1.2集合间的关系（分层作业·练知识）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学集合间的关系同步练，采用A/B/C组+高考拓展四层递进设计，覆盖7个核心知识点，从基础概念到高考应用，适配新授课分层教学，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|求子集、判断个数等单一知识点|基础选择填空，强化概念理解| |B组|集合关系判断与有限集求参|多选与中档解答，提升综合应用| |C组|含空集陷阱的参数讨论|探究性解答题，发展逻辑推理| |拓展|高考真题|对接高考题型，培养模型观念|

分层作业 1.2集合间的关系 参考答案 ( 知识点0 1 )求集合的子集（真子集） 1．A； 2．【答案】由， ∴， ∴， ∴集合的所有子集分别为：，，，. 3．【答案】（1）因为，所以，解得. （2）由（1）可得， 故集合的所有子集为. 4．【答案】（1）因为，所以或， 当，即时，不满足集合元素的互异性； 当时，解得（不满足集合元素互异性舍去）或， 所以当时，， 综上实数. （2）由（1）得， 所以的所有真子集为，，. ( 知识点0 2 )判断集合的子集（真子集）的个数 1． D；2．D；3．B；4．63；5．72 2． ( 知识点0 3 )判断两个集合的关系 1．A；2．C；3．D； ( 知识点0 4 )空集和空集陷阱 1．C；2．B；3．C； ( 知识点0 5 )有限集合的关系求参 1．B；2．BCD；3．AC；4．8 ( 知识点0 6 )根据集合的关系求参 1．D；2．D；3．A；4． ( 知识点0 7 )根据集合的关系求参（空集陷阱） 1．C；2．C 3．【答案】（1）由知，且可得， 所以A的非空真子集的个数为； （2）因为，若，则，可得； 若，则，解之得； 综上所述：实数m的取值范围为{或}. 4．【答案】（1）对于， 当，即时，方程为，则，集合中只有一个元素，满足题意； 当时，方程为关于的一元二次方程， 由题意知，该方程有两个相等的实根， 所以， 解得或. 所以实数的取值构成的集合为. （2）由题意可知，，若，则分以下几种情况讨论： ①当时，，即. ②当集合中只有一个元素时，由（1）知， 当时，，，； 当时，，，，； 当时，，，，. ③当集合中有两个元素时， 因为，所以，即， 即关于的方程的两根分别为1，2， 所以，无解. 综上所述，实数的取值范围是. 一、单选题 1．B；2．C；3．D；4．D；5．B；6．A 二、多选题 7．AC；8．ABD 三、填空题 9．； 10． 四、解答题 11．【答案】（1）当都为正数时，； 当都为负数时，； 当中有一个是正数，另外两个是负数时，； 当中有一个是负数，另外两个是正数时，. 综上所述，. （2）集合的所有子集为： . 12．【答案】（1）若，则和是方程的两个实数根， 所以， 解得，代入中得：， 解得：或，满足， 所以. （2）当时，，满足， 当且时，或， 当时，， 当时，， 故的取值构成的集合为. 1．A；2．BCD；3．AB；4． 5．【答案】（1）因为，，所以. （2）因为， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （3）因为，中有3个整数， 所以，解得， 当时，，符合题意， 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 综上所述，实数的取值集合为. （4）当时，如图，此时． 则，即，因此的取值集合为． （5）当时，如图， 此时，解得，此时无解； 当时，由，解得． 综上可得：的取值集合为． 6．【答案】（1）由，代入可得，解得. （2）由，解得或4，即集合， 因为， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得，不成立； 当时，，解得. 综上，实数a的取值为范围为或， 1．B；2．C；3．B；4．D；5．；6． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.2集合间的关系 目 录 A组 巩固过关 知识点01 求集合的子集（真子集） 知识点02 判断集合的子集（真子集）的个数 知识点03 判断两个集合的关系 知识点04 空集和空集陷阱 知识点05 有限集合的关系求参 知识点06 根据集合的关系求参 知识点07 根据集合的关系求参（空集陷阱） B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 知识点0 1 )求集合的子集（真子集） 1．（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）集合的一个子集为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知集合，写出集合的所有子集． 3．（25-26高一上·河北·阶段检测）已知集合，且. (1)求实数的值； (2)写出集合的所有子集. 4．（22-23高一上·河北张家口·期中）已知集合，且； (1)求实数； (2)写出的所有真子集. ( 知识点0 2 )判断集合的子集（真子集）的个数 1．（2026·山东济南·模拟预测）已知集合，则集合的子集个数为（ ） A．4 B．7 C．8 D．16 2．（24-25高二下·四川德阳·期末）含有个元素的集合的非空真子集的个数为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·上海·期中）满足的所有集合的个数是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）满足的集合A共有______个 5．（25-26高一上·浙江·期末）已知，，若，则所有集合B中全部元素之和为__________. ( 知识点0 3 )判断两个集合的关系 1．（25-26高一上·广东广州·期末）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知集合，则（ ） A． B． C． D．⫋ 3．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知集合，，则的关系满足（ ） A． B． C． D． ( 知识点0 4 )空集和空集陷阱 1．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏盐城·期中）下列各式中，正确的个数是（ ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 ( 知识点0 5 )有限集合的关系求参 1．（25-26高一上·福建宁德·期末）设，，，若，则实数的值为（ ） A． B．0 C．1 D．2 2．（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）（多选）已知集合，，若，则实数a的值可以是（ ） A．2 B．1 C． D．0 3．（25-26高一上·湖南永州·期中）（多选）设集合，集合，若，实数取值的集合，则下列命题正确的为（ ） A． B． C．集合的非空子集为7个 D．集合的子集为4个 4．（25-26高一上·重庆·期中）已知集合，若，则的值为______． ( 知识点0 6 )根据集合的关系求参 1．（25-26高一上·北京东城·期末）已知集合，且，则实数的值可以为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2026·四川成都·二模）设集合，若，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·广东·期末）设集合，，满足，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·河南·阶段检测）已知或，，当时，求实数的取值集合是___________. ( 知识点0 7 )根据集合的关系求参（空集陷阱） 1．（25-26高一上·山东烟台·阶段检测）已知集合，，若，则实数a的取值范围为（ ）． A． B． C． D． 2．（25-26高一上·陕西汉中·阶段检测）已知集合，，若B为A的子集，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·河北沧州·阶段检测）设集合． (1)当时，求A的非空真子集的个数； (2)若，求实数m的取值范围． 4．（25-26高一上·河北保定·期中）已知集合． (1)若中恰有一个元素，求实数的取值构成的集合； (2)若，求实数的取值范围． 一、单选题 1．（25-26高一上·江苏·期末）已知集合，若集合，则符合条件的的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2026·天津红桥·一模）集合，则与的关系为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·安徽·期中）下列说法错误的是（ ） A．由1，2，3组成的集合可表示为或 B．空集是集合的子集 C．代数式的值组成的集合是 D．集合与集合是同一个集合 4．（24-25高一下·湖北黄石·阶段检测）下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥；其中正确的个数为（ ） A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个 5．（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）若集合，则A，B，C之间的关系是（ ） A． B． C． D． 6．（2026·河南开封·三模）已知集合，，若，则实数（ ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 二、多选题 7．（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）若集合．下列关系式正确的有（ ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·河北·阶段检测）设集合，，若，则实数的值可以是（ ） A． B． C． D． 三、填空题 9．（24-25高一上·广西河池·期中）已知集合，其子集个数为__________，真子集个数为__________． 10．（25-26高三下·贵州·阶段检测）设集合，且，则实数的取值集合为_____. 四、解答题 11．（25-26高一上·四川达州·阶段检测）已知集合. (1)求集合； (2)写出集合的所有子集. 12．（25-26高一上·海南·期中）已知集合. (1)若，求； (2)若，求的取值集合. 1．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知集合，，若，则实数的取值集合是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·山东·期中）（多选）已知集合或，且是的真子集，则的取值可能为（ ） A．2 B． C．2.5 D．4 3．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）（多选）已知集合，，且，则实数a可能的取值是（ ） A． B．0 C． D．2 4．（25-26高一上·重庆九龙坡·期末）已知全集，集合，且，则实数m的取值范围是_________． 5．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 6．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知集合，． (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围． 1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合，，若，则（ ） A．2 B．1 C． D． 2．（2005·天津·高考真题）设集合的真子集个数为（ ） A．16 B．8 C．7 D．4 3．（2012·大纲版·高考真题）已知集合是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则（ ） A． B． C． D． 4．（2012·湖北·高考真题）已知集合，则满足条件的集合的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2026·上海·高考真题）已知集合，，若，则____________. 6．（2003·上海·高考真题）已知集合，且，则实数的取值范围是______. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.2集合间的关系 目 录 A组 巩固过关 知识点01 求集合的子集（真子集） 知识点02 判断集合的子集（真子集）的个数 知识点03 判断两个集合的关系 知识点04 空集和空集陷阱 知识点05 有限集合的关系求参 知识点06 根据集合的关系求参 知识点07 根据集合的关系求参（空集陷阱） B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 ( 知识点0 1 )求集合的子集（真子集） 1．（25-26高二上·甘肃天水·阶段检测）集合的一个子集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的子集的定义即可求解． 【详解】因为，，所以，故A正确； 因为，所以，不是的子集，故BC错误； 因为，所以不是的子集，故D错误. 故选：A. 2．（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知集合，写出集合的所有子集． 【答案】，，， 【分析】通过解二次方程求得集合，由子集的定义写出所有子集. 【详解】由， ∴， ∴， ∴集合的所有子集分别为：，，，. 3．（25-26高一上·河北·阶段检测）已知集合，且. (1)求实数的值； (2)写出集合的所有子集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据元素与集合的关系列方程求解； （2）根据集合子集的定义求解即可. 【详解】（1）因为，所以，解得. （2）由（1）可得， 故集合的所有子集为. 4．（22-23高一上·河北张家口·期中）已知集合，且； (1)求实数； (2)写出的所有真子集. 【答案】(1) (2)，， 【分析】（1）利用集合与元素的关系求解即可； （2）根据真子集的定义写出的所有真子集即可. 【详解】（1）因为，所以或， 当，即时，不满足集合元素的互异性； 当时，解得（不满足集合元素互异性舍去）或， 所以当时，， 综上实数. （2）由（1）得， 所以的所有真子集为，，. ( 知识点0 2 )判断集合的子集（真子集）的个数 1．（2026·山东济南·模拟预测）已知集合，则集合的子集个数为（ ） A．4 B．7 C．8 D．16 【答案】D 【详解】集合，集合有4个元素， 所以集合的子集个数为. 2．（24-25高二下·四川德阳·期末）含有个元素的集合的非空真子集的个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据集合子集的计数性质，含有个元素的集合，其所有子集的总个数为， 非空真子集是指既不是空集，也不等于原集合， 因此需要从总子集数中排除空集、原集合共2个不符合要求的子集， 所以该集合的非空真子集个数为． 3．（25-26高一上·上海·期中）满足的所有集合的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定，再由题意可得，其中集合为集合的子集，从而可得结果. 【详解】由，得. 设集合为集合的子集，则集合可能为：，共种. 由题意，集合，所以集合共有个， 分别为：． 4．（25-26高一上·广东珠海·阶段检测）满足的集合A共有______个 【答案】63 【详解】问题等价于求集合的真子集个数，故所求为． 5．（25-26高一上·浙江·期末）已知，，若，则所有集合B中全部元素之和为__________. 【答案】72 【分析】根据集合之间的关系写出集合B所有的情况，再计算即可. 【详解】因为，， 集合B可以为， 所有元素之和为. 故答案为：. ( 知识点0 3 )判断两个集合的关系 1．（25-26高一上·广东广州·期末）已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求解集合的元素，再根据元素与集合、集合与集合的关系逐一分析选项. 【详解】由，得或，因此集合， 选项A，是集合中的元素，所以，选项A正确； 选项B，是一个集合，集合与集合之间的关系应为包含（），而非属于（），选项B错误； 选项C，是集合中的元素，元素与集合的关系是属于（），而非包含（），选项C错误； 选项D，集合，而只包含元素，不包含，选项D错误. 故选：A. 2．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知集合，则（ ） A． B． C． D．⫋ 【答案】C 【分析】根据集合的描述法将集合化成列举法，根据集合中的元素确定集合的关系. 【详解】， ， 则，故. 故选：C. 3．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知集合，，则的关系满足（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将集合中的元素的性质表达式化简成统一的形式，通过其表示的数集的范围即可判断集合之间的关系. 【详解】对于，； 对于，； 对于，. 因，则，则表示偶数，故易得. 故选：D. ( 知识点0 4 )空集和空集陷阱 1．（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）下列关系中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空集的定义和相关性质逐项分析判断即可. 【详解】因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以，，，不是的子集，故ABD错误，C正确； 故选：C. 2．（24-25高一上·江苏盐城·期中）下列各式中，正确的个数是（ ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系和集合与集合的关系判断各命题. 【详解】因为，故①错； 因为，故②对； 因为，故③对； 因为且，故④错； 因为，故⑤错； 因为，又且，故⑥错； 所以正确的个数为个，故B正确. 故选：B. 3．（25-26高一上·天津河北·阶段检测）下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥，正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】运用集合的基本关系与概念：集合间的包含关系（子集、相等集合）；空集的定义与性质；元素与集合、集合与集合的区别. 【详解】①： 子集的定义是：若集合的所有元素都属于集合，则， 中的元素属于，因此是的子集，①正确； ②： 集合具有“无序性”，和是同一个集合；而任何集合都是自身的子集，故②正确； ③： 空集的性质：空集是任何集合的子集，因此是的子集，③正确； ④： 空集是“不含任何元素的集合”，而是包含元素的集合，二者元素不同，因此，④错误； ⑤： 是“包含两个数、的集合”，而是“包含一个有序数对的集合”，元素类型不同，因此，⑤错误； ⑥： 是“元素”，是“包含元素的集合”，元素和集合不能相等，因此⑥错误. 故选C. ( 知识点0 5 )有限集合的关系求参 1．（25-26高一上·福建宁德·期末）设，，，若，则实数的值为（ ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据子集的定义即可求解. 【详解】，，， ，，，解得，即，，符合题意. 故选：B. 2．（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）（多选）已知集合，，若，则实数a的值可以是（ ） A．2 B．1 C． D．0 【答案】BCD 【分析】先求出集合，再根据分情况讨论集合的情况即可确定的值. 【详解】集合，， 当时，，符合题意； 当时，，即，符合题意； 当时，，即，符合题意； 综上，实数的值可以是0，1，. 故选：BCD 3．（25-26高一上·湖南永州·期中）（多选）设集合，集合，若，实数取值的集合，则下列命题正确的为（ ） A． B． C．集合的非空子集为7个 D．集合的子集为4个 【答案】AC 【分析】求出集合，再根据分情况讨论集合，进而求出实数取值的集合，依次判断选项即可. 【详解】由题可得：，因为， 当时，； 当时，，则或，解得：或， 所以实数取值的集合， 则，故A正确；B错误； 集合的子集为个，非空子集为个，故C正确，D错误； 故选：AC 4．（25-26高一上·重庆·期中）已知集合，若，则的值为______． 【答案】8 【分析】结合集合之间的包含关系的定义，由，得，从而得出答案． 【详解】由，得，故， 此时满足． 故答案为：8 ( 知识点0 6 )根据集合的关系求参 1．（25-26高一上·北京东城·期末）已知集合，且，则实数的值可以为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据子集的概念求的范围即可. 【详解】因为，且， 所以，解得， 故选：D 2．（2026·四川成都·二模）设集合，若，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合间的包含关系，判断端点大小关系即可. 【详解】集合，因为，所以. 3．（25-26高一上·广东·期末）设集合，，满足，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合间的关系求出参数范围即可. 【详解】由题意知，要满足，则有，所以． 故选：A． 4．（25-26高一上·河南·阶段检测）已知或，，当时，求实数的取值集合是___________. 【答案】 【分析】求出，根据集合包含关系得到不等式，求出答案. 【详解】，又，或， 故，解得， 故实数的取值集合为. 故答案为： ( 知识点0 7 )根据集合的关系求参（空集陷阱） 1．（25-26高一上·山东烟台·阶段检测）已知集合，，若，则实数a的取值范围为（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合之间的关系列不等式组求解即可. 【详解】因为且，所以必为非空集，则有，解得， 又，所以，解得， 综上，实数的取值范围为， 故选：C 2．（25-26高一上·陕西汉中·阶段检测）已知集合，，若B为A的子集，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的包含关系，讨论、列不等式求参数范围. 【详解】由B为A的子集， 当时，，可得， 当时，，可得， 综上，. 故选：C 3．（24-25高一上·河北沧州·阶段检测）设集合． (1)当时，求A的非空真子集的个数； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2){或} 【分析】（1）先解不等式确定集合A，再由元素个数计算非空真子集即可； （2）根据集合间的基本关系，分类讨论B是否为空集计算即可. 【详解】（1）由知，且可得， 所以A的非空真子集的个数为； （2）因为，若，则，可得； 若，则，解之得； 综上所述：实数m的取值范围为{或}. 4．（25-26高一上·河北保定·期中）已知集合． (1)若中恰有一个元素，求实数的取值构成的集合； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一次方程以及二次方程的判别式即可求解， （2）对进行讨论，即可结合（1）的结论以及韦达定理求解. 【详解】（1）对于， 当，即时，方程为，则，集合中只有一个元素，满足题意； 当时，方程为关于的一元二次方程， 由题意知，该方程有两个相等的实根， 所以， 解得或. 所以实数的取值构成的集合为. （2）由题意可知，，若，则分以下几种情况讨论： ①当时，，即. ②当集合中只有一个元素时，由（1）知， 当时，，，； 当时，，，，； 当时，，，，. ③当集合中有两个元素时， 因为，所以，即， 即关于的方程的两根分别为1，2， 所以，无解. 综上所述，实数的取值范围是. 一、单选题 1．（25-26高一上·江苏·期末）已知集合，若集合，则符合条件的的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先求出集合，再根据子集的定义求解即可. 【详解】由，且， 则符合条件的为：，. 故选：B 2．（2026·天津红桥·一模）集合，则与的关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题知， 所以与的关系为 3．（25-26高一上·安徽·期中）下列说法错误的是（ ） A．由1，2，3组成的集合可表示为或 B．空集是集合的子集 C．代数式的值组成的集合是 D．集合与集合是同一个集合 【答案】D 【分析】根据集合中元素的无序性判断A，根据空集的性质判断B，分类讨论判断C，根据集合中元素判断D. 【详解】集合元素无序，和表示同一个集合，A对； 空集是任何非空集合的子集，B对； 当时，；当或时，； 当时，，C对； 是点集，是数集，D错． 故选：D 4．（24-25高一下·湖北黄石·阶段检测）下列六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥；其中正确的个数为（ ） A．6个 B．5个 C．4个 D．少于4个 【答案】D 【分析】利用子集的概念及性质可判断①，利用相等集合的概念可判断②，利用空集的定义可判断③、⑥，利用元素与集合的关系进行判断④，利用集合与集合间的关系可判断⑤． 【详解】根据任意集合是自身的子集，可知①正确； 根据集合的元素及相等集合的概念可知②不正确； 因集合中含有1个元素，故不是空集，可知③不正确； 根据元素与集合之间可知④正确； 根据集合与集合间没有属于关系可知⑤不正确； 根据空集是任何集合的子集可知⑥正确． 所以①④⑥正确 故选：D. 5．（25-26高一上·山东济宁·阶段检测）若集合，则A，B，C之间的关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别将集合表示为，和即可得结果. 【详解】∵， ， 显然， 故选：B. 6．（2026·河南开封·三模）已知集合，，若，则实数（ ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】A 【详解】由，得或，解得或． 当时，，，，符合题意， 当时，A不满足元素互异性，不符合题意，所以. 二、多选题 7．（25-26高一上·贵州遵义·阶段检测）若集合．下列关系式正确的有（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据子集、空集、元素的性质和概念，对各选项进行分析判断． 【详解】选项A：是任何集合的子集，故成立，故A正确； 选项B：符号用于表示元素与集合的从属关系，不是集合B的元素， 错误，故B错误； 选项C：，，故C正确； 选项D：中元素，故错误，故D错误． 故选：AC． 8．（25-26高一上·河北·阶段检测）设集合，，若，则实数的值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先表示出集合，然后根据再对集合进行分类讨论，由此可求得结果. 【详解】，， 因为，且集合中至多有一个元素，所以或或， 若，则； 若，则； 若，则； 故选：ABD. 三、填空题 9．（24-25高一上·广西河池·期中）已知集合，其子集个数为__________，真子集个数为__________． 【答案】； 【详解】集合的元素个数为4， 集合的子集个数为：个； 集合的真子集个数为：个． 10．（25-26高三下·贵州·阶段检测）设集合，且，则实数的取值集合为_____. 【答案】 【分析】化简集合，分类讨论，根据求解. 【详解】， 因为， 当，即时，， 满足； 当，即时，由可得或， 所以，由， 所以或，解得或. 综上所述，实数的取值集合为. 四、解答题 11．（25-26高一上·四川达州·阶段检测）已知集合. (1)求集合； (2)写出集合的所有子集. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据的正负情况讨论求解即可； （2）根据子集的定义即可求解. 【详解】（1）当都为正数时，； 当都为负数时，； 当中有一个是正数，另外两个是负数时，； 当中有一个是负数，另外两个是正数时，. 综上所述，. （2）集合的所有子集为： . 12．（25-26高一上·海南·期中）已知集合. (1)若，求； (2)若，求的取值集合. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据两个集合相等得出一元二次方程有两个实数根代入联立方程组解出检验即可； （2）由，分与讨论分析即可. 【详解】（1）若，则和是方程的两个实数根， 所以， 解得，代入中得：， 解得：或，满足， 所以. （2）当时，，满足， 当且时，或， 当时，， 当时，， 故的取值构成的集合为. 1．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知集合，，若，则实数的取值集合是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简集合，再对分为三种情况讨论得解. 【详解】因为，， 若，则有或或， 当时，则； 当时，则，解得； 当时，则，解得； 故实数的取值集合是. 故选：A 2．（25-26高一上·山东·期中）（多选）已知集合或，且是的真子集，则的取值可能为（ ） A．2 B． C．2.5 D．4 【答案】BCD 【分析】利用真子集概念，得出关于的不等式，解之即可判断选项正误. 【详解】因为是的真子集， 若，则，解得，符合题意； 若，则，解得， 则或，解得或； 综上所述：或； 故选：BCD. 3．（25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）（多选）已知集合，，且，则实数a可能的取值是（ ） A． B．0 C． D．2 【答案】AB 【分析】化简集合，然后根据结合集合的包含关系列出关系式，进而求出参数的值. 【详解】因为方程的解集为，所以. 由于， 所以或或或 当时，方程无解， 即：，解得：； 当时，得：，解得：； 当时，得：，此时无解； 当时，得：，此时无解. 综上所述可得：的取值范围是. 故选：AB 4．（25-26高一上·重庆九龙坡·期末）已知全集，集合，且，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据子集关系列式求解. 【详解】因为，所以，故实数的取值范围为. 故答案为：. 5．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值集合； (3)若中有3个整数，求实数的取值集合； (4)若，求实数的取值集合； (5)若，求实数的取值取值集合； 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）略 （2）略 （3）根据区间长度得，解得，接下来再分，，和，根据左端点的范围确定右端点的范围，进行求解； （4）根据集合的包含关系确定参数范围； （5）根据集合的包含关系确定参数范围. 【详解】（1）因为，，所以. （2）因为， 若，则，解得， 所以实数的取值集合为. （3）因为，中有3个整数， 所以，解得， 当时，，符合题意， 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，， 若中有3个整数，则，即， 此时集合中的整数为，符合题意； 综上所述，实数的取值集合为. （4）当时，如图，此时． 则，即，因此的取值集合为． （5）当时，如图， 此时，解得，此时无解； 当时，由，解得． 综上可得：的取值集合为． 6．（25-26高一上·广东东莞·阶段检测）已知集合，． (1)若，求实数a的值； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）根据，代入即可求得a值. （2）由题意，分别讨论、、和四种情况，分别求得a值，分析即可得答案. 【详解】（1）由，代入可得，解得. （2）由，解得或4，即集合， 因为， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得，不成立； 当时，，解得. 综上，实数a的取值为范围为或， 1．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合，，若，则（ ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可. 【详解】因为，则有： 若，解得，此时，，不符合题意； 若，解得，此时，，符合题意； 综上所述：. 故选：B. 2．（2005·天津·高考真题）设集合的真子集个数为（ ） A．16 B．8 C．7 D．4 【答案】C 【分析】首先判断集合的元素个数，再求真子集个数. 【详解】，所以集合的真子集个数是. 故选：C 3．（2012·大纲版·高考真题）已知集合是平行四边形，是矩形，是正方形，是菱形，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以D⊂A，矩形与正方形是平行四边形的特殊情形，所以B⊂A，C⊂A，正方形是矩形，所以C⊆B． 故选B． 4．（2012·湖北·高考真题）已知集合，则满足条件的集合的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】求解一元二次方程，得 ，易知. 因为，所以根据子集的定义， 集合必须含有元素1,2，且可能含有元素3,4， 原题即求集合的子集个数，即有个，故选D. 【点评】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，也可采用列举法.列出集合的所有可能情况，再数个数即可.来年要注意集合的交集运算，考查频度极高. 5．（2026·上海·高考真题）已知集合，，若，则____________. 【答案】 【分析】利用子集的定义求解. 【详解】，，， 集合中所有的元素都在集合中， 集合中的元素在集合中， . 故答案为：. 6．（2003·上海·高考真题）已知集合，且，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】解绝对值不等式求得集合，根据求得的取值范围. 【详解】由解得，所以，由于，所以. 故答案为. 【点睛】本小题主要考查根据包含关系求参数，考查绝对值不等式的解法，属于基础题. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $