第16讲 一元一次方程的应用（知识点+题型+强化训练） 2025-2026学年浙教版七年级数学上册同步讲义与测试

第16讲 一元一次方程的应用（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.运用方程解决实际问题的一般过程 2.实际问题中常用的等量关系 题型巩固 一、配套问题(一元一次方程的应用) 二、工程问题(一元一次方程的应用) 三、销售盈亏(一元一次方程的应用) 四、比赛积分(一元一次方程的应用) 五、方案选择(一元一次方程的应用) 六、数字问题(一元一次方程的应用) 七、几何问题(一元一次方程的应用) 八、动点问题（一元一次方程的应用） 九、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 十、电费和水费问题 十一、行程问题(一元一次方程的应用) 十二、比例分配(一元一次方程的应用) 十三、日历问题(一元一次方程的应用) 十四、古代问题(一元一次方程的应用) 十五、其他问题(一元一次方程的应用) 强化训练 单选题（10） 填空题（7） 解答题（8） 知识梳理 知识点1.运用方程解决实际问题的一般过程 （1）审题：分析题意，找出题中的数量及其关系。 （2）设元：选择一个适当的未知数用字母表示。 （3）列方程：根据相等关系列出方程。 （4）解方程：求出未知数的值。 （5）检验：检查求得的值是否正确和符合实际情形，并作答。 （1）设未知数时，如果有单位，要加上单位； （2）列方程时，等号两边量的单位要一致。 知识点2.实际问题中常用的等量关系 涉及公式 等量关系 注意事项 行程 问题 相遇问题 路程= 速度×时间； 甲的行程+乙的行程= 两地间的距离。 注意始发时间和地点。 追及问题 时间=； （1）同地不同时出发，前者行程= 追及者的行程； （2）同时不同地出发，前者行程+初始距离= 追及者的行程。 航行、飞 行问题 速度= 。 （1）顺水（顺风）速度=静水（无风）速度+ 水流速度（风速）； （2）逆水（逆风）速度= 静水（无风）速度-水流速度（风速）。 注意题中是顺水（顺风） 还是逆水（逆风）。 和差倍分问题 增长量= 原有量×增长率； 现有量=原有量+增长量。 弄清“倍、分”关系及“多、少”关系。 等积变形问题 长方体的体积= 长×宽×高； 圆柱的体积= 底面积×高。 （1）面积变了，周长没变； （2）原料体积= 成品体积。 分清是“形”变“积”不变，还是“形”变“积”也变，但质量不变。 调配问题 甲处人（物）数+ 乙处人（物）数= 总人（物）数。 注意调配的方向和数量。 工程问题 工作量= 工作时间 ×工作效率。 合作效率= 各单独做的效率和； 总工作量= 各部分工作量之和。 一般情况下把总 工作量设为“1”。 储蓄问题 本金×利率×存期= 利息。 注意题中利率和存期要 对应。 销售问题 售价=标价× ；售价-进价= 利润； 利润率=（售价-进价）÷ 进价×100% 。 打几折后的价格就是标 价乘十分之几或百分之 几十。 题型巩固 题型一、配套问题(一元一次方程的应用) 1．（24-25七年级上·浙江金华·期末）某节劳动课上刘老师组织学生们制作“便携式垃圾桶”．已知该班共有学生45名，每名学生一节课能做桶身11个或桶底23个，其中一个桶身配两个桶底．设安排名学生做桶身，若该班学生所做的桶身和桶底正好配套，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，根据题意可知：桶身的数量桶底的数量，然后列出相应的方程即可． 【详解】解：由题意可得，， 故选：C． 2．某眼镜厂车间有28名工人，每人每天可生产镜架40个或者镜片60片，已知一个镜架配两片镜片，为使每天生产的镜架和镜片刚好配套，应安排生产镜架和镜片的工人各多少名？若安排名工人生产镜片，则可列方程： ． 【答案】60x=2×40（28-x） 【知识点】配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】设安排x名工人生产镜片，则（28-x）人生产镜架，根据2个镜片和1个镜架恰好配一套，列方程即可． 【详解】解：设安排名工人生产镜片，则安排（28-x）名工人生产镜架，根据题意得： 由题意得，60x=2×40（28-x）． 故答案为：60x=2×40（28-x） 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系列方程． 3．（24-25七年级上·浙江温州·期末）综合与实践：如何设计柜子的制作方案？ 【素材】学校制作一批横式柜和竖式柜用于开辟图书角．现有28张规格的长方形木板按照图1中A或两种方法裁剪，得到小长方形木板和小正方形木板．如图2所示，2块小长方形木板和2块小正方形木板可做成一个横式柜，2块小长方形木板和3块小正方形木板可做成一个竖式柜． 设张长方形木板用于A方法裁剪． 【项目解决】 任务1：填写表格（用含的代数式表示裁剪出的小长方形木板和小正方形木板的数量）． 裁剪方法 小长方形木板（块） 小正方形木板（块） A方法 ________ 0 方法 ________ 任务2：将裁剪出的木板全部用于制作竖式柜且恰好全部用完，求出制作竖式柜的数量． 任务3：将裁剪出的木板用于制作两种柜子且恰好全部用完，给出裁剪方案使得做出的柜子数量最多，并求出两种柜子的总数． 【答案】任务1：，；任务2：16个；任务3：当，时，柜子数量最多，为个 【知识点】列代数式、配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了列代数，一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键． （1）根据图1求解； （2）根据“小正方形和小长方形的数量比为”列方程求解； （3）设制作竖式柜子a个，先用x和a表示柜子的总数，当x增大时，柜子的数量也增大． 【详解】任务1：解：由题意得∶A方法得小长方形木块块，B方法得小正方形块， 故答案为∶，； 任务2：由题意得：， 解得， 则， 所以能做出16个竖式柜． 任务3：设制作竖式柜个，则制作横式柜个， 做出的柜子数量为个． 由题意得：， 化简得：． 因为，和均为正整数， 当增大时，柜子数量也增大， 所以当，时，柜子数量最多，为个． 题型二、工程问题(一元一次方程的应用) 4．（23-24七年级上·浙江台州·期末）一项任务，由甲单独做需天完成，由乙单独做需天完成，现在乙先做9天，再由甲和乙合做，正好如期完成，求完成这项工程的规定时间，假设完成这一项工程的规定时间为天，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了列一元一次方程，由题意得甲的工作效率为，乙的工作效率为，甲一共工作了天，乙一共工作了天，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：甲的工作效率为，乙的工作效率为， 甲一共工作了天，乙一共工作了天， 故可列方程 故选：B 5．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个排水管丙，单独打开甲管6小时可注满水池；单独打开乙管8小时可注满水池；单独打开丙管12小时可将满池水排空．若先将甲、乙两管同时打开2小时，再打开丙管，则打开丙管 小时后水池被注满． 【答案】 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设打开丙管小时后，水池被注满，根据工作总量等于工作效率乘以工作时间，各劳动分量之和等于总量，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设打开丙管小时后，水池被注满，由题意，得： ， 解得：； 答：打开丙管小时后水池被注满． 故答案为: 6．（2025七年级上·浙江宁波·专题练习）完成一项工程，原计划甲、乙、丙三人合作13天完成．开工前，丙说：我需要完成另一项工程，中途要请假2天．乙说：那样的话我多做4天就可以了．甲说：那我和乙一起多做1天就行了．照这样计算，如果这项工程由甲单独做需要多少天？ 【答案】26 【知识点】工程问题(一元一次方程的应用) 【详解】解：丙2天的工作量，相当于乙4天的工作量，丙的工作效率是乙的工作效率的（倍）， 甲、乙合作1天，与乙做4天一样，也就是甲做1天，相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍， 乙做13天，甲只要天，丙做13天，乙要26天，而甲只要天，他们共同做13天的工作量，由甲单独完成，甲需要天． 题型三、销售盈亏(一元一次方程的应用) 7．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）某商店将某物品按进价提高后标价，再优惠150元销售，能获得的毛利率（毛利率）．则销售该物品所得的利润为（   ） A．200元 B．250元 C．300元 D．350元 【答案】B 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，设该衣服的进价为x元，则售价为元，根据毛利率计算公式列出方程求出进价，进而求出售价即可求出对应的利润． 【详解】解：设该衣服的进价为x元，则售价为元， 由题意得，， 解得， 元， ∴销售该物品所得的利润为250元， 故选：B． 8．（24-25七年级上·浙江金华·期末）已知某商场经销A商品，所获的毛利率为（毛利率），A商品每千克的进价为40元，则A商品每千克的售价为 元． 【答案】50 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设A商品每千克的售价为x元，根据毛利率为列方程求解即可． 【详解】解：设A商品每千克的售价为x元， 根据题意，得， 解得， 答：A商品每千克的售价为50元， 故答案为：50． 9．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）某店用10000元的资金购进A，B两种商品共400件，并在“双十二”期间销售，两种商品的进价和售价如表所示： 进价（元） 售价（元） 40 60 20 30 (1)求商品购进的数量． (2)商品售出商品售出后，由于销售情况不理想，该店推出“买一件商品送一件商品，单独购买商品优惠元”的促销活动．一段时间后，A，B两种商品全部售完．已知剩余的商品都参加了促销活动，销售A，B两种商品共获利2125元，求的值． 【答案】(1)购进商品的数量为100件 (2) 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系，列出方程，是解题的关键． （1）设购进商品的数量为件，则购进商品的数量为件，根据400件商品的花的费用为10000元，列出方程，解方程即可； （2）根据销售A，B两种商品共获利2125元，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设购进商品的数量为件，则购进商品的数量为件， 依题意得， 解得：， （件）， 答：购进商品的数量为100件，则购进商品的数量为300件； （2）解：商品售出，即（件），剩余（件）， 商品售出，即（件），剩余（件）， 剩余的商品都参加了促销活动，即促销活动卖出商品75件，赠送商品75件，再剩下的125件商品以优惠全部卖出， 依题意得：， 整理得， 即， 解得． 题型四、比赛积分(一元一次方程的应用) 10．（22-23七年级下·浙江台州·期末）县里举办农村篮球超级联赛，按比赛规则，每场比赛都要分出胜负，胜1场得2分，负1场得1分，云村篮球队在9场比赛中得到12分，若设该队胜的场数为x，负的场数为y，根据上述等量关系列出的下列方程组中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】根据云村篮球队在9场比赛中得到12分，列二元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意，得， 故选：B． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键． 11．（2024七年级上·浙江·专题练习）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．如表记录了2个参赛者的得分情况，参赛者C得76分，他答对了 道题． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 【答案】16 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 由参赛者、的得分情况可求出答对一题和答错一题的得分，设出未知数，根据总分答对一题的得分答对题目数答错一题的得分答错题目数，建立方程求出其解即可得出结论． 【详解】解：根据表格，，即答对一题得分，，即答错一题扣一分； 设参赛者答对了道题，答错了道题， 则有：， 解得：． 答：参赛者答对了道题． 故答案为：． 12．（24-25七年级·浙江金华·期末）在学校篮球比赛中，李军2分球和3分球共投进8个，共得19分，他2分球和3分球各投进多少个？ 【答案】他2分球投进5个，3分球投进3个 【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设2分球投进x个，则3分球投进个，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设2分球投进x个，则3分球投进个， 根据题意，得， 解得， ， 答：他2分球投进5个，3分球投进3个． 题型五、方案选择(一元一次方程的应用) 13．（22-23七年级上·浙江温州·期末）甲单位到药店购买了一箱消毒水和元的口罩，乙单位在同一药店购买了一箱消毒水和元的口罩，乙单位购买总价只相当于甲单位购买总价的，一箱消毒水多少元？设一箱消毒水为元，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】根据题意可知：甲单位花的钱数的乙单位花的总钱数，然后列出方程即可． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程． 14．几个人共同种一批核桃树，如果每人种10棵， 则剩下6棵树苗未种；如果每人种12棵，则缺6棵树苗，若设参与种树的有x人，则列方程为 ． 【答案】10x+6=12x-6 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】根据这批树苗的数量不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：10x+6=12x-6． 故答案为：10x+6=12x-6． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 15．（24-25七年级上·浙江·假期作业）光明学校组织七年级学生开展研学活动，已知研学基地票价为每张元，由各班班长负责买票，下图是班班长与售票员咨询的对话： (1)班学生人数为，选择了方案一购票，求班购票需要多少元？ (2)班选择了方案二，购票费用为元，求班有多少人？ (3)班的学生人数为人，班班长思考了一会儿说：“我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的．”请问班有多少人？ 【答案】(1)元 (2)人 (3)人 【知识点】方案选择(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查一元一次方程的实际应用，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键； （1）根据方案一的计费规则计算即可； （2）设班有人，根据方案二的计费规则列方程，解方程即可； （3）设班有人，根据方案一、方案二费用相等列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：（元）， 答：班购票需要元； （2）解：设班有人， ， 解得， 答：班有人； （3）解：设班有人， ， 解得， 答：班有人． 题型六、数字问题(一元一次方程的应用) 16．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）我国古代《洛书》中记载了最早的三阶幻方——九宫图．如图所示的九宫图中，每行、每列的三个数字之和都相等，则的值是（   ） A． B． C．2 D．5 【答案】B 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 根据幻方中，每行、每列的三个数字之和都相等列出方程，即可求解． 【详解】解：根据题意，得， 解方程，得， 故选：B． 17．（25-26七年级上·浙江宁波·阶段练习）我国的《洛书》中记载着世界上最古老的幻方——九宫格：将9个数字填入的格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等，如图的幻方中“△”处应该填 ． 【答案】 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查探索与表达规律，一元一次方程的应用，抓住每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，数的对称性是解题的关键． 根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等”解答即可． 【详解】解：如图，设第一列第二行的数为，右上角的数为，最中间的数为 由题意得，， ∴， 由得， ∴， ∴“△”处表示的数为：， ∵， ∴ 解得：， ∴“△”处表示的数为， 故答案为：． 18．（24-25七年级上·浙江温州·期末）两位同学在数学节上遇到一个数学竖式谜题：，要求填入相同的数字．他们的部分解题过程如下： 小王：设方框里的数为．可得： 小红：设方框里的数为．可得： 请判断以上哪位同学的做法正确，并继续完成解题步骤，求出“”内的数字． 【答案】小红正确，“”内的数字为 【知识点】列代数式、数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程，列代数式，设方框里的数为，则竖式中的乘数应该表示为，结果应该表示为，故小王错误，小红正确，再计算结果即可，熟练用未知数表示三位数是解题的关键． 【详解】解：设方框里的数为，则竖式中的乘数应该表示为，结果应该表示为， 故小王错误，小红正确， 解， 解得， 即“”内的数字为． 题型七、几何问题(一元一次方程的应用) 19．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，某日晷基座的底面呈正方形，在其四周铺上花岗岩，形成一个边宽为米的正方形框．已知铺这个框恰好用了144块边长为米的正方形花岗岩，设日晷基座的底面边长为x米，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设日晷基座的底面边长为米，根据阴影部分的面积=4个长方形的面积，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设日晷基座的底面边长为米， 依题意，得：． 故选：A． 20．（24-25七年级上·浙江金华·期末）现有一张宽为的长方形纸条，纸条两面的颜色分别为灰色和白色（图1是白色面，图2是灰色面），折叠该纸条得到如图3所示的图形．已知图中四个灰色的梯形是完全相同的，则原来的长方形纸条的长度为 ． 【答案】47 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到相等关系是解题的关键．根据“如图摆放时的长度为”列方程求解． 【详解】解：设灰色梯形的上底为， 则， 解得：， ∴， 故答案为：47． 21．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）对数轴上的点进行如下操作：先把点向左移动个单位，将得到的点表示的数乘以，此时所得数对应的点为，则称点为点的“倍联动点”（、均为正整数）． 例如，点表示的数为2，当时，则它的一个“3倍联动点”表示的数为3；当时，则它的另一个“3倍联动点”表示的数为．请根据以上信息回答下列问题： (1)已知点表示的数为3，则它的“2倍联动点”表示的数是______． (2)若点的其中一个“4倍联动点”是它本身，求点表示的数． (3)已知数轴上两点表示的数分别为，且点为点的“倍联动点”（为正整数）．点从点出发，以每秒1个单位长度沿数轴向右移动，同时点从点出发，以每秒3个单位长度沿数轴向右移动．若在任何一个时刻，点的其中一个“6倍联动点”与点之间的距离始终为3，求的值． 【答案】(1)1或4 (2)或4 (3)或9 【知识点】数轴上两点之间的距离、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解新定义的意义并能根据新定义得到解决问题的相等关系是解决本题的关键． （1）选取合适的和的值，根据新定义的意义计算即可； （2）求得相应的的值，进而选取合适的和的值代入即可求得点表示的数； （3）易得点和点表示的数，进而得到点表示的数，根据点与点之间的距离始终为3判断出和无关的和的值，根据点为点的“倍联动点”进行整理即可得到的值． 【详解】（1）解：①当，时，点的“倍联动点”表示的数为； ②当，时，点的“倍联动点”表示的数为； 所以点的“倍联动点”表示的数是或， 故答案为：或； （2）解：设表示的数为，则 ①，解得； ②，解得； ③，无解， 所以所表示的数为或4． （3）解：设运动时间为，则点表示的数为，点表示的数为， 若表示的数为， 则，此时，等号左边的代数式仍与t有关，不符题意； 四种情况中，只有表示的数为时，符合题意， 则，， 得， 或， 由概念可知：表示点先向左移动3个单位，再乘以3得到，所以， 表示点先向左移动1个单位，再乘以3得到，所以， 所以或9． 题型八、动点问题（一元一次方程的应用） 22．（25-26七年级上·浙江温州·期中）已知在数轴上点从原点出发，每次随机向左移动3个单位长度或向右移动2个单位长度．移动次后，点位于数字1上，则下列说法正确的是（   ） A．是奇数 B．是偶数 C．是3的倍数 D．是5的倍数 【答案】D 【知识点】用数轴上的点表示有理数、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数、数轴上动点问题等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． 设向左移动次数为，向右移动次数为，则总次数，最终位置为．联立方程可得，因此必须是5的倍数，才为整数． 【详解】解：点移动次后位于1，设向左移动次，向右移动次， ，且． 将代入得：，化简得． 为整数， 必须是5的倍数， 故选D． 23．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在数轴上，点A，点B表示的数分别是，，点M以2个单位/秒的速度从点A出发沿数轴向点B运动，同时点N以4个单位/秒的速度从点B出发沿数轴在B，A之间往返运动（当，任意一点到达点B时，整个运动停止）．当运动时间是 秒时，，两点相距2个单位． 【答案】或或 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，分三种情况，正确列出方程求解． 根据题意可得，之间的距离为，点到达点时，运动的时间为秒，点从到再到，运动的时间也为秒，设的运动时间为秒，分三种情况，当，相遇前，当，相遇后，当到达点返回后，分别列出方程，求解即可． 【详解】解：点A，点B表示的数分别是，，则之间的距离为， 由题意可得，点到达点时，运动的时间为秒，点从到再到，运动的时间也为秒， 设的运动时间为秒， 当，相遇前，，两点相距2个单位时， 由题意可得，，解得； 当，相遇后，，两点相距2个单位时， 由题意可得，，解得； 当到达点返回后，，两点相距2个单位时， 由题意可得，，解得； 综上，当运动时间是或或秒时，，两点相距2个单位． 故答案为：或或． 24．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别为，3，点P为数轴上一动点，其表示的数为． (1)若点P为的中点，则x的值为_______； (2)若点P在原点的右侧，且到点A，B的距离之和为8，则x的值为______； (3)某时刻点A，B分别以每秒2个单位长度和每秒个单位长度的速度同时沿数轴向右运动，同时点P以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动．问：经过多长时间，点A，B之间的距离3个单位长度，并求此时点P表示的数． 【答案】(1)1 (2)5 (3)或 【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用） 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用以及数轴上点的坐标与距离表示方法等知识． （1）利用数轴上两点A、B对应的数分别为−1、3，得出中点位置P点表示的数，可得x的值； （2）根据点P在原点的右侧，且到点A，B的距离之和为8，列方程可解答； （3）设运动时间为t秒，则运动后点A表示：，点B表示，点P表示：，再根据点A，B之间的距离为3个单位长度，列方程得出即可． 【详解】（1）解：∵数轴上A，B两点表示的数分别为，3，点P为的中点，点P表示的数为x， ∴； 故答案为：1； （2）解：∵数轴上A，B两点表示的数分别为，3， ∴， ∵点P在原点的右侧，且到点A，B的距离之和为8， ∴， 解得：， 故答案为：5； （3）解：设运动时间为t秒，则运动后点A表示：，点B表示，点P表示：， ∵点A，B之间的距离为3个单位长度， ∴， 解得：或， ∴或， 即点P表示的数是或． 题型九、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 25．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）甲煤场存煤432吨，乙煤场存煤96吨，为了使甲煤场存煤量是乙煤场的2倍，应从甲煤场运多少吨煤到乙煤场?设应从甲煤场运吨煤到乙煤场，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程．设从甲煤场运煤吨到乙煤场，根据调运后甲煤场存煤是乙煤场的2倍，即可得出关于的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设从甲煤场运煤吨到乙煤场， 依题意得， 故选：A． 26．（24-25七年级上·浙江·期末）某校组织七年级全体师生参加社会实践活动．如果单独租用30座客车若干辆，会有15人没有座位；如果单独租用45座客车，可少租3辆，且还余15个座位．由此可知，七年级全体师生的人数为 ． 【答案】345 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 设单独租用30座客车x辆，根据总人数不变，列出一元一次方程，解方程，即可解决问题． 【详解】解：设单独租用30座客车x辆，则七年级全体师生的人数为人， 由题意得：， 解得：， ∴， 即七年级全体师生的人数为345人， 故答案为：345． 27．（2023七年级上·浙江绍兴·专题练习）高度适宜的书桌对养成孩子良好的体姿很重要．科学研究发现，学生身高大约比书桌高度的3倍少时最合适学生良好体姿的形成．照此推算，身高为的学生，所用书桌的高度应是多少厘米？（用方程解） 【答案】身高为的学生，所用书桌的高度应是厘米 【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设身高为的学生，所用书桌的高度应是厘米，根据“学生身高大约比书桌高度的3倍少时最合适学生良好体姿的形成”，列出方程求解即可，理解题意、正确列出方程求解是解题的关键． 【详解】解：设身高为的学生，所用书桌的高度应是厘米， 由题意得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 答：身高为的学生，所用书桌的高度应是厘米． 题型十、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 28．（22-23七年级上·浙江·期中）下表是某市居民出行方式以及收费标准：（不足1千米按1千米算） 打车方式 出租车 3千米以内8元；超过3千米的部分元/千米 滴滴快车 路程：元 /千米；时间：元/分钟 说明 打车的平均车速千米/时 假设乘坐8千米，耗时：分钟；出租车收费：元；滴滴快车收费：元． 为了提升市场竞争力，出租车公司推出行驶里程超过千米立减元活动．小聪乘坐出租车从甲地到达乙地支付车费元，若改乘滴滴快车从甲地到乙地，则需支付 元． 【答案】或 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】分两种情况进行分析：（1）没有超过千米；（2）超过享受优惠；分别计算即可． 【详解】解：设此次的路程为千米， 若此次路程没有超过千米， 则， 解得：千米， 则改乘滴滴快车从甲地到乙地，需支付元； 若此次路程超过千米， 则， 解得：千米， 则改乘滴滴快车从甲地到乙地，需支付元； 综上：若改乘滴滴快车从甲地到乙地，则需支付元或元， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用－分段收费问题，读懂题意，列出方程是解本题的关键． 29．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）小明在学习了第五章《一元一次方程》的“阅读材料”后，通过手机APP查到了自己家目前的水费收费标准如下： 用水性质和分级 到户价格（元/吨） 其中含污水处理价（元/吨） 居民生活用水 第1级（每户每月用水13吨及以下部分） 第2级（每户每月用水14~25吨部分） 第3级（每户每月用水26吨及以上部分） 每月用水量都以整数吨记录，到户价格包含污水处理价．如小明家9月份用水30吨，则总共支付水费：，其中含污水处理费用：．根据以上信息回答下列问题： (1)小明家10月份总共支付水费，求小明家10月份用水多少吨？支付的水费中包含的污水处理费为多少元？ (2)若7月与8月两个月共用水48吨，且8月份用水量超过26吨，两个月共缴水费213元，则该用户7、8月份各用水多少吨？ 【答案】(1)10月份用水16吨，支付的水费中包含的污水处理费为元 (2)小明家七月份用水15吨，八月份用水33吨 【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）设小明家10月份用水x吨，根据小明家10月份总共支付水费60.5元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入中，即可求出结论； （2）设8月份用水吨，则7月份用水吨，分两种情况考虑，根据两个月共缴水费213元，可列出关于y的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：当用水量为13吨时，水费为， 当用水量为25吨时，水费为．所以水费为第2级． 设用水量为吨，， 解得， 其中污水处理费元 答：明家10月份用水16吨，支付的水费中包含的污水处理费为元； （2）解：设8月份用水吨，则7月份用水吨， 由题意可得，8月份用水超过26吨， 若7月份用水在13吨及以下，则可得， ， 此时七月份用水14吨超过13吨，所以不符合，舍去， 若7月份用水在14~25吨， 则可得， 符合题意， 所以小明家七月份用水15吨，八月份用水33吨． 题型十一、行程问题(一元一次方程的应用) 30．（2024七年级上·浙江·专题练习）A、B两地相距960千米，甲、乙两车分别从A、B两地相对开出，经过8小时相遇，已知甲车的速度是50千米时，求乙车的速度是（  ）千米时． A．60 B．70 C．75 D．85 【答案】B 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设乙车的速度是x千米时，利用路程速度时间，结合两车经过8小时相遇，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设乙车的速度是x千米时， 根据题意得：， 解得：， ∴乙车的速度是70千米时． 故选：B． 31．（2024七年级上·浙江·专题练习）甲、乙两人从400米的环形跑道的一点A背向同时出发，8分钟后两人第三次相遇，已知每秒钟甲比乙多行米，那么两人第三次相遇的地点与点A沿跑道上的最短距离是 米． 【答案】176 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查一元一次方程的应用——环形跑道的相遇问题的数量关系，熟练掌握相遇问题的数量关系：相遇时间速度和总路程是解题的关键． 利用相遇时间速度和环形跑道的长度圈数（相遇次数），设乙每秒行x米，甲每秒行米，列出方程解答即可． 【详解】解：设乙每秒行x米，则甲每秒行米，根据题意列方程得， ， 解得， 则在8分钟内，乙共行：（米）， 去掉乙走过了一整圈400米，还余176米，由于不足200米，是相遇地点沿跑道距A点的最短距离． 故答案为：176． 32．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）下图是甲、乙两辆货车的行程情况，根据图意解决问题． ①时，甲车和乙车相距（    ）千米． ②乙车平均每小时行驶（    ）千米． ③按这样的速度，到（    ）时（    ）分，乙车追上甲车． 【答案】① ② ③； 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了行程问题和利用方程解应用题，正确理解题意是解题的关键． ①由时，图中甲车行驶路程减去乙车行驶路程即可． ②根据速度路程时间进行求解即可． ③分别计算甲车速度和乙车速度，根据乙追上甲时，二者所走的路程相同列出方程求解即可． 【详解】解：①由图可得：时，甲车和乙车相距（千米）， 故答案为：． ②由图可得：乙车到之间行驶了千米， 即小时行驶了千米， ∴乙车平均每小时行驶（千米）， 故答案为：． ③解：由题意可得甲车速度为：（千米/分），乙车速度为：（千米/分）， 设甲车出发分钟乙追上甲， 由题意得：， 解得：， ∴到时分，乙车追上甲车， 故答案为：；． 题型十二、比例分配(一元一次方程的应用) 33．（24-25七年级上·浙江台州·期末）把一些图书分给某班学生阅读，如果_____；如果每个同学分4本，则缺25本．设这个班级有x名学生，可列出方程．则横线的信息可以是（   ） A．分给3个同学，则剩余20本 B．每个同学分3本，则剩余20本 C．分给3个同学，则缺20本 D．每个同学分3本，则缺20本 【答案】B 【知识点】比例分配(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，根据“如果每个同学分4本，则缺25本”，结合这个班级的人数，可得出这些图书共有本，结合所列方程，可得出这些图书共有本，进而可得出横线的信息，根据所列方程，找出缺失的条件是解题的关键． 【详解】解：如果每个同学分4本，则缺25本，且这个班级有名学生， 这些图书共有本， 所列方程为， 这些图书共有本， 横线的信息可以是：每个同学分3本，则剩余20本． 故选：B． 34．某企业举办“**产品创新设计大赛”，设奖规定如下： ①参赛的员工均有奖，设一、二、三等奖．其中，一等奖的人数小于二等奖的人数，二等奖的人数小于三等奖的人数． ②奖金总额48000元，每个一等奖的奖金额是二等奖的3倍，是三等奖的6倍．若比赛共有8人参加，根据设奖规定，则每个三等奖的奖金额应是 元． 【答案】3200或3000/3000或3200 【知识点】比例分配(一元一次方程的应用) 【分析】设获一、 二、 三等奖的人数分别为a、b、c，根据①中题设求得a、b、c，再设每个三等奖的奖金额是x元，则每个一等奖的奖金额是6x，每个二等奖的奖金额是2x，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设获一、 二、 三等奖的人数分别为a、b、c， 由题意，得：a+b+c=8，且0＜a＜b＜c，a、b、c均为正整数， ∴a=1，b=2，c=5或a=1，b=3，c=4， 设每个三等奖的奖金额是x元，则每个一等奖的奖金额是6x，每个二等奖的奖金额是2x， 根据题意，得：6x+2×2x+5x=48000或6x+3×2x+4x=48000， 解得：x=3200或x=3000， 答：每个三等奖的奖金额应是3200元或3000元， 故答案为：3200或3000． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程并求得a、b、c的值是解答的关键． 35．为鼓励学生参加体育锻炼，某学校计划购买一批篮球和排球．已知篮球和排球的单价比为，单价之和为70元，则篮球和排球的单价分别为多少钱？ 【答案】篮球的单价为40元，排球的单价为30元． 【知识点】比例分配(一元一次方程的应用) 【分析】设篮球的单价为x元，则排球的单价为元，然后根据篮球和排球的单价之和为70元，列出方程求解即可． 【详解】解：设篮球的单价为x元，则排球的单价为元， 根据题意得，， 解得， 故． 答：篮球的单价为40元，排球的单价为30元． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 题型十三、日历问题(一元一次方程的应用) 36．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）将正整数1至5000按一定规律排列如下：平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（　　） A．2018 B．2019 C．2040 D．2049 【答案】D 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型中数字的变化类，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设中间数为x，则另外两个数分别为，进而可得出三个数之和为，令其分别等于四个选项中数，解之即可得出x的值，由x为整数、x不能为第一列及第八列数，即可得到答案． 【详解】解：设中间数为x，则另外两个数分别为， ∴三个数之和为， 根据题意得：， 解得：（舍去），． ∵， ∴673是在第85行的第一列，故三个数之和为2019不合题意，舍去； ∵， ∴680是在85行的第8列，故三个数之和为2040不合题意，舍去； ∵， ∴683在第86行的第3列，故三个数之和可以为2049． 故选：D． 37．在一个的方格中填写了9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，这样的方格称为一个三阶“幻方”．如图的方格中已填写了一些数和字母，若它能构成一个三阶“幻方”，则的值为 ． 【答案】-5 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】设每行、每列、每条对角线上的三个数之和为m，根据题意列出方程，解之即可得出答案． 【详解】解：设每行、每列、每条对角线上的三个数之和为m， 则方格中其他数为： ∵m+2+x+3=m， 解得：x=-5， 故答案为：-5． 【点睛】此题主要考查了有理数的加法，一元一次方程，每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等列出方程是解题关键． 38．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，在2025年1月的月历表中，用“T”字形框框住了四个日期，“T”字形框可上下左右移动，按照同样的方式框住另外的四个日期．设“T”字形框中最小的日期为m．      (1)求“T”字形框框住的四个日期之和（用含m的式子表示）： (2)移动“T”字形框，被框住的4个日期之和可能等于55吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)被框住的4个日期之和不可能等于55，理由见解析 【知识点】列代数式、日历问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）根据“T”字形的特征列式即可； （2）根据“4个日期之和等于55”列方程求解，然后判断是否实际意义即可． 【详解】（1）解： （2）解：若4个日期之和等于55 则                                                           观察月历表，发现日期11位于侧边      所以被框住的4个日期之和不可能等于55． 题型十四、古代问题(一元一次方程的应用) 39．（24-25七年级上·浙江台州·期末）《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四；问人数、物价各几何？题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱；合伙人数、物品的价格分别是多少？解：设人数为x人，则下面列出的方程正确的是(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据“若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱”，可列出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：∵若每人出钱，则会多出钱， 物品的价格为钱； 若每人出钱，则还少钱， 物品的价格为钱， 根据题意得可列出方程． 故选：B． 40．（22-23七年级上·浙江绍兴·期末）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十，粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x斗，则可列出关于x的方程为 ． 【答案】 【知识点】古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】根据题意，找到等量关系，列出方程，即可． 【详解】解：根据题意得新加的谷子为斗， ∴新加的谷子出的米为， 根据题意可得， 故答案为：． 【点睛】本题考查列一元一次方程，解题的关键是根据题意找出正确的等量关系． 41．（24-25七年级上·浙江金华·期末）相传有神龟出于洛水，其背上有此图案（图1），史称“洛书”，图2是洛书的数字表示．这也就是术数中常说的“九宫格”，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，图3，图4的幻方均满足此规律． (1)请填出图3幻方空格中的数． (2)求图4幻方中的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】数字类规律探索、古代问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型：数字的变化类． （1）由第3列上的3个数之和及每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，即可求出其他方格中的数，将其填入图3中即可； （2）由对角线及第1列上的3个数之和相等，可求出第2行第1个方格中的数，利用两对角线上的3个数之和相等，可求出第1行第3个方格中的数，再结合对角线及第1列上的3个数之和相等，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：∵第3列上的3个数之和为， ∴第1行第2个方格中的数为， 第2行第1个方格中的数为， 第2行第2个方格中的数为， 第3行第2个方格中的数为， 将图3中的数据补充完整，如图所示； （2）解：第2行第1个方格中的数为， 第1行第3个方格中的数为， 根据题意得：， 解答：． 答：图4幻方中x的值为． 题型十五、其他问题(一元一次方程的应用) 42．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）某班有学生35人，会打篮球的人数是会踢足球的人数的2.5倍，两种球都会或都不会的人数都是8人，若设会踢足球的人数为人，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】考查了一元一次方程的应用，解题的关键是注意会打篮球的会踢足球的人数重复了8人． 设会踢足球的人数为x人，则会打篮球的人数是会踢足球的人数为人，又两种球都会或都不会的人数都是8人，则可知：踢足球的人数人数＋会打篮球的人数+两种球都不会的人数两种都不会的人数=总人数．即可列出程求解． 【详解】根据题意得：． 故选：D． 43．（25-26七年级上·浙江温州·阶段练习）一次义务劳动，少先队员和男同学都自愿参加，某班共有人参加这次劳动，其中少先队员比男同学多人，已知男少先队员有人，则参加本次劳动的男同学有 人． 【答案】 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设参加本次劳动的男同学有人，则少先队员有人，女少先队员有人，非少先队员的男同学有人，根据“参加劳动的总人数女少先队员人数男少先队员人数非少先队员的男同学人数”，即可列出方程，解方程即可． 【详解】解：设参加本次劳动的男同学有人，则少先队员有人， 则女少先队员有人， 男少先队员有人，故非少先队员的男同学有人， 故 解得， 即参加本次劳动的男同学有人． 故答案为：． 44．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）世界上最粗的树是“百骑大栗树”，它生长在地中海西西里岛的埃特纳火山的山坡上．据悉，它的树干大约需要40个身高的小学生伸开双臂才能围住，换成身高的成年人，大约需要多少个成年人伸开双臂才能围住？（人双臂展开的长度约等于人的身高） 【答案】大约需要个成年人伸开双臂才能围住 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，先设大约需要个成年人伸开双臂才能围住，结合“它的树干大约需要40个身高的小学生伸开双臂才能围住，换成身高的成年人”等条件列式计算，即可作答． 【详解】解：设大约需要个成年人伸开双臂才能围住， 依题意，， ∴， 解得， ∴大约需要个成年人伸开双臂才能围住． 强化训练 一、单选题 1．某项工作，甲单独做天完成，乙单独做天完成，现在甲先做天，然后甲、乙共同完成此项工作，若甲一共做了天，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用（工程问题），读懂题意，根据题中的数量关系正确列出方程是解题的关键． 根据工程问题中常用的关系式“工作效率工作时间工作总量”列方程即可． 【详解】解：由题意可知，甲一共做了天，则乙一共做了天， 可设工程总量为， 则甲的工作效率为，乙的工作效率为， 根据题意可得：， 故选：C． 2．甲车每小时行驶，后，乙车从同一地点出发追赶甲车，如果乙车的速度为每小时，那么乙车追上甲车所用的时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到等式列出一元一次方程然后再求解即可． 【详解】设乙车后追上甲车，根据题意得，解得，即乙车后追上甲车． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，通过题意得到等式，建立一元一次方程，在求解． 3．初一（1）班有学生60名，其中参加数学小组的有36人，参加英语小组的人数比参加数学小组的人数少5人，并且这两个小组都不参加的人数比两个小组都参加的人数的多2人．则同时参加这两个小组的人数是（    ） A．16 B．12 C．10 D．8 【答案】B 【分析】设同时参加这两个小组的人数为x人，根据参加这两个小组的人数与不参加这两个小组的人数之和等于60列方程即可求解，注意不能重复加同时参加这两个小组的人数． 【详解】解：设同时参加这两个小组的人数为x人， 则这两个小组都不参加的人数为人， 由题意得：， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查的知识点是一元一次方程的应用，解题的关键是能根据题意准确列出一元一次方程． 4．如图，点C把线段MN分成两部分，且，点P是MN的中点，，则MN的长为（    ） A．30 B．36 C．40 D．48 【答案】B 【分析】设，通过比值关系得到，，再列出方程求出，即可得到的长． 【详解】解：设 ∵ ∴， ∵点P是MN的中点 ∴ ∴ ∵ ∴，解得 ∴ 故选：B 【点睛】本题考查了线段的和差倍分问题，设未知数并根据条件列方程是解题关键． 5．某商场以每台1800元的相同价格售出两台不同型号的录像机，其中一台盈利20%，另一台亏损20%．问这两台录像机售出后是（    ） A．盈利 B．亏损 C．不盈不亏 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，以及百分数的实际应用，涉及商品销售中的盈亏问题．通过设未知数，利用售价与进价、利润率之间的关系，构建方程求解，进而判断两台录像机售出后的盈亏情况． 【详解】解：设其中一台成本价是元，根据题意，得，解得， 设另一台的成本价是元，根据题意，得，解得， 总的成本价为：，总的售出价为：， ∴， 这两台录像机售出后是亏损的． 故选：B． 6．下表填在各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字的规律探究，一元一次方程的应用．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 由前3个图形中的数字分布可推导：左下和右上的积等于左上和右下的和，且左上、左下、右上三个数是相邻的偶数，然后列方程求解即可． 【详解】解：由题意知，，，， ∴可知左下和右上的积等于左上和右下的和，且左上、左下、右上三个数是相邻的偶数． ∴如图， ∴， 解得，， 故选：D． 7．如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为，，点M以每秒1个单位长度的速度从点A向右运动，点N以每秒3个单位长度的速度从点B向左运动（点M、点N同时出发），经过几秒，点M、点N分别到原点O的距离相等（　　） A．5秒 B．5秒或4秒 C．5秒或秒 D．秒 【答案】C 【分析】本题考查了数轴上两点之间距离，一元一次方程与行程问题，根据题意，分别求出点表示的数，及运动时间，设运动时间为秒，分类讨论，第一种情况，点在原点左边，点在原地右边；第二种情况，点都在原点左边；第三种情况，当点在原点右边时，运动时间大于秒，则点在点坐标，不存在；图形结合，列式求解即可． 【详解】解：点表示的数为， ∴， ∵，则， ∴点表示的数为， ∵点以每秒个单位长度的速度从点向右运动，点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发）， ∴点从点到点的时间为：秒；点从点到点的时间为：秒；点从点到点的时间为：（秒）； 根据题意，设经过秒， ∴点表示的数为：，点表示的数为：， 第一种情况，点在原点左边，点在原地右边， ∴，，且 ∴， 解得，； 第二种情况，点都在原点左边， ∴，，且， ∴， 解得，； 第三种情况，当点在原点右边时，运动时间大于秒，则点在点坐标，不存在； 综上所述，当秒或秒时，点、点分别到原点的距离相等， 故选：C ． 8．诗是普遍的艺术，是一种最为古老的文学艺术样式．它以简洁的语言吸引着无数诗歌爱好者的追随．其实有些诗中也包含了数学问题，我们不妨来看下面这首诗：“甲赶羊群逐草牧，乙牵一羊随其后．乙问甲羊及百否？甲云所说无差谬．若得这般一群羊，再添半群小半群．得你一只来方凑，玄机奥妙谁猜透？”诗的意思：甲赶着一群羊去放牧，乙牵着一只羊在后面．乙问甲有只羊没有，甲回答说：“如果加上这群羊同样多的羊，再添加这群羊的一半，再加上这群羊的，连同你牵的一只羊，正好只．”聪明的你，甲赶的这群羊有多少只？（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程的知识，解题的关键是找到等量关系． 根据“再得这样的一群羊，再得这群羊的一半，还得这群羊的四分之一，最后凑上你的这只羊，正好是一百只”这一等量关系列出方程，即可求解． 【详解】解：设甲原有只羊，根据题意得：， 解得：， 故选：B； 9．将无限循环小数化为分数，可以设，则，解得.仿此，将无限循环小数化为分数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，则，根据解一元一次方程的方法，求出的值即可． 【详解】解：设， 则， 移项，可得：， 合并同类项，可得：， 系数化为1，可得：， ． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了无限循环小数化分数的方法，以及解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 10．如图，长方形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，P，Q两动点同时出发，分别沿着长方形的边长运动，P点从B点出发，顺时针旋转一圈，到达B点后停止运动，Q点的运动路线为B→C→D，P，Q点的运动速度分别为2cm/秒，1cm/秒，当一个动点到达终点时，另一个动点也同时停止运动．设两动点运动的时间为t秒，要使△BDP和△ACQ的面积相等，满足条件的t值的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】分五种情况，根据运动的路径和△BDP和△ACQ的面积相等列出方程，求解即可． 【详解】解：由题意进行分类讨论： ①当P点在AB上，Q点在BC上时（t≤4）， BP＝2t，CQ＝6﹣t， 要使△BDP与△ACQ面积相等，则 ， 解得：； ②当P点在AD上，Q点在BC上时（4＜t≤6）， DP＝14﹣2t，CQ＝6﹣t， 要使△BDP与△ACQ面积相等，则DP＝CQ， 即14﹣2t＝6﹣t， 解得：t＝8（舍去）； ③当P点在AD上，Q点在CD上时（6＜t≤7）， DP＝14﹣2t，CQ＝t﹣6， 要使△BDP与△ACQ面积相等，则 ， 解得t＝； ④当P点在CD上，Q点在CD上时（7＜t≤11）， DP＝2t﹣14，CQ＝t﹣6， 要使△BDP与△ACQ面积相等，则DP＝CQ， 即2t﹣14＝t﹣6， 解得：t＝8； ⑤当P点在BC上，Q点在CD上时（11＜t≤14）， BP＝28﹣2t，CQ＝t﹣6， 要使△BDP与△ACQ面积相等，则 ， 解得：t＝； 综上可得共有4种情况满足题意，所以满足条件的t值得个数为4． 故选：C． 【点睛】本题考查了长方形的性质、三角形的面积以及一元一次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键，注意：需要分类讨论． 二、填空题 11．某柜台销售员对某种商品有如下记录： 进价 标价 折扣 利润率 160元 八折 10% 根据表中信息，可求出标价为 元． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是准确列出方程求解． 设标价为元，根据题意列出一元一次方程，解方程，即可求解． 【详解】解：设标价为元， 根据题意得， 解得：， 故答案为：． 12．日历上面同一行上相邻的5个数字之和为70，那么这5个数中的第1个数是 ． 【答案】12 【分析】本题考查一元一次方程的运用，找出等量关系是解题的关键．设出未知数，分别表示出五个数，然后根据等量关系列出方程求解即可． 【详解】解：设第一个数为x，则后四个数依次是， 根据题意，得： ， ， ， ， 故这5个数的第1个数为12． 故答案为：12． 13．六年级组织演讲比赛，当一名女生在台上演讲时，台下的学生中男生是女生的，当一名男生在台上演讲时，台下的学生中女生是男生的，则参加演讲比赛的学生共有 人． 【答案】 64 【分析】本题考查了和差倍分问题，正确理解不同情况下男生和女生的人数关系是解题的关键．设参加演讲比赛的学生共x人，列出方程并求解即可． 【详解】解：设参加演讲比赛的学生共x人，依题意得 , 解得，． 答：参加演讲比赛的学生共64人． 故答案为：64． 14．某工厂生产一批零件，计划20天完成，若每天多生产5个，则16天完成且还多生产8个．设原计划每天生产x个，根据题意可列方程为 ． 【答案】20x＝16（x+5）﹣8． 【分析】设原计划每天生产x个，则实际每天生产（x+5）个，根据原计划在20天内完成的任务实际16天完成且还多生产8个，列方程即可． 【详解】解：设原计划每天生产x个，则实际每天生产（x+5）个， 由题意得，20x＝16（x+5）﹣8． 故答案为：20x＝16（x+5）﹣8． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程即可． 15．A、B两地相距300千米，一列慢车从A地开出，每小时行60千米，一列快车从B地开出，每小时行80千米． （1）两车同时开出，相向而行，x小时相遇，则由此条件列出的方程是 ； （2）两车同时开出，同向而行，慢车在快车后面，x小时后快车与慢车相距800千米，则由此条件列出的方程是 ． 【答案】 【分析】（1）由题意，两车同时开出，相向而行，x小时相遇，可知两车的路程和为300千米，据此列一元一次方程即可； （2）由题意，两车同时开出，同向而行，x小时后两车的路程差与300千米的和是800千米，据此列一元一次方程即可． 【详解】解：（1）根据题意得，， 故答案为：； （2）x小时后，快车行驶80x千米，慢车行驶60x千米，根据题意得， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用、列一元一次方程等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 16．如图，点A、O、B都在直线上，射线绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转射线，绕点O按逆时针方向以每秒的速度旋转（当其中一条射线与直线叠合时，两条射线停止旋转），经过 秒，的大小恰好是． 【答案】12或24 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及角的计算，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．经过秒，的大小恰好是，分和两种情况，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：经过秒，的大小恰好是， 依题意，得：或， 解得：或． 故答案为：12或24． 17．有人问某儿童，有几个兄弟、几个姐妹，他回答说：“有几个兄弟，就有几个姐妹．”再问他妹妹，有几个兄弟、几个姐妹，她回答说：“我的兄弟是姐妹的两倍．”聪明的同学，你知道他有几个兄弟、几个姐妹？答：有 个兄弟， 个姐妹． 【答案】 4 3 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． 根据“有几个兄弟，就有几个姐妹”如果设该儿童有x个兄弟，那么也应该有x个姐妹，根据“再问他妹妹，有几个兄弟、几个姐妹，她回答说：“我的兄弟是姐妹的两倍”，那么可得出方程为：，求解即可． 【详解】解：设该儿童有x个兄弟，那么也应该有x个姐妹． 根据题意得：， 解得：， ， ∴有4个兄弟，3个姐妹． 故答案为：4，3． 三、解答题 18．七年级（1）班在劳动时，将全班同学分成m个小组，若每小组9人，则余下3人；若每小组10人，则有一组少4人，求七年级（1）班共有多少名学生？ 【答案】七年级（1）班共有66名学生 【分析】根据全班同学人数不变以及“将全班同学分成m个小组，若每小组9人，则余下3人；若每小组10人，则有一组少4人”列出方程，求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得． （名） 答：七年级（1）班共有66名学生 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程． 19．把1400元奖学金按照两种奖项奖给22名学生，其中一等奖每人200元，二等奖每人50元．获得一等奖的学生有多少人？ 【答案】获得一等奖的学生有2人． 【分析】设获得一等奖的学生有x人，则获得二等奖的学生有（22−x）人，根据一等奖金总和＋二等奖金总和＝1400，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设获得一等奖的学生有x人，则获得二等奖的学生有（22−x）人， 根据题意得：， 解得：， 答：获得一等奖的学生有2人． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 20．爷爷与孙子下棋，爷爷赢1盘记1分，孙子赢1盘记3分，下了8盘后两人得分相等，他们各赢了多少盘？ 【答案】爷爷羸了6盘，孙子赢了2盘 【分析】设爷爷赢了x盘，则孙子赢了（8﹣x）盘，根据两人得分相等列出方程求解即可． 【详解】解：设爷爷赢了x盘，则孙子赢了（8﹣x）盘， 根据题意得：x＝3（8﹣x）， 解得：x＝6， 则8﹣x＝8﹣6＝2， 答：爷爷赢了6盘，孙子赢了2盘． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，注意此题中的等量关系：爷爷的得分＝孙子的得分． 21．一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了．已知水流的速度是． 求： (1)船在静水中的平均速度； (2)甲、乙两地之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，熟练掌握航行问题的基本等量关系及找准题目中的等量关系进行列式求解是解决本题的关键． （1）根据题意以甲码头到乙码头的路程是一定的为等量关系，设船在静水中的速度为，进而列方程求解即可． （2）运用速度乘上时间等于距离列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：设船在静水中的速度为，依题意得： ， 解得， ∴船在静水中的平均速度为； （2）解：依题意，船在静水中的平均速度为， ∴甲乙两码头之间的距离为， ∴甲乙两码头之间的距离． 22．某服装厂要生产同一种型号的服装，已知3m长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套． (1)现库存有布料300m，应如何分配布料做上衣和做裤子才能恰好配套？可以生产多少套衣服？ (2)如果恰好有这种布料227m，最多可以生产多少套衣服？本着不浪费的原则，如果有剩余，余料可以做几件上衣或裤子？（本问直接写出结果） 【答案】(1)做上衣用布料180m，则做裤子用布料120m，可以生成120套衣服 (2)最多可以生产90套衣服，余料可以做2条裤子 【分析】（1）设做上衣的布料用x m，则做裤子的布料用（200-x）m，根据3m长的某种布料可做上衣2件或裤子3条，得出做上衣与裤子所用的布料关系，进而得出方程求解即可； （2）由已知先求出一套衣服用料2.5m，用227÷2.5=90...2，再根据本着不浪费的原则可以得出结论． 【详解】（1）设做上衣用布料，则做裤子用布料， 由题意得，， 解得：，则 可以生产套衣服； 答：用180m布做上衣，120m布做裤子才能恰好配套，可以生产120套衣服； （2）∵做一件上衣用m布，做一条裤子用1m布， ∴一套服装用2.5m布， ∵227÷2.5=90...2， ∴227m布可以做90套衣服余2m， ∵本着不浪费的原则， ∴余下的2m布可以做2条裤子， 答：布料227m，最多可以生产90套衣服，余料可以做2条裤子． 【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据已知得出做上衣与裤子所用的布料关系是解题关键． 23．双十二将近，互联网电商纷纷推出多种促销方式吸引顾客让利消费者．某电商商品标价每件元，推出了如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于或等于元 一律打八折 超过元，但不超过元 一律打七折 超过元 其中元部分打五折，超过元的部分打三折优惠 (1)张老师一次性购买该商品件，实际付款多少元？ (2)李老师一次性购买该商品若干件，实际付款元，请认真思考求出李老师购买该商品所有可能的件数． 【答案】(1)元 (2)件或件 【分析】本题考查日常生活中的打折销售问题，一元一次方程的应用， （1）张老师一次性购买该商品件，消费金额是元，结合优惠条件解答； （2）分类讨论：根据实际付款的金额来计算李老师应该享受的优惠措施，从而求得购买商品的件数； 运用一元一次方程解决问题时要抓住未知量，明确等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：∵张老师一次性购买该商品件， ∴， ∴（元）， 答：实际付款元； （2）设李老师购买该商品的件数是件，则原价为元， ①当，即时， 依题意，得：， 解得：（舍去）； ②当，即时， 依题意，得：， 解得：； ③当，即时， 依题意，得：， 解得：； 综上所述，李老师购买该商品的件数是件或件． 24．周末，小明、小亮等同学随家人一同到公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话： 爸爸：成人门票每张35元，学生门票5折优惠，我们共12人，共需350元． 小明：爸爸，等一下，让我算一算，换一种方式是否可以更省钱． 票价： 成人：35元/张，学生：按成人5折优惠 团体票：（16人以上含16人）按成人票6折优惠 问题： (1)小明他们一共去了几个成人？几个学生？ (2)请你帮小明算一算用哪种方法买票更省钱？说明理由． 【答案】(1)去了8个成人，4个学生 (2)按16人买团体票更省钱，理由见解析 【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题，读懂题意，找到等量关系列出方程是解题的关键． （1）设一共去了x个成人，则有个学生．根据“成人票与学生票共需350元”列出方程，求解即可； （2）计算购买16张团体票的花费，进行比较即可解答． 【详解】（1）解：设一共去了x个成人，则有个学生．根据题意，得 ， 解得， ∴． 答：小明他们一共去了8个成人，4个学生． （2）解：若购买16张团体票，需要（元） 而 ∴按16人买团体票更省钱． 25．【问题背景】 数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： 【问题解决】 （1）若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数 对应的点重合； 【学以致用】 （2）若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，则此时数0对应的点与数 对应的点重合； 【问题拓展】 （3）在（2）的条件下，这样折叠后，数轴上有、两点也重合，且、两点之间的距离为11（点在点的右侧），则点对应的数为 ，点对应的数为 ； （4）在（3）的条件下，数轴上有一动点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒． ①动点从点向右出发，为何值时，、两点之间的距离为15个单位长度； ②请直接写出动点从点向左出发时，、两点之间的距离为8个单位长度的t值． 【答案】（1）3 （2） （3）；4.5； （4）1.5或9.5 【分析】（1）根据对称的知识，找出对称中心，即可解答； （2）根据对称的知识，找出对称中心，即可解答； （3）根据对称点连线被对称中心平分，先找到对称中心，列方程求解； （4）①根据题意， ，点 对应的数为 ，用代数式表示 ，列方程求解即可； ②根据动点从点向左出发，点对应的数为，由、两点之间的距离为8个单位长度，分两种情况：当点在点的右侧时，，当点在点的左侧时，，分别列方程求解即可． 【详解】解：（1）根据题意，得对称中心是原点，则数对应的点与数3对应的点重合； 故答案为：3； （2）数2对应的点与数对应的点重合， 对称中心是数对应的点， ， 此时数0对应的点与数对应的点重合； 故答案为：； （3）由（2）可知，对称中心是数对应的点， 数轴上、两点之间的距离为11（点在点的右侧）， 设点对应的数为，点对应的数为， ， 解得：， 则， 点对应的数为，点对应的数为4.5， 故答案为：，4.5； （4）①根据题意，，点对应的数为， ， 解得：， 答：为2时，、两点之间的距离为15个单位长度； ②动点从点向左出发，点对应的数为， ∵、两点之间的距离为8个单位长度， ∴当点在点的右侧， 解得：； 当点在点的左侧， ， 解得：， 答：t值为1.5或9.5时，、两点之间的距离为8个单位长度． 【点睛】本题考查了数轴上的动点问题以及数轴上两点之间的距离，数轴上的点表示有理数，一元一次方程的应用，折叠问题，难度较大，属于压轴题，熟练掌握数轴上两点之间的距离的表示方法是解题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第16讲 一元一次方程的应用（知识点+题型+强化训练） 目录 知识梳理 1.运用方程解决实际问题的一般过程 2.实际问题中常用的等量关系 题型巩固 一、配套问题(一元一次方程的应用) 二、工程问题(一元一次方程的应用) 三、销售盈亏(一元一次方程的应用) 四、比赛积分(一元一次方程的应用) 五、方案选择(一元一次方程的应用) 六、数字问题(一元一次方程的应用) 七、几何问题(一元一次方程的应用) 八、动点问题（一元一次方程的应用） 九、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 十、电费和水费问题 十一、行程问题(一元一次方程的应用) 十二、比例分配(一元一次方程的应用) 十三、日历问题(一元一次方程的应用) 十四、古代问题(一元一次方程的应用) 十五、其他问题(一元一次方程的应用) 强化训练 单选题（10） 填空题（7） 解答题（8） 知识梳理 知识点1.运用方程解决实际问题的一般过程 （1）审题：分析题意，找出题中的数量及其关系。 （2）设元：选择一个适当的未知数用字母表示。 （3）列方程：根据相等关系列出方程。 （4）解方程：求出未知数的值。 （5）检验：检查求得的值是否正确和符合实际情形，并作答。 （1）设未知数时，如果有单位，要加上单位； （2）列方程时，等号两边量的单位要一致。 知识点2.实际问题中常用的等量关系 涉及公式 等量关系 注意事项 行程 问题 相遇问题 路程= 速度×时间； 甲的行程+乙的行程= 两地间的距离。 注意始发时间和地点。 追及问题 时间=； （1）同地不同时出发，前者行程= 追及者的行程； （2）同时不同地出发，前者行程+初始距离= 追及者的行程。 航行、飞 行问题 速度= 。 （1）顺水（顺风）速度=静水（无风）速度+ 水流速度（风速）； （2）逆水（逆风）速度= 静水（无风）速度-水流速度（风速）。 注意题中是顺水（顺风） 还是逆水（逆风）。 和差倍分问题 增长量= 原有量×增长率； 现有量=原有量+增长量。 弄清“倍、分”关系及“多、少”关系。 等积变形问题 长方体的体积= 长×宽×高； 圆柱的体积= 底面积×高。 （1）面积变了，周长没变； （2）原料体积= 成品体积。 分清是“形”变“积”不变，还是“形”变“积”也变，但质量不变。 调配问题 甲处人（物）数+ 乙处人（物）数= 总人（物）数。 注意调配的方向和数量。 工程问题 工作量= 工作时间 ×工作效率。 合作效率= 各单独做的效率和； 总工作量= 各部分工作量之和。 一般情况下把总 工作量设为“1”。 储蓄问题 本金×利率×存期= 利息。 注意题中利率和存期要 对应。 销售问题 售价=标价× ；售价-进价= 利润； 利润率=（售价-进价）÷ 进价×100% 。 打几折后的价格就是标 价乘十分之几或百分之 几十。 题型巩固 题型一、配套问题(一元一次方程的应用) 1．（24-25七年级上·浙江金华·期末）某节劳动课上刘老师组织学生们制作“便携式垃圾桶”．已知该班共有学生45名，每名学生一节课能做桶身11个或桶底23个，其中一个桶身配两个桶底．设安排名学生做桶身，若该班学生所做的桶身和桶底正好配套，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 2．某眼镜厂车间有28名工人，每人每天可生产镜架40个或者镜片60片，已知一个镜架配两片镜片，为使每天生产的镜架和镜片刚好配套，应安排生产镜架和镜片的工人各多少名？若安排名工人生产镜片，则可列方程： ． 3．（24-25七年级上·浙江温州·期末）综合与实践：如何设计柜子的制作方案？ 【素材】学校制作一批横式柜和竖式柜用于开辟图书角．现有28张规格的长方形木板按照图1中A或两种方法裁剪，得到小长方形木板和小正方形木板．如图2所示，2块小长方形木板和2块小正方形木板可做成一个横式柜，2块小长方形木板和3块小正方形木板可做成一个竖式柜． 设张长方形木板用于A方法裁剪． 【项目解决】 任务1：填写表格（用含的代数式表示裁剪出的小长方形木板和小正方形木板的数量）． 裁剪方法 小长方形木板（块） 小正方形木板（块） A方法 ________ 0 方法 ________ 任务2：将裁剪出的木板全部用于制作竖式柜且恰好全部用完，求出制作竖式柜的数量． 任务3：将裁剪出的木板用于制作两种柜子且恰好全部用完，给出裁剪方案使得做出的柜子数量最多，并求出两种柜子的总数． 题型二、工程问题(一元一次方程的应用) 4．（23-24七年级上·浙江台州·期末）一项任务，由甲单独做需天完成，由乙单独做需天完成，现在乙先做9天，再由甲和乙合做，正好如期完成，求完成这项工程的规定时间，假设完成这一项工程的规定时间为天，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·浙江嘉兴·期末）一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个排水管丙，单独打开甲管6小时可注满水池；单独打开乙管8小时可注满水池；单独打开丙管12小时可将满池水排空．若先将甲、乙两管同时打开2小时，再打开丙管，则打开丙管 小时后水池被注满． 6．（2025七年级上·浙江宁波·专题练习）完成一项工程，原计划甲、乙、丙三人合作13天完成．开工前，丙说：我需要完成另一项工程，中途要请假2天．乙说：那样的话我多做4天就可以了．甲说：那我和乙一起多做1天就行了．照这样计算，如果这项工程由甲单独做需要多少天？ 题型三、销售盈亏(一元一次方程的应用) 7．（24-25七年级上·浙江绍兴·期末）某商店将某物品按进价提高后标价，再优惠150元销售，能获得的毛利率（毛利率）．则销售该物品所得的利润为（   ） A．200元 B．250元 C．300元 D．350元 8．（24-25七年级上·浙江金华·期末）已知某商场经销A商品，所获的毛利率为（毛利率），A商品每千克的进价为40元，则A商品每千克的售价为 元． 9．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）某店用10000元的资金购进A，B两种商品共400件，并在“双十二”期间销售，两种商品的进价和售价如表所示： 进价（元） 售价（元） 40 60 20 30 (1)求商品购进的数量． (2)商品售出商品售出后，由于销售情况不理想，该店推出“买一件商品送一件商品，单独购买商品优惠元”的促销活动．一段时间后，A，B两种商品全部售完．已知剩余的商品都参加了促销活动，销售A，B两种商品共获利2125元，求的值． 题型四、比赛积分(一元一次方程的应用) 10．（22-23七年级下·浙江台州·期末）县里举办农村篮球超级联赛，按比赛规则，每场比赛都要分出胜负，胜1场得2分，负1场得1分，云村篮球队在9场比赛中得到12分，若设该队胜的场数为x，负的场数为y，根据上述等量关系列出的下列方程组中，正确的是（    ）． A． B． C． D． 11．（2024七年级上·浙江·专题练习）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．如表记录了2个参赛者的得分情况，参赛者C得76分，他答对了 道题． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 12．（24-25七年级·浙江金华·期末）在学校篮球比赛中，李军2分球和3分球共投进8个，共得19分，他2分球和3分球各投进多少个？ 题型五、方案选择(一元一次方程的应用) 13．（22-23七年级上·浙江温州·期末）甲单位到药店购买了一箱消毒水和元的口罩，乙单位在同一药店购买了一箱消毒水和元的口罩，乙单位购买总价只相当于甲单位购买总价的，一箱消毒水多少元？设一箱消毒水为元，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 14．几个人共同种一批核桃树，如果每人种10棵， 则剩下6棵树苗未种；如果每人种12棵，则缺6棵树苗，若设参与种树的有x人，则列方程为 ． 15．（24-25七年级上·浙江·假期作业）光明学校组织七年级学生开展研学活动，已知研学基地票价为每张元，由各班班长负责买票，下图是班班长与售票员咨询的对话： (1)班学生人数为，选择了方案一购票，求班购票需要多少元？ (2)班选择了方案二，购票费用为元，求班有多少人？ (3)班的学生人数为人，班班长思考了一会儿说：“我们班无论选择哪种方案要付的钱是一样的．”请问班有多少人？ 题型六、数字问题(一元一次方程的应用) 16．（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）我国古代《洛书》中记载了最早的三阶幻方——九宫图．如图所示的九宫图中，每行、每列的三个数字之和都相等，则的值是（   ） A． B． C．2 D．5 17．（25-26七年级上·浙江宁波·阶段练习）我国的《洛书》中记载着世界上最古老的幻方——九宫格：将9个数字填入的格内，使三行、三列、两对角线上的三个数之和都相等，如图的幻方中“△”处应该填 ． 18．（24-25七年级上·浙江温州·期末）两位同学在数学节上遇到一个数学竖式谜题：，要求填入相同的数字．他们的部分解题过程如下： 小王：设方框里的数为．可得： 小红：设方框里的数为．可得： 请判断以上哪位同学的做法正确，并继续完成解题步骤，求出“”内的数字． 题型七、几何问题(一元一次方程的应用) 19．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，某日晷基座的底面呈正方形，在其四周铺上花岗岩，形成一个边宽为米的正方形框．已知铺这个框恰好用了144块边长为米的正方形花岗岩，设日晷基座的底面边长为x米，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 20．（24-25七年级上·浙江金华·期末）现有一张宽为的长方形纸条，纸条两面的颜色分别为灰色和白色（图1是白色面，图2是灰色面），折叠该纸条得到如图3所示的图形．已知图中四个灰色的梯形是完全相同的，则原来的长方形纸条的长度为 ． 21．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）对数轴上的点进行如下操作：先把点向左移动个单位，将得到的点表示的数乘以，此时所得数对应的点为，则称点为点的“倍联动点”（、均为正整数）． 例如，点表示的数为2，当时，则它的一个“3倍联动点”表示的数为3；当时，则它的另一个“3倍联动点”表示的数为．请根据以上信息回答下列问题： (1)已知点表示的数为3，则它的“2倍联动点”表示的数是______． (2)若点的其中一个“4倍联动点”是它本身，求点表示的数． (3)已知数轴上两点表示的数分别为，且点为点的“倍联动点”（为正整数）．点从点出发，以每秒1个单位长度沿数轴向右移动，同时点从点出发，以每秒3个单位长度沿数轴向右移动．若在任何一个时刻，点的其中一个“6倍联动点”与点之间的距离始终为3，求的值． 题型八、动点问题（一元一次方程的应用） 22．（25-26七年级上·浙江温州·期中）已知在数轴上点从原点出发，每次随机向左移动3个单位长度或向右移动2个单位长度．移动次后，点位于数字1上，则下列说法正确的是（   ） A．是奇数 B．是偶数 C．是3的倍数 D．是5的倍数 23．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期中）如图，在数轴上，点A，点B表示的数分别是，，点M以2个单位/秒的速度从点A出发沿数轴向点B运动，同时点N以4个单位/秒的速度从点B出发沿数轴在B，A之间往返运动（当，任意一点到达点B时，整个运动停止）．当运动时间是 秒时，，两点相距2个单位． 24．（25-26七年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知数轴上A，B两点表示的数分别为，3，点P为数轴上一动点，其表示的数为． (1)若点P为的中点，则x的值为_______； (2)若点P在原点的右侧，且到点A，B的距离之和为8，则x的值为______； (3)某时刻点A，B分别以每秒2个单位长度和每秒个单位长度的速度同时沿数轴向右运动，同时点P以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点向左运动．问：经过多长时间，点A，B之间的距离3个单位长度，并求此时点P表示的数． 题型九、和差倍分问题(一元一次方程的应用) 25．（24-25七年级上·浙江湖州·期末）甲煤场存煤432吨，乙煤场存煤96吨，为了使甲煤场存煤量是乙煤场的2倍，应从甲煤场运多少吨煤到乙煤场?设应从甲煤场运吨煤到乙煤场，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 26．（24-25七年级上·浙江·期末）某校组织七年级全体师生参加社会实践活动．如果单独租用30座客车若干辆，会有15人没有座位；如果单独租用45座客车，可少租3辆，且还余15个座位．由此可知，七年级全体师生的人数为 ． 27．（2023七年级上·浙江绍兴·专题练习）高度适宜的书桌对养成孩子良好的体姿很重要．科学研究发现，学生身高大约比书桌高度的3倍少时最合适学生良好体姿的形成．照此推算，身高为的学生，所用书桌的高度应是多少厘米？（用方程解） 题型十、电费和水费问题(一元一次方程的应用) 28．（22-23七年级上·浙江·期中）下表是某市居民出行方式以及收费标准：（不足1千米按1千米算） 打车方式 出租车 3千米以内8元；超过3千米的部分元/千米 滴滴快车 路程：元 /千米；时间：元/分钟 说明 打车的平均车速千米/时 假设乘坐8千米，耗时：分钟；出租车收费：元；滴滴快车收费：元． 为了提升市场竞争力，出租车公司推出行驶里程超过千米立减元活动．小聪乘坐出租车从甲地到达乙地支付车费元，若改乘滴滴快车从甲地到乙地，则需支付 元． 29．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）小明在学习了第五章《一元一次方程》的“阅读材料”后，通过手机APP查到了自己家目前的水费收费标准如下： 用水性质和分级 到户价格（元/吨） 其中含污水处理价（元/吨） 居民生活用水 第1级（每户每月用水13吨及以下部分） 第2级（每户每月用水14~25吨部分） 第3级（每户每月用水26吨及以上部分） 每月用水量都以整数吨记录，到户价格包含污水处理价．如小明家9月份用水30吨，则总共支付水费：，其中含污水处理费用：．根据以上信息回答下列问题： (1)小明家10月份总共支付水费，求小明家10月份用水多少吨？支付的水费中包含的污水处理费为多少元？ (2)若7月与8月两个月共用水48吨，且8月份用水量超过26吨，两个月共缴水费213元，则该用户7、8月份各用水多少吨？ 题型十一、行程问题(一元一次方程的应用) 30．（2024七年级上·浙江·专题练习）A、B两地相距960千米，甲、乙两车分别从A、B两地相对开出，经过8小时相遇，已知甲车的速度是50千米时，求乙车的速度是（  ）千米时． A．60 B．70 C．75 D．85 31．（2024七年级上·浙江·专题练习）甲、乙两人从400米的环形跑道的一点A背向同时出发，8分钟后两人第三次相遇，已知每秒钟甲比乙多行米，那么两人第三次相遇的地点与点A沿跑道上的最短距离是 米． 32．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）下图是甲、乙两辆货车的行程情况，根据图意解决问题． ①时，甲车和乙车相距（    ）千米． ②乙车平均每小时行驶（    ）千米． ③按这样的速度，到（    ）时（    ）分，乙车追上甲车． 题型十二、比例分配(一元一次方程的应用) 33．（24-25七年级上·浙江台州·期末）把一些图书分给某班学生阅读，如果_____；如果每个同学分4本，则缺25本．设这个班级有x名学生，可列出方程．则横线的信息可以是（   ） A．分给3个同学，则剩余20本 B．每个同学分3本，则剩余20本 C．分给3个同学，则缺20本 D．每个同学分3本，则缺20本 34．某企业举办“**产品创新设计大赛”，设奖规定如下： ①参赛的员工均有奖，设一、二、三等奖．其中，一等奖的人数小于二等奖的人数，二等奖的人数小于三等奖的人数． ②奖金总额48000元，每个一等奖的奖金额是二等奖的3倍，是三等奖的6倍．若比赛共有8人参加，根据设奖规定，则每个三等奖的奖金额应是 元． 35． 为鼓励学生参加体育锻炼，某学校计划购买一批篮球和排球．已知篮球和排球的单价比为，单价之和为70元，则篮球和排球的单价分别为多少钱？ 题型十三、日历问题(一元一次方程的应用) 36．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）将正整数1至5000按一定规律排列如下：平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（　　） A．2018 B．2019 C．2040 D．2049 37．在一个的方格中填写了9个数字，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，这样的方格称为一个三阶“幻方”．如图的方格中已填写了一些数和字母，若它能构成一个三阶“幻方”，则的值为 ． 38．（24-25七年级上·浙江台州·期末）如图，在2025年1月的月历表中，用“T”字形框框住了四个日期，“T”字形框可上下左右移动，按照同样的方式框住另外的四个日期．设“T”字形框中最小的日期为m．      (1)求“T”字形框框住的四个日期之和（用含m的式子表示）： (2)移动“T”字形框，被框住的4个日期之和可能等于55吗？请说明理由． 题型十四、古代问题(一元一次方程的应用) 39．（24-25七年级上·浙江台州·期末）《九章算术》“盈不足”章第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四；问人数、物价各几何？题目大意：几个人合伙买东西，若每人出8钱，则会多出3钱；若每人出7钱，则还少4钱；合伙人数、物品的价格分别是多少？解：设人数为x人，则下面列出的方程正确的是(　　) A． B． C． D． 40．（22-23七年级上·浙江绍兴·期末）我国古代数学名著《九章算术》中记载：“粟米之法：粟率五十，粝米三十．今有米在十斗桶中，不知其数．满中添粟而舂之，得米七斗．问故米几何？”意思为：50斗谷子能出30斗米，即出米率为．今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少．再向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗．问原来有米多少斗？如果设原来有米x斗，则可列出关于x的方程为 ． 41．（24-25七年级上·浙江金华·期末）相传有神龟出于洛水，其背上有此图案（图1），史称“洛书”，图2是洛书的数字表示．这也就是术数中常说的“九宫格”，就是将已知的9个数填入的方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等，图3，图4的幻方均满足此规律． (1)请填出图3幻方空格中的数． (2)求图4幻方中的值． 题型十五、其他问题(一元一次方程的应用) 42．（24-25七年级上·浙江杭州·期末）某班有学生35人，会打篮球的人数是会踢足球的人数的2.5倍，两种球都会或都不会的人数都是8人，若设会踢足球的人数为人，则（   ） A． B． C． D． 43．（25-26七年级上·浙江温州·阶段练习）一次义务劳动，少先队员和男同学都自愿参加，某班共有人参加这次劳动，其中少先队员比男同学多人，已知男少先队员有人，则参加本次劳动的男同学有 人． 44．（24-25七年级上·浙江湖州·期中）世界上最粗的树是“百骑大栗树”，它生长在地中海西西里岛的埃特纳火山的山坡上．据悉，它的树干大约需要40个身高的小学生伸开双臂才能围住，换成身高的成年人，大约需要多少个成年人伸开双臂才能围住？（人双臂展开的长度约等于人的身高） 强化训练 一、单选题 1．某项工作，甲单独做天完成，乙单独做天完成，现在甲先做天，然后甲、乙共同完成此项工作，若甲一共做了天，则可列方程（   ） A． B． C． D． 2．甲车每小时行驶，后，乙车从同一地点出发追赶甲车，如果乙车的速度为每小时，那么乙车追上甲车所用的时间为（    ） A． B． C． D． 3．初一（1）班有学生60名，其中参加数学小组的有36人，参加英语小组的人数比参加数学小组的人数少5人，并且这两个小组都不参加的人数比两个小组都参加的人数的多2人．则同时参加这两个小组的人数是（    ） A．16 B．12 C．10 D．8 4．如图，点C把线段MN分成两部分，且，点P是MN的中点，，则MN的长为（    ） A．30 B．36 C．40 D．48 5．某商场以每台1800元的相同价格售出两台不同型号的录像机，其中一台盈利20%，另一台亏损20%．问这两台录像机售出后是（    ） A．盈利 B．亏损 C．不盈不亏 D．不能确定 6．下表填在各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律的值是（   ） A． B． C． D． 7．如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为，，点M以每秒1个单位长度的速度从点A向右运动，点N以每秒3个单位长度的速度从点B向左运动（点M、点N同时出发），经过几秒，点M、点N分别到原点O的距离相等（　　） A．5秒 B．5秒或4秒 C．5秒或秒 D．秒 8．诗是普遍的艺术，是一种最为古老的文学艺术样式．它以简洁的语言吸引着无数诗歌爱好者的追随．其实有些诗中也包含了数学问题，我们不妨来看下面这首诗：“甲赶羊群逐草牧，乙牵一羊随其后．乙问甲羊及百否？甲云所说无差谬．若得这般一群羊，再添半群小半群．得你一只来方凑，玄机奥妙谁猜透？”诗的意思：甲赶着一群羊去放牧，乙牵着一只羊在后面．乙问甲有只羊没有，甲回答说：“如果加上这群羊同样多的羊，再添加这群羊的一半，再加上这群羊的，连同你牵的一只羊，正好只．”聪明的你，甲赶的这群羊有多少只？（　　） A． B． C． D． 9．将无限循环小数化为分数，可以设，则，解得.仿此，将无限循环小数化为分数为（    ） A． B． C． D． 10．如图，长方形ABCD中，AB＝8cm，AD＝6cm，P，Q两动点同时出发，分别沿着长方形的边长运动，P点从B点出发，顺时针旋转一圈，到达B点后停止运动，Q点的运动路线为B→C→D，P，Q点的运动速度分别为2cm/秒，1cm/秒，当一个动点到达终点时，另一个动点也同时停止运动．设两动点运动的时间为t秒，要使△BDP和△ACQ的面积相等，满足条件的t值的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 11．某柜台销售员对某种商品有如下记录： 进价 标价 折扣 利润率 160元 八折 10% 根据表中信息，可求出标价为 元． 12．日历上面同一行上相邻的5个数字之和为70，那么这5个数中的第1个数是 ． 13．六年级组织演讲比赛，当一名女生在台上演讲时，台下的学生中男生是女生的，当一名男生在台上演讲时，台下的学生中女生是男生的，则参加演讲比赛的学生共有 人． 14．某工厂生产一批零件，计划20天完成，若每天多生产5个，则16天完成且还多生产8个．设原计划每天生产x个，根据题意可列方程为 ． 15．A、B两地相距300千米，一列慢车从A地开出，每小时行60千米，一列快车从B地开出，每小时行80千米． （1）两车同时开出，相向而行，x小时相遇，则由此条件列出的方程是 ； （2）两车同时开出，同向而行，慢车在快车后面，x小时后快车与慢车相距800千米，则由此条件列出的方程是 ． 16．如图，点A、O、B都在直线上，射线绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转射线，绕点O按逆时针方向以每秒的速度旋转（当其中一条射线与直线叠合时，两条射线停止旋转），经过 秒，的大小恰好是． 17．有人问某儿童，有几个兄弟、几个姐妹，他回答说：“有几个兄弟，就有几个姐妹．”再问他妹妹，有几个兄弟、几个姐妹，她回答说：“我的兄弟是姐妹的两倍．”聪明的同学，你知道他有几个兄弟、几个姐妹？答：有 个兄弟， 个姐妹． 三、解答题 18．七年级（1）班在劳动时，将全班同学分成m个小组，若每小组9人，则余下3人；若每小组10人，则有一组少4人，求七年级（1）班共有多少名学生？ 19．把1400元奖学金按照两种奖项奖给22名学生，其中一等奖每人200元，二等奖每人50元．获得一等奖的学生有多少人？ 20．爷爷与孙子下棋，爷爷赢1盘记1分，孙子赢1盘记3分，下了8盘后两人得分相等，他们各赢了多少盘？ 21．一艘船从甲码头到乙码头顺水而行，用了；从乙码头返回甲码头逆水而行，用了．已知水流的速度是． 求： (1)船在静水中的平均速度； (2)甲、乙两地之间的距离． 22．某服装厂要生产同一种型号的服装，已知3m长的布料可做上衣2件或裤子3条，一件上衣和一条裤子为一套． (1)现库存有布料300m，应如何分配布料做上衣和做裤子才能恰好配套？可以生产多少套衣服？ (2)如果恰好有这种布料227m，最多可以生产多少套衣服？本着不浪费的原则，如果有剩余，余料可以做几件上衣或裤子？（本问直接写出结果） 23．双十二将近，互联网电商纷纷推出多种促销方式吸引顾客让利消费者．某电商商品标价每件元，推出了如下的优惠促销活动： 打折前一次性购物总金额 优惠措施 少于或等于元 一律打八折 超过元，但不超过元 一律打七折 超过元 其中元部分打五折，超过元的部分打三折优惠 (1)张老师一次性购买该商品件，实际付款多少元？ (2)李老师一次性购买该商品若干件，实际付款元，请认真思考求出李老师购买该商品所有可能的件数． 24．周末，小明、小亮等同学随家人一同到公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话： 爸爸：成人门票每张35元，学生门票5折优惠，我们共12人，共需350元． 小明：爸爸，等一下，让我算一算，换一种方式是否可以更省钱． 票价： 成人：35元/张，学生：按成人5折优惠 团体票：（16人以上含16人）按成人票6折优惠 问题： (1)小明他们一共去了几个成人？几个学生？ (2)请你帮小明算一算用哪种方法买票更省钱？说明理由． 25．【问题背景】 数轴是一个非常重要的数学工具，使数和数轴上的点建立起对应关系，这样能够用“数形结合”的方法解决一些实际问题．如图，在纸面上有一数轴，按要求折叠纸面： 【问题解决】 （1）若折叠后数1对应的点与数对应的点重合，则此时数对应的点与数 对应的点重合； 【学以致用】 （2）若折叠后数2对应的点与数对应的点重合，则此时数0对应的点与数 对应的点重合； 【问题拓展】 （3）在（2）的条件下，这样折叠后，数轴上有、两点也重合，且、两点之间的距离为11（点在点的右侧），则点对应的数为 ，点对应的数为 ； （4）在（3）的条件下，数轴上有一动点，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度在数轴上匀速运动，设运动时间为秒． ①动点从点向右出发，为何值时，、两点之间的距离为15个单位长度； ②请直接写出动点从点向左出发时，、两点之间的距离为8个单位长度的t值． 学科网（北京）股份有限公司 $