李阿姨12月份用水量大于10立方米，设李阿姨家12月份用水量为x立方米，列出方程并求解，即可得到答案． 解：因为李阿姨家11月份用水5立方米，交水费11元， 所以， 解得， ∵， ∴李阿姨家12月份用水量大于10立方米， 设李阿姨家12月份用水量为x立方米， 则， 解得， 所以李阿姨家12月份用水量是16立方米． 故答案为：16立方米． 【题型12】数轴上的动点问题 【例11】（24-25七年级上·陕西西安·期中）已知，且，在数轴上对应的点分别是， (1)____________，____________ (2)数轴上有一点，且到，两点的距离之和为11，求点在数轴上对应的数 (3)若点、点同时沿数轴正方向运动，点到原点的距离记为线段，点到原点的距离记为线段，点的速度是点速度的2倍，3秒后满足，求点的速度 【答案】(1)；3； (2)点在数轴上对应的数为5或；(3)点的速度为或． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用与数轴，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）利用绝对值的非负性质得到，，解得，； （2）设点C在数轴上所对应的数为x，根据分情况讨论，列出方程，解方程即可； （3）设点B的速度为v，则A的速度为，分A在原点O的左边与A在原点O的右边进行讨论． 解：（1）且． ，， 解得，． 故答案为：；3； （2）设点在数轴上所对应的数为， 当在点右边， ． 根据题意得 ， 解得． 即点在数轴上所对应的数为5； 当在点左边， ． 根据题意得 ， 解得． 即点在数轴上所对应的数为； 综上，点在数轴上对应的数为5或； （3）设速度为，则的速度为， 3秒后点，点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为， 当还在原点的左边时，由可得， 解得； 当在原点的右边时，由可得，解得． 即点的速度为或． 【变式1】（24-25七年级上·全国·期中）如图，已知两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动．点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发）．经过几秒，点、点分别到原点的距离相等？（    ） A．秒 B．秒或者秒 C．秒或秒 D．秒 【答案】B 【分析】本题考查数轴上点的表示，解一元一次方程，绝对值，结合动点运动情况确定点所表示的数是解题的关键． 由确定点表示的数为，由点、点分别到原点的距离相等，分别表示出，，建立方程求解即可． 解：∵点表示的数为，， ∴， ∴点表示的数为， 设经过秒，点、点分别到原点的距离相等，则点运动距离为，则点表示的数为，点运动的距离为，点表示的数为， ∴，， 根据题意得：时， 即， ∴或， 解得：或， 即经过秒或秒后，点到原点的距离相等． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级上·安徽六安·期中）如图，它是一条可以折叠的数轴，点，，均在数轴上，其中点，表示的数分别是，3.以点为折点，将此数轴向右对折，折叠后点落在点右侧的数轴上，且，两点之间的距离为2，则点表示的数是 ． 【答案】0或 【分析】本题主要考查数轴及一元一次方程的应用，解决此题的关键是能利用数轴上两点间的距离公式用含的式子表示出线段的长度．分两种情况讨论：当在的右侧及当在的左侧，利用及，列出方程解答即可． 解：设对折后，使点落在处， 当在的右侧且距离是2时， 点表示的数为5， 设点表示的数是， 则，， ， 即， 解得：， 点表示的数是0． ②当在的左侧且距离是2时， 点表示的数为1， 设点表示的数是， 则，， ， 即， 解得：， 点表示的数是． 故答案为：0或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$