1.2　集合间的基本关系（同步训练）（附答案）—2026-2027学年高一上学期数学必修第一册（人教A版(2019））

**基本信息** 高中数学新授课同步练，以基础概念辨析为起点，通过中档综合应用过渡，以提升层分类讨论收尾，构建“概念-运算-应用”三阶巩固路径，适配新授课分层教学需求，培养抽象能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|子集、真子集、集合相等的单一概念|直接概念辨析题（如第1题非空真子集个数计算），强化符号意识| |中档层|子集与元素互异性、新定义问题的综合应用|设置多选与新定义题型（如第7题集合子集与方程结合，第8题“全食”“偏食”情境），发展推理能力| |提升层|含参数集合关系、分类讨论的复杂问题解决|解答题考查逻辑推理（如第13题含参数子集范围讨论），体现模型意识|

1.2　集合间的基本关系（同步训练） 一、选择题 1.已知集合A＝{x∈Z|－1＜x≤2}，则集合A的非空真子集有(　　) A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 2.下列各组两个集合A和B，表示相等集合的是(　　) A.A＝{π}，B＝{3.141 59} B.A＝{2，3}，B＝{(2，3)} C.A＝{1，，π}，B＝{π，1，|－|} D.A＝{x|－1＜x≤1，x∈N}，B＝{1} 3.已知集合A＝{1，5，a2}，B＝{1，2a＋3}，且B⊆A，则a＝(　　) A.－1 B.1 C.－3 D.3 4.已知集合A＝{－1，0，1}，则含有元素0的A的子集的个数为(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 5.已知集合M＝{1，2}，集合N＝{1，2，3}，下列表述正确的是(　　) A.N∈M B.M∈N C.M⊆N D.N⊆M 6.已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则实数m＝(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 7.(多选)若集合A＝{x|ax2－2x－1＝0}恰有两个子集，则a的值可能是(　　) A.0 B.－1 C.1 D.－2 8.(多选)当两个集合中有一个集合为另一集合的子集时称这两个集合之间构成“全食”，当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时称这两集合之间构成“偏食”．对于集合A＝，B＝{x|ax2＝1，a≥0}，若A与B构成“全食”或构成“偏食”，则a的取值可以是(　　) A.0 B.1 C.2 D.4 二、填空题 9.用符号“∈”或“⊆”填空：若A＝{2，4，6}，则4________A，{2，6}________A． 10.设集合A＝{x，y}，B＝{0，x2}，若A＝B，则2x＋y＝________ 11.已知集合A，B，C，且A⊆B，A⊆C，若B＝{1,2,3,4}，C＝{0,1,2,3}，则所有满足要求的集合A的各个元素之和为________ 12.已知集合A＝{2，x，x2}，则A的子集有______个；若1∈A，则x＝________ 三、解答题 13.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围． 14.已知集合A＝{x|x2－1＝0}，B＝{x|2x2＋ax＋b＝0}，若B≠∅，且B⊆A，求实数a，b的值． 15.已知集合M＝{x|x＜2且x∈N}，N＝{x|－2＜x＜2且x∈Z}． (1)写出集合M的子集、真子集； (2)求集合N的子集数、真子集数和非空真子集数． 参考答案及解析： 一、选择题 1.B 解析：由集合A＝{x∈Z|－1＜x≤2}＝{0，1，2}，所以集合A的非空真子集为{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，共有6个．故选B． 2.C 解析：集合相等，两集合中的元素完全相同．选项A，∵π≠3.141 59，∴A≠B；选项B，∵2，3表示两个实数，而(2，3)表示一个点，∴A≠B；选项C，∵|－|＝，∴A＝B；选项D，∵A＝{x|－1＜x≤1，x∈N}＝{0，1}，B＝{1}，∴A≠B．故选C． 3.D 解析：由题意B⊆A，得2a＋3＝5或a2＝2a＋3两种情况．若2a＋3＝5，则a＝1，此时a2＝1，不满足互异性；若a2＝2a＋3，则解得a＝3或a＝－1，显然，a＝3符合题意，而当a＝－1时，a2＝1，不满足互异性．综上所述，a＝3．故选D． 4.B 解析：根据题意，含有元素0的A的子集为{0}，{0，1}，{0，－1}，{－1，0，1}，共4个． 5.C 解析：∵集合M＝{1，2}，集合N＝{1，2，3}，∴M⊆N．故选C． 6.B　解析：根据题意，集合M有4个子集，则M中有2个元素，又由M＝{x∈Z|1≤x≤m}，其元素为大于等于1而小于等于m的全部整数，故m＝2. 7.AB 解析：集合A恰有两个子集，则集合A中只有一个元素，当a＝0时，A＝，满足题意；当a≠0时，Δ＝4＋4a＝0，即a＝－1，此时A＝{－1}，满足题意．故a的值为0或－1．故选AB． 8.ABD 解析：∵B＝{x|ax2＝1，a≥0}，∴若a＝0，则B＝∅，满足BA，此时A与B构成“全食”．若a＞0，则B＝＝，若A与B构成“全食”或构成“偏食”，则＝1或＝，解得a＝1或a＝4．综上，a＝1或a＝4或a＝0．故选ABD． 二、填空题 9.答案：∈,⊆ 解析：因为集合A中有4这个元素，所以4∈A．因为2∈A，6∈A，所以{2，6}⊆A． 10.答案：2 解析：由集合元素的互异性可知x2≠0，则x≠0，因为A＝B，所以解得 因此2x＋y＝2. 11.答案：24 解析：∵集合A，B，C，且A⊆B，A⊆C，B＝{1,2,3,4}，C＝{0,1,2,3}， ∴集合A是两个集合的子集，集合B，C的公共元素是1,2,3， ∴满足上述条件的集合A＝∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}， ∴所有满足要求的集合A的各个元素之和为：4(1＋2＋3)＝24. 12.答案：8，－1 解析：∵集合A＝{2，x，x2}，∴A的子集有23＝8个． ∵1∈A，解得x2＝1，再由x≠x2，解得x＝－1. 三、解答题 13.解：（1）当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2. （2）当B≠∅时，如图所示， ∴或 解这两个不等式组，得2≤m≤3. 综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}． 14.解：A＝{x|x2－1＝0}＝{1，－1}，由B⊆A，且B≠∅，得B＝{1}或{－1}或{1，－1}． 当B＝{1}时，方程2x2＋ax＋b＝0有两个相等实数根1，由根与系数的关系得a＝－4，b＝2； 当B＝{－1}时，方程2x2＋ax＋b＝0有两个相等实数根－1，由根与系数的关系得a＝4，b＝2； 当B＝{1，－1}时，方程2x2＋ax＋b＝0有两个不相等实根，分别为－1，1，由根与系数的关系得a＝0，b＝－2． 综上可知，或或 15.解：M＝{x|x＜2且x∈N}＝{0，1}，N＝{x|－2＜x＜2且x∈Z}＝{－1，0，1}． (1)M的子集为∅，{0}，{1}，{0，1}；其中真子集为∅，{0}，{1}． (2)N的子集为∅，{－1}，{0}，{1}，{－1，0}，{－1，1}，{0，1}，{－1，0，1}． 所以N的子集数为8个，真子集数为7个，非空真子集数为6个． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $