1.1 集合的概念（分层作业练题型）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 该同步练习以“分层递进+素养导向”为特色，通过A组基础巩固、B组能力进阶、C组思维拔高及拓展高考链接，构建从概念理解到综合应用的完整知识巩固路径。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |A组|集合概念、元素关系、表示方法等基础知识点|以判断集合构成、元素特征辨析等题型为主，培养抽象能力与符号意识| |B组|集合综合应用与简单含参问题|通过集合与元素关系求参数等题型，发展运算能力与推理意识| |C组|新定义问题与逻辑推理|结合伙伴关系集合等创新题型，提升创新意识与批判性思维| |拓展|高考真题链接|选取上海、全国卷高考题，强化应用意识与数学建模能力|

分层作业 1.1 集合的概念 说明：目录为超链接形式，ABC三组为必做内容，拓展部分为选做。 目 录 A组 巩固过关 题型01 集合的概念 题型02 判断集合与元素的关系 题型03 集合中元素的特征 题型04 列举法表示集合 题型05 描述法表示集合 题型06 集合相等 题型07 根据集合与元素的关系求参数 题型08 根据集合中元素的个数求参数 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 集合的概念题型01 1．下列各组对象中，不能构成集合的对象个数为（    ） （1）高二（3）班个子偏高的学生；（2）所有难度较大的数学题；（3）某市中考总分600分以上的考生；（4）五大淡水湖；（5）国内知名的高校；（6）小于4的正奇数. A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【详解】集合元素必须具备确定性.（1）（2）（5）描述模糊、无统一标准，无法构成集合； （3） （4）（6）对象确定，可构成集合，共3组不能构成集合. 2．下列各对象可以组成集合的是（ ） A．与1非常接近的全体实数 B．中国著名的数学家 C．高一年级视力比较好的同学 D．某学校2026～2027学年度第一学期全体高一学生 【答案】D 【详解】对于A，“非常接近”不具有确定性，根据元素的确定性可知A错误. 对于B，“著名”不具有确定性，根据元素的确定性可知B错误. 对于C，“视力比较好”不具有确定性，根据元素的确定性可知C错误. 对于D，根据元素的确定性可知D正确. 3．（多选）（25-26高一上·河北衡水·阶段检测）给出下列说法，其中正确的有（    ） A．中国的所有直辖市可以构成一个集合 B．高一（1）班较胖的同学可以构成一个集合 C．正偶数的全体可以构成一个集合 D．大于2023且小于2030的所有整数不能构成集合 【答案】AC 【详解】A，C中的元素具备确定性，可以构成集合，A，C正确. B中高一（1）班较胖的同学不具有确定性，不能构成集合，B错误. D中的元素具备确定性能构成集合，D错误. 故选：AC 判断集合与元素的关系题型02 4．给出下列5个关系：①，②，③，④，⑤．其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．2 C．3 D．5 【答案】A 【详解】对于①，因为为无理数，有理数和无理数统称为实数，所以，所以①正确； 对于②，因为不是整数，所以，所以②错误； 对于③，因为不是正整数，所以，所以③正确； 对于④，因为，所以④正确； 对于⑤，因为是无理数，所以，所以⑤正确； 故选：A． 5．（多选）（25-26高一下·河南濮阳·期中）下列表示不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】，故A错误；，故B正确；，故C正确；，故D错误. 故选：AD. 集合中元素的特征题型03 6．已知集合，则集合中元素的最多个数为（    ） A．6 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】根据集合元素互异性，只要，集合中四个元素，，，均互不重复，因此，集合中最多有4个元素. 7．（多选）下列说法不正确的是（    ） A．10以内质数集合： B． C．的解集： D．与是同一个概念 【答案】CD 【详解】10以内的质数有2，3，5，7，所以A正确； 集合中的元素具有无序性的性质，所以B正确； 集合中元素具有互异性的性质，正确解集为，所以C选项错误； 是元素，是集合，概念不同，所以D选项错误. 8．（24-25高一上·河南周口·阶段检测）已知集合有三个元素.若，则实数的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．0或1 【答案】C 【详解】因为，所以或. 当即时，，满足题意； 当即时， 若，则，满足题意；若，则，不满足题意； 综上，实数的值为或1. 故选：C 列举法表示集合题型04 9．方程组的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，解得，方程组解集为点集，即为. 10．用列举法表示下列集合： (1)小于的所有自然数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)大于1且小于的所有偶数组成的集合； (4)由1~15以内的所有质数组成的集合． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【详解】（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A， ． （2）设方程的所有实数根组成的集合为B，解方程得或， ． （3）由题意，设大于1且小于13的所有偶数组成的集合为， ． （4）由题意，设由1~15以内的所有质数组成的集合为， ． 描述法表示集合题型05 11．已知集合，下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由集合，得， 所以. 12．不小于2的所有整数构成的集合可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不小于2的所有整数构成的集合可表示为. 13．（25-26高一上·河北唐山·期中）下列与集合表示同一集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】集合. 故选：C. 14．（25-26高一上·江苏·阶段检测）已知集合，则中元素的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】将满足的全部列举出来， 即，共有4个. 故选：C. 15．（多选）下列说法错误的是（    ） A． B．实数集可写为{所有实数} C．被4除余3的自然数集合： D．与是同一集合 【答案】BD 【详解】B选项花括号自带“全部”含义，表述冗余错误； D选项前者为数集，后者为点集，不是同一集合； A、C表述正确. 16．（易错）（多选）直线与的交点构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】，即直线交点坐标为，则交点构成的集合为：或. 集合相等题型06 17．下列四组集合中集合相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A，两个集合中元素对应的坐标不同，所以A错误； 选项B，集合是数集，集合是点集，不相等，所以B错误； 选项C，两个集合研究的对象不同，集合是上的点，集合是，不相等，所以C错误； 选项D，两个集合元素相同，集合元素有无序性，所以相等，所以D正确. 故选：D. 18．（25-26高一上·山东济南·期中）下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，由集合元素的互异性知，集合表示错误，A错误； 对于B，解得，此时与集合表示同一个集合，B正确； 对于C，且，故两集合不表示同一集合，C错误； 对于D，集合表示点集，只有一个元素，D错误. 故选：B. 19．已知，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【详解】根据题意，两集合相等则元素完全相同，故，整理得，解得或， 当时，，集合为，元素各不相同，符合题意； 当时，，集合同样为，元素各不相同，符合题意； 因此实数的值为或，故C正确. 根据集合与元素的关系求参数题型07 20．（25-26高一上·重庆·期中）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 【答案】D 【详解】由题意， 是集合 的元素，则 或 ，解得 或 . 根据集合元素的互异性检验：当 时， 且 ，集合 中出现重复元素，故舍去； 当 时，，，集合 ，符合题意. 综上，. 故选：. 21．设，集合，若，，则满足条件的组成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，，解得. ∵，∴满足条件的组成的集合为． 22．（易错）（多选）（25-26高一上·甘肃定西·阶段检测）已知集合A中三个元素分别为2，，，若，则x的取值可能为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】AD 【详解】由，则或， 若，解得或，代回集合检验可得合题意，（舍去）， 若，解得，代回集合检验可得合题意，（舍去）， 综上，的可能取值为或. 故选：AD. 根据集合中元素的个数求参数题型08 23．（25-26高一上·河南·期末）已知为实数，集合中有且仅有一个元素，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】B 【详解】由条件知，解得. 故选：B 24．（易错）（多选）（25-26高一上·辽宁丹东·阶段检测）如果集合只有一个元素，则的值是（   ） A．0 B．4 C． D．2 【答案】AC 【详解】集合， 表示关于的方程的解集， 当时，解得，则，符合题意； 当时，，解得， 此时，符合题意； 综上可得或. 故选：AC 25．（24-25高一上·江苏无锡·阶段检测）已知集合中含有2个元素，，写出一个满足的条件的____． 【答案】1（答案不唯一） 【详解】解：由集合中元素的互异性可知：， 解得且， 故时，，满足题意. 故答案为： 1（答案不唯一） 1．已知集合 则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 为有理数集，集合表示区间 内的所有有理数. 是无限不循环小数，属于无理数，不满足有理数条件，因此 即 . 2．（25-26高一上·安徽池州·期中）若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知，所以， 显然选项中D符合题意，此时，A、B、C错误. 故选：D 3．设集合，（偶数集），，（奇数集），，若，，则（    ） A． B． C． D．均不属于 【答案】B 【详解】由题意可知：为偶数为奇数，偶数+奇数=奇数， 故属于奇数集，即. 4．已知集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为且，则得(I)或(II)， 由(I)解得，由(II)解得， 故实数的取值范围是. 5．（25-26高一上·江西赣州·期末）集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 【答案】B 【详解】因为，所以是自然数且是6的正约数，而6的正约数有 当分别取时，对应的的值分别为，所以只能是. 故集合的元素个数是4. 故选：B 6．已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，， 则， 当只存在一个正数时，不妨设，则， 则， 当只存在一个负数时，不妨设，则， 则， 当时，， 则， 所以. ∴，A选项错误；，B选项错误；，C选项错误；，D选项正确. 7．（25-26高一上·四川·阶段检测）定义：不小于x的最小整数，在数学中通常用向上取整函数表示，符号为，读作“x的上取整”，如，.已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，则， 当时，，则， 当时，，则， 综上所述，. 故选：B. 8．（多选）（25-26高一上·吉林通化·阶段检测）已知集合A中元素满足，，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】令，解得，，，A正确； 令，解得，，，B正确； ，，故C正确； 令，解得，，，D错误. 故选：ABC. 9．（多选）定义：若且则称为伙伴关系集合.集合的非空子集中，具有伙伴关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】对于A，注意到不在集合中，故不是伙伴关系集合，A错误； 对于B，均在集合中，故是伙伴关系集合，B正确； 对于C，在集合中，故为伙伴关系集合，C正确； 对于D，均在集合中，故为伙伴关系集合，D正确. 1．【含参问题】（多选）（25-26高一上·四川眉山·期中）（多选）已知集合只有一个元素，则实数的取值可以是（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】AB 【详解】因为集合只有一个元素， 当时，方程，解得，此时集合，满足题意； 当时，要使得只有一个实根，则满足， 即，解得，此时方程的解为，即，满足题意， 综上可得，实数的取值可以是或. 故选：AB. 2．【逻辑推理】（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若集合中恰有6个整数元素， 则，解得， 此时，， 所以集合中最小整数元素为，最大整数元素可以为6或或， 因为集合中恰有6个整数元素，所以只能为2，3，4，5，6，7， 即，解得， 所以的取值范围为. 故选：B. 3．【新定义问题】（25-26高一上·重庆·期中）（多选）设非空数集，定义：若，且，则称为集合的一个“理想元素”；若，都有，则称集合是一个“理想集合”．已知集合，则下列说法正确的是（   ） A．是集合的一个“理想元素” B．若“理想集合”恰有4个子集，则 C．集合是一个“理想集合” D．若是集合的一个“理想元素”，则 【答案】ACD 【详解】因为，，所以是集合的一个“理想元素”，选项A正确. “理想集合”恰有4个子集，则恰好有两个元素，设， 因为，都有，即，， 则或者即或 则，或； 当 ，则，所以或解得 或（舍去），此时； 当 ，则，所以或解得（舍去）或或，此时或，所以选项B错误； 设，则 ， 因为，所以即可以表示为的形式，所以,故选项C正确； 若是集合的一个“理想元素”， 则 所以, 因为，所以； 若，则，即是7的倍数，除以7余数为6，因此除以7余数为6， 设 ，则，则不是7的倍数，所以，所以，所以选项D正确. 故选：ACD 4．【新定义问题】（25-26高一上·河北·阶段检测）用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，若，则的所有可能取值构成集合，则__________. 【答案】5 【详解】由，故， 因为，即，所以或. 方程可化为， ①当时，方程只有实数根0，所以且无解，即，得； ②当时，，方程， 则有，由于0不是方程的实数根， (i)若是方程的实数根，则， 若，则方程的根为和，满足条件； 若，则方程的根为和，满足条件. (ii)若不是方程的实数根， 则方程有2个相等的实数根， 即，得， 当时，，满足条件； 当时，，满足条件. 所以. 故答案为：5 1．（2026·上海·高考真题）已知集合，，则__________． 【答案】 【详解】由题意得，解得，经验证此时集合满足题意. 2．（2023·上海·高考真题）已知，，若且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，由，得或， 又，且，即有且，因此， 所以. 故选：A 3．（2018·全国II卷·高考真题）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．9 B．8 C．5 D．4 【答案】A 【详解】， ， 当时，； 当时，； 当时，；所以共有9个， 故选：A. 4．（2019·上海·高考真题）已知集合，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是____________ 【答案】1或 【详解】，则只需考虑下列三种情况： ①当时， 又         且 可得：      ②当即时，与①构造方程相同，即，不合题意，舍去 ③当即时 可得：且      综上所述：或 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.1 集合的概念 说明：目录为超链接形式，ABC三组为必做内容，拓展部分为选做。 目 录 A组 巩固过关 题型01 集合的概念 题型02 判断集合与元素的关系 题型03 集合中元素的特征 题型04 列举法表示集合 题型05 描述法表示集合 题型06 集合相等 题型07 根据集合与元素的关系求参数 题型08 根据集合中元素的个数求参数 B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 集合的概念题型01 1．下列各组对象中，不能构成集合的对象个数为（    ） （1）高二（3）班个子偏高的学生；（2）所有难度较大的数学题；（3）某市中考总分600分以上的考生；（4）五大淡水湖；（5）国内知名的高校；（6）小于4的正奇数. A．2 B．3 C．4 D．6 2．下列各对象可以组成集合的是（ ） A．与1非常接近的全体实数 B．中国著名的数学家 C．高一年级视力比较好的同学 D．某学校2026～2027学年度第一学期全体高一学生 3．（多选）（25-26高一上·河北衡水·阶段检测）给出下列说法，其中正确的有（    ） A．中国的所有直辖市可以构成一个集合 B．高一（1）班较胖的同学可以构成一个集合 C．正偶数的全体可以构成一个集合 D．大于2023且小于2030的所有整数不能构成集合 判断集合与元素的关系题型02 4．给出下列5个关系：①，②，③，④，⑤．其中正确命题的个数为（ ） A．4 B．2 C．3 D．5 5．（多选）（25-26高一下·河南濮阳·期中）下列表示不正确的是（   ） A． B． C． D． 集合中元素的特征题型03 6．已知集合，则集合中元素的最多个数为（    ） A．6 B．3 C．4 D．5 7．（多选）下列说法不正确的是（    ） A．10以内质数集合： B． C．的解集： D．与是同一个概念 8．（24-25高一上·河南周口·阶段检测）已知集合有三个元素.若，则实数的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．0或1 列举法表示集合题型04 9．方程组的解集为（    ） A． B． C． D． 10．用列举法表示下列集合： (1)小于的所有自然数组成的集合； (2)方程的所有实数根组成的集合； (3)大于1且小于的所有偶数组成的集合； (4)由1~15以内的所有质数组成的集合． 描述法表示集合题型05 11．已知集合，下列判断错误的是（    ） A． B． C． D． 12．不小于2的所有整数构成的集合可表示为（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高一上·河北唐山·期中）下列与集合表示同一集合的是（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高一上·江苏·阶段检测）已知集合，则中元素的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 15．（多选）下列说法错误的是（    ） A． B．实数集可写为{所有实数} C．被4除余3的自然数集合： D．与是同一集合 16．（易错）（多选）直线与的交点构成的集合为（    ） A． B． C． D． 集合相等题型06 17．下列四组集合中集合相等的是（   ） A． B． C． D． 18．（25-26高一上·山东济南·期中）下列集合中，与集合表示同一个集合的是（   ） A． B． C． D． 19．已知，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D． 根据集合与元素的关系求参数题型07 20．（25-26高一上·重庆·期中）已知集合，且，则（    ） A． B．或 C．3 D． 21．设，集合，若，，则满足条件的组成的集合为（    ） A． B． C． D． 22．（易错）（多选）（25-26高一上·甘肃定西·阶段检测）已知集合A中三个元素分别为2，，，若，则x的取值可能为（   ） A． B．0 C．1 D．2 根据集合中元素的个数求参数题型08 23．（25-26高一上·河南·期末）已知为实数，集合中有且仅有一个元素，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．9 24．（易错）（多选）（25-26高一上·辽宁丹东·阶段检测）如果集合只有一个元素，则的值是（   ） A．0 B．4 C． D．2 25．（24-25高一上·江苏无锡·阶段检测）已知集合中含有2个元素，，写出一个满足的条件的____． 1．已知集合 则下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·安徽池州·期中）若集合，则（    ） A． B． C． D． 3．设集合，（偶数集），，（奇数集），，若，，则（    ） A． B． C． D．均不属于 4．已知集合，若且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·江西赣州·期末）集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 6．已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·四川·阶段检测）定义：不小于x的最小整数，在数学中通常用向上取整函数表示，符号为，读作“x的上取整”，如，.已知集合，则（   ） A． B． C． D． 8．（多选）（25-26高一上·吉林通化·阶段检测）已知集合A中元素满足，，则下列表示正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（多选）定义：若且则称为伙伴关系集合.集合的非空子集中，具有伙伴关系的是（    ） A． B． C． D． 1．【含参问题】（25-26高一上·四川眉山·期中）（多选）已知集合只有一个元素，则实数的取值可以是（   ） A．0 B．1 C． D． 2．【逻辑推理】（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．【新定义问题】（25-26高一上·重庆·期中）（多选）设非空数集，定义：若，且，则称为集合的一个“理想元素”；若，都有，则称集合是一个“理想集合”．已知集合，则下列说法正确的是（   ） A．是集合的一个“理想元素” B．若“理想集合”恰有4个子集，则 C．集合是一个“理想集合” D．若是集合的一个“理想元素”，则 4．【新定义问题】（25-26高一上·河北·阶段检测）用表示非空集合中的元素的个数，定义，若，若，则的所有可能取值构成集合，则__________. 1．（2026·上海·高考真题）已知集合，，则__________． 2．（2023·上海·高考真题）已知，，若且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2018·全国II卷·高考真题）已知集合，则中元素的个数为（    ） A．9 B．8 C．5 D．4 4．（2019·上海·高考真题）已知集合，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是____________ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.1集合的概念 参考答案 集合的概念题型01 1．B 2．D 3．AC 判断集合与元素的关系题型02 4．A 5．AD 集合中元素的特征题型03 6．C 7．CD 8．C 列举法表示集合题型04 9．D 10.【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【详解】（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A， ． （2）设方程的所有实数根组成的集合为B，解方程得或， ． （3）由题意，设大于1且小于13的所有偶数组成的集合为， ． （4）由题意，设由1~15以内的所有质数组成的集合为， ． 描述法表示集合题型05 11．A 12．D 13．C 14.C 15.BD 16.AC 集合相等题型06 17．D 18．B 19．C 根据集合与元素的关系求参数题型07 20．D 21．D 22．AD 根据集合中元素的个数求参数题型08 23. B 24．AC 25. 1（答案不唯一） 1．B 2．D 3．B 4．A 5．B 6．D 7．B． 8. ABC 9．BCD 1．AB 2．B 3．ACD 4．5 1．-2 2．A 3.A 4. 1或 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $